Помехоустойчивость когерентного приема сигналов двоичной амплитудно-фазовой модуляции при неидеальной синхронизации (часть 2) Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

X

ИНФОРМАЦИОННЫЕ КАНАЛЫ И СРЕДЫ

УДК 621.39

ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ КОГЕРЕНТНОГО ПРИЕМА СИГНАЛОВ ДВОИЧНОЙ АМПЛИТУДНО-ФАЗОВОЙ МОДУЛЯЦИИ ПРИ НЕИДЕАЛЬНОЙ СИНХРОНИЗАЦИИ (Часть 2)1

Н. В. Савищенко,

доктор техн. наук, профессор Военная академия связи

Предлагается методика оценки потерь в мощности и помехоустойчивости когерентного приема сигналов при наличии ошибки в определении фазы несущей. Приведены основные соотношения для расчета помехоустойчивости когерентного приема двоичных сигналов амплитудно-фазовой модуляции с произвольным расположением сигнальных точек на плоскости, неравными энергиями и неравновероятной априорной вероятностью передачи сигналов при наличии ошибки сопровождения фазы.

Ключевые слова — помехоустойчивость, когерентный прием, неидеальная синхронизация, сигналы амплитудно-фазовой модуляции.

Анализ вероятности ошибки когерентного приема сигналов двоичной фазовой модуляции ФМ-2 (BPSK)

Символьная и битовая вероятности ошибок при фиксированной фазовой ошибке определяются выражением [1, 2]

Pb/e [hie, ф) = Q (cosфд/^^Т), ф е [-п,п]. (5)

Сложность получения аналитических соотношений при усреднении вероятности ошибки по фазовой ошибке связана как с тем, что функция Гаусса не выражается через элементарные функции, так и с тем, что знаки аргумента функции Гаусса на интервале [-п, п] могут изменяться на противоположные. Так, cosф > 0 при ф е [-п/2, п/2] и cosф < 0 при ф е [-п, -п/2]и[п/2, п]. Для решения данной проблемы можно использовать три следующих подхода:

1) применяются численные методы вычисления интеграла, например с использованием встроенных в MathCad средств интегрирования;

2) интервал интегрирования разбивается на подынтервалы, на которых аргумент функции имеет постоянный знак, и каждый интервал рассматривается отдельно;

1 Окончание. Начало в № 3.

3) аргумент функции полагается положительным, т. е. берется модуль аргумента. Этот подход требует соответствующей численной проверки и в данной статье применялся только для сигналов ФМ-2.

Канал связи без замираний и с фазовой ошибкой. Рассмотрим канал связи без замираний, тогда

К . ----.

рь/е {нЪс. р)=] я (сов Ф^2ъ1с ^(фМф, (6)

-к

где ю(ф) — распределение Тихонова.

Учитывая четность подынтегральной функции, это выражение можно переписать в виде

Щ 2

РЬ/е (Ььс, Р) = GBPSK (Р) + 2 /

к J ■ 1

-ю *+2. Qlsin фу

где

- rn^)Q^cos2hbc j dф, (7а)

ге/ 2

GBPSK (р) = 1- 2 J Ю(фМф>

0

п 2 С n

GBPSK (р) = 2 J ю|ф+— dФ=

0 ^ '

-—1— Г exp(-psinф)dф=--— ( -) I—k+1 (р).

nIo (Р) Г0 2 П k=02k+l I0(p)

0

При р >> 1 можно использовать приближенную формулу

1

G

BPSK

(р)=-

1 II

1 — exp —пр 2

пр1о (р)1

Относительная, вместо точной, погрешность при использовании этой формулы составляет 5 = 10-2 при р = 10 дБ и 5 = 10-4 при р = 20 дБ, при больших значениях р величина 5 уменьшается дальше.

Таким образом, для распределения Тихонова формула вероятности ошибки при когерентном приеме ФМ-2 может быть представлена в виде

РЬ/е (кЬс, р) = GBPSK (р) + я/ 2

1 I Q(cosфл/2hbc )exp(pcosф)

^0 (p) J0 [ V )

^sintyyj2hbc jexp(—p sinф)

dф. (7б)

Рассмотрим предельный случай, используя (7а). При р ^ да ю(ф - ф0) = 5(ф - ф0), поэтому Иш GBPSK (р) = 0, так как ф0 х = 0, ф0 2 = -п/2 и

р^ТО

ь

Г f (х)5(х — Хо )dx =

а

0, х0 < а V х0 > Ь,

1/2 f (хо), Хо = а V Хо = Ь, f (х0), а < х0 < Ь.

