CC BY
10
УДК 548.19 : 531.748 : 681.786.3 Б01: 10.19110/2221-1381-2018-5-48-54
полуцилиндрическая кристаллографическая проекция
В. И. Ракин
Институт геологии Коми НЦ УрО РАН, Сыктывкар
rakin@geo.komisc.ru
Описана методика экспрессного кристалломорфологического анализа на базе цилиндрического гониометра. Для гониометра рассчитаны градусная сетка и палетка, позволяющие вычислять индексы граней, а также кристаллографические зоны. На примере округлого алмаза уральского типа и плоскогранного кальцита показаны быстрые методы расчета кристаллографических параметров криволинейных и плоскогранных форм кристаллов.
Ключевые слова: цилиндрический гониометр, кристаллографическая проекция, градусная сетка, кристаллографическая зона, алмаз уральского типа, кальцит.
semi-cylindrical crystallographic projection
V. I. Rakin
Institute of Geology Komi SC UB RAS, Syktyvkar
rakin@geo.komisc.ru
The technique of express crystal morphological analysis, based on a cylindrical goniometer, is described. For a goniometer, a grid and a template are calculated, which allow calculating the face indices as well as the crystallographic zones. Using the example of a rounded diamond of the Ural type and a calcite, express methods for calculating the crystallographic parameters of the curvilinear and plane-faced crystal forms are shown.
Keywords: cylindrical goniometer, crystallographic projection, grid, crystallographic zone, Ural type diamond, calcite.
Введение
Форма кристалла минерала является важным источником информации, по крайней мере о последних стадиях развития геологического процесса, поэтому, в частности, в минералогии природного алмаза морфологические исследования кристаллов весьма актуальны [3, 8, 10]. Особый интерес представляют простые и эффективные методы количественных инструментальных исследований морфологии кристаллов.
Примером простого и точного прибора, который можно реализовать на основе компонентов обычного планшетного сканера, является цилиндрический гониометр. Он известен давно [5] и используется в исследованиях [10], однако некоторые преимущества данного прибора не описаны. Прибор представляет собой цилиндр с матовой поверхностью радиуса Ro и длиной Lo. По оси цилиндра направляется луч света от внешнего источника (например, лазер). В геометрическом центре цилиндра на расстоянии Lo/2 от края, на оси симметрии цилиндра размещается кристалл, на который падает световой луч. Отраженные от граней кристалла блики света рассеиваются на цилиндрическую поверхность, используемую для настройки положения кристалла и позволяющую считывать координаты рефлексов: x — координата отраженного блика по направлению окружности цилиндра, у — координата вдоль образующей цилиндра. Очевидно, что, развернув цилиндрическую поверхность в плоскость xoy, получим проекцию части полярного комплекса нормалей к поверхности кристалла, которую можно называть полуцилиндрической. Рефлексы, расположенные на этой проекции, легко трансформировать в индексы граней кристалла. Для автоматической съемки картины проекции линейный привод каретки сканера надо преобразовать во вращательное движение кристаллодержателя, а светочувствительную ли-
нейку сканера разместить неподвижно вдоль образующей цилиндра на расстоянии Ro от оптической оси. Не будем обсуждать технические программно-аппаратные сложности конкретного устройства, а опишем теорию прибора.
В картографии широко используется цилиндрическая проекция, представляющая собой центральную перспективную проекцию сферы на цилиндрическую поверхность. Полуцилиндрическая проекция отличается тем, что она, как и гномостереографиче-ская кристаллографическая проекция, не является центральной и на ней отражена только половина граней кристалла, расположенных в передней полусфере по отношению к световому лучу прибора. Тем не менее данная проекция рефлексов пригодна для прямых и точных морфологических измерений и на тех же основаниях, что и гномостереографическая проекция, может называться кристаллографической.
