Ползучесть и долговечность стержня, взаимодействующего с жидким натрием Текст научной статьи по специальности «Физика»

В. В. Кабанин, Л. С. Согоцьян, И. Г.Овчинников

ПОЛЗУЧЕСТЬ И ДОЛГОВЕЧНОСТЬ СТЕРЖНЯ,

ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩЕГО С ЖИДКИМ НАТРИЕМ

Предложена математическая модель, описывающая ползучесть и длительную прочность сталей перлитного класса с агрессивной средой — жидким натрием. В качестве базовой теории использовались кинетические уравнения Ю.Н. Работнова. В совокупности с уравнениями диффузии, описывающими кинетику механических характеристик материала, предложен устойчивый численный алгоритм решения задачи. Приведены результаты расчета напряженно-деформированного состояния стержня в жидком натрии. Выполнена проверка адекватности расчетной модели экспериментальным данным.

1. Рассмотрим основные соотношения математической модели, описывающей взаимодействие сталей перлитного класса с жидким натрием. При построении модели была принята следующая упрощенная картина явлений, протекающих при работе конструктивного элемента в жидком натрии. При одновременном присутствии элементов из аустенитных и перлитных сталей в контуре системы перлитные стали постепенно обезуглероживаются, в результате чего содержание углерода в конструктивном элементе с течением времени изменяется, уменьшаясь по направлению к поверхности, контактирующей с натрием. Если элемент конструкции находится в напряженном состоянии, то в нем протекают процессы ползучести, релаксации и накопления повреждений. Обезуглероживание сильно влияет на кинетику этих процессов, ускоряя их. В случае, когда элемент конструкции находится в горячей зоне контура, имеет место термический перенос массы, приводящий к разрыхлению поверхности и уменьшению толщины элемента. Такая упрощенная физическая модель позволяет воспользоваться для построения математической модели методами механики сплошной среды, в частности, теорией структурных параметров Ю. Н. Работнова [1]. При этом состояние и поведение моделей будет характеризоваться не только механическими, но и физико-химическими параметрами. В систему определяющих параметров включены: напряжение о, деформация е, температура Т, параметр повреж-денности П, а также дополнительный параметр, характеризующий интенсивность воздействия жидкометаллической среды на характеристики ползучести и длительной прочности в различных точках по толщине конструктивного элемента. Эксперименты свидетельствуют, что изменение указанных характеристик коррелирует с изменением концентрации углерода, поэтому в качестве дополнительного параметра оказалось возможным принять концентрацию С углерода в точке конструкции. Закон распределения концентрации углерода по объему конструктивного элемента находится из решения уравнения диффузии. Причем коэффициент диффузии углерода О в материале может зависеть от уровня напряжений, поврежденности и температуры в рассматриваемой точке.

При построении модели были учтены следующие эффекты [2]: а) обезуглероживание приводит к ускорению ползучести; б) на кривых ползучести могут наблюдаться все три стадии ползучести (неустановившаяся, установившаяся и ускоренная); в) обезуглероживание приводит к увеличению деформации при разрушении для одного и того же уровня напряжений; г) увеличение уровня напряжений снижает эффект увеличения скорости ползучести от обезуглероживания; д) допускается, что обезуглероживание приводит к смещению и повороту кривых р* (о), где р* — предельная деформация ползучести; е) обезуглероживание приводит к значительному сокращению долговечности; ж) допускается, что обезуглероживание приводит к параллельному смещению кривых длительной прочности в логарифмических координатах.

При описании поведения материала с учетом влияния обезуглероживания полагалось, что полная деформация е складывается из упругой и деформации ползучести р:

где Е(С) — модуль упругости, величина которого зависит от содержания углерода в материале. Уравнения ползучести принимались в виде, описывающем все три стадии ползучести:

£ = о/ Е + р,

(1)

(2)

Здесь tp — время до разрушения; A, a, k, B, n, S, ц — коэффициенты; П — параметр повреж-денности.