Следовательно, в канале связи без фазовой ошибки получаем известную формулу для вероятности ошибки когерентного приема ФМ-2 [1, 2]

(hi, p) = qU2h

hbc

Если р = 0, то при любом отношении сигнал/ шум Ньс справедливо рь/е{Ььс’ °) = GBPSK(°) = °>5-

При Ъьс ^ 0 и произвольных значениях р

V 2/

Pi

\je (0, р) = /|ю(ф) + Ю

п ф + 2

Если использовать третий подход, то вероятность ошибки будет определяться выражением

Pbe (h-bc, р) =

= —-1 ( q(\cosq\J2hbc )exp(pcosф)dф. (8)

(PK V )

Абсолютная погрешность от этого приближения может быть определена как

4hbc. р) = Pb/e (hbc. р) - Pb/e (hbc. р) =

= 2

я/2

I erf(sin ^h f 2;;0 ;Р7'd^

^2 \вхр(-р81пф) (

1Ьс) 2к10 (р) ‘

где ег^х) = -^= Гехр(—— интеграл вероят-

0

ностей: ег^х) = 1 — Q(>J2xj. Относительная погрешность определяется выражением

/ 2 \ РЬ/е(^Ъс’ р)_РЬ/е(^Ъс’ Р^

Ц^Ъс’ Р]= \ •

у ' Ръ1е(ь1’ р)

Несложно видеть, что, так как |ег^х)| < 1, то р)< Иш г(нЬс, р) = е*(р),

где

л/ 2

е (р) = G

BPSK

(р)=2 /

exp (— psin ф) 2nIo(p)

dф.

Следует заметить, что принципиальное отличие между (6) и (8) заключается в том, что при использовании первой формулы существует предел вероятности ошибки, который не может быть улучшен. А именно, так как GBpSK (р) =

— jim Pb/e{^bc, р)> то Pb/e(hbc’ р)> GBPSK (р) для

hbc

любых отношений сигнал/шум НЪс. В частности, GBPSK(0) = 0,5, GBPgK(10) = 1,14321 • 10-5, GBpSк(Щ = 2,235743 • GBPSK(32) = 1,780924 х

х 10-1*5 и в общем случае Иш GBpSK (р) = 0. В то же

р^ТО

время, применяя (8), получаем Иш Р^е^Ьс, р^= 0 для любых р. кЬс

В результате громоздких, но несложных преобразований, используя представление функции Лапласа через функцию Оуэна [6] и интегральное представление функции Бесселя [7, 8], формулу (8) можно представить в виде ряда

Pb

ь/,

,(hl, р) = qU2h

h2c

( ,2 exp( ~h2c

4k2I0 (p

CO 1

V -1 г

^m!

m=1 m—1

l

m H— 2

Im (2 h2 )' P

E ck

m—1

k=0

h2

h2c

k+-

(9а)

где Г(х) — гамма-функция:

0

0

l

г

= ^k(2k-1)!!, Cm-1 =—(m 1} 1 ,

2k k 1(m - k-1) 1

(2 k-1)!! = 1 - 3-...(2 k-1).

Следовательно, выражение (9а) можно переписать в виде

Pi

v<

■i^bc, р) — Qyj2h

bc

4n2 Io(p)

m=1

m—1

■ E cm -іг

k=0

k+22

2

hi)

m—k—

(9б)

Если в формулах (9) ограничиться только первым членом ряда, то при малых значениях И^с

Рь Jh,

b/Ahbc

=QCj 2hi

4V^p110((Pf)^Ajh2CЄХР( hhc)'

Если р >> 1 (фактически при р > 10), то /1(р) = /0(р), и тогда приближенная формула не будет содержать специальных функций:

1

b/e\hbc

ip^ = Qy\j Щ

4 p*Jn

hbc exp(—hbc

Для вычисления по (6) можно использовать соотношения (9), учитывая погрешность ^{кЬс, р^. В частности, последняя формула может быть представлена в виде

Pbu\h

b/e\hbc

р^ = Q(yj 2h\

4^^с exP (-^c )+ Є (hbc» p)

1

■ Таблица 1. Относительная погрешность b(h^c, p

p hbc, дБ

0 3 6 10 12

10 1,422E-5 5,898E-5 5,24E-4 0,022 0,075

16 1,836E-8 2,214E-9 9,148E-7 2,251E-4 4,042E-3

32 7,651E-16 3,6E-15 4,559E-14 3,091E-11 9,772E-9

100 4,197E-46 2,029E-45 2,73E-44 2,427E-41 1,42E-38

Относительная погрешность Ь\Нъс, от ис-

пользования вместо (6) формулы (8) представлена в табл. 1.

2

Отношение сигнал/шум hbc в канале связи (табл. 2) необходимо для расчетов энергетического проигрыша, результаты которых показывают, например, что если ошибки находятся в интервале от 10-3 до 10-9, то при р = 20 дБ (СКО оф = = 0,106 рад или 6,056°) энергетический проигрыш составляет величину всего лишь порядка 0,05 дБ, при р = 15 дБ (СКО оф = 0,178 рад или 10,21°) — порядка 0,2-0,5 дБ, в то же время при р = 10 дБ (СКО оф = 0,325 рад или 18,624°) энергетический проигрыш изменяется приблизительно от 1 дБ (при P* = 10-3) до 2 дБ (при р* = 10-4). При малых значениях вероятности ошибки P < 10-5 и р = 10 дБ ни при каких значениях отношения сигнал/шум эти величины не достигаются. Таким образом, при р <12 дБ (СКО оф = = 0,254 рад или 14,563°) происходит существенное ухудшение помехоустойчивости приема, особенно заметное при малых значениях вероятности ошибки.

