CC BY
36
DOI: 10.24411/0235-2451-2019-11118 УДК664.405:66-911.6
Получение кумулятивной функции удельной поверхности пористых сред по заданной гистограмме частотного распределения размеров пор
В. Г. ЖУКОВ, В. М. ЧЕСНОКОВ, Н. Д. ЛУКИН
Всероссийский научно-исследовательский институткрахмалопродуктов - филиал Федерального научного центра пищевьх систем им. В. М. Горбатова РАН, ул. Некрасова, 11, пос. Красково, Люберецкий р-н, Московская обл., 140051, Российская Федерация
Резюме. Удельная поверхность пористых сред служит характеристикой порового пространства для расчета многочисленных процессов при хранении и переработке различных материалов в пищевых и других производствах. Цель исследования заключалась в разработке методики определения статистических кумулятивных функций расчета величины удельной поверхности в консолидированных или дискретных пористых средах в зависимости от выбираемых ансамблей размеров пор от их отдельных размеров до всей совокупности в поровом пространстве. Пористая среда представлена как непрерывная с возможностью применения к ее аналитическому описанию понятия бесконечно малой величины поры. С этих позиций рассмотрена задача определения кумулятивной функции удельной поверхности как производной от поверхности порового пространства по объему образующего ее консолидированного или дискретного материала. Функция удельной поверхности выражена через размер поры. В явном виде это двузначная функция по отношению к имеющей экстремум статистической частотной функции гистограммы распределения пор. Для однозначности функции размер пор представлен в виде двух функций, стыкующихся в точке максимального значения аргумента частотности. На их основе получены две статистические функции частотного распределения удельной поверхности и две стыкуемые ветви ее кумулятивного вида. Предложен безразмерный критерий интенсивности развития удельной поверхности, отражающий эффективность расхода материала на ее развитие. Он представляет собой отношение накапливаемой величины удельной поверхности, создаваемой порами малого размера вплоть до экстремума стсти-стической функции, к удельной поверхности пор большого размера за экстремумом статистической функции. Этот же критерий может быть представлен как удельная характеристика, осредненная по единичной поре соответствующего участка статистической функции. Предложенный метод расчета позволяет вычислять удельную поверхность консолидированной или дискретной пористой среды любого ансамбля размеров от единичной поры до полного их набора изменением пределов интегрирования в двух ветвях кумулятивной функции удельной поверхности. Ее формула удобна для встраивания в расчетные зависимости процессов и оборудования. Ключевые слова: пористая среда, поры, непрерывность, удельная поверхность, статистическая функция, логнормальное распределение, кумулятивная функция удельной поверхности, критерий интенсивности.
Сведения об авторах: В. П Жуков, доктор технических наук, главный научный сотрудник (e-mail: z-v-gr@mail.ru); В. М. Чесноков, кандидат технических наук, старший научный сотрудник (e-mail: vmches@yandex.ru); Н. Д. Лукин, доктор технических наук, директор (e-mail: vniik@ arrisp.ru).
Для цитирования: Жуков В. П, Чесноков В. М., Лукин Н. Д. Получение кумулятивной функции удельной поверхности пористых сред по заданной гистограмме частотного распределения размеров пор // Достижения науки и техники АПК. 2019. Т 33. № 11. С. 82-87. DOI: 10.24411/0235-2451-2019-11118.