Влияние обезуглероживания на кинетику деформирования и разрушения учитывалось зависимостью коэффициентов уравнений (2) и (3) от концентрации углерода. В дальнейшем в работе детально исследовался случай кинетических уравнений (2), (3) при m=1. Тогда интегрированием (2) и (3) при значениях коэффициентов, соответствующих определенному уровню С и а = const, получается уравнение ползучести

Р =

A(a +1) S

k -

/

1 -

1 - B(n + S + 1)ant)

(4)

1

В(п + 5 +1 - к) и уравнение накопления повреждений

П = 1 -(1 - В • (п + 5 +1) • оп • /)п+5+1. (5)

Подставляя условия р(?р) = р* и П(/р) = 1 в (4) и (5), получим уравнение кривой длительной прочности

tp = 1/(В(п + 5 + 1)оп) (6)

и зависимость деформации при разрушении от напряжения вида

1

р* = (А(а + 1)ок-п/(В(п + 5 +1 - к)))“+1. (7)

Явный вид зависимостей коэффициентов А(С), В(С), а(С), к(С), п(С), 5(С), а также Е(С) определяется по их значениям, найденным с помощью формул (4), (6), (7) по опытным данным для материала с разными уровнями С. Указанный способ моделирования требует значительного количества экспериментальных данных.

Иной подход к учету влияния обезуглероживания на процессы деформирования и разрушения заключается в использовании подобия кривых ползучести и длительной прочности материала при разных концентрациях углерода и уровнях напряжений. Это позволяет представить основные соотношения, описывающие поведение материала в виде:

dp / о л

dt AjP d П

1 -m-п

dt (1 -П)^1+S°

где

p(0) = 0, p(tp) = p , (8) П(0) = 0, n(tp) = 1, (9)

Aj = Aojk (10)

By = By. (11)

Здесь индекс «0» соответствует значениям коэффициентов для материала в исходном (необез-углероженном) состоянии; ф(С), y(C) — некоторые функции, учитывающие влияние уровня обезуглероживания на ползучесть и накопление повреждений, причем ф>1, у>1. Интегрируя (8) и (9) при <з = const, m = 1, постоянных значениях коэффициентов и используя условия

P(tp) = Р*, n(tp) = 1, получим:

tp = 1/(By (П0 + S0 + 1)оП0), (12)

1

p* = (Aj (a0 + 1)ok0 - ^ I (By П + S0 +1 - k0)))“°^. (13)

2. Стержневые элементы используются в качестве испытательных образцов при опытах по определению характеристик длительной прочности и ползучести материалов как в нейтральной, так и в жидкометаллической средах. На рис. 1 показаны некоторые программы нагружения опытных образцов, которые используются при испытаниях конструкционных перлитных сталей, предназначенных для эксплуатации в жидком натрии (N — растягивающая нагрузка).

Рассмотрим расчет напряженно-деформированного состояния и долговечности круглого стержня, нагружаемого по программе 1, а. Считаем, что стержень предварительно прогрет до температуры T, затем к нему прилагается растягивающая сила N, после чего он помещается в жидкометаллическую среду. На этапе силового нагружения при t = 0 решается упругая задача: и находятся напряжение и деформация:

о = N (рЯ 2), £ = ^Е0, (14)

где N — растягивающая сила, Ео — модуль упругости необезуглероженного материала. Далее происходит процесс деформирования во времени, сопровождающийся обезуглероживанием материала стержня. Для начала вычислительного процесса необходимо ввести дополнительный этап расчета, в процессе которого возмущается граничная концентрация углерода. Необходимость этого этапа объясняется особенностью численного решения задачи диффузии, так как «мгновенное» установление граничного условия приводит к резкой неоднородности механических свойств материала по поперечному сечению стержня, из-за чего скорости деформирования в разных точках сечения существенно отличаются, в результате задача определения напряженно-деформированного состояния стержня становится неустойчивой. С аналогичными проблемами столкнулись авторы ряда работ, в которых (с целью их устранения) вводился этап установления граничного условия. Вычислительный эксперимент, проведенный при разработке описываемой здесь методики, выявил необходимость введения такого этапа для расчета стержневого элемента, обезуглероживающегося в жидком натрии. В данном случае уравнение диффузии будет иметь вид

d(Co - C) dt

= D

d2(Co - C) 1 d(Co - C)

d2 r

dr

(15)

с начальным и граничным условиями:

(C0 - C)| t=0 = ^ (C0 - C)| r=R = C¥= c°ns^ (16)

где разность (C0 - C) характеризует потери концентрации углерода в точке элемента конструкции.