Канал связи с замираниями и с фазовой ошибкой. Для канала связи с общими замираниями в соотношении (6) могут быть использованы либо (7), либо бесконечный ряд (9). Усреднение функции Гаусса можно осуществить, используя H-функцию или S-функцию, но в случае применения бесконечного ряда (9) появляются еще

■ Таблица 2. Необходимое отношение сигнал/шум h2c в канале связи

p P*

10 -3 10 -4 10-5 10 -6 10 -7 10 -8 10 -9

p ^ ю (Аф = 0) 6,789523 8,398262 9,587858 10,529832 11,308660 11,972055 12,54955

p = 100* (20 дБ) 6,835405 8,445249 9,636046 10,579320 11,359560 12,024487 12,603653

p = 32** (= 15 дБ) 6,953410 8,578710 9,790483 10,763611 11,589227 12,329207 13,045206

p = 16** (« 12 дБ) 7,210879 8,966462 10,489217 12,402847 16,341827 - -

p = 10 (10 дБ) 7,812869 10,802819 - - - - -

Примечания: Знаком «-» отмечены те поля, в которых не существует значений , при которых могут быть достигнуты

требуемые вероятности ошибок. * Расчеты проведены по формуле (5) при ф = 0 (без фазовой ошибки). ** Расчеты проведены по формулам (6), (7) с фазовой ошибкой, распределенной по закону Тихонова.

и гипергеометрические функции, поэтому такой подход не рационален. Его преимущество состоит лишь в том, что можно проанализировать формулу для вероятности ошибки, сравнив ее с формулой, полученной для идеального когерентного приема, и оценить полученную погрешность аналитически.

Для усреднения соотношения (6) перепишем его в виде

I

Р/е^Ъс’ р) =

J Q(cosф^/а2ц2 |ю(ф)гїф

ю(|л.^|л., (10а)

2 2^с

где а =——; ю(ф) — плотность распределения

т2

Тихонова, ю(ф) = ю(-ф). Используя (7а) и Н-функцию для замираний Райса—Накагами, получаем, что в канале с замираниями и фазовой ошибкой вероятность ошибки

РЬ/е(Ьъс’Р) — GBPSK (р) +

я/ 2

+ 4^[ю(ф)Н^(«сЬ2сф], Ь[Ньс,ф], +^>)-0

Нр(г3 \ь1с, ф], Ъа \ь1с, ф], + то^ф, (10б)

- ю где

п Ф + 2

г 2 1 У [ 2 1

^в,С |^Ъс» Ф| Ь3,С \^Ъс, ф| ;

Ь \ь2 Ф1 2^ЬсеоБ Ф .

Ьс\'гЬс ’ ф I л 2 2 г..

1 1 \2Ььс еов ф + т^Р

2к1с віп2 ф 2к^с віп2 ф + т2в

В частности, для релеевских замираний (р = 1)

^з,с \^Ьс ’ ф| 0;

Ъ \ъ2 Ф1 віп2 Ф .

Ъ \''Ъс ’ ФI Л 2 .2 .

1 1 \ 1 +'Ъс 8ІП Ф

1 + ИЪ, ООБ2 ф

для райсовских замираний ^ = 1)

zs,c \^Ъс ’ ф| ^12У0 Ъ'<,С \^Ъс’ ф|;

Ъs \ НЪс ’ ф I <

Ъс I ^Ъс ’ ф I і

НЪс віп2 Ф

1 + У О + НЪс зіп2 Ф

I НЪс с°2 Ф ,

1 + У О + ^Ъс с°^ Ф

2 2/2

где у о = Цо/ 2а — глубина замираний. Рассмотрим предельный случай и получим формулу для вероятности ошибки при отсутствии фазовой ошибки (р ^ го) и замираниях Райса—Накагами. Очевидно, что ю(ф - ф0) = 5(ф - ф0), Иш GBPSK (р) = 0,

и так как ф0 1 = 0, ф0 2 = -п/2, то

ъЬЛ= Ііт РыАЫ

Ь/еуьс

\[е{Ьъс ’ Р^

У 2ЬІс 2 Ььс °с 1 пп

2^Ьс + т2$ \ 2 , 1 2^с + т2Р

= 2Нр

В частности, для релеевских замираний 1-Ь

, Ь, +то) = -

4

[6], следовательно, после про-

стейших преобразований получаем, что

я/ 2

РЪ/е {ЬЬс, р) = 2 + / Х

ш

п

Ф + 2

I 2 2

Ъ,Ьс БІП ф

1 + Н^С БІП2 ф

- ю(ф).

Н^С СОБ2 ф

1 + Ъ%С СОБ2 ф I

dф.

