ПОЛЯРНЫЕ КОДЫ. КОДИРОВАНИЕ И ДЕКОДИРОВАНИЕ ПОЛЯРНЫХ КОДОВ Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 004.056

ПОЛЯРНЫЕ КОДЫ. КОДИРОВАНИЕ И ДЕКОДИРОВАНИЕ

ПОЛЯРНЫХ КОДОВ

Н. Ю. Мишин, В. Е. Матвеев Научный руководитель - С. Г. Колесников

Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газеты «Красноярский рабочий», 31

E-mail: nikita.mishin@yahoo.com

Рассматриваются полярные коды, их кодирование и декодирование. Помехоустоичикое кодирование является одним из главных методов повышения надёжности в системах спутниковой связи.

Ключевые слова: полярные коды, харатеристики полярных кодов, помеустоичивое кодирование, передача информации, информационная безопасность.

POLAR CODES. ENCODING AND DECODING OF POLAR CODES

N. Y. Mishin, V. E. Matveev Scientific supervisor - S. G. Kolesnikov

Reshetnev Siberian State University of Science and Technology 31, Krasnoyarskii rabochii prospekt, Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation E-mail: nikita.mishin@yahoo.com

This article discusses polar codes, their encoding and decoding. Noise-resistant coding is one of the main methods for improving reliability in satellite communications systems.

Key words: polar codes, characteristics of polar codes, noise-resistance code, information transfer, information security.

Полярные коды - первый класс кодов, достигающих пропускной способности широкого класса каналов с низкой сложностью построения, кодирования и декодирования. Полярные коды приняты в качестве стандарта для контрольного канала в сетях 5G, а также являются одним из главных методов повышения помехоустойчивости при передачах по спутнику.

Классический (п = 1т, к) - полярный код задается множеством из (n - k) индексов замороженных символов, которые обычно выбираются как индексы наименее надежных подканалов. Надежность подканала может характеризоваться его пропускной способностью, параметром Бхаттачарьи или вероятностью ошибки на бит. Для вычисления параметра Бхаттачарьи битовых подканалов в случае двоичного стирающего канала (ДСтК) существуют очень простые рекурсивные выражения. В общем случае для вычисления надежности битовых подканалов может быть использован метод Тала и Варди. Приближенные методы предложены для случаев канала с аддитивным белым гауссовым шумом (АБГШ) и канала с рэлеевскими замираниями. Вероятность ошибки декодирования всех этих конструкций полярных кодов примерно равна.

В основе конструкции полярных кодов лежит линейное преобразование, задаваемое матрицей M0m, где операция 0m обозначает m-кратное Кронекеровское произведение матрицы с собой, и l х l ядро поляризации M является двоичной обратимой матрицей такой,

Секция «Информационнаябезопасность»

что никакая перестановка ее столбцов не приводит к получению верхнетреугольной матрицы.

Определение.

(п = 1т, к) полярным кодом I х I ядром М и с множеством замороженных символов Т с (0, ...,п-1},\Т | = п- к, называется линейный блоковый код с множеством кодовых слов {иЦ~1Сп\иЦ~1 £ Тщ = 0}, где Сп = к^1,т^М®т - матрица поляризующего преобразования [1]. Поляризация канала

Операция преобразования N независимых копий в двоичном дискретном канале без памяти (Б-БЫС) в набор поляризованных каналов {И^}. Поляризованный канал становится либо шумным, либо бесшумных, т.к. длина блока переходит в бесконечность.

Посылая информационные биты по этим бесшумным каналам, мы можем достичь симметричной пропускной способности Б-БЫС. Поляризация канала состоит из двух частей: объединения канала и разделения каналов. Процесс кодирования обозначен несколькими пунктами:

На основе процесса объединения каналов;

Использование матрицы поляризующего преобразования для кодирования х^ = ; Выбрать информационный набор 5 = {/: /(И^) ^ /(^)}; Выбрать замороженные биты по желанию.

Полярный код С задаётся набором параметров (М,К,АС), где N - длина кодового слова, параметр К - размер информационной части, Ас - множество «замороженных» битов, играющих роль проверочных символов, \АС\ = N — К,АС с (0, ...Ы — 1}.

Множество Ас может быть получено с помощью поляризации канала. Поляризация канала описивается линейных преобразованием, заданных матрицей F®n, где Б - 2x2 - ядро

поляризации, ^ = (!| - п-кратное кронекеровское произведение матрицы с собой,

п = \о%2 М, где N - длина кодового слова конструируемого кода.

Процедура кодирования описывается выражением х" , где х" - кодовое слово, и"

- вектор, включающий информационные символы (щ £АС, 1</ <Ы) и замороженные биты (щ ЕАС, I < / < Ы), - порождающая матрица, задаваемая выражением = где Вн - матрица перестановки [2]. Объединение каналов:

1. Объединение копий заданного Б-БЫС

WN ^ ^ Ум,

где - N может быть любой степенью двойки, N=2^

2. Вероятности переходов двух каналов WN и WN

где = - формула порождающей матрицы О; {1,2,3, ^

2 2

{1,3,5, — 1,2,4, - оператор обратного перемешивания. Разделение каналов:

3. Поляризация для разделения канала с двоичным входом

Хы ^ Уы ^Ж^-.Х ^ Уы X X1'1 ,

1

где - вероятности перехода.

Декодирование

Основные алгоритмы:

Последовательное декодирование (Successive Decoding);

Списочное декодирование полярных кодов (List Decoding of polar code).

Последовательное декодирование

Для декодирования полярных кодов предлагается алгоритм последовательного исключения (SC). Алгоритм основан на расчёте коэффициента правдоподобия для каждого символа на каждом уровне поляризации канала. Число узлов определяется как N(\og2 N + 1). Стоит отметить, что SC-декодирование является алгоритмом с мягким решением [3]. Потенциальные недостатки:

После установки незамерзающего бита «возврата назад не будет». Бит, который был установлен на шаге i, не может быть изменён на шаге j > i;

Знание стоимости будущих замороженных битов не учитывается. Списочное декодирование полярных кодов

Каждый раз, когда необходимо принять решение по иъ то необходимо разбить текущий путь декодирования на два пути: щ = 0 и щ = 1. Это показано на рисунке.

Полярные коды на сегодняшний день - одни из наиболее перспективных алгоритмов помехоустойчивого кодирования. В рамках данной статьи было описано, что из себя представляют полярные коды в краткой форме, кодирование и декодирование. В следующих работах будет проведён детальный анализ различных подходов к полярному кодированию.

Библиографические ссылки

1. Милославская В. Д. Методы построения и декодирования полярных кодов: дис. на соискание ученой степени кандидата техн. наук. Санкт-Петербург: СПбПУ, 2014. 206 с.

2. Тимофеев Г. С. Применение полярных кодов в современных системах связи // Решетневские чтения: материалы XX Междунар. науч. конф. (09-12 ноября 2016, г. Красноярск): в 2 ч. / под общ. ред. Ю. Ю. Логинова; Сиб. гос. аэрокосмич. ун-т. Красноярск, 2016. С. 297-298.

3. Arikan E. Channel polarization: A method for constructing capacity-achieving codes for symmetric binary-input memoryless channels // IEEE Transactions on Information Theory. 2009. Vol. 55, No. 7. P. 3051-3073

© Мишин H. Ю., Матвеев В. E., 2020