Установка кристалла в гониометре
Установим кристалл кубической, ромбической или тетрагональной симметрии в гониометре таким образом, чтобы его кристаллографическая ось ОZ была направлена навстречу лучу света. Описание прибора будем излагать в приближении пренебрежимо малого кристалла по сравнению с радиусом цилиндра R. Тогда начало системы координат xoy на развернутой поверхности цилиндра определим в точке пересечения кристаллографической оси OX и цилиндрической поверхности прибора. Очевидно, что ось OY кристалла будет пересекать плоскость проекции в точке с координатами ^л/2, 0). Если кристалл обладает тригональной или гексагональной симметрией, то оси ОХ, OYи вспомогательную ось ОКудоб-но ориентировать таким образом, чтобы они пере-
секали плоскость проекции соответственно в точках (—R0n/3, 0), (Ron/3, 0) и (Ron, 0)- Для кристалла моноклинной сингонии ось OX также будет проходить через точку (0,0) проекции, а ось OY пересекает плоскость проекции в точке (R0Y, 0). Во всех перечисленных случаях ось OZ совпадает с оптической осью прибора и осью цилиндра.
Установка триклинного кристалла в гониометре более сложна. Если ось OZ также направить вдоль оптической оси, а ось OX ориентировать в плоскости, пересекающей плоскость проекции по линии оу, то данная ось будет пересекать плоскость проекции вблизи точки (0, R cosb); тогда ось OY пересечет плоскость проекции вблизи точки (Rg , R cosa). Совмещение выходов кристаллографических осей с указанными точками будет тем точнее, чем ближе значения углов элементарной ячейки триклинного кристалла к я/2.
Градусная сетка полуцилиндрической
кристаллографической проекции
Рассмотрим для начала простейший случай кристалла кубической симметрии. Пусть на малом кристалле, установленном в гониометре согласно описанному выше способу, присутствует грань (hkl). Определим азимутальный угол j между проекцией нормали к данной грани [hkl] на плоскость XOY и направлением оси OX, а полярный угол р — между нормалью к грани и кристаллографической осью OZ. Тогда их значения можно рассчитать по тригонометрическим формулам:
j = arctg(k/h) ,
р = arccos (i/4 h2+k2+12). (i)
Учтем, что индексы в обозначении грани (hkl) есть индексы Миллера, а индексы в обозначении векторов [hkl] — индексы Вейса. Таким образом, любая грань кристалла, находящаяся в передней полусфере, характеризуется описанными углами и отражает световой рефлекс на цилиндрическую поверхность прибора. С учетом закона отражения лучей и установки кристалла в гониометре положение светового рефлекса на цилиндрической поверхности будет иметь следующие линейные координаты:
х = R09, y = R0 ctg2p. (2)
На основании приведенных формул можно построить градусную сетку полуцилиндрической проекции, на которой по оси абсцисс откладывается угол j, а по оси ординат — угол р нормали к грани (hkl) кристалла (рис. i). Малые размеры кристалла позволяют получить простое и понятное математическое выражение для градусной сетки. В работе В. А. Мокиевского [5] предложена более сложная формула расчета единственного угла р с учетом размера кристалла. Однако формула обладает заметным недостатком, ухудшающим точность расчетов, — она получена в приближении сферического кристалла.
Начало линейной системы координат хоу будет располагаться в точке (0, 45°) градусной сетки полуцилиндрической проекции. Таким образом, градусная сетка отражает угловые характеристики полярного комплекса кубического кристалла, находяще-
гося в передней полусфере, и на этом основании полуцилиндрическая проекция вполне может считаться кристаллографической проекцией. Однако для кристаллов, не относящихся к кубической симметрии, углы ф и р зависят от индексов грани (hkl) иным образом, поскольку вектор нормали к грани, используемый в формулах (1), не совпадает с вектором [hkl] структуры кристалла. Используя известные формулы для нахождения нормали к грани и операции преобразования кристаллографической системы координат в декартовую [9, 12], можно воспользоваться формулами (1). Таким образом, между кристаллографическими индексами граней любого кристалла и углами ф и р будет установлено взаимно однозначное соответствие. Поэтому полученная градусная сетка на полуцилиндрической проекции будет применима во всех кристаллографических случаях.