При отсутствии фазовой ошибки (р ^ да, ю(ф) = 5(ф)) получаем известную формулу вероятности ошибки в канале с релеевскими замираниями [1, 2]

РЬ1е{^Ьо\ — ~

1-,

ъ2

ъЬс

Ьс

1

1

2 1 + ЪЬс + VЪЪс + ЪЬс

Соответствующее выражение для вероятности ошибки может быть легко получено и для четырехпараметрических замираний, если воспользоваться определением ^-функции.

Анализ вероятности ошибки когерентного приема сигналов АФМ-2

Обобщим предыдущий материал по нескольким пунктам: энергии сигналов, угол между ними произвольный (т. е. рассматриваем произвольное расположение двух с разной энергией сигналов в двумерном пространстве) и вероятности их передачи также произвольны.

Пусть для передачи информации используются два сигнала в общем случае с различной энергией: Яо = 4Е0У о М, М*) = 4Е(*), где ^0(г),

0

0

ИНФОРМАЦИОННЫЕ КАНАЛЫ И СРЕДЫ

у^) — нормированные функции, ||у0(£)|| = ^(ОЦ = = 1, с произвольным углом между ними, т. е. коэффициент неортогональности у = cosф01 = (у0(£), ^1(#)). Предположим, что сигнал в0(£) передается с вероятностью p, а сигнал в1(#) — с вероятностью (1 - p). Без ограничения общности можно считать, что p е [0, 1/2]. Расстояние между двумя сигналами может быть определено по формуле

^ = \/Е01 =л1 Ео + Е1 — 2УЕо Е1 •

В этой системе сигналов максимальная энергия = тах(£0, £1), средняя энергия = pE0 +

+ (1 - p)E1, а квадрат пик-фактора сигнала

п2 = шах(Ео, Е1 р(Ео — Е1) + Е1 Пусть E0 Ф 0, и введем коэффициент пропорциональности энергий х2 = E1/E0, тогда E1 = х2E0^ Следовательно:

нЪт _ тах(1, X2 )Н0,

Ьъс _ (р +— р)%2 )Ло,

где _ Е0/ N0.

фактора

Соответственно, квадрат пик-

П2 (X) = тах(1, х >2.

р+(1—р)%

Если E0 = 0, то Em = E1, Ec = (1 - p)E1 и, следовательно, = (1- р)И2т и квадрат пик-фактора П2 = 1/(1 -p) е [1, 2].

При использовании критерия ттРе вероятность ошибки на символ при отсутствии фазовой ошибки определяется как [9, 10]

Ре _ рЯ

d — 2А

+(1 — р)Я

d + 2А

N0 1 — р 2 Ео1

где А _—— ІП---. Введем величину «01 _— ,

2d р 2Ыо

тогда вероятность ошибки может быть представлена в виде

№оі> Р} = РЯ

(1- Р)Я

h01 _

^/h01

где А _11п -—— > 0. Если в канале связи обрыв, 2 Р

т. е. Й01 ^ о, тогда Ііт р) = р є[0,1/2].

*01^0

Пусть /г2 _ , тогда

^01 —

Е,

01

0N0 0

В работе [10] приведено решение задачи минимизации Ре (го1, р) как функции от величин E0, E1 при фиксированной средней энергии Ec = pE0 + (1 - p)E1. Очевидно, что ограничение на переменные представляет собой эллипс: рЬ0 +(1 — р)/г2 = Ec/No. Приведем другой вариант решения данной задачи, основанный на методе множителей Лагранжа. Функция Лагранжа представляет собой выражение

L(h0, h1, X) = рЯ

Vh0l (h0, Щ)'

^°1"^о7й1)

(1- р)Я

■\jh0i (hо, hl) +-

■\jhoi (Но, к;)

+ X (,рНо +(1_ Р)Н1 _ Ес/^о)-

Дифференцируя функцию Лагранжа по переменным к0, Л1 и приравнивая производные нулю, получаем, что должно выполняться условие

рЬ,о (hl — Уhо) = (1— p)hl (ho — У^ )•

Если к0 = 0, то при к1 Ф 0 должно выполняться условие к0 - уЛ1 = 0 или у = 0 (сигналы ортогональны). Тогда E0 = 0, E1 = Ec/(1 - p) и E01 = = Ec/(1 - p). Если p = 0,5, то этому условию удовлетворяют и ортогональные сигналы (у = 0) с равной энергией: E0 = E1, но при этом E01 = Ec. Аналогично при к1 = 0 и к0 Ф 0 должно выполняться условие к1 - ук0 = 0 или у = 0 (сигналы ортогональны). Соответственно, тогда E1 = 0, ^ = ^р и ^ = ^р.

Если к0 Ф 0 и к1 Ф 0, то данное условие можно представить в виде квадратного уравнения

(1 — Р) УХ2 — (1 — 2 р)Х — УР = 0,

где х2 = E1/E0. Решая квадратное уравнение, получаем, что дискриминант уравнения равен (2р - 1)2 + 4ру2(1 - р) = 1 - 4р(1 - р)(1 - у2) и положительные решения уравнения имеют вид

Хі _-

2у (1 — р)

(2 р — 1) + л11 —4р(1 —р)(1 —у2)

у < 0

%2 = X , [—(2Р — 1) + 71 — 4р(1 —\)(1 — у2)

2у (1 — Р)

у > 0.