Obtaining the Cumulative Function of the Specific Surface of Porous Media according to a Given Histogram of the Frequency Distribution of Pore Sizes
V. G. Zhukov, V. M. Chesnokov, N. D. Lukin
All-Russian Research Institute of Starch Products - the branch of the V. M. Gorbatov Federal Science Center of Food Systems of the RAS, ul. Nekrasova, 11, pos. Kraskovo, Lyuberetskii r-n, Moskovskaya obl., 140051, Russian Federation
Abstract. The specific surface of porous media is a characteristic of the pore space for calculating numerous processes during storage and processing of various materials in food and other industries. The purpose of the study was to develop a methodology for determining the statistical cumulative functions of calculating the specific surface area in consolidated or discrete porous media depending on the selected ensembles of pore sizes from their sizes to their total in pore space. The porous medium was presented as continuous with the possibility of applying the concept of infinitesimal pore size to its analytical description. The problem of determining the cumulative function of the specific surface as a derivative from the surface of the pore space by the volume of its consolidated or discrete material was considered from these perspectives. The specific surface function was expressed in terms of pore size. In explicit form, this is a two-valued function for statistical frequency function of the histogram of pore distribution with an extremum. For the one-valuedness of the function, the pore size was presented in the form of two functions that joined at the point of the maximum value of the frequency argument. Based on them we obtained two statistical functions of the frequency distribution of the specific surface and two joined branches of its cumulative form. A dimensionless criterion was proposed for the intensity of development of the specific surface. It reflected the efficiency of the consumption of material for its development. It was the ratio of the accumulated value of the specific surface created by small pores up to the extremum of the statistical function to the specific surface of large pores beyond the extremum of the statistical function. The same criterion can be presented as a specific characteristic averaged over a unit pore of the corresponding section of the statistical function. The proposed calculation method allowed us to calculate the specific surface of a consolidated or discrete porous medium of any ensemble of sizes from a single pore to their complete set by changing the integration limits in two branches of the cumulative function of the specific surface. Its formula was convenient for embedding in the calculated dependencies of processes and equipment.
Keywords: porous medium; pores; continuity; specific surface; statistical function; lognormal distribution; cumulative specific surface function; intensity criterion.
Author Details: V. G. Zhukov, D. Sc. (Tech.), chief research fellow (e-mail: z-v-gr@mail.ru); V. M. Chesnokov, Cand. Sc. (Tech.), senior research fellow, (e-mail: vmches@yandex.ru); N. D. Lukin, D. Sc. (Tech.), director (e-mail: vniik@arrisp.ru).
For citation: Zhukov V. G., Chesnokov V. M., Lukin N. D. Obtaining the Cumulative Function of the Specific Surface of Porous Media according to a Given Histogram of the Frequency Distribution of Pore Sizes. DostizheniyanaukiitekhnikiAPK. 2019. Vol. 33. No. 11. Pp. 82-87 (in Russ.). DOI: 10.24411/0235-2451-2019-11118.
Трудно найти перерабатывающее производство, в котором материалом или продуктом не оказывались бы пористые среды. Они присутствуют в пищевых [1, 2, 3], агропромышленных [4, 5], химических [6, 7], нефте- и газодобывающих [8, 9], медицинских [10] и других произ-
водствах. Вследствие развитой поверхности межфазного контакта в пористых средах такие тепловые и массооб-менные процессы, как теплопередача, фильтрация, сушка, экстракция, промывка осадков и многие другие, протекают с высокой степенью интенсивности, во многом определяя
высокое качество и низкую стоимость продукта. Потому так актуальны и многочисленны публикации по решению научных и производственных задач по такой тематике.
Пористая среда представляет собой пористую структуру консолидированного или дискретного материала. Его полиразмерные поры имеют сложный вид и случайным образом распределены по объему материала. Такие геометрические особенности делают невозможным точное аналитическое описание порового объема и происходящих в нем процессов. В этой связи моделирование формы пор и переход к их моноразмерности в пористой среде, наиболее распространенный в научных и практических расчетных задачах прием.
Прерывистость, просветность, пористость, проницаемость и удельная поверхность составляют 5 наиболее часто применяемых к пористой среде параметров [10, 11, 12]. Определение их величин основано, как правило, на прямых экспериментах или расчетах по параметрам, определяемым также экспериментальным путем, и сводится к определению конкретного численного значения, осредненно представляющего конкретную пористую среду [4].
Одна из наиболее важных характеристик при анализе процессов, происходящих на поверхности порового пространства, - удельная поверхность. Для сложного по геометрии порового пространства пористых консолидированных и дискретных материалов ее часто рассматривают в виде осредненной величины, зависящей от выбранного эффективного размера пор [4, 8, 11]. В последнее десятилетие для описания гистограмм стали широко применять статистические функции [13]. Публикации, в которых применены статистические функции описания пористых сред, обычно относятся к дискретным пористым средам с точечным контактированием частиц модельных форм, что упрощает получение формул удельной поверхности, но ограничивает их применение [4, 11, 14]. При этом известные решения с привлечением статистических исследований не отражают накопительного в виде кумулятивных функций характера влияния полиразмерных ансамблей пор на рост удельной поверхности или дают ориентировочную числовую ее величину. Такой подход существенно затрудняет оценку влияния отдельных размерных ансамблей пор и применение его результатов в расчетах процессов и оборудования.