Кристаллографические зоны
Большое значение для описания морфологии кристаллов имеют кристаллографические зоны [11]. В первую очередь это связано, согласно теории Хартмана — Пердока [14, 15], с влиянием линейных цепей сильных связей, образующихся между ближайшими атомами в структуре кристалла, на его морфологию. Известно, что вероятность появления S-граней (в межплоскостном расстоянии сеток (hkl) которых укладывается одна цепь сильных связей) на кристалле, хоть и ниже, чем F-граней (две или более цепей), но их всегда много больше, чем сеток F-типа. Поэтому сильная связь является важным индикатором режима кристаллизации и часто проявляется в морфологии кристалла в виде кристаллографической зоны, грани которой образуют своеобразную призму, а в пределе — поверхность цилиндра. Необходимость определения направлений кристаллографических зон на реальных кристаллах обусловлено также и вторым важным обстоятельством — на многих кристаллах часто присутствуют поверхности эллиптического цилиндра различного происхождения. Например, при полигональном режиме дислокационного роста эшелоны макроступеней могут выглядеть в оптическом диапазоне длин волн как поверхности цилиндра [11]. Кроме того, растворение ребер кристалла или их полирующий механический износ также приводит к образованию поверхностей цилиндра [7, 8]. Изучение причин формирования той или иной кристаллографической зоны или поверхности цилиндра на кристалле является одной из центральных задач морфологических исследований.
Опишем уравнение линии на плоской развертке xoy цилиндрической поверхности гониометра, на которой будут лежать все грани (hkl)i кубического кристалла, образующие кристаллографическую зону [rst]. Такая линия всегда симметрична, располагается в интервале углов ф шириной 180°, напоминает параболу, а ее ось симметрии пересекает ось абсцисс в точке x = Ro arctg (s/r). Ветви кривой при Pi ^ п/2 асимптотически приближаются к вертикальным прямым: x = Ro [arctg (s/r) ± п/2]. Для вывода уравнения линии в относительно простой математической форме преобразуем систему координат проекции. Для этого выполним поворот кристалла вокруг оптической оси
(оси 02 кристаллической структуры) на угол (—ф) и ось симметрии искомой линии совместим с осью оу. Таким образом, кристаллографическое направление зоны в кубическом кристалле [га?] в новой системе координат превращается в вектор [М 0И ], индексы которого принимают определенные и не обязательно целые значения, но для данного вектора угол р будет таким же, как и для вектора [га?]. Отношения компонентов нового вектора:
2
s = N / M = -t/(rVl + tgV ),
(3)
где ф = arctg (s/r). Очевидно, что условие принадлежности «плоских сеток» (mnp)i к кристаллографической зоне [M 0N ] можно записать в простом виде:
Nm — Mp = 0,
откуда с учетом формул (1) и (2) выводится уравнение линии, вдоль которой выстраиваются все «грани» данной зоны:
y(x) = Rtg{n/2 -2arccos[l^l + е2(1 + tg2(x/R,))]}. (4)
Параметр e = N/M определяет форму линии и положение ее экстремума (при х = 0). Уравнение (4) представлено не в краткой, но в наиболее понятной для чтения форме записи.
Таким образом, грани кристалла, принадлежащие выбранной кристаллографической зоне [rst], в цилиндрическом гониометре будут давать рефлексы по линии, описываемой уравнением (4) на плоскости xoy, но смещенной вдоль оси ох на величину ^оф. Параметр e связан уравнениями (3) с индексами искомого кристаллографического направления. Обратный расчет индексов зоны по известным ф и e выполняется по формулам, следующим из (3):
r = q, s = qtgm t=-qe-Jl + t(5)
в которых подбором минимального целого числа q добиваются, чтобы s и t также приняли целые значения. При стремлении ф в пределе к ±п/2 индексы (5), очевидно, преобразуются к виду:
r = 0, s = q, t = — q e.