N

Р и с. 1. Программы нагружения опытных образцов в жидком натрии

Для получения физических соотношений оказывается удобным использовать метод последовательных возмущений параметров. За шаг по времени ^ полная деформация изменится на величину

. Эе . Эе . Эе .

Де = —До + —АЕ + —Др . (17)

Эо ЭЕ Эр

Эе 1 Эе о Эе ,

— ; — = 1, получим для приращения напряжения соотноше-

Учитывая, что

do E dE

ние

Ao = E • ^є - Ap) + — AE.

E

(18)

Так как на этапе деформирования во времени приращение растягивающей силы не происходит, можно записать:

AN = J AodF = 2p J Aordr = 0.

С учетом (18) имеем

J EAprdr - J — rdr

Aє = -

R

J Erdr

(19)

(20)

0

б

a

F

0

Величина приращения деформации ползучести Дри определяется интегрированием уравнений (2) и (3).

При решении задачи Коши для уравнений ползучести и накопления повреждений возникает проблема вычисления правых частей уравнений, которые характеризуют напряженно-деформированное состояние элемента на данном временном шаге Д/ и зависят от искомых функций р и П, рассматриваемых на этом же шаге по времени. Для преодоления этой трудности, обычно предполагают, что в пределах временного интервала Д/ правые части дифференциальных уравнений практически стационарны. Это позволяет ограничиться итерационным алгоритмом решения задачи Коши, основанном на использовании простых явных и неявных схем интегрирования [3, 4]. Воспользовавшись способом, предложенным Н. Н. Калиткиным [3], преобразуем исходную систему (2), (3) так, чтобы разделить переменные; в результате получим:

/ _ Л*

ра ёр = А

Л, (21)

1 -П

\ /

(1 -П)п+хС П= Бопс1/. (22)

Далее, интегрируя (21) и (22) в пределах шага А/ на временном интервале /1 < / < /м, имеем:

р+1 ^+1 / о

1 раСр =1А [у-П С/, (23)

1+1

| (1 -П)п+®СП = | БопС/. (24)

П. /.

Как показали численные эксперименты, для получения сходящегося итерационного процесса, достаточно аппроксимировать интегралы в (23) и (24) простыми квадратурными формулами, самой простой из которых оказывается формула левых прямоугольников, приводящая к явной разностной схеме.

Изложенный подход налагает ограничение на величину шага по времени, поэтому будем использовать специальную процедуру выбора шага. Для этого задаем предельные величины изменения параметров поврежденности ДП тах и деформаций ползучести Дртах за один шаг по времени Д/ по каждой из точек сетки, соответственно исходя из условий предельного изменения параметров П и р:

(1 -п )п+х ДП

Д/П = (^---------------------------------------------тах, (25)

П Б.-1оП-1 ’ ' '

= (1 -П^РД Дртах

р-=-----АГО----------. (26)

А‘-1О.-1

При использовании явной схемы для решения уравнения диффузии необходимо также учесть ограничение на шаг по времени, налагаемое условием устойчивости разностной схемы.

На основе вышеизложенного был разработан следующий алгоритм расчета.

1. В момент / = 0 производится силовое нагружение и определяются напряжение о и деформация е, задается начальный шаг по времени Д/.

2. Задается шаг возмущения граничной концентрации ДС.

3. Решается уравнение диффузии, находится массив концентраций углерода С.

4. Рассчитываются коэффициенты А(С) и Б(С) модели (2), (3).

5. Решаются уравнения ползучести (2) и накопления повреждений (3) с использованием

формул (23) и (24), после чего по формулам:

Др. = р. - р.^ ДП. =П. -П‘-1 находятся массивы приращений деформаций ползучести и приращений поврежденностей.