Цель исследования заключалась в разработке методики получения статистических кумулятивных функций для расчета величины удельной поверхности в консолидированных или дискретных пористых средах и в зависимости от выбираемых ансамблей размеров пор от отдельных размеров пор до всей их совокупности в поровом пространстве.
Условия, материалы и методы. Материалы, для переработки которых важна характеристика удельной поверхности, включают большой набор пористых сред широкого назначения. Наше исследование носит теоретический характер. Его результаты можно распространять на изотропные пористые среды со стохастическим равномерным распределением пор в самых разнообразных пищевых и иных производствах. Это пищевые продукты (крахмал, сублимированные пористые продукты, сахар, мука, поваренная соль, лимонная кислота, урожай в хранилищах), почвогрунты, химические (минеральные удобрения, аскорбиновая кислота), нефтехимические (нефтеносные пласты), медицинские (активированный уголь, таблетируемые лекарственные препараты), строительство (пористые строительные материалы, включая бетон) и др.
Методы исследования относятся к аналитическим, основанным на экспериментальной гистограмме ча-
стотного распределения модельных пор по размерам и описывающей эту гистограмму статистической функции. Обработкугистограммы и применение выведенных формул в практических расчетах осуществляли с использованием программы МаИпсаС. В качестве примера типа распределения выбрано логнормальное, часто отражающееся в гистограммах пористых сред. При этом тип распределения не влияет на методику решения.
Общая формула удельной поверхности е. (м-1) имеет вид:
в =
V
(1)
где - общая поверхность пор, м2, V - объем пористой среды, м3.
Под объемом могут подразумеваться разные его виды [4]. Мы в дальнейшем будем относить параметр V к объему образующего поры материала V,. без учета объема порового пространства V . В этом случае объем материала V,. связан с объемом пор V формулой:
1-У"
(2)
где у - безразмерная пористость среды. Сомножитель у/(1-у) получается из геометрического баланса при рассмотрении суммарного объема Vz = Vs+Vp, и пористости у = Ц/Ц,. Причем этот сомножитель справедлив как для пористой среды в целом, так и для одиночной поры с создающим ее материалом.
Определение параметров в правой части уравнения (2) должно отражать поровое пространство, имеющее геометрически сложный вид. Моделируя форму пор, параметры правой части в (1) выражают через полный набор их размеров в пористой среде в виде сумм частот их распределения [11, 14] или сводят к виду с единственной порой эффективного размера Ьр [4, 8]. Так, для модели эффективной поры в виде сферы диаметром Ьр с учетом V = V. формула удельной поверхности будет иметь следующий вид:
в =Т^ =
П Ь\
_ 6 у
V. Ур1-у
(3)
Величиной Ьр осредненно учитывают весь полиразмерный характер пористой структуры, подразумевая его постоянным. Размер Ьр определяют по гидравлическому радиусу с переходом к достаточно просто определяемой экспериментально проницаемости, моде, медианному, гармоническому значению размера пор. Примененяемая в расчетах эффективная величина Ьр имеет в значительной степени неопределенный характер, на что указывают различные методы ее определения. Получаемые таким образом формулы дают конечный результат в виде числа, обобщенно отражающего распределение пор по размерам. Они не представляют удельную поверхность .. как функцию с текущей координатой. Это в дальнейшем усложняет их использование при расчетах процессов и оборудования и не позволяет оценить вклад пор различных размеров в развитие удельной поверхности.
Более целесообразно определение формулы удельной поверхности е. с использованием экспериментальных частотных гистограмм распределения пор по размерам в координатах 1(у)-х и соответствующих им статистическим функциям. В этом случае по выбранной модели пор строят экспериментальную гистограмму их частотного распределения по размерам. Логнормальному распределению случайной величины соответствует следующая статистическая функция [15]:
ха
Т2я
(4)
где y(x) - частота события x; a, c и а - коэффициенты соответствия функции гистограмме (все безразмерные).
Однако применение их в таком виде для описания удельной поверхности невозможно, поскольку в знаменателе формулы (3) находится размер поры Ь, а не его частотная характеристика у(х) в (4).
