CC BY
53
Латыпов К. Ф. Latypov К. Е
аспирант кафедры «Управление и сервис в технических системах», Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Уфимский государственный нефтяной технический университет» г. Уфа, Российская Федерация
Доломатов М. Ю. Dolomatov М. Уи,
кандидат технических наук, доктор химических наук, профессор кафедры «Управление и сервис в технических системах», заведующий научно-исследовательской
лабораторией «Физика электронных процессов и наноматериалов», Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Уфимский государственный нефтяной технический университет», г. Уфа, Российская Федерация
УДК 53.04, 530.1
ПОЛУЭМПИРИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ЭНЕРГИИ ПОТЕНЦИАЛОВ ИОНИЗАЦИИ МЕТАЛЛОВ ПО ИНТЕГРАЛЬНЫМ КОЭФФИЦИЕНТАМ ОТРАЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
При изучении явлений, связанных с исследованием эмиссии, и при определении работы выхода электрона с поверхности твердых тел возникает проблема прогнозирования энергии ионизации. В настоящее время существует ряд методов прогнозирования, таких как методы Корринги-Кон-Ростокера, метод ортогонализи-рованных плоских волн и др., но они обладают существенными недостатками — плохо воспроизводят возбужденные состояния, в том числе спектр, ширину запрещенной зоны и другие параметры. Такие методы характеризуются математической сложностью и неадекватностью расчёта экспериментальных данных. Становится очевидным, что наряду с теоретическими методами необходимо развивать и полуэмпирические, опирающиеся на эксперимент.
В данной работе рассматривается функционал электронного состояния системы, вид которого в конкретном виде не определен. Учитывается только первый и второй порядок возмущения энергии квантовой системы. На основе такого подхода предложена двухпараметрическая полуэмпирическая феноменологическая модель. Физический смысл функционала заключается в отображении энергии совокупности твёрдых тел, близких по типу внешних электронных оболочек.
Этот полуэмпирический функционал определяется кулоновской и обменной энергией взаимодействия электронов, а также энергией электростатического взаимодействия всех электронов с ионами кристаллической решетки. Предлагаемый функционал зависит от физических свойств, которые связаны с энергией квантовой системы. Такими свойствами могут быть простые физические свойства, например, такие как интегральные коэффициенты отражения в ультрафиолетовом и видимом диапазонах электромагнитного спектра, заряды атомов. Они соответственно выражают электронное и электростатическое взаимодействие для электронов и их энергию взаимодействия с кристаллической решеткой. Эта модель подтверждается зависимостью первых потенциалов ионизации металлов от интегрального коэффициента отражения и зарядов атомов. Результаты подтверждаются статистической обработкой экспериментальных данных для металлов первой и второй групп периодической системы Менделеева методом многофакторного регрессионного анализа. Установленные зависимости имеют практическое значение для оценки энергий ионизации и работы выхода электронов многих металлических тел: монокристаллов, пленок, квантовых точек и других.
Ключевые слова: полуэмпирическая модель, функционал энергии, интегральный коэффициент отражения, заряды атомов, оптические спектры, электрон-электронное взаимодействие, статистическая обработка данных.
SEMIEMPIRICAL ASSESSMENT ENERGY METALS IONIZATION POTENTIALS ON INTEGRAL COEFFICIENT OF REFLECTION OF ELECTROMAGNETIC RADIATION
Forecasting of ionization energy presents difficulties in the processes related to emission research and electronic work function from the surface of solids. Nowadays several forecasting methods are used — such as Korringa-Kohn-Rostoker approximation, method of orthogonalized plane waves, etc., but they have essential disadvantages — excited states parameters are not clearly represented, such as the spectrum, the band gap, etc. These methods require complex math calculations and still have poor correspondence to experimental data. Therefore along with theoretical methods we should develop also semiempirical methods based on the experiment.
In this paper we research functional of electronic states of the system, which form is not defined in a particular way. We consider only first and second order of the power compensation of the quantum system. On this basis we suggest a two-parameter semiempirical phenomenological model. The physical meaning of functional is displaying sum-total energy of solids with outer electron shells of similar types.