Только при у < 0 вероятность ошибки достигает минимума, т. е. х,^ = Х1. Следователь-

Е

но E1,opt = %0р^О,орЬ где E0,opt =--------„ С ч 2 ■

Р + (1 — popt

и

В статье [10] приведены другие выражения для оптимальных значений энергий при у < 0, что соответствует ф01 е [п/2, п]:

Е = Е 1

E0,opt = 1

1-2 p

F = E

F1,opt =

2p д/l- 4 p(1- p)(1

1-2 p

- Y 2)

1-

2(1 — p) >/l-4 p(1-p)(1-Y 2)

Определим вероятность символьной (битовой) ошибки при наличии фазовой ошибки. Предположим, что E0, E1 Ф 0, тогда при сдвиге сигналов на угол ф «расстояния» (эти величины могут быть и отрицательными) до границы областей принятия решения будут определяться как

й 3

йо = ^ — А + ьо; 31 = 2 + ^ — ^1’

где

Ъе = 2 sin

• Ф Ее

2 уЩёп

b1 = 2 sinф El

2VE

01

І Ее IE о

sin

sin

Феї

ф01

Ф

— Sin — 2

ф

- Sin — 2

Тогда Pe = PQ

d - 2A + 2 bn

+(1—p)Q

d + 2A - 2b1

V2N

После несложных преобразований формула для вероятности ошибки при неравновероятной передаче сигналов с различной энергией и фиксированной фазовой ошибкой может быть представлена в виде

Pe(hbc, P, ф) = PQ (1 + и(Ъ Y, Ф)^д/2І(%Гр,У)^їс Л + (1 - p)Q[(1 - v(x, 1, Ф))>

А

V2g(%, P, Y )h|

Y)hb!

где hoi = 2g(x, p, у)h2 и

Х sin

ф01

• Ф — Sin —

2

v(x, Y, Ф) = 4x sin

sin

ф01

+ X sin

Ф

1-2YX + X 1

1-2YX + X'

2 ’

. . 1 1- 2yy + х2

g(X, P, Y) = --

4 P + (1-P)X

При обрыве канала связи (hbc ^ 0 и идеальном когерентном приеме получаем lim Pe х

hlc ^0

X (hbc, p, ф) = p. Для усреднения вероятности ошибки при случайном характере фазовой ошибки вероятность ошибки определяется по (2). Аналитическое выражение получается в этом случае громоздким, поэтому ограничимся рассмотрением частных случаев.

А. Сигнал АМ-2 (ASK, ООК). Пусть Е0 = 0,

E1 ф 0, тогда b0 = 0 и = 2sin2 • Максималь-

ная энергия Em = E1, средняя энергия Ec = (1 - p) х

о 2

х E1, следовательно, hbc = (1 — p)hbm и квадрат пик-фактора П2 = 1/(1 - р) е [1, 2].

Тогда при фиксированной фазовой ошибке вероятность ошибочного приема

, (hbc, p, ф)= pQ

1 hbc V2 ^ A hbc —V2'

[2(1 — p) [2(1-p)

+(1 — p)Q

(2 cos ф — 1)

h2

hbc

2(1- P)

V2

+ A

h2

nbc

2(1- —

-V2

Эта формула может быть формально получена из общей формулы, если учесть, что в этом случае х2 ^ ^ и, соответственно:

lim u(x, р, ф) = 0;

Х^то

lim v(x, р, ф) = 4 sin2 (ф/2);

Х^то

lim g(x, p, р) = g = 1 .

Х^то 4(1 — p)

Средняя вероятность ошибки принимает значения

, (hI, P, р)= PQ

J2gh£c

(1-р) f Q

(2 cos ф -1 )y[2gh[c

y[2ghbc

А

\]2ghi

ю(ф^ф.

В результате, используя соотношение

f Q(a cos ф + Ь)ю(ф^ф =

= 2

— 2

ф

2

— 2

— 2

f ffl ф + — dф + f Q(asinф — b)ffl)

/ —

Q(a sin ф + b)ra ф---сіф ,

I 2

о .

после несложных преобразований получаем

п

—

pe[hbc, p,p)=gook (Р,Р)+PQ

к/ 2

<j2ghic

+2(1-p)

IQ

(2sin9+1 )yj 2ght

2 A

bc '

42ghbc

л)

w г2

Дф+

nf 2

- f Q

к/ 6

Kj 6 -fQ

0

(2sin9-1^ 2ght

2 , ^ bc

yj2ghbc

(1-2sin^)^2ghl

2 A

bc '

42ghbc

ffl

Ю

n

Ф— 2

n

Ф— 2

d9—

d9,

где

gook (p,p) = 2(1 — p)

П 2

J И ф + П(1ф + J и

П 6

ф— 2

dф

gook (p, °) = з(1 — p)-

Рассмотрим предельные случаи. Если hbc ^ то, то lim pe(h£c’ Р> р) = gook(Р’ P)- При p ^ ^ ю x

hbc

X (ф - ф0) = 8(ф - Ф0), поэтому

lim gqqK (p, p) =

p^TO

' %/2 ( \ П6 / \ '

= 2(1 — p) J sL + 2 dф + J б|ф — П dф = 0.