Результаты и обсуждение. При расчетах процессов, происходящих в пористых средах, и технологического оборудования для их осуществления подразумевается, что структура исследуемого образца не зависит от выбранного масштаба его объема. Такой подход основан на том, что пористая среда - это объект, твердая часть которого образует стохастически (не детер-минированно) пронизывающую его пористую структуру, размер пор и различия в их структуре и распределении несоизмеримо малы, по сравнению с объемом среды, в которой происходят процессы, описываемые с помощью ее геометрических характеристик. Отсюда следует, что пористой средой считается стохастически равномерное распределение порового пространства в сколь угодно малом, но значительно большем, чем размеры пор, объеме. При этом пористая среда может быть изотропной или неизотропной, однородной или неоднородной. Несопоставимое соотношение между размерами перерабатываемого массива пористой среды и размерами пор соответствует определению пористой структуры как непрерывной.
Представление пористой среды как непрерывной позволяет применять для аналитического описания происходящих в ней процессов математический аппарат механики сплошных сред, оперирующий бесконечно малыми величинами. Так, фильтрация, как гидродинамический процесс, описывается с использованием дифференциальных уравнений движения и неразрывности [4, 9, 11]. При этом вязкостные члены, формирующие истинный вид движения фильтрата по порам, заменены в уравнениях движения на фиктивные осредненные силы сопротивления Жуковского [9]. Такие уравнения приводят, например, к формуле Дарси.
В этой связи все геометрические характеристики (прерывистость, просветность, пористость, проницаемость и удельная поверхность), являющиеся отношением двух величин, можно рассматривать как первые производные соответствующего характеристике параметра по переменной знаменателя формулы.
Рассматривая пористую среду как непрерывную, составленную из сферических пор эффективного размера, и материал также в виде сфер получаем формулу удельной поверхности:
с/Б„ _ с/вр у _ с/(лЬр) у
в, =
Ф/, <*(т1Ьр3/6)1-7
у 4 у
(5)
2пЬрЬЬр
(Зт1Ьр2/б)АЬр
1-
Ьр1-У
где Ьр - переменная величина.
При выведении (5) пористость у, характеризующая пористую среду в целом и соответствующая доле среды, содержащей каждую пору в отдельности, оказывается постоянной и потому вынесена за знак дифференциала. Вид постоянного множителя с пористостью в уравнении (3) зависит от выбранного знаменателя в исходной формуле удельной поверхности. Это условие оказалось невостребованным при выведении формулы (3), но важным примени-
тельно к непрерывной среде в рассматриваемой методике. Так, если знаменатель в (1) принять за полный объем Ц, пористой структуры, то множителем в (3) и (5) окажется просто величина пористости у. Поскольку величина пористости принята постоянной, то различие вида множителей влияет в рассматриваемой методике лишь на величину.,, несколько снижая ее при V = Vz, дающем множитель у.
Конечный вид формулы (5) отличается от других известных только величиной коэффициента в числителе, равного 4. Например, в формуле удельной поверхности е. по (3), выраженной отношением конечных величин Sp, V,. и V , этот коэффициент для модели сферических пор равен 6 [4, 8, 11].
В гистограммах абсолютный размер пор Ьр (м) обычно выражен через его относительную безразмерную величину х в виде соотношения:
Ьр=Кх, (6)
где размерный множитель К (м) устанавливается в эксперименте и построении гистограммы.
В статистических функциях параметр х служит аргументом. В нашем исследовании он выражен как функция частотности х = Цу). Тогда формула (5) с учетом (6) будет иметь вид:
4 у 4 у 4 К"1 у
(7)
в, =
г Ьр 1-у Кх 1-у Г(у) 1-у'
где х = %у).
В формуле (7) функцию Цу) от переменной х находят из статистической формулы, принятой для заданной гистограммы.
Рассмотрим определение х= Цу) на примере гистограммы, близкой логнормальномураспределению размеров пор в пористой структуре по (4).
В (4) три коэффициента а, с и а определяют по выбираемым на гистограмме характерным точкам М. Их координаты подставляют в (4).
Функцию (4) получим достаточно близкой гистограмме по двум точкам. Одна из точек (М1) соответствует максимальному значению гистограммы. По ней записывают два уравнения: уравнение по координатам этой точки и уравнение первой производной статистической функции, равной нулю в этой точке. Третье уравнение записывают, используя координаты точки в конце гистограммы, например, в точке М2. Такая методика вычисления коэффициентов в (4) проще рассмотренной в [15] и точнее отражает гисторамму.