На основе уравнения (4) создана палетка, облегчающая визуальный поиск кристаллографических зон и помогающая в точной юстировке кристалла в гониометре в соответствии с его правильной кристаллографической установкой. Очевидно, что удобнее пользоваться палеткой, совмещенной с градусной сеткой (рис. 1). Сдвигая палетку на нужную величину по оси ох, добиваются совпадения части выделенных световых рефлексов с одной из линий палетки. Величина сдвига сетки определяет угол ф = arctg (s/r). Палетка позволяет сразу определить параметр e линии, на которую укладываются световые рефлексы от граней данной зоны. Производя несложные расчеты по формулам (5) находят направления зоны [rst]. Если эту задачу в малых целых числах (первые единицы) решить не удается, то можно сделать вывод, что правильная кристаллографическая установка данного кристалла не достигнута. Подсказкой обычно являются наиболее яркие световые рефлексы, обладающие, как правило, малыми индексами Миллера; они могут быть непосредственно вычислены по системе уравнений (1) и (2). Поворотом кристалла добиваются необходимой настройки.
Рис. 1. Комбинация градусной сетки (ячейка 2 х 2°) и палетки, предназначенной для расчета кристаллографических зон в цилиндрическом гониометре. Угловые размеры сетки — 180 х 66°. Начало линейной системы координат xoy располагается в точке «1» в центре сетки. Цифрами указан параметр 8 соответствующей линии палетки
Fig. 1. The combination of a grid (cell 2 х 2°) and a template designed for the calculation of crystallographic zones in a cylindrical goniometer. Angular dimensions of the grid — 180 х 66°. Zero point of the linear coordinate system xoy is located at the point «1». Numbers indicate the parameter 8 of the corresponding template line
Исследование тетрагональных и ромбических кристаллов на цилиндрическом гониометре немногим отличается от изучения кубических кристаллов, если в процессе расчетов на промежуточной стадии использовать декартову систему координат. Например, грань (hkl) в системе координат орторомбического кристалла с параметрами решетки a, b, c можно представить «гранью» (HKL) в декартовой системе координат, где нецелые «индексы» H = h/a, K = k/b, L = l/c представляют проекции определенного вектора, ориентированного по нормали к данной грани ромбического кристалла в декартовой системе координат. Соответственно, индексы любых кристаллографических направлений в ромбическом или тетрагональном кристалле [rai] надо перевести в «направления» [RST декартовой системы координат, где R = r/a, S = s/b, T = t/c. Завершая расчеты и вычисляя конечные значения кристаллографических индексов граней или
направлений в тетрагональном и ромбическом кристалле, критерий «малых целых чисел» естественно применять только к индексам (кк1) и [га?].
Как показано выше, любые грани кристалла, аппроксимирующие поверхность цилиндра, на полуцилиндрической кристаллографической проекции подчиняются уравнению (4) и даже не зависят от правильной установки кристалла в гониометре. Предложенная палетка позволяет быстро обнаружить такие явления и непосредственно вычислить геометрические параметры такой поверхности при правильной установке кристалла или оценить направление и величину подстройки кристалла при условии его разориентации.
Кубический кристалл
Изометричный алмаз уральского типа имеет 24 гладкие выпуклые поверхности, а также 36 криволинейных ребер двух типов: 24 ребра, направленные по <ккГ>, где индексы меняются в диапазоне обычно I = (1/2 -г 3/2)И, и 12 ребер, называемых «гранными швами» [4], субпараллельные кристаллографическим направлениям <100>. Криволинейный многогранник, согласно кристаллографическим правилам, формально является тетрагексаэдроидом, хотя, если не учитывать ребра второго типа, двугранные углы при которых обычно не превышают 8—10°, кристалл будет напоминать ромбододекаэдроид и под этим названием он часто описывается в литературе [3, 4, 8].
