Математические основы построения разностных уравнений для задач параметрической идентификации Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.5.015

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ЗАДАЧ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ

В. Е. Зотеев

Самарский государственный технический университет,

443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244

E-mail: [email protected]

Рассматривается один из подходов к формированию разностных уравнений, описывающих последовательности мгновенных значений нелинейных функциональных зависимостей.

Ключевые слова: разностное уравнение, обобщённый многочлен по системе функций, диссипативные системы с турбулентным трением.

Одним из эффективных методов параметрической идентификации нелинейных диссипативных систем является метод, в основе которого лежат линейно параметрические дискретные модели, описывающие в форме стохастических разностных уравнений результаты измерений мгновенных значений колебаний системы [1, 2]. При разработке таких моделей важнейшей задачей является построение рекуррентных соотношений, связывающих несколько последовательных значений исследуемой функциональной зависимости. Один из подходов к решению этой задачи основан на применении z-преобразования к дискретным функциям, описывающим выборки мгновенных значений [3]. Однако в ряде случаев при реализации такого способа возникают серьёзные затруднения, связанные с нахождением z-преобразования. В данной работе рассматривается другой подход к решению задачи построения разностных уравнений, описывающих мгновенные значения нелинейных функциональных зависимостей. В основе этого подхода лежит описание некоторого класса функций, позволяющих свести задачу построения разностных уравнений к решению системы алгебраических уравнений относительно базиса линейного пространства функций из этого класса.

Рассмотрим систему линейно независимых функций {pi(t)}n=i, определённых на множестве D. Эту систему можно принять за базис n-мерного линейного пространства L, каждый элемент которого может быть представлен в виде линейной комбинации функций (t):

n

f (t) = a^i(t)-

i= 1

Пусть коэффициенты в этом разложении известным образом зависят от некоторого параметра т из той же области определения D, что и переменная t. Очевидно, что в этом случае имеем параметрическое семейство LT функций

Зотеев Владимир Евгеньевич — доцент кафедры прикладной математики и информатики Самарского государственного технического университета; к.ф.-м.н., доцент.

п

/ (Ь,т) = ^ аі(т )<Рі (Ґ),

г=1

принадлежащих линейному пространству С.

Теорема 1. Пусть функция

п

/(Ь,т) = Е аі(т)^і(Ь) Є С

г=1

может быть представлена в виде

п

/ (Ь + т аі(т )^і (і)’ (1)

г=1

причём существуют т ^ п значений параметра т% Є Р (і = 1,2,...,т) таких, что функции /(Ь + тг) (і = 1, 2,... , т) линейно независимые.

Тогда коэффициенты аг(т) (і = 1, 2,... ,п) в разложении (1), как функции от параметра т, принадлежат линейному пространству С, образуют его базис и могут быть представлены в виде

п

аг(т) = ^2 с^щ (т) = вцірі (т)+ С2гР2 (т) +... + с,пгРп(т), і = 1,2,...,п, (2) 3=1

где Сгз —элементы невырожденной матрицы перехода от базиса [рг(Ь)}П=1 к базису [аг(Ь)}ПП=1.

Доказательство. Из (1) следует, что при любом фиксированном т Є Р функции /(Ь + т) Є С. С учётом коммутативности операции сложения можно записать

п

/(Ь + т*) = /(т + Ь) = ^2 аі(Ь)Рг(т*). (3)

г=1

Полагая в (3) п различных значений т ЄР: т1, т2, ..., тп таких, чтобы функции /(Ь + тг), были линейно независимы, получаем систему линейных алгеб-

раических уравнений относительно функций аг(Ь), і = 1, 2 ... ,п:

<Р1 (п)а1(Ь) + Р2(т1)а2 (Ь) +---+ Рп (п)ап(Ь) = / (Ь + п);

Р1 (т2)а1(Ь) + Р2(т2)а2 (Ь) +-+ Рп (т2)ап(Ь) = / (Ь + т2);

. (4)

Р1 (тп )а1(Ь) + Р2 (тп )а2(Ь) + ... + Рп(т-п)а.п (Ь) = / (Ь + тп).