Таким образом, получаем три уравнения по двум точкам. Три константы можно рассчитать также по трем уравнениям, составленным по координатам трех характерных точек гистограммы.
После вычисления коэффициентов в (4) выразим оттуда в явном виде х. С этой целью после логарифмирования (4) получим квадратное уравнение:
(8)
и +2а и + 2а1п— = О, С
X с
где обозначено
а <тл/271
После определения корней уравнения (8) и потенцирования формула корней имеет вид:
-а 2 ±ст,/о 2 -2/л—
(9)
Функция размера х12=1(у) по (9) двузначна. Чтобы избежать этого, рассматриваем ее как две функции х1 и х, стыкующиеся в точке у=утх. Функция, перед корнем которой стоит минус:
= (10) _ Достижения науки и техники АПК. 2019. Т. 33. № 11
отражает начальную, восходящую ветвь 1 частотной кривой (рис. 1).
Функция, перед корнем которой стоит плюс:
(11)
Х2 =^(.У)=ае соответствует нисходящей ветви 2. Подставляем (10) и (11) в (7) и получаем две функции частотного распределения величины удельной поверхности поскольку формирующий их параметр х также соответствует частотной функции распределения пор по размерам х = 1(у)\
4 у 4К~1 у " (12)
в«, =
к*,1-у /;(у) 1-у' _4__у _ 4 К "1 у
(13)
Удельная поверхность по (12) и (13) - это первая производная от своей кумулятивной функции у. В обобщенном виде она должна иметь вид:
В результате для первого участка интегрирования, соответствующего интервалу 0-утах, накапливаемая величина удельной поверхности определяется формулой:
44 ■'о 51 * 1-у ^(у)
(14)
для второго участка, соответствующего интервалу утах-утт, с учетом добавления у2 к уже накопленной удельной поверхности на первом участке у1тах получаем:
¥х2 =¥1™, +
= 4 К
-1 У 1-у
РУ1тах (1У
Г Ут1п ,
К
т
Г
Л У
с/у
4 (У)
(15)
г = -
который указывает на эффективность использования материала с этой целью, или его удельная безразмерная характеристика
. Уцпах/ Уц _ ¥цтах
г, =
¥2тах/Уи №
)/уж
(17)
где уЕ1=Еуи - относительное количество пор на первом участке и уЕ2=¿у2 - относительное количество пор на втором участке, рассчитываемые по рис. 1.
Чем больше критерии, тем эффективнее расходуется материал на развитие удельной поверхности в пористой структуре.
Изменяя пределы интегрирования в функциях (10)... (15), можно вычислять удельную поверхность любого ансамбля пор: от удельной поверхности пор одного размера, до полного набора всех пор в гистограмме их частотного распределения по размерам.
Пример расчета. Пусть имеем гистограмму частотного распределения пор для крахмальных зерен картофеля
Абсолютная величина у2 в (15) принята вследствие снижения ее значений с уменьшением у для получения возрастающей функции уЕ2.
При нижнем пределе интегрирования у2 равном утах должны получить на графике стыковку двух ветвей функции
В связи с наличием двух участков кумулятивной кривой может быть предложен безразмерный критерий эффективности развития удельной поверхности в пористой структуре
(16)
т гтах
Рис. 1. Гистограмма частотного распределения пор по размерам и график ее статистической функции: 1 - начальная, восходящая ветвь графика; 2 - конечная, нисходящая ветвь графика; М1 и М2 - выбранные характерные точки гистограммы для определения коэффициентов в описывающей ее статистической функции; М1 -точка экстремума графика частотной функции у(х).
по размерам (по рис. 1). На гистограмме этот диапазон составляет 0.110 мкм. Для гистограммы к формуле (6) известен размерный коэффициент К=10-4 м. Пористость равна у = 0,4.
Этой гистограмме соответствует вид статистической функции (4) пока с неизвестными коэффициентами а, с и а. Путем подбора точки М2 можно выйти на лучшее соответствие расчетной кривой экспериментальной гистограмме. Вычисленные по характерным точкам М1 (0,3; 0,523) и М2 (0,9; 0,040) гистограммы коэффициенты в (4) оказались равными а = 0,379, с = 0,214 и а = 0,485. В результате статистическая функция распределения пор по размерам приняла следующий вид (см. рис. 1):
0,214
У =
1 (/пх-/п0,379 у 0,485 I
0,485х>/2я
(18)
Рис. 2. Графики функций х = (у): 1) х1 = ^(у) по (8); 2) х2= ^(у) по (9); Мх - точка стыковки графиков 1 и 2 (здесь и на всех остальных рисунках нумерация графиков соответствует нумерации ветвей на рис. 1).