This semiempirical functional is determined by Coulomb and interchange interaction energy of the electrons, and also by the energy of the electrostatic electronic interaction with the crystal lattice ions. This functional depends on the physical properties that are related to the energy of quantum system. These properties may be simple physical properties such as integrated reflectances in the ultraviolet and visible regions of electromagnetic spectrum, atomic charges. They respectively express electronic and electrostatic interaction of electrons and their interaction energy with the crystal lattice. This model is confirmed by correlation of the first metal ionization potentials to the integral reflection coefficient and atomic charges. The results are confirmed by statistical processing of experimental data for metals of the first and second groups in Mendeleev's classification conducted by multivariate regression analysis. These dependences have practical significance for evaluation of ionization energies and electron work function of many metallic agents: single crystals, films, quantum dots, and others.
Key words: semiempirical model, energy functional, integrated reflectance, atomic charges, optical spectra, electron-electron interaction, statistical data processing.
Введение
Для решения задач физической и прикладной электроники при изучении явлений, связанных с исследованием эмиссии, и для определения работы выхода электрона с поверхности твердых тел необходимо прогнозировать энергию их ионизации. Как известно, эта энергия соответствует границе занятой зоны проводимости и определяется зонной структурой тел [1]. В настоящее время существует значительная группа методов расчета зонной структуры, которые применяются для расчета металлов и полупроводников [2 — 5], таких как: метод ортогонализованных плоских волн, метод присоединенных плоских волн (ППВ), метод Корринги-Кона-Ростокера (ККР). По-прежнему используются методы, основанные на методе самосогласованного поля Хартри-Фока, в которых каждый электрон движется в поле периодического потенциала, создаваемом остальными электронами и неподвижными ионами решетки. Недостатками перечисленных методов является завышенное значение ширины запрещенной зоны. Наиболее широкое распространение получили методы теории функционала плотности Кона-Шэма [2].
Данные методы удовлетворительно оценивают основное состояние твердого тела, но плохо воспроизводят возбужденные состояния, такие как спектр, ширина запрещенной зоны и другие параметры. В методе функционала плотности Кона-Шэма (DFT) [2] предполагается, что функционал энергии основного состояния, вычисляемый в заданной точке пространства, определяется следующим образом
(1)
где р(г) = М^3г2\^г3...^3г„1г\г,гг,...,г„Мг,г2,...,гк), (2)
здесь г ,...,гы — расстояния между взаимодействующими частицами; у — соответствующая волновая функция.
Волновая функция в (2) считается функционалом, поэтому остальные наблюдаемые физические величины также функционалы рд.
Основной проблемой ББТ является попытка точного учета корреляционной и обменной энергии путём введения различных функционалов, что весьма непросто. В большинстве расчетов твердых тел обменно-корреляционный функционал разбивается на обменную и корреляционную составляющие, например, в методе Пердью-Бёрке-Эрнцерхофа (РВЕ). Использование этих функционалов в сочетании с многочастичной теорией возмущений дает хорошие результаты при расчете структуры и энергетических характеристик отдельных молекул и основных состояний идеальных твердых тел [5]. Недостатками метода ББТ являются: недооценка ширины запрещенной зоны в неидеальных решетках кристаллов, молекулах и кластерах, неточности и значительные погрешности в расчетах энергии ионизации, сродства к электрону и неприменимость к системам с открытыми оболочками, например к парамагнитным наночастицам. Для решения этой проблемы применяют многочастичную теорию возмущений, которая приводит к более адекватным результатам, но создает значительные вычислительные трудности, поэтому наряду с теоретическими необходимо развивать полуэмпирические подходы к оценке электронных состояний реальных твердых тел и молекул, которые опираются на эксперимент, и прежде всего на данные спектроскопии.
В настоящее время для определения энергии ионизации (ЭИ) и сродства к электрону (СЭ) наряду с
фотоэлектронной спектроскопией существует альтернативный метод, использующий интегральные характеристики электронных спектров поглощения в ультрафиолетовой (УФ) и видимой областях (так называемых интегральных сил осцилляторов [6, 7]). Так, в работе [6] выявлена эмпирическая связь между интегральными силами осциллятора (ИСО) электронного спектра поглощения атомов и молекул и первыми потенциалами ионизации (ПИ). Как известно, первый ПИ численно равен энергии ионизации, взятой с обратным знаком. В квазилинейном приближении эти закономерности имеют вид:
Р = а, +а2в, (3)
где P — потенциал ионизации, эВ; o.i,a2 — эмпирические коэффициенты, зависящие от типа орбитали, постоянные в данном гомологическом ряду, соответственно эВ, эВмольсмл-1нм-1;
0lg = JJlo Bt&dAde, (4)
Л,£
где 0lg — так называемый тета интеграл от логарифмической спектральной функции молярного коэффициента поглощения от длины волны, нм, лнммоль1 см-1; log ^ = f(e) — соответствующая логарифмическая спектральная функция поглощения электромагнитного излучения для атомов или молекул, безразмерная величина, характеризующая масштаб квантовой системы.