Так как система функций [рг(т)}п=1 по определению линейно независима,

Рп (т1)

Рп (т2)

то матрица

Ф

Р1(т1) Р2 (П) Р1(т2) Р2 (т2)

_ Р1(тп) Р2(тп)

рп (тп) _

системы уравнений (4) невырожденная. Следовательно, существует обратная

П

;',3=

матрица Ф 1 = (р^1)Пз-Г причём решение системы уравнений (4) можно

представить в виде

і(і) = ^ Рі^(і + Т3Ъ 1 = 1,2’

3=1

Поскольку функции / (Ь+тз) € С (] = 1, 2,... ,п) линейно независимые, а матрица Ф-1 невырожденная, то функции аг(Ь) также принадлежат линейному пространству С, линейно независимые и образуют базис пространства С, причём каждую из них можно представить в виде линейной комбинации базисных функций рг(Ь):

(5)

аг(Ь) = ^ ЫРз (Ь)-

з=1

Поскольку системы функций [йг (Ь)}П—1 и {рз (Ь)}П—1 линейно независимые

то матрица

Сії С12 • С1п

С = С21 С22 • С2п

_ Сп1 Сп2 • Спп

перехода от базиса [рз (і)}іт=і к базису [аі т=1 -

С учётом (5) и (3) имеем, что

п / п \ п / п \

/(Ь + т) = Рз(Ь)) Рг(т) = Р^т)) Рз(Ь)-

г—1 ' з—1 ' з—1 ' г-1 '

Сравнивая полученное соотношение с (1), получаем

п

аг (т) =^ СзгРз (т) , з=1

что и требовалось доказать. □

Введем вектор-столбец а(т) = (т), й2(т),..., ап(т))Т, состоящий из ко-

эффициентов разложения, и вектор-столбец базисных функций р(Ь) = (р1 (Ь),

Р2(Ь), ...,рп(Ь))Т. Тогда формулы (3), (4) и (7) соответственно принимают следующий вид:

/(Ь + т)= а(т)т<р(Ь) = (а(т), <р(Ь)), а(т) = СТ<р(т), а(Ь) = С<р(Ь),

где (а, = ^2г^—1 агРг — скалярное произведение векторов. Отсюда следу-

ет, что С = СТ, то есть матрица перехода от базиса [рз(Ь)}т—1 к базису [аг (Ь)}п—1 —симметричная.

П

а

п

Рассмотрим способ нахождения коэффициентов в разложении (2). При известных функциях Рз (т) и а (т) имеем уравнения

С1гР1 (т) + 02г<Р2 (т) + ... + Сп^п(т) = (Ц (т), % = 1, 2, . . . ,П.

Дифференцируя (п — 1) раз обе части этого равенства для конкретного %, получаем систему из п уравнений относительно неизвестных с^:

СцР1(т) + С2г Р2(т) + ... + СпМп(т) = (](т);

с1]р1(т) + С2г р2(т) + ... + СпгР'п(т) = а'г(т)’;

<

(п-1) ^ ч . (п-1) , ч . . (п-1) , ч (п-1)/ ч

Си <Р\ (т) + 02гР2 (т) + ... + Сп%Ч>п (т) = а] ;(т).

Определитель этой системы есть определитель Вронского. Он отличен от ну-

ля, так как система функций {рг(т)}п=1 линейно независима. Следовательно, система имеет единственное решение, которое можно представить в виде

С] = Ф-1а],

где сг = (сц, с2],..., сп])Т — %-тый столбец матрицы С; а] = (аг(т), а](т), ...,

а(а — вектор-столбец, содержащий функцию аг(т) и её производные до (п — 1)-го порядка включительно;

Р1(т) Р2(т) Рп (т)

Ф = Р1(т) Р2(т) рп (т)

п- 1) - Р1 >(т) п- 1) р2 (т) п- 1) Рп (т)

— матрица, %-тый столбец которой содержит базисную функцию рг(т) и её производные до (п — 1)-го порядка включительно.