о о ^

Отсюда следует, что

lim pe \hbc, p, p) =

= pQ

^2ghbc

-izghbc

(1 - p)Q

^Zghbc

V2ghbc

Это выражение совпадает с формулой, полученной для вероятности ошибки при идеальном когерентном приеме сигналов АФМ-2. При обрыве канала связи (hbc ^ 0) и идеальном когерентном приеме lim Pe (0, p, р) = p.

р^то

Симметричный вариант получаем, если Е0 ф 0, E1 = 0, тогда максимальная энергия Em = E2, средняя энергия Ec = pE0, следовательно, hbc = phbm и квадрат пик-фактора П2 = 1/р е [2, ^).

Поскольку х2 = 0, то

lim u(x, у, ф) = —4sin2(ф/2);

Х^то

lim v(x, Y, ф) = 0;

Х^то

lim g(x, p, p) = g = — Х^то 4 p

Pehc, P, ф)= PQ (2 cos Ф -1)^2gh

4 2 ghbc

\l2 ghbc

(1- p)Q

Если р = 0,5, то А = 0, при E0 = 0, E1 Ф 0 вероятность ошибки при приеме сигналов АМ-2

Pe {hbc, р) — gook (Р) + ~2ghbc к/ 2

J Qn2sin ф +1)42ghx

. о

к/ 2

Ъс I®

П

Ф + 2

J Q^(2sin ф -1)42gh

к/ 6

я/6 _______

J q[(1- 2 sin Ф)42ghbc

Ъс I®

ю

п

ф— 2

п/ 2

где Gook (р) = J ® Ф + 2 + J ю

о

п Ф + 2

п/ 6

Ф -

dф + dф — dф

dф.

Б. Сигнал ФМ-2 (BPSK) с неравновероятной передачей. В этом случае х2 = 1 и у = -1, так как угол между сигналами ф01 = п. Тогда

2 ф

u(X, Y, ф) = —2sin 2;

2 Ш

v(X, Y, ф) = 2sin 2;

g(X, Р, Y) = g = 1-

Следовательно, при фиксированной фазовой ошибке вероятность ошибки

Pe ihbc’ P’ ф)= pQcos

2hbc

(1- p)Q

cos ф^2^

<j2ht

Средняя вероятность ошибки может быть получена усреднением по ф. В результате несложных преобразований получаем

и

0

2

0

к/ 2

Pe {hbe, p, р) — GBPSK (Р) + 2 J и(ф, p, p)Q sin ф^

2 , A

be

V2h

V(ф, p, p)Q sinфд/2^

2 A

be

V2h

dф,

где GBpsк(p) не зависит от априорной вероятности р и совпадает с величиной, полученной для ФМ-2 при р = 0,5, т. е.

V 2 , X V 2

GBPSK (р) = 2 / ш!ф + ПJdф = 1-2^ ю(ф^ф 0 0

U(ф, p, р) = (1- р)ю V(ф, p, р) = рю ф--

п

ф---

2

- рю

- (1- р)ю

п

ф + 2

п

ф + 2

При этом и(ф, p, p) + V(ф, p, р) = ю

- ю

п

Ф + 2

U(ф, p, p) - V(ф, p, р) = (2p -1)

Если p = 0,5, то U

А = 0 и

п п і

tt ф— 2 і - tt ф + 2 I

1 і і п п 1

ф’ 2 ’р = V ф, 2,р = 2 ю ф 2 і - ю ф+21

hbc» 1 > Р

= G

BPSK

(Р)-

л л' J ■ 1

ю ф — 2, - ю ф+2, Qlsin фу

V 2f

’■I

0

Это выражение отличается от (7), и на его основе можно получить другие соотношения, например в канале с общими замираниями. Если учесть, что

1

ю

- ю

п

ф + 2

-sh(p sin ф),

п1о (р)

то можно формулу для вероятности ошибки представить в виде

hbc >2 ’ Р

= G

BPSK

(р)-

к/ 2

J sh(psinф)ф^тфл/2^С"^ф.

nI0 (р) о

В. Сигнал ЧМ-2 (FSK) с неравновероятной передачей. В этом случае %2 = 1 и у = 0, так как сигналы перпендикулярны (ф01 = п/2). Тогда

u(X, Y, ф) = 2вт(ф/2) [cos^/2) - sin^/2)] =

= sin ф + cos ф — 1;

v(X, У, ф) = 2sin^/2)[cos^/ 2) + sin^/2)] =

= sin ф — cos ф +1;

g(X, P, P) = g = 0,5.