С физической точки зрения (4) отражает квантовый континуум множества электронных состояний. Кроме того, физический смысл величины (4) заключается в ее связи с энергией обменного и электростатического взаимодействия электронов, а также с зарядами атомов, так как идеальный электрон имеет силу осциллятора, равную единице. И согласно правилу сумм Томаса-Райха-Куна [8], выполняющегося для идеальных многоэлектронных систем, во внешних полях сумма сил осциллятора для всех электронов в N-электронной молекуле равна числу электронов N. Последнее означает косвенную связь этой величины с зарядами атомов. Принимая во внимание правило сумм и наличие связи энергии граничных электронных состояний с ИСО в выражении (3), логично предположить возможность существования эмпирической зависимости ПИ от зарядов ядер в квантовых системах. Наличие зависимостей (3) означает, что подобные закономерности связи интегральных характеристик отражения и энергии ионизации должны выполняться для плёнок и кристаллов металлов и полупроводников.
В соответствии с изложенным, логично предположить существовании связи вида
' 3 = f(0K,S), (5)
где S — энергетический параметр, характеризующий спектр квантовой системы, например, потенциал ионизации, эВ; S — структурный параметр, характеризующий электромагнитное взаимодействие частиц; 6R — величина, характеризующая результирующий спектр отражения системы (квантовый континуум электронных состояний), определяемый интегрированием коэффициента отражения по всему спектру.
вл=\\${е,Ку!аШ, (6)
еД
где е — энергия электромагнитного излучения, Дж; R — коэффициент отражения; £ — соответствующая функция спектральной плотности энергии электромагнитного излучения взаимодействующего с частицами вещества.
Цель работы
Целью данной работы является исследование взаимосвязи первых ПИ и интегральных коэффициентов отражения (ИКО) кристаллами и пленками металлов 1, 2 группы (№, К, Си, Rb, А^ Cs, Аи, Ве, М^ Са, гп, Sr, Cd, Ва) в рамках двухпараметрической феноменологической модели неидеальных многоэлектронных систем.
Основная идея работы состоит в предположении, что спектр суммы собственных значений энергий совокупности из т неидеальных квантовых систем Е описывается определенным суперфункционалом от энергии всех основных и возбужденных электронных состояний. Эти энергетические суперфункционалы могут быть построены из квантовых систем с одинаковым строением внешних электронных оболочек, например, элементов определенной группы в системе Д.И. Менделеева. Суперфункционалы, в свою очередь, выражаются через наборы подмножеств функционалов различных сохраняющихся физических величин, учитывающих обменное взаимодействие электронов и их электростатическое взаимодействие между собой и ионами решеток твердых тел. В соответствии с изложенным ниже, варианты таких подмножеств могут быть построены в виде подмножеств функционалов от ИСО в(е,Х) и функционалов зарядов F(Z). Эти величины отражают законы числа частиц и сохранения заряда квантовой системы соответственно.
Е=г{в,г). (7)
В общем случае функционал в построен на классе не сепарабельных, гладких, ограниченных функций, которые, в свою очередь, являются суперпозицией дискретных, спектральных Блоховских функций и могут быть представлены, например, функциями ¥ от рядов Фурье для т решеток:
еМ^ЕЕА^) (8)
V т п )
где А — константа; t — время; с, п — число членов ряда Фурье; i — комплексная единица, k=2п/X.
Очевидно, что множество функций етЫе[-оо<п<оо] в (8) образует бесконечномерный базис линейного пространства L2[a;b] ортогональных синус-косинусных функций.
Предположим, что в рядах структур твердых тел, содержащих атомы с одним типом внешней электронной оболочки, потенциалы межчастичного взаимодействия близки между собой и энергией электронной системы, тогда отклонение неидеального функционала энергии от некоторого исходного значения ЛF будет характеризовать электронное состояние решетки металла с данным структурным распределением заряда, соответствующим определенной группе симметрии.
Считая функционал Е в (7) непрерывной функцией двух переменных, разложим его в ряд по степеням (в-в0) и (2-20) и некоторого остаточного члена:
в-в0 аЖ.г0) | (в-в0)2 аУ(е0,гй)| и
Е = Р{в,Х)=/{в0,20)
дв
2!