Аналогично вычисляются элементы других столбцов матрицы линейного преобразования С. Таким образом, матрицу линейного преобразования можно вычислить по формуле С = Ф-1А, где

а2(т) . ап (т)

а2(т) . а'п(т)

_ а('1г-1^(т) а2п-1^(т) . а^1-11 (т) _

— матрица, %-тые столбцы которой образуются векторами а].

В качестве примера рассмотрим функцию / (£) = 5е1 — 2{2. Эта функция удовлетворяет условию (1):

/(I + т) = а1(т)е1 + а2(т)12 + а^(т)1 + аА(т) ■ 1,

А =

а1(т)

а1(т)

где базисными являются линейно независимые функции р\{Ь) = ег, <Р2&) = Ь2, Рз(Ь) = Ь и ^4(Ь) = 1, а коэффициенты разложения, зависящие от параметра т, описываются следующими формулами: а\(г) = 5ет, 0,2(т) = -2, а3(т) = -4т и а4(т) = -2т2. Причём 01(0) = 5, а2(о) = -2, а3(0) =0 и

04(0) = 0. Очевидно, что матрица ф для этой системы базисных функций, её обратная матрица ф-1 и матрица А имеют соответственно вид:

Ф

ет 2 Т 1 0 0 0 е 1 1

ет 2 1 0 Ф — 1 — 0 0 1 2 1 2

ет 2 0 0 , ф — 0 1 —т т — 1

ет 0 0 0 1 —т т 2 2 -т2+2т-2 2 А

Тогда

Действительно:

Ср{і) =

А =

5ет -2 5ет 0

5ет 0

5ет

С = Ф-1А =

—4т —2т2 —4 —4т

0 —4

0

0

0

5 0 0 0

0 0 —2

0 —4 0

—2 0 0

0 0 0 Ю Г еь 1 Г 5ее 1

0 0 0 -2 І2 2 1

0 4 1 0 0 і 4 1

_ 0 —2 0 0 1 . —2І2 _

= а(і).

В некоторой области V изменения независимой переменной Ь рассмотрим два обобщённых многочлена

Ф(і)=^ аіРі ф и Уф =^ Ьуфу ф І=1 у= 1

по системам линейно независимых функций [рг(Ь)}П=1 и {фу(Ь)}п=1 соответственно, причём на множестве V многочлен У(Ь) = 0. Пусть эти обобщённые многочлены обладают свойством (1):

ф(і + т)=Х] аг(т)Рг(і)’ У(і + т)=Х] ЬУ (т)фУ(і)’ (6)

г=1 3=1

где [аг(т)}гП=1 и [Ьу(т)}п=1 —некоторые системы линейно независимых функций, причём аг(0) = аг, Ьу(0) = Ьу.

Определим класс Н непрерывных на множестве V функций вида f (Ь) = таких, что:

П

Е аг(т)ірі(і)

f (і + т) = ^--------------->

Е Ьу (т)фу(і) у=1

и

т

п

т

где Ф^) = ЕП= аг(0)Рг (t) и ^(t) = Yjj=1 bj (0)^j (t) — обобщённые МНОГОЧЛены, удовлетворяющие условию (6). Так как функция Ф^) = 1 = ao(0)po(t) (где ао(т) = 1 и po(t) = 1) формально удовлетворяет условию (6), то сами

обобщённые многочлены и функции вида f (t) = ^Еjj=1 bjФj (t)^ принадлежат классу H. Также очевидно, что если f (t) € H, то и функция f (t)] 1 = = €H в области её определения.

Легко убедиться, что к функциям класса H относятся такие известные и широко используемые в математическом анализе элементарные функции, как степенная f (t) = tn, n € Z, тригонометрические функции sin t, cos t и tg t, а также показательная функция f (t) = e*.