Следовательно, при фиксированной фазовой ошибке вероятность ошибки

Pe \hbc > P’ ф) = PQ

-(1- p)Q

і

2hbc -

cos

л

Ф + 4

V2h

2 , А

'Ьс

Средняя вероятность ошибки, а также частные случаи из этой формулы могут быть получены аналогично предыдущим выкладкам.

Если р = 0,5, то

21

hbc’2’ф

Q

sin

п

Ф + 4

V2h

Q

cos

4

Ф+Ф

В результате несложных преобразований получаем, что средняя вероятность ошибки

Pe (hbc, р)— gfsk (Р) +

я/ 4

J U (ф, p) q( sin (pyj2hbc j + V (ф, p) q( cos ф^/і

\2hlc

где

п/ 4

0

GFSK(p) = J j® и(ф, p) = tt

Гп

ф - T

-tt

п

ф+4

+ 2ю

Гп

ф+т

dф,

Зп

ф - т

tt

п

ф - 4

-ю

п

ф + 4

- tt

Зп)

Ф + ТГ

Зл л л со і

и ф - Т + и ф - 4 + и ф+4 -и -ф + ^ 1

2

и

0

Таким образом, в данной статье показано, что зависимость вероятности ошибки от фазовой ошибки носит существенно нелинейный характер и, начиная с некоторого порогового значения, дальнейшее увеличение отношения сигнал/шум не приводит к повышению помехоустойчивости. Следовательно, имеется своеобразный эффект энергетического насыщения, после которого уже нецелесообразно дальнейшее повышение энергетики и необходимы другие методы борьбы с этим эффектом.

Приложение. Матрица преобразования координат. Определим условия ортогональности преобразования, заданного матрицей

Ч'(ф) =

cos ф §21 sin ф ... 8 N1 sin ф

—§21 sinф cosф ... 8N2 sinф

—5N1 sinф —5N2 sinф

cos ф

Очевидно, что при ф = 0 матрица преобразования совпадает с единичной матрицей: Y(0) = E. В дальнейшем предполагаем, что ф Ф 0. В общем случае матрица Т(ф) представляет собой сумму диагональной матрицы D = cosфE и кососимметрической матрицы Ф(ф) = 8тф*Р(гс/2): ¥(ф) = D + + Ф(ф). Условие ортогональности преобразования означает, что должно выполняться тождество ^(ф)Тг(ф) = ^(фЩф) = E или

[D + Ф (ф)]т [D + <1> (ф)] = cos2 фЕ + Фт (ф)Ф(ф) = Е,

так как по определению Ф(ф) + Фг(ф) = 0. Следовательно, условие ортогональности можно преобразовать к виду Фг(ф)Ф(ф) = sin^E. Это условие можно переписать в виде ^г(п/2)'¥(п/2) = E. В частности, отсюда следует, что должно быть справедливо соотношение det¥(rc/2) = ±1, т. е. модуль определителя кососимметрической матрицы должен быть равен единице (следовательно, условие ортогональности det¥^) = ±1 свели к условию det¥(rc/2) = ±1, где элементы матрицы не зависят от ф). Формализуем это условие. Известно, что определитель кососимметрической матрицы нечетного порядка равен нулю (матрица является особой), а четного порядка может быть представлен в виде квадрата некоторого многочлена от элементов матрицы. Этот многочлен называется пфаффиан. Термин был введен Артуром Кэли, а свое название данный многочлен получил в честь немецкого математика Йохана Фридриха Пфаффа. Следовательно, условие ортогональности может быть преобразовано к виду det¥(n/2) = Pf2[Y(n/2)] = 1 или Pf[¥(n/2)] = ±1. В матричном виде это условие выглядит следующим образом:

Pf2 [¥(я/ 2)]= det

О б 21

-б 21 О

б N1 б N2

-б N1 -б N2 ••• О

В частности, при N = 2 получаем, что должно выполняться условие Р£[¥(п/ 2) ]= 5 21 =±1, а при N > 4 Р^¥(тс/2)] = 521543 — 5з1542 + §32541 =±1. Это тождество будет выполняться, например, если выполнены условия 5 21 В 43 =±1, В 31 В 42 = 0,

5 32 5 41 = 0. Все предыдущие выкладки были сделаны в предположении, что на элементы матрицы не накладывались ограничения. Итак, получили условия ортогональности в виде равенства пфаффиана РГ[¥(тс/2)] = ±1 и равносильного ему равенства det¥(тс/2) = 1.

Таким образом, чтобы проверить ортогональность преобразований необходимо:

а) для фиксированной базисной системы {уу(£)}, у = 1, N вычислить преобразования Гильберта: (¥ V (*)}’ V = 1, N

б) вычислить элементы матрицы — скалярные произведения 5ц-у, V, ц = 1, N:

т

V = (^ц ) = / Уц (*)¥у

0

V, ц = 1, N

в) проверить выполнение тождества РГ[¥(тс/2)] = = ±1. Если это условие выполняется, то преобразования координат — ортогональные, в противном случае — нет.