м-1
5*105
4*105
3*105 — \
2*105 — \1
1*105 — 1 2 1
0 0,2 0,4 У
симальное значение функции ^тах = ^тах+Ктах1 = 1,166х105 м-1. Отметим для сравнения, что для нефтесо-держащих пород, имеющих близкий диапазон размеров пор, уЕ изменяется в пределах (0,4...2,3) х105 м-1 [8]. Породы с удельной поверхностью больше уЕ = 2,3х105 м-1 считаются непроницаемыми или слабопроницаемыми (глины, глинистые пески).
По рис. 4 наглядно видно преимущественное влияние пор малых размеров (кривая 1) в создании удельной поверхности. Характер этого различия выражается критерием г по (16). Для рассматриваемого примера он равен:
г =
¥1
£1тах
0,901х105 1,166x10® -0,901x10'
В-А
■ = 3,4.
Рис. 3. Графики функций ветвей удельной поверхности вз|. = 1(у): 1) график функции в1 по (10); 2) график функции вз2 по (11); М. - точка стыковки графиков 1 и 2.
По (10) и (11) с учетом (18) получаем расчетные формулы функций х = ^(у). Точка стыковки их графических изображений (рис. 2) соответствует точке Мх (0,3; 0,523).
Положение графиков функций ветвей удельной поверхности (10) и (11) (рис. 3) меняется, по сравнению с графиками функций х = f(y) (см. рис. 2). Так, начальная функция .1 располагается сверху, а .2 располагается у начала координат. Координаты точки стыковки графиков соответствуют точке М. (0,523; 0,873х 105).
Аналогичным образом меняется расположение графиков кумулятивной функции по (14) и (15) (рис. 4), по сравнению с рис. 3, на основе которого они были построены.
Для рассматриваемого примера точка стыковки графиков имеет координаты М^ (0,523; 0,901 х105), в точке А (0; 0,901 х105) - максимальное значение функции уЕ1тах = У1тах = 0,901х105 м-1, в точке В (0,001; 1,166х105) - мак-
Значит, малое количество пор малых размеров на участке х= 0.0,3 (ветвь 1 графика до экстремума, см. рис. 1) создает в 3,4 раза большую удельную поверхность, чем превосходящее их в 1,8 раз (по гистограмме см. рис. 1) количество больших пор на участке х = 0,3.1,1 (ветвь 2 после экстремума графика, см. рис. 1).
Если посчитать этот критерий как безразмерный удельный гг по (17):
А'Уя _
г, =
(В-Л)/ум
0,901x105 / 0,356 (1,166х105 - 0,901х105)/0,645
= 6,16,
Рис. 4. График кумулятивной функции удельной поверхности уЕ = 1(у), образованный двумя функциями: 1) график функции уЕ1= по (12); 2) график функции уЕ2= у1тах+|у2| по (13); М^ - точка стыковки графиков 1 и 2; А - максимальная величина удельной поверхности, создаваемой малыми порами на участке графика 1; В - максимальная величина удельной поверхности, создаваемой всеми порами на обоих участках графиков 1 и 2.
то получим еще большее различие. Это увеличение обусловлено снижением величины знаменателя при делении малой величины суммарной поверхности, создаваемой большими порами, на большую величину относительного количества этих пор.
Сравним полученный результат для максимального значения уЕ2 по (15) с результатом расчета общей удельной поверхности по формуле (3) для поры эффективного размера Ьр = Кх = 0,3х10-4 м, соответствующего по рис. 1 моде (абсцисса точки М1) кривой частотного распределения. Пористость примем по ее значению в примере расчета у = 0,4.