Рассмотрим некоторые свойства функций из класса H, которые можно сформулировать в виде следующей теоремы.

Теорема 2. Пусть функции fi(t) и f2(t) €H. Тогда линейная комбинация этих функций, их произведение и отношение также будут принадлежать классу функций H, то есть

ci fl(t) + С2 f2(t) € H, fi(t)f2 (t) €H и € H, f2(t) = 0,

где ci и C2 — произвольные постоянные.

Доказательство теоремы очевидно и строится на основе доказательства утверждения, что совокупность обобщённых многочленов из класса H после введения в неё операций сложения и умножения превращается в кольцо.

Пусть некоторая нелинейная функция y(t) представима в виде

n

Е ai(0)pi(t)

y(t) = -=jj--------- € H. (7)

1 + E bj(0)ф (t) j=i

Зафиксируем её значение в некоторой точке tk:

n

a0i^i(tk)

Ук = y(tk )^=jj----------------------------. (8)

i + Е boj Фj (tk) j=i

Обозначим значения функции (7) в точках t=tk — T через yk-i=y(tk — т), а значения функций ai(T) и bj(т) при т = Ti как ац = ai(Ti) и bij = bj(ti) (i = 1, 2,..., n; j = 1, 2,... ,m; l = 1, 2,... ,p). В частности, имеем:

nn

E a1iPi (tk) E a2iPi(tk)

yk-1=y(tk — T1) = i=1m-, yk-2=y(tk — T2)= i=1m-----------, •••,

1 + E b1jфj (tk) 1 + E b2j Фj (tk)

j=1 j=1

ук-г=у&к — п)=

Е а1грг {рк) Е аргрг(гк)

т , •••, ук-р=у{'к— тр)= т •

1 + Е Ъц Фц (гк) 1 + Е Ърц Фц (гк)

3 = 1

3 = 1

После простых преобразований отсюда можно получить линейную алгебраическую систему из р уравнений относительно фг{Ьк) и фц(гк):

( п т

Е а1грг(гк) Е ук-1Ъ1ЦфЦ {гк) = ук-1;

г=1 3=1

пт

Е а2гРг(гк) — Е ук-2Ъ2ЦфЦ {гк) = ук-2;

г=1 3=1

(9)

пт

Е аргрг(гк) Е ук-рЪрЦфЦ(гк) = ук—р-

г=1 3=1

Эту систему в матричной форме можно представить следующим образом:

Ар — У В ф = у,

(10)

где

а11 а12 а1п Ъ\\ Ъ12 Ъ1т

А = а21 а22 а2п , В = Ъ21 Ъ22 . Ъ2т

ар1 ар2 арп - Ър1 Ър2 . Ърт

У = diag[ук-\,ук-2, • • • ,ук-р] —диагональная матрица, элементами которой являются дискретные значения функции (7); векторы из базисных функций

р = (р\(гк),<Р2(гк),• • • ,Рп(гк))Т емп,ф = (Ф^к),Ф2(гк),.• • ,Фт(гк))Т емт;

вектор-столбец в правой части системы у = (ук-1,ук-2, • • •, ук-р) е Кр.

Пусть неизвестными в системе линейных уравнений (10) являются значения базисных функций в точке г к. В этом случае система принимает вид Бв = у, где матрица Б = [А|УВ] —матрица размерности [р х (п + т)], элементы которой описываются формулой:

, ац, если 1 < ] < п . = р

гц ' —ук-гЪгц-п, если п + 1 ^ ^ п + т, ’ ’•••,р ’

а в = [р1Ф]т = (рг^к) , • • ^Рп(гк), Ф\(гк) , • • •, Фт(гк))Т е Мп+т — вектор неизвестных.