дв2
(<1-0,у д3/{(1,г0)1 г-г„
3! дв3 11
'у(о..г,)| в-в, д2/{в0,г0) '
дг н д[гв) (в-в0)2 83/{(2,г0) е(гв2)
2!
(г-г0)2 82/{в0,г0) е- -в0 83А(3,г0) г-г0)3 г3/{в,щ)
2! 1! о(г2 в) 3! д(г)3
(9)
где п,=г0 + ц,(г-гДо<л</; £,=е+М2(в-в0),о<М2< 1; £2=в + Мз(в- в0), 0<ц3<1; $3=в + ц4(в -в0),О<М4<1.
При п=2 формула (9) примет вид р(в,г)=А0+А1(в-в0)+л2(г-20)+
+[А1(в-воу+А,{в-в0\г-г0)+А5(2-гоуУп, (10) где коэффициенты Ад, ..., А5 не зависят от в и 2, а О — остаточный член, структура которого аналогична структуре остаточного члена в формуле Тейлора для сходящегося ряда двух переменных.
Полагая вд=0 и 2==0, О^О перепишем формулу (9) в виде
Е = А0+Агв + А2-г + Аув2+А^2 + А5-г2 (11)
Физический смысл коэффициентов Ад, ..., А5 заключается в характеристике возмущения суперфункционала энергетического спектра квантовой системы под влиянием структурных, кулоновских и обменных факторов электронного взаимодействия. Выражение (11) позволяет искать зависимость энергии ионизации I в виде полуэмпирической квадратичной функции двух переменных: ИКО и зарядов атомов кристаллической решетки
\ = а0+а1-в + &2-1 + а382 + аА-в2 +а5-22, (12)
где вк — ИКО, эВ; ад,., а5 — эмпирические коэффициенты, имеющие следующую размерность: ад [эВ]; а1 — безразмерный; а2. [эВ/Кл]; а3 [Кл-1]; а4 [эВ-1]; а5 [эВ/Кл2].
Несмотря на полуэмпирический характер зависимости (11) коэффициенты ад, ..., а5 очевидно имеют физический смысл как характеристики возмущения внешней электронной оболочки. Так, ад характеризует тип электронной оболочки; ар а4 — возмущение оболочек под влиянием кулоновских и обменных факторов электронного взаимодействия; а2, а5 — возмущение оболочек под влиянием кулоновских факторов взаимодействия электронов с ионами решетки и распределение ее электростатического потенциала; а4 характеризует возмущения в результате совместного электростатическое и спин-решеточного взаимодействия. Очевидно, что члены, пропорциональные 2 и 22, можно интерпретировать через энергию кулонов-ского взаимодействия точечных зарядов или экранированных систем зарядов, но в нашем подходе это не имеет значения, так как подход к решению задачи феноменологический.
Рисунок 1. Спектры отражения металлов: № (жидкое состояние) (а), Си (массив) (б), Mg (плёнка) (в), Zn (монокристалл) (г)
Таблица 1. Физические свойства металлов 1 и 2 группы
Металлы Состояние ИКО, отн. ед. Заряд ядра ПИ эВ эксп. Металлы
№ пленка 531,24 11 5,14 №
К пленка 224,17 19 4,34 К
Си пленка 727,83 29 7,73 Си
Rb пленка 163,63 37 4,18 Rb
Ag пленка 771,25 47 7,58 Ag
Cs пленка 258,31 55 3,89 Cs
Аи пленка 867,50 78 9,27 Аи
Ве напыленное 393,57 4 9,32 Ве
Mg напыленное 573,37 12 7,65 Mg
Са напыленное 331,72 20 6,11 Са
Zn монокристалл 929,66 30 9,39 Zn
Зг напыленное 293,95 38 5,69 Зг
са напыленное 799,35 48 8,99 са
Ва напыленное 304,15 56 5,22 Ва
Таблица 2. Статистические характеристики двухпараметрической феноменологической модели потенциалов ионизации
Металлы и тип внешней оболочки Y, безр. в-на Y2, безр. в-на S, эВ
Металлы первой группы пй1 0,996 0,993 0,040
Металлы второй группы пв2 0,984 0,968 0,020
Таблица 3. Коэффициенты разложения функционала электронных энергий регрессионной модели для потенциалов ионизации металлов 1 и 2 групп
a* эВ a|, безр. a2, эВ/Кл a3, Кл-1 a4, эВ-1 a5, эВ/Кл2
Металлы первой группы ns1 6,59777 -0,01407 -0,02003 -0,00005 2,000 10 -5 0,00037
Металлы второй группы ns2 13.3239 -0,0128 -0,2942 0,0002 1,098 10 -5 0,0027