Фундаментальная область кристалла алмаза составляет п/12 стерадиан и при правильной установке кристалла на полуцилиндрической проекции она занимает полосу углов ф от 0 до 45°, ограниченную снизу линией зоны (4) с параметром е = 1 (рис. 2). Элементарная поверхность криволинейной грани алмаза уральского типа хорошо описывается трехосным эллипсоидом, который можно считать с точностью до масштабного коэффициента характеристической поверхностью тензора устойчивости химических связей [7]. На границах фундаментальных областей (плоскости симметрии структуры алмаза) образуются криволинейные ребра, а участки поверхности эллипсоида вблизи его центрального сечения, прилегающие к ребрам кристалла, хорошо аппроксимируются цилиндрическими поверхностями.
Важно отметить, что небольшие участки всех криволинейных поверхностей второго порядка, прилегающих к любому центральному сечению, особенно в пределах фундаментальных областей кристаллов, можно успешно аппроксимировать поверхностями цилиндра. Поэтому на границах рефлекса любая криволинейная грань будет демонстрировать фрагмент линии цилиндра. Направление оси такого цилиндра — «кристаллографическую зону» — можно считать, во-первых, важным диагностическим признаком поверхности кристалла второго порядка, а во-вторых, индикатором условий формирования данной динамической поверхности кристалла.
Таким образом, протяженный световой рефлекс от элементарной поверхности кристалла алмаза уральского типа имеет форму криволинейного треугольника, ребра которого подчиняются уравнениям (4) (рис. 2). Вершины светового треугольника представляют собой проекции плоских сеток, расположенных на
/ \
/ N \
/ / / N \ \ \ L.
1/ / / \ \ \
/ / \ \ \
/ \
102
/ / / \
/ / / / / \ \
/ >- / s \
/ / S \
/ / / / - N \ \
/ / / \ \ Ч \ N \
/ / - ьб \ \ \ \
/ ✓ ^ Л \
1 536 \
/ / / 5 5 \ \ \
/ / - г 2s \ Х-
/ / / 60 7 1^35 54 б"1 \ \ V \
/ / / > Я \ \
/ / * Ч 7 \ \ \ \
/ / / ж / - ; \ Л Ч \ \ ч 7 Л
/ / / / / > \ ... \ \ Л л
/ V 7 1 Ч Л \ \
/ / \
/ 7 / / 7/ 7 \ \ 7
/ 7 I' / Л, 7х 7 \ \
/ V // к iN \ч V \ \\
/ / / / \ \ \
/ / ]/\ \ \ \ v \ \ \ \
/ / / 7, ✓ 7/ Г> t 3.0 / 7х \ 7 Xs \ А
Рис. 2. Положение светового рефлекса (темный фон) от алмаза из россыпи Ичетью на полуцилиндрической кристаллографической проекции
Fig. 2. The position of the light reflex (dark background) from the diamond from the Ichet'u placer on a semicylindrical crystallo-graphic projection
краях криволинейных граней кристалла у его вершин. Измерив угловые координаты вершин треугольника с помощью градусной сетки и решая обратную задачу (формулы 1), находим индексы плоских сеток на вершинах треугольного рефлекса: (506), (536) и (102). Зона плоских сеток от (536) до (102) имеет направление [643], индексы которого легко получить, выполнив векторное произведение между векторами нормалей [536] и [102]. С другой стороны, с помощью градусной сетки и палетки легко установить, что данная сторона совпадает с линией зоны, имеющей параметры ф = —33,7°, е = 0,416, с помощью которых по формулам (5) приходим к тем же индексам — [643]. В последнем случае не надо знать индексы плоских сеток, что упрощает задачу. Нижняя сторона треугольного рефлекса в фундаментальной области структуры протягивается от сеток (536) до (506). Расчеты по первому и второму способам приводят к одному результату — зоне [605]. Индексы векторов «зон» [643] и [605] весьма точно характеризуют границы протяженного рефлекса от криволинейной элементарной поверхности алмаза, найденного в россыпи Ичетью (Тиман), и, так же, как отношения полуосей поверхности эллипсоида —
A2/Aj = 1.36, Aj/Aj = 1.88, а = 5.19°, вычисленные для данного кристалла по угловым характеристикам треугольного рефлекса (рис. 2) [7], могут служить индикатором процессов, приводящих к образованию формы природного алмаза уральского типа.