При р = п + т и невырожденности матрицы Б имеем в = Б-1у или

Р Б-1 п 'Б-1у'

— = — у =

Ф 1 | 1 I

п

п

Здесь О,п1 —матрица размера [п х (п + т)], включающая первые п строк матрицы О-1, с элементами ^ (г = 1, 2,... ,п; ^ = 1, 2,... ,п + т); О—1 —

матрица размера [тх(п+т)\, включающая последние т строк матрицы О-1, с элементами {й—1) ^ (г = 1, 2,... ,т; ^ = 1, 2,... ,п + т). Отсюда

п+т

Рч{Ък) = ^ (О гз Уь-з г = 1,2,...,п

3 = 1

и

п+т

фг&к) = ^ (О 3 Ук-3, г = 1, 2,...,т.

3=1

Подставляя найденные значения базисных функций в (8), получаем

п+т

^2 Язук-з

= 3 = 1_______

Ук п+т ’

1 + ^2 9з ук-3

3=1

где

пт

Яз = ^ а°г (О ц и 9з = ^ ь0г (йт1) гз.

г=1 г=1

Отсюда получаем разностное уравнение вида

п+т п+т

Ук = ^2 ЯгУк-г дгУкУк-г,

г=1 г=1

в котором коэффициенты Яг и дг в соответствии с (9) в общем случае нелинейно зависят от дискретных значений у к функции (7).

Пусть среди базисных функций {рг}П=1 и {Фз }-=1 есть такие, которые не содержат параметров нелинейной зависимости (7) (или содержат их линейно). В этом случае при построении разностного уравнения нет необходимости исключать эти функции из выражения (8). При этом порядок системы линейных уравнений (9) и, следовательно, количество отсчетов Ук-г в разностном уравнении уменьшается на число таких базисных функций. В частности, если этими функциями являются {фз(Ь)}—=1, то система линейных уравнений (10) может быть представлена в виде

Лр = у + У В ф,

где матрицы Л и У имеют размер [п х п], а матрица В — [п х т]. Отсюда при невырожденной матрице Л получаем

р = Л-1 (у + У В ф)

или в развёрнутой форме

пт

Рг (Ьк) = ^ а-\ Ук-з + Ук-з ^ ЪИф1 (^ ,

з=1 V 1=1 )

где а- —элементы обратной матрицы Л-1. Разностное уравнение в этом случае является линейным относительно отсчётов Ук-з = 1, 2,... ,п) и принимает вид

П

yk "У ' dj yk—j,

3 = 1

где

n / n \ / m

Е ( Е a0iа—1) ( 1 + Е bji^i{tk)

, j=1\i=1 J \ 1=1

dj =----------------------m--------------------

1 + E boj Фз (tk) j=1

Отсюда можно получить линейно параметрическую дискретную модель с коэффициентами (] = 1, 2,... ,п + т + пт). Эти коэффициенты известным образом связаны с параметрами нелинейной зависимости, которые являются объектом её идентификации:

n m n m

Vm+

yk — 'У ' ^jyk—j + 'У ' ^n+l \ф1 (tk')yk\ +££ №n+m+(j—1)m+l fyl(tk)yk—j] , (H) j=1 i=1 j=1 i=1

где

n

Vj = аоа-1 (j — 1,2,...,n), Vn+l — -boi (l — 1,2, ■ ■ ■ , m),

i=1

Mn+m+(j — 1)m+l №jbjl (j 1, 2, ■ ■ ■ ,n; l 1, 2, ■ ■ ■ , m)■

Применим такой алгоритм построения линейно параметрической дискретной модели к диссипативной системе с турбулентным трением, свободные колебания которой описываются функцией

y(t) — ао1 + T ^ cos(ut + фо )■

При равномерной дискретизации с периодом т этой зависимости, с учётом обозначений Ао — 2 cos шт, Х1 — , получаем уравнения:

yk (1 + Ttk^ — ао cos (utk + фо) ,

yk—1^ 1 + Ttk — А^ — ао cos(^tk + фо) cos шт + ао sin(^tk + фо) sin шт,

ук-2 ^ 1 + Ttk — = а0 cos(utk + ф0) cos 2шт + а0 sin(wtk + ф0) sin 2шт.