Таблица 4. Расчетные и экспериментальные ПИ для металлов первой группы системы Менделеева
Металлы ИКО, отн.ед. Заряд ядра ПИ эксп., эВ ПИ расч., эВ АПИ, эВ
Na 531,24 11 5,14 5,235 -0,095
K 224,17 19 4,34 4,116 0,224
Cu 727,83 29 7,73 7,139 0,591
Rb 163,63 37 4,18 3,552 0,628
Ag 771,25 47 7,58 8,493 -0,913
Cs 258,31 55 3,89 4,397 -0,507
Au 867,5 78 9,27 8,921 0,349
Таблица 5. Расчетные и экспериментальные ПИ для металлов второй группы системы Менделеева
Металлы ИКО, отн. ед. Заряд ядра ПИ эксп., эВ ПИ расч., эВ АПИ, эВ
Be 393,57 4 9,32 9,119 0,201
Mg 573,37 12 7,65 7,651 -0,001
Ca 331,72 20 6,11 6,641 -0,531
Zn 929,66 30 9,39 9,418 -0,028
Sr 293,95 38 5,69 5,181 0,509
Cd 799,35 48 8,99 8,950 0,040
Ba 304,15 56 5,22 5,409 -0,189
Объекты исследования и результаты
В качестве объектов исследования нами выбраны электронные спектры отражения металлов 1 и 2 группы периодической системы: №, К, Си, Rb, Ag, Cs, Аи, Ве, Mg, Са, Zn, Sr, Cd, Ва. Соответствующие спектры выбирались из справочных данных [9]. Образцы металлов первой группы представляли собой пленки толщиной 100-1000 нм. Образцы металлов второй группы представляли собой напыленные структуры толщиной до 100 нм. Отдельные спектры отражения металлических поверхностей по данным [9] приведены на рисунке 1.
Интегрирование спектров проводили методом трапеции с шагом 5 нм. Потенциалы ионизации атомов металлов выбирались по известным данным атомной эмиссионной спектроскопии. Соответствующие данные приведены в таблице 1.
Коэффициенты (12) рассчитывали методом наименьших квадратов [10] по экспериментальным данным [9]. Статистическую обработку спектров отражения проводили методом многофакторного регрессионного анализа по стандартным программам [11] с оценкой множественного коэффициента корреляции Y, коэффициента детерминации У2, стандартную ошибку соответствующие данные приводятся в таблице 2.
Значения этих коэффициентов модели приведены в таблице 3. Расчеты свидетельствуют о значимости всех коэффициентов в (12).
Обсуждение результатов
Таким образом, на основе экспериментальных спектроскопических данных установлены корреляционные зависимости первого ПИ от ИКО.
Достоверность полученных данных подтверждена расчетной оценкой погрешности.
В таблицах 4, 5 приведены данные о соответствии расчетных и экспериментальных значений ПИ.
Для металлов 1 и 2 групп таблицы Менделеева соответствующие ошибки расчетов составляют: среднеквадратичная — 0,04 и 0,2 эВ; средняя абсолютная — 0,20 и 0,49 эВ соответственно.
Из приведенных результатов следует, что существует взаимосвязь первых ПИ с ИКО металлических тел и зарядами элементов 1 и 2 групп периодической системы. Это подтверждают высокие значения коэффициентов множественной корреляции Y=0,98-0,99. Очевидно, точность измерений можно повысить, уменьшая ошибку эксперимента определения спектров отражения путем подготовки однородных поверхностей образцов, однородных по микроструктуре и степени шероховатости.
Выводы
Установлены зависимости для оценки энергий ионизации и работы выхода электронов в пленках. Для первого и второго порядков возмущения суперфункционала энергии квантовой системы предложена двухпараметрическая полуэмпирическая феноменологическая модель, связывающая энергию ионизации с интегральным коэффициентом отражения излучения в видимом и УФ диапазонах спектра. Физический смысл суперфункционала заключается в энергии совокупности электронных основных и возбужденных состояний твердых тел, близких по типу внешних электронных оболочек.