в =-6 . °'4 =1,ЗЗх105мЛ (19)
ЗОхЮ"6 1-0,4 ( )
Значит, расчет по величине моды частотной кривой размеров пор дает в рассмотренном примере близкие, но несколько завышенные результаты. Сравнивая найденное е. = 1,33х105 м-1 с уЕ2тах = 1,166х105 м-1, получим превышение первого несколько менее чем на 15 %. Размер поры по (19) Ьр1 < Ьр < Ьр2 снижает влияние пор меньшего размера на первом участке Ьи и увеличивает долю влияния пор большего размера второго участка Ьр2. При этом расчеты по формулам (14) или (15) следует считать настолько близкими к реальным значениям удельной поверхности, насколько точна гистограмма.
Для вычисленной е. по (19) нельзя определить критерий эффективности.
Выводы. Поскольку структура полиразмерной пористой среды не зависит от выбранного масштаба объема материала, она может рассматриваться как непрерывная с применением аналитического описания аппарата механики сплошных сред. С этих позиций рассмотрена задача определения удельной поверхности как функции поры эффективного размера. При этом функция эффективного размера смоделированной в виде сферы поры
рассматривается на примере статистической частотной функции логнормального распределения, но методика может быть без изменений применена для других форм распределений. Представление параметра размера поры в явном виде из функции его частотного распределения дало квадратное уравнение с двумя действительными корнями, то есть двузначность функции. Поэтому в последующем решении функция размера была разделена на две, относящиеся к разным участкам размеров пор: до экстремума исходной функции и после него. Предложенный критерий эффективности развития удельной поверхности в пористой структуре представляет собой отношение накапливаемой величины удельной поверхности, создаваемой порами малого размера вплоть до экстремума статистической функции, к удельной
поверхности пор большого размера за экстремумом статистической функции. Этот же критерий может быть представлен и как удельная характеристика, осредненная по единичной поре соответствующего участка статистической функции. Чем они больше, тем эффективнее расходуется материал на развитие удельной поверхности. Расчет с использованием всех полученных функций, показал реальный характер результатов. Предложенный метод основан на формулах, удобных для использования в распространенном пакете МаШсаС. Он также позволяет вычислять удельную поверхность в образующем поры консолидированном или дискретном материале для любого ансамбля размеров от единичной поры, до полного их набора изменением пределов интегрирования в кумулятивной функции удельной поверхности.
Литература.
1. Теоретические основы пищевых технологий: в 2-х книгах/отв. ред. Панфилов В. А. М.: КолосС, 2009. 468 с.
2. Рихтер М., Аугустат З., Ширбаум Ф. Избранные методы исследования крахмала //под ред. Н. П. Козьминой и В. С. Гюнтера. М.: Пищевая промышленность, 1975. 184 с.
3. Multiphase porous media modelling: A novel approach to predicting food processing performance/ M. I. H. Khan, M. U. H. Joardder, C. Kumar, et al. // Critical reviews in food science and nutrition. 2018. Vol. 58. No. 4. Pp. 528-546.
4. Бэр Я., Заславски Д., Ирмей С. Физико-математические основы фильтрации воды. М.: Мир, 1971. 452 с.
5. Effect of hydraulic and mechanical stresses on the functional resistance and resilience of the porous system of a Nadi (Aquands) under different land uses / P. Haller, D. Dec, F. Zuniga, et al. //Agro Sur. 2015. Vol. 43. No. 2. Pp. 41-52.
6. Kryuchkov Yu. N. Some Features of the Properties of Porous and Composite Materials // Theoretical Foundations of Chemical Engineering. 2007. Vol. 41. No. 1. Pp. 74--82.
7. Shilyaev M. I., Khromova E. M. Calculation of the Residual Concentration of Liquid During Gravitational Filtering in a Granulated Bed // Theoretical Foundations of Chemical Engineering. 2017. Vol. 51. No. 2. pp. 232-237.
8. Гиматудинов Ш.К. Физика нефтяного и газового пласта. М.: Недра. 1971. 309 с.
9. Лейбензон Л. С. Движение природных жидкостей и газов в пористой среде. М.-Л.: ОГИЗ Гостехиздат, 1947. 244 с.
10. Biomedical and microbiological applications of bio-based porous materials: A review/ T. Udenni Gunathilake, Y. Ching, K. Ching, et al. // Polymers. 2017. Vol. 9. № 5. Pp. 160.
11. Грег С., СингК. Адсорбция, удельная поверхность, пористость. 2-е изд. М.: Мир, 1984. 306 с.