Тригональный кристалл
При изучении тригональных и гексагональных кристаллов палетка также позволяет визуализировать кристаллографические зоны, проявляющиеся в виде граней или криволинейных поверхностей в ходе естественных природных процессов.
Для примера рассмотрим картину рефлексов от граней кальцита в полуцилиндрической проекции (рис. 3). Напомним, что согласно точечной группе кальцита 3m фундаментальная область структуры составляет телесный угол п/3, и ее можно определить сектором, ограниченным плоскостями, построенными на парах векторов [0001], [1010] и [0110]. Для обозначения граней и направлений в структуре кальцита воспользуемся морфологической гексагональной ячейкой Браве (а = 4.9896 Ä, с = 4.265 Ä, у = 120°) и его символикой [6, 9]. Согласно данной элементарной ячейке, простая форма основного спайного ромбоэдра кальцита обозначается как {1011}. Структурная ячейка кальцита отличается вчетверо большим значением параметра с и в этом случае плоские сетки основного спайного ромбоэдра будут иметь индексы {1014}, что не очень удобно для обозначения этой важной кристаллографической простой формы кальцита.
При описанной выше установке кристалла кальцита в приборе по оси ординат полуцилиндрической проекции (ф = 0) будут выстроены рефлексы гексагональных бипирамид {h.h.2h.l}, а фундаментальная область кальцита будет ограничена на проекции вертикальной полосой в пределах углов ф от —30° до 30°. Слева от оси ординат в отрицательной области углов будут расположены рефлексы положительных дитри-гональных скаленоэдров {h.k.(h + к).l)h>k и положительных ромбоэдров {h 0h l}, а справа от оси —соответственно отрицательные скаленоэдров {h.k .(h + к ).l )h<k и отрицательных ромбоэдров {0hh l}. Пинакоид и призмы (гексагональные и дигексагональные) кальцита в основной кристаллографической установке не попадают на полуцилиндрическую проекцию (рис. 3).
Расчет направлений, определяющих кристаллографические зоны, можно выполнить согласно простому правилу — сумма произведений индексов грани и направления, лежащего в ее плоскости, равна нулю [12]:
hr + ks + iq + lt = 0,
(6)
где [гад?] — индексы направления зоны, (ИкН) — индексы грани. Подобрав две грани (ИкН)^ и (Ик//)2, принадлежащие одной зоне, учитывая г + 5 = — д, И + к = —I и правило сокращения общих множителей в индексах, по уравнениям (6) можно найти искомый вектор зоны.
С помощью палетки индексы зоны тоже находятся достаточно быстро. Для этого вначале следует найти ось симметрии той линии, на которой лежат все грани искомой зоны (рис. 3). Предположим, что в точке максимума линии зоны расположена определенная плоская сетка (ИкН). Отношение ее первых двух ин-
Рис. 3. Полуцилиндрическая проекция ряда известных из литературы [1, 2, 6, 13, 16] граней кальцита на фоне градусной сетки
Fig. 3. Semicylindrical projection of some calcite faces known from the literature [1, 2, 6, 13, 16] on the background of a grid
дексов легко находится по значению угла ф расположения оси симметрии линии:
VI
h / k
2tg(%/6 -ф)
-1/2.
(7)
Очевидно, что из соображений симметрии вектор зоны [г5д?] будет иметь индексы ^ .Л+ k]. Последний индекс t можно найти в результате несложных тригонометрических вычислений, опираясь на значение параметра линии е; но гораздо проще, зная индексы только одной грани, принадлежащей данной зоне, найти его с помощью уравнения (6). _
_Например, легко убедиться, что грани (1232), (0387), (5273) и (4041) кальцита располагаются на одной линии палетки и принадлежат зоне [0438]. В точке экстремума линии находится плоская сетка
(4.16.12.13), индексы которой легко устанавливаются с помощью уравнения (6) и известных индексов зоны (рис. 3). Таким образом, можно вычислить индексы Браве любых граней и направлений тригонально-го и гексагонального кристалла на полуцилиндрической проекции.