6. Производится проверка по каждой из точек разбиения выполнения условий

Др. < Дртах , (27)

ДП. <ДПтах. (28)

В случае их невыполнения шаг Д/ уменьшается и происходит возврат к шагу 3.

7. Определяется массив модулей упругости Е(С) и его приращение ДЕ = Е1 - Е1-1.

8. Численным интегрированием находятся интегралы, входящие в выражение (20).

9. Определяется приращение полной деформации Де по формуле (20).

10. Из выражения (18) находится массив приращений напряжений Аа.

11. Проверяется условие по ограничению относительных величин возмущений напряжений по каждой из точек дискретизации. В случае невыполнения шаг А/ уменьшается и производится возврат к шагу 3.

12. Находится массив напряжений а по формуле о,.+1 = о,. + До .

13. Производится проверка на монотонность изменения поля напряжений. В случае невыполнения шаг А/ уменьшается и производится возврат к шагу 3.

14. Проверяются некоторые условия завершения программы и обработка прерываний. Делается подготовка к следующему шагу по времени и выбирается его величина по условиям (25) и (26) и условию устойчивости разностной схемы решения уравнения диффузии

Д/ <

/ * 2 \ Дг

4Б

15. Производится проверка установления граничных условий для уравнения диффузии; в случае достижения равновесного значения С¥ дальнейшие вычисления производятся с шага 3, иначе делается очередное возмущение граничного условия — на величину АС (шаг 2).

Описанный алгоритм реализован в виде программного комплекса, с использованием которого выполнена серия численных экспериментов. Модель дает хорошее приближение к экспериментальной кривой и описывает в пределах разброса опытных данных время до разрушения и деформацию при разрушении как в нейтральной среде, так и при обезуглероживании в жидком натрии (см. таблицу).

Сравнение результатов расчета стержня в нейтральной среде и жидком натрии

с опытными данными

о, МПа на воздухе в жидком натрии

/рксп, час /ррасч, час Рзксп,% Ррасч,% /рксп, час 3 сч Л & Рэксп,% Рзксп,%

100 890 870 34 33 750 730 40 44

80 5150 4970 24 26 3100 2930 34 36

Кривая ползучести для образца (см. рис. 2), испытанного в жидком металле, лежит между кривыми ползучести для образцов, испытанных в нейтральной среде, но имеющих разную концентрацию (С=С0 и С=0,5С0 ) (что соответствует гипотезе, заложенной при разработке модели).

На рис. 3. показаны профили концентрации углерода в различные моменты времени. Процесс обезуглероживания приводит к значительному перераспределе-

нию напряжений, причем напряжения в отдельных частях сечения могут вначале возрастать, а затем убывать.

Это иллюстрирует рис. 4. Как видно из рис.унка 5, разрушение происходит в точке, лежащей в частично обезуглероженной зоне, Анализ показывает, что разрушение наступает вследствие накопленной в точке поврежденности за весь период жизни образца. При этом напряжения в этой точке в момент разрушения не являются максимальными. Отсюда можно сделать вывод, что максимальные напряжения не могут выступать в роли критерия разрушения — важен весь процесс деформирования во времени и кинетика перераспределения напряжений из-за обезуглероживания.

Р и с. 2. Кривые ползучести на воздухе и в жидком натрии: сплошные линии — о = 100 МПа; штриховые ли -нии — о = 86 МПа

Р и с. 3. Эпюры концентрации углерода по радиусу стержня в разные моменты времени

Р и с. 4. Изменение эпюр напряжений по сечению стержня в процессе обезуглероживания в жидком натрии

Р и с. 5. Эпюры поврежденности по сечению стержня в разные моменты времени

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

РаботновЮ. Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука. 1966. 752 с.

Овчинников И. Г., Северюхин Н. В. Построение модели деформирования и разрушения элемента конструкции, обезуглероживаемого в жидком металле // Сб.: Коррозия металлов и сплавов. Алма-Ата: КазПТИ, 1985. С. 81-87.

КалиткинН. Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. 512 с.

Форсайт Дж, Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980. 279 с.

Поступила 20.09.2006 г.