Из двух последних соотношений можно получить:

а0 cos(^k + фо) = А0 ( 1 +--—----ук-1 — (1 + тр,--------2А1 ) ук-2■

T

T

Подставляя этот результат в первое уравнение, после простых преобразований получаем линейно параметрическую дискретную модель вида

yk + yk-2 = Aoyk-l — Al

tk tk

~yk + ( — — 2 I yk-2

+ AoAl

tk

- І yk-l. (l2)

При непосредственном применении формулы (11) для данной зависимости следует положить п = т = 2, а01 = 1, а02 = 0, ф1(Ьк) = Ьк, ф2(Ьк) = 1, Ъ01 = Ъ11 = Ъ21 = 41, Ъ02 = 0, Ъ12 = —А1 и Ь22 = —2А1. В этом случае коэффициенты ^ (] = 1, 2,..., 8) в разностном уравнении (11) принимают

значения: ^1 = Ао, ^2 = -1, № = —^, ^4 = 0, ^ = -А0А1,

^7 = — ^ и ^8 = 2А1, а само уравнение (11) приводится к виду

У к = А0 ук-1 — ук-2 — А1 — У к + А0А1 — Ук-1 — А0А1Ук-1 — А1 — Ук-2 + 2А1 Ук-2.

Т Т т

Отсюда после простых преобразований получаем разностное уравнение (12).

При равномерной дискретизации функциональной зависимости с периодом т можно положить Ьк = кт (к = 0,1, 2,...). Тогда линейно параметрическая дискретная модель, описывающая в форме разностного уравнения (12) мгновенные значения свободных колебаний системы с турбулентным трением, принимает вид [4]

Ук + Ук-2 = А0Ук-1 — А1 [кУк + (к — 2) Ук-2] + А2(к — 1)Ук-1,

где А2 = А0А1, к = 2,3,4,...

Таким образом, рассмотрен один из подходов к формированию рекуррентной формулы разностного уравнения, описывающего последовательность мгновенных значений нелинейной функциональной зависимости. Этот подход может быть применён в задачах параметрической идентификации при построении линейно параметрических дискретных моделей, описывающих в форме стохастических разностных уравнений результаты измерений колебаний нелинейных диссипативных механических систем.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Радченко, В. П. Определение динамических характеристик механической системы на основе стохастических разностных уравнений колебаний [Текст] / В. П. Радченко, В. Е. Зотеев // Известия вузов. Машиностроение. — 2007. — № 1. — С. 3-10.

2. Зотеев, В. Е. Параметрическая идентификация линейной динамической системы на основе стохастических разностных уравнений [Текст] / В. Е. Зотеев // Матем. моделирование. — 2008. — Т. 20, № 9. — С. 120-128.

3. Деч, Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и 2-преобразования [Текст] / Г. Деч. —М.: Наука, 1971. —288 с.

4. Зотеев, В. Е. Итерационный метод среднеквадратичного оценивания коэффициентов стохастического разностного уравнения колебания систем с турбулентным трением [Текст] / В. Е. Зотеев // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. — 2005.— № 38. — С. 100-109.

Поступила в редакцию 19/УШ/2008; в окончательном варианте — 27/ІХ/2008.

MSC: 65P40, 34C15, 37M05

MATHEMATICAL BASE FOR DIFFERENCE EQUATIONS FORMULATION IN PARAMETRICAL IDENTIFICATION PROBLEMS

V. E. Zoteev

Samara State Technical University,

443100, Samara, Molodogvardeyskaya str., 244

E-mail: [email protected]

One of the approaches to forming difference equations, describing sequences of instantaneous values of nonlinear functional dependences is analyzed.

Key words: difference equation, generalized polynomial according to the function system, dissipative systems with the vertical friction.

Original article submitted 19/VIII/2008; revision submitted 27/IX/2008.

Zoteev Vladimir Eugenievich, Ph.D. (Phis. & Math.) Assist. Prof., Dept. of Applied Mathematics and Computer Science of Samara State Technical University.