Заключение
Для выполнения морфометрических расчетов важно точно установить кристалл в гониометре. Например, ошибка в юстировке оси OZ кристалла в 1° приводит к сдвигу рефлексов на 2 мм в области углов р = 45°, (R = 50 мм), в результате чего в индексах граней появляются двузначные числа. Например, отклонение грани спайного ромбоэдра (1011) по направлению угла р на величину 1°24' приведет в расчетах к положительномуромбоэдру (20.0.20.21). Отклонение в 2° уже не вызовет трудности, поскольку индексы плоских сеток и направлений в кристалле могут не выйти из первого десятка. Однако с грубым ухудшением точности юстировки нарушается симметрия рефлексов в соседних фундаментальных областях проекции. Поэтому при больших углах отклонения кристалла в гониометре следует руководствоваться симметрией картины рассеяния рефлексов, но при малых углах (менее 1°) компенсацию погрешностей можно производить расчетным путем с помощью коррекции азимутального — ф и полярного — р углов по координатам двух известных рефлексов. Порядок выполнения таких работ требует выполнения несложных тригонометрических расчетов.
Таким образом, полуцилиндрическая кристаллографическая проекция достаточно проста в теории, а цилиндрический гониометр предоставляет возможность экспрессно получить ее для небольшого по размерам кристалла с использованием широко распространенной компьютерной техники. Градусная сетка и палетка позволяют оперативно выполнить расчеты кристаллографических характеристик реального кристалла.
Исследования выполнены при частичной финансовой поддержке проекта УрО РАН № 18-5-5-44 «Процессы и механизмы минералообразования, надмолекулярной организации минерального вещества, комплексной переработки минерального сырья и формирования нанострук-турированных материалов».
Литература
1. Грот П. Физическая кристаллография. Введение к изучению кристаллографических свойств важнейших соединений. Ч. II, III. Геометрические свойства и методы исследования кристаллов. СПб., 1897. 850 с.
2. Дэна Дж. Д., Дэна Э. С., Пэлач Ч., Берман Г., Фрон-дель К. Система минералогии. М.: И. Л., 1953. Т. 2, полутом 1. 774 с.
3. Квасница В. Н. Очерк минералогической кристаллографии природного алмаза // Mineralogical Journal (Ukraine). 2013. 35, № 2. P. 56—63.
4. Кухаренко А. А. Алмазы Урала. М.: Госгеолиздат, 1955. 510 с.
5. Мокиевский В. А. Морфология кристаллов: Методическое руководство. Л.: Недра, 1983. 295 с.
6. Раменская М. Е. Взаимодействие кристаллов со средой: структурно-геометрический анализ. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2008. 238 с.
7. Ракин В. И. Криволинейные поверхности растворения как отражение физико-химических свойств структуры кристалла // Кристаллография. 2011. Т. 56. № 2. С. 314—323.
8. Ракин В. И. Морфология алмазов уральского типа. Екатеринбург: РИО УрО РАН, 2013. 396 с.
9. Сиротин Ю. И., Шаскольская М. П. Основы кристаллофизики. М.: Наука, 1979. 639 с.
10. Сонин В. М., Жимулев Е. И., Помазанский Б. С., Земнухов А. Л., Афанасьев В. П., Чепуров А. И. Фотогониометрия кристаллов алмаза, растворенных в гетерогенной среде при 4 гПа и 1400 °С // Записки РМО. 2017. № 5. С. 115—124.
11. Чернов А. А., Гиваргизов Е. И.. Багдасаров Х. С. и др. Современная кристаллография. Образование кристаллов. М.: Наука, 1980. Т. 3. 408 с.
12. Шаскольская М. П. Кристаллография: Учеб. пособие для втузов. М.: Высш. шк., 1984, 376 с.
13. Goldschmidt V. Atlas Der Krystallformen. Bd. 2. Heidelberg: C. Winters Univ. Buch. Han. 1913.
14. Hartman P., Perdok W. G. On the relation between sructure and morphology of crystal. I. / Acta Crystallogr., 1955, V. 8. P. 49—52.