Результаты подтверждаются статистической обработкой экспериментальных данных для металлов первой и второй групп периодической системы
Менделеева методом многофакторного регрессионного анализа.
Список литературы
1. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела.
— М.: ООО «МедиаСтар», 2006. — 538 с.
2. Зиненко В.И., Сорокин Б.П., Турчин П.П. Основы физики твердого тела. — М.: Физ.-мат. лит., 2001. — 336 с.
3. Kresse G., Joubert D. The guide of VASP // Phys. Rev. — 59. — 1758 (1999). — URL: https://cms.mpi. univie.ac.at/marsweb/index.php.
4. Кон В. Электронное строение вещества — волновые функции и функционалы плотности // УФН.
— 2002. — Т. 172. — № 3. — С. 336-338.
5. Андриевский Б.В., Романюк Н.Н., Мищишин О.Я. и др. Расчет зонной структуры и оптических свойств кристаллов ГАСГ // Физика твердого тела. — 2012.
— Т. 54. — № 10. — С. 1940-1945.
6. Доломатов М.Ю., Мукаева Г.Р. Способ определения потенциалов ионизации и сродства к электрону атомов и молекул методом электронной спектроскопии // Журнал прикладной спектроскопии. — 1992.
— Т. 56. — № 4. — С. 570.
7. Dolomatov M. Yu., Shulyakovskaya D. O., Mukaeva G.R., Jarmuhametova G.U., Latypov K.F. Simple characteristics estimation methods of material and molecule electronic structure // Journal of Materials Science and Engineering. — 2012. — B 2 (4). — P. 261-268.
8. Юдин Г.Л. Сила осциллятора // Физическая энциклопедия. — М.: Большая российская энциклопедия, 1994. — Т. 4. — С. 495.
9. Золотарев В.М., Морозов В.Н., Смирнова Е.В. Оптические постоянные природных и технических сред: справочник. — Л.: Химия, 1984. — С. 69-98.
10. Бахвалов Н.С. Численные методы. — М.: Наука, 2000. — 630 с.
11. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Статистический анализ данных на компьютере. — М.: Физ.-мат. лит., 1998. — 528 с.
References
1. Kittel' Ch. Vvedenie v fiziku tverdogo tela. — M.:
000 «MediaStar», 2006. — 538 s.
2. Zinenko VI., Sorokin B.P., Turchin P.P. Osnovy fiziki tverdogo tela. —M.: Izd. Fiz.-mat. lit., 2001. — 336 s.
3. Kresse G., Joubert D. The guide of VASP // Phys. Rev. — 59. — 1758 (1999). — URL: https://cms.mpi. univie.ac.at/marsweb/index.php.
4. Kon V. Elektronnoe stroenie veshchestva — vol-novye funktsii i funktsionaly plotnosti // UFN. — 2002.
— T. 172. — № 3. — S. 336-338.
5. Andrievskii B.V, Romanyuk N.N., Mishchishin O.Ya.
1 dr. Raschet zonnoi struktury i opticheskikh svoistv kristallov GASG // Fizika tverdogo tela. — 2012.
— T. 54. — № 10. — S. 1940-1945.
6. Dolomatov M.Yu., Mukaeva G.R. Sposob opredele-niya potentsialov ionizatsii i srodstva k elektronu atomov i molekul metodom elektronnoi spektroskopii // Zhurnal prikladnoi spektroskopii. — 1992. — T. 56. — № 4.
— S. 570.
7. Dolomatov M.Yu., Shulyakovskaya D.O., Mukaeva G.R., Jarmuhametova G.U., Latypov K.F. Simple characteristics estimation methods of material and molecule electronic structure // Journal of Materials Science and Engineering. — 2012. — B 2 (4). — P. 261-268.
8. Yudin G.L. Sila ostsillyatora // Fizicheskaya entsik-lopediya. — M.: Bol'shaya rossiiskaya entsiklopediya, 1994. — T. 4. — S. 495.
9. Zolotarev V.M., Morozov V.N., Smirnova Ye.V. Opticheskie postoyannye prirodnykh i tekhnicheskikh sred: spravochnik. — L.: Khimiya, 1984. — S. 69-98.
10. Bakhvalov N.S. Chislennye metody. — M.: Nauka, 2000. — 630 s.
11. Tyurin Yu.N., Makarov A.A. Statisticheskii analiz dannykh na komp'yutere. — M.: Fiz.-mat. lit., 1998. — 528 s.