Нетрудно убедиться, что если заданы базисные функции {уу(£)}, V = 1, N и для них, в частности, выполняется условие

§ 1^ = §

где

ц+1 V+1 , V, Ц

2 2

— символ Кронекера и [x] = ent(x) — целая часть числа x, то матрица преобразования будет ортогональной. Эти условия означают, что преобразования Гильберта от базисных функций должны удовлетворять условию \|/v = Yv+1> ¥V+1 = —Vv, где v — нечетно. Эти условия будут выполняться, если в качестве базисных функций выбрать, например, ортонормированную систему

sin ravt, cos ravtj, v = 1, N/2. Другие при-

меры ортонормированного базиса, удовлетворяющего данным условиям, можно найти в работе [11].

Литература

1. Прокис Дж. Цифровая связь: Пер. с англ. / Под ред. Д. Д. Кловского. — М.: Радио и связь. 2000. — 800 с.

2. Скляр Б. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение: Пер. с англ. — М.: Вильямс, 2003. — 1104 с.

3. Коржик В. и. Расширенное преобразование Гильберта и его применение в теории сигналов // Проблемы передачи информации. 1969. Т. 5. Вып. 4. С. 3-18.

4. Тихонов В. и., Миронов М. А. Марковские процессы. — М.: Сов. радио, 1977. — 488 с.

5. Савищенко Н. В. Помехоустойчивость модемов с двумерными сигнальными конструкциями по точным формулам вероятности ошибки в канале без замираний и с общими четырехпараметрическими замираниями // Информационно-управля-ющие системы. 2007. № 4. С. 44-54.

6. Савищенко Н. В. Многомерные сигнальные конструкции: их частотная эффективность и помехоустойчивость приема: Монография / Под ред.

Д. Л. Бураченко. — СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2005. — 420 с.

7. Справочник по специальным функциям / Под ред. А. Абрамовица и И. Стиган. — М.: Наука, 1979. — 832 с.

8. Попов Б. А., Теслер Г. С. Вычисление функций на ЭВМ: Справочник. — Киев: Наук. думка, 1984. — 600 с.

9. Возенкрафт Дж., Джекобс и. Теоретические основы техники связи: Пер. с англ. / Под ред. Р. Л. До-брушина. — М.: Мир, 1969. — 640 с.

10. Israel Korn, John P. Fonseka, Shaohui Xing. Optimal binary communication with nonequal probabilities // IEEE Transactions on communications. Sep. 2003. Vol. 51. N 9. P. 1435-1438.

11. Витерби А. Д., Омура Д. К. Принципы цифровой связи и кодирования: Пер. с англ. / Под ред. Зиган-гирова. — М.: Радио и связь, 1982. — 536 с.

уважаемые читатели!

Журнал «Информационно-управляющие системы» выходит каждые два месяца. Стоимость годовой подписки (6 номеров) для подписчиков России — 3600 руб., для зарубежных подписчиков — 4200 руб., включая НДС 18 % и почтовые расходы.

На электронную версию нашего журнала вы можете подписаться на сайте РУНЭБ (http://www.elibrary.ru). Подписку на печатную версию журнала можно оформить в любом отделении связи по каталогам:

«Роспечать»: № 48060 — годовой индекс, № 15385 — полугодовой индекс;

«Пресса России» — № 42476, а также используя услуги посредников:

«Издательский дом «Экономическая газета»:

Москва, тел.: (499) 152-88-51, 661-20-30, e-mail: [email protected], [email protected];

« Северо-Западное Агентство «Прессинформ » »:

Санкт-Петрбург, тел.: (812) 335-97-51, 337-23-05, факс: (812) 337-16-27, e-mail: [email protected], [email protected], сайт: http://www.pinform.spb.ru;

Подписное агентство «МК-Периодика» (РФ + 90 стран): тел.: (495) 681-91-37, 681-87-47, факс: (495) 681-37-98, e-mail: [email protected], сайт: http://www.periodicals.ru;

«Информнаука» (РФ + ближнее и дальнее зарубежье):

тел.: (495) 787-38-73 (многоканальный), факс: (495) 152-54-81, e-mail: [email protected], сайт: http://www.informnauka.com;

«Артос-Гал»:

Москва, тел.: (495) 603-27-28, 603-27-33, 603-27-34, факс: (495) 603-27-28, сайт: http://www.artos-gal.mpi.ru/index.html;

«Интерпочта»:

Москва, тел.: (495) 500-00-60, 580-95-80,

e-mail: [email protected], сайт: http://www.interpochta.ru;

Краснодар, тел.: (861) 210-90-00, 210-90-01, 210-90-55, 210-90-56, e-mail: [email protected]; Новороссийск, тел.: (8617) 67-04-74;

«Коммерсант-Курьер»:

Казань, тел.: (843) 291-09-99, 291-09-47, факс: (843) 291-09-47, e-mail: [email protected], сайт: http://www.komcur.ru/contacts/kazan/;

«Урал-Пресс» (филиалы в 40 городах РФ): сайт: http://www.ural-press.ru;

«ИнфоЦентр»: сайт: http://www.exponet.ru;

«SetBook»: сайт: http://www.setbook.ru и др.