12. Zhukov V. G. Geometrical Properties of Porous Media // Theoretical Foundations of Chemical Engineering. 2000. Vol. 34. No. 2. Pp. 116-119.
13. Xiong Q., Baychev T.G., JivkovA.P. Review of pore network modelling of porous media: Experimental characterisations, network constructions and applications to reactive transport // Journal of Contaminant Hydrology. 2016. Vol. 192. Pp. 101-117. DOI: 10.1016/j. jconhyd.2016.07.002.
14. Кучко А.В., Смиров А.В. Расчет функции распределения объемов наночастиц и удельной поверхности методом статистической регуляризации из индикатрисы рентгеновского малоуглового рассеяния // Наносистемы: физика, химия, математика. 2012. № 3. С. 76-91.
15. Жуков В. Г., Лукин Н. Д., Чесноков В. М. Представление трех безразмерных геометрических характеристик пищевых пористых систем в форме статистических функций // Вестник ВГУИТ. 2019. Т. 81. № 2. С. 22-26. D0I:10.20914/2310-1202-2019-2-22-26.
References
1. Panfilov VA, editor. Teoreticheskie osnovy pishchevykh tekhnologii [Theoretical foundations of food technology]. Moscow: KolosS; 2009. 468 p. Russian.
2. Rikhter M, AugustatZ, Shirbaum F. Izbrannye metody issledovaniya krakhmala [Selected starch research methods]. Kozmina NP, Gyunter VS, editors. Moscow: Pishchevaya promyshlennost; 1975. 184 p. Russian.
3. Khan M. I. H., Joardder M. U. H., Kumar C., et al. Multiphase porous media modelling: A novel approach to predicting food processing performance. Critical reviews in food science and nutrition. 2018;58(4):528-46.
4. Ber Ya, Zaslavski D, Irmei S. Fiziko-matematicheskie osnovy fil'tratsii vody [Physics and mathematics of water filtration]. Moscow: Mir; 1971. 452 p. Russian.
5. Haller P, Dec D, Zuniga F, et al. Effect of hydraulic and mechanical stresses on the functional resistance and resilience of the porous system of a Nadi (Aquands) under different land uses. Agro Sur. 2015;43(2):41-52.
6. Kryuchkov YuN. Some features of the properties of porous and composite materials. Theoretical Foundations of Chemical Engineering. 2007;41(1):74-82.
7. Shilyaev MI, Khromova EM. Calculation of the residual concentration of liquid during gravitational filtering in a granulated bed. Theoretical Foundations of Chemical Engineering. 2017;51(2):232-7.
8. Gimatudinov ShK. Fizika neftyanogo i gazovogo plasta [Physics of oil and gas reservoir]. Moscow: Nedra; 1971. 309 p. Russian.
9. Leibenzon LS. Dvizhenie prirodnykh zhidkostei i gazov v poristoi srede [The movement of natural liquids and gases in a porous medium]. Moscow, Leningrad (Russia): OGIZ Gostekhizdat; 1947. 244 p. Russian.
10. Udenni Gunathilake T., Ching Y., Ching K., et al. Biomedical and microbiological applications of bio-based porous materials: A review. Polymers. 2017;9(5):160.
11. Greg S, Sing K. Adsorbtsiya, udel'naya poverkhnost', poristost' [Adsorption, specific surface area, porosity]. 2nd ed. Moscow: Mir; 1984. 306 p. Russian.
12. Zhukov VG. Geometrical properties of porous media. Theoretical Foundations of Chemical Engineering. 2000;34(2):116-9.
13. Xiong Q, Baychev TG, Jivkov AP. Review of pore network modelling of porous media: Experimental characterisations, network constructions and applications to reactive transport. Journal of Contaminant Hydrology. 2016;192:101-17. doi: 10.1016/j. jconhyd.2016.07.002.
14. Kuchko AV, Smirov AV. [Calculation of the distribution function of the volumes of nanoparticles and specific surface by the method of statistical regularization from the indicatrix of small-angle X-ray scattering]. Nanosistemy: fizika, khimiya, matematika. 2012;3:76-91. Russian.
15. Zhukov VG, Lukin ND, Chesnokov VM. [Representation of three dimensionless geometric characteristics of food porous systems in the form of statistical functions]. Vestnik VGUIT. 2019;81(2):22-6. doi:10.20914/2310-1202-2019-2-22-26. Russian.
