CC BY
83
электронное научно-техническое издание
НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ
Эл N° ФС 77 - 305Б9. Государственная регистрация №0421100025. ISSN 1Э94-&40А
77-30569/216895 Полуаналитический метод восстановления траекторий ЛА по обобщенным проектным параметрам и параметрам программы управления и перспективы его использования
# 10, октябрь 2011 Беневольский С. В., Козлов П. Г.
УДК 629.76
МГТУ им. Н.Э. Баумана mgtu-bsv@mail.ru paul.kozlov@mail/ru
Существующие методы наведения баллистических ракет и ракет-носителей основаны на линеаризации зависимости конечных условий полета от управляющих параметров. [5] Это обстоятельство, в свою очередь, влияет на точность методов наведения и, в частности, приводит к завышению размеров областей падения отработавших ступеней рассматриваемых ЛА. Кроме того, анализ движения конкретного ЛА зачастую бывает связан с разработкой отдельного программного комплекса, в то время как для многих научных задач может потребоваться параллельное рассмотрение траекторий сразу нескольких типов ЛА.
В связи с этим, в настоящее время актуальны исследования, целью которых является построение алгоритмов наведения, основанных на нелинейном прогнозировании движения ЛА на активном участке траектории. Особенный интерес представляет разработка нелинейных алгоритмов прогноза параметров движения ЛА в терминальной точке траектории с использованием аналитических выражений.
В настоящей работе предлагается возможный вариант реализации такого прогноза. Он использует в качестве исходных данных зависимость продольной кажущейся скорости от времени и зависимость программы тангажа (как в жесткой, 3), так и гибкой, 3(ЖХ 1), формах). Такая форма задания зависимостей для программных функций уже много лет используется на практике как для программ управления тягой, так и для управления угловой ориентацией ЛА.
Рассмотрим идеологию возможного решения задачи прогноза концевых условий. Полное ускорение ЛА на активном участке траектории можно представить в виде векторной суммы кажущегося и гравитационного ускорений:
^ = ^ (/) + Ш ()]. ш
Здесь - - вектор кажущегося ускорения. Скорость полета ракеты на
Ш
АУТ при этом рассчитывается в форме интеграла:
г г
Г(.) = V (.0) +1¥(т)сСт +1Ш(т)]с1т или ¥(.) = ¥(.) + У8 (.). (1)
г0 г0
Традиционно интегралы в (1) вычислялись численными методами, что приводило к упомянутым выше упрощениям (линеаризации) при синтезе алгоритма наведения.
В качестве исходных данных для реализации рассматриваемого полуаналитического метода интегрирования этих зависимостей принимаются табличные функции Жх 1(.), Жх 1(.) и ) (или 3(ШХ 1)), полученные по результатам решения краевой баллистической задачи и расчета эталонной опорной траектории.
Использование только продольной составляющей кажущейся скорости ЛА, Жх 1 (.), для вычисления расчетной траектории в процессе наведения основано на многолетней практике использования таких зависимостей в качестве программных функций для регулирования кажущейся скорости в полете как для ракет-носителей, так и для баллистических ракет. Поэтому целесообразно для прогноза движения ЛА на активном участке при разработке математической модели, используемой при прогнозировании движения на активном участке, учитывать только продольные составляющие действующих поверхностных сил, а влияние оставшихся составляющих учитывать соответствующим подбором параметров рассматриваемой модели. Это обеспечивает компенсацию целого ряда формально неучтенных схематизацией предлагаемой выше модели факторов, влияющих на изменение продольного кажущегося ускорения. [4]
Представим значение продольной кажущейся скорости в некоторый момент времени . как сумму ее начального значения на момент времени < . и приращения этой функции на интервале времени т =. - .0:
Жх1(1) = + \Т¥Х1{т)ёт или = ЦТХМ + АЖХ1(Г) .
'о
Анализ характера поведения функции ЖХ 1(') позволяет разбить функцию ЖХ](') на п характерных интервалов, получив таким образом ряд базовых аппроксимирующих функций АЖХ1г (г), г = 1...п. Для аппроксимации приращений
продольной кажущейся скорости в качестве базисных целесообразно выбрать две базовых функции: логарифмическую (для моделирования на участках полета, где используется маршевый режим работы двигателей) и параболическую (на участках полета с переходными режимами работы двигательной установки: при ее форсировании либо дросселировании).
Таблица 1
Базовые функции
Вид зависимости Целевая функция Базисная функция
Логарифмическая N а=![ 1к + и 1п(1 -гк/т )]2 к=1 Г и АЖх 1 =-и 1п 1 - -V Т У
Параболическая а = £ [а^х ¡к - (иг к + ТГк2)]2 к=1 А^х 1 = иг + -г2
Аппроксимация на каждом из интервалов осуществляется на основе метода наименьших квадратов. Минимизация невязок аппроксимации целевых функций осуществляется на основе критерия:
ти *,т *)=0
ди
ши *,Т *)
дТ
= о
Это позволяет определить обобщенные параметры аппроксимации (табл.1) и и Т для каждого из выбранных участков. Затем из всех типов возможных для каждого участка аппроксимаций выбирается тот, который обеспечивает наименьшее максимальное отклонение полученной аппроксимирующей функции от номинальных значений кажущейся скорости в узловых точках на всем интервале аппроксимации.
Аналогичным образом производится аппроксимация программы тангажа (при необходимости - программы рыскания), при этом для выбора характерных интервалов используется табличная зависимость 3(t), а в качестве базовых функций рассматриваются линейная и параболическая зависимости. Написанная на языке Delphi программа позволила получить аппроксимации кажущейся скорости и угловых программ для нескольких вариантов эталонных траекторий с погрешностью, не превышающей 2 м/с по кажущейся скорости и 0,2 ° - по угловым программам.
В общем случае полученные интервалы аппроксимации кажущейся скорости и программы тангажа не совпадают (рис. 1), поэтому далее осуществляется их «наложение» друг на друга и пересчет обобщенных параметров для возникающих при их пересечении дополнительных интервалов.
Формулы для пересчета обобщенных параметров (ОП) Жх 1(.) на участке при наложении (¡-1)-го и у'-го интервалов аппроксимации программы тангажа на /-ый участок аппроксимации кажущейся скорости приводятся в таблице 2. На участке ОП не меняются.
WX1 V
t
Рис. 1. Иллюстрация наложения независимо полученных участков для программы тангажа и кажущейся скорости
Таблица 2
Формулы для пересчета обобщенных параметров.
Парабола Логарифм
т=т и 2 = и + 21,(1,^) т = т2-{1х ^) и 2 = и
Зная аналитические выражения и ), на каждом из объединенных
участков можно вычислить проекции приращений вектора АЖХ 1(г) и кажущегося пути на оси начальной гироскопической геоцентрической системы координат:
Шхнг = / ^ 1(г) • оов3(т)ёт; Л^ = ¡№Х1Х"Г (т)ёт;
0 С) (2)
АЖнг = | Жх1(т) • ¿т3(т)ёт; МГгг = {ЛЖ^ (т)ёт.
0 0
Интегралы