15. Hartman P., Perdok W. G. On the relation between sructure and morphology of crystal. II. / Acta Crystallogr., 1955, V. 8. P. 525—529.
16. Whitlock H. P. Calcites of New York / Albany. Univ. of the State of NY. 1910. 190 p.
References
1. Groth P. Fizicheskaya kristallografiya. Vvedenie k izucheniyu kristallograficheskih svoistv vazhneishih soedinenii. Ch. II, III. Geometricheskie svoistva i metody issledovaniya kristall-ov (Physical crystallography. Introduction to the study of the crys-tallographic properties of the most important compounds. Part II, III. Geometric properties and methods for studying crystals). St. Petersburg, 1897, 850 pp.
2. Dana J. D, Dana E. S, Palache Ch., Berman H., Frondel C., Sistema mineralogii (System of Mineralogy). V. 2, semitom 1. Moscow: Inostrannaya Literatura, 1953, 774 pp.
3. Kvassnitsa V. N. Ocherk mineralogicheskoi kristallografii prirodnogo almaza (A sketch of mineralogical crystallography of natural diamond). Mineralogical Journal (Ukraine), 2013, 35, No. 2, pp. 56—63.
4. Kukharenko A. A. Almazy Urala (Diamonds of the Urals). Moscow: Gosgeolizdat. 1955, 510 pp.
5. Mokievsky V. A. Morfologiya kristallov: Metodicheskoe rukovodstvo (Morphology of crystals: Methodological guidance). Leningrad: Nedra, 1983, 295 p.
6. Ramenskaya M. E. Vzaimodeistvie kristallov so sredoi: strukturno-geometricheskii analiz (Interaction of crystals with the medium: structural-geometric analysis). Moscow: Moscow University, 2008, 238 p.
7. Rakin V. I. Krivolineinye poverhnosti rastvoreniya kak otrazhenie fiziko-himicheskih svoistv struktury kristalla (Curved Surfaces upon Dissolution As a Manifestation of Physicochemical Properties of Crystal Structure). Crystallography Reports, 2011, V. 56, No. 2, p. 289—297.
8. Rakin V. I. Morfologiya almazov uralskogo tipa (Morphology of diamonds of Ural type). Ekaterinburg: RIO UB RAS, 2013, 396 pp.
9. Sirotin Yu. I., Shaskolskaya M. P. Osnovy kristallofiziki (Fundamentals of crystallophysics). Moscow: Nauka, 1979, 639 pp.
10. Sonin V. M., Zhimulev E. I., Pomazansky B. S., Zemnu-khov A. L., Afanasiev V. P., Chepurov A. I. Fotogoniometriya kristallov almaza, rastvorennyh vgeterogennoisredepri 4GPA i 1400 S (Photogoniometry of diamond crystals dissolved in a heterogeneous medium at 4GPA and 1400 °C). Proceedings of RMS, 2017, No. 5, pp. 115-124.
11. Chernov A. A., Givargizov E. I.,. Bagdasarov Kh. S. et al. Sovremennaya kristallografya. Obrazovanie kristallov (Modern crystallography. The formation of crystals). Moscow: Nauka, 1980, V. 3, 408 pp.
12. Shaskolskaya M. P. Kristallografya (Crystallography): textbook for technical colleges. Moscow: Vysshaya Shkola, 1984, 376 pp.
13. Goldschmidt V. Atlas Der Krystallformen. Bd. 2. Heidelberg: C. Winters Univ. Buch. Han. 1913.
14. Hartman P., Perdok W. G. On the relation between sructure and morphology of crystal. I. Acta Crystallogr., 1955a, V. 8, pp. 49-52.
15. Hartman P., Perdok W. G. On the relation between sructure and morphology of crystal. II. Acta Crystallogr., 1955b, V. 8, pp. 525-529.
16. Whitlock H. P. Calcites of New York. Albany. Univ. of the State of NY, 1910, 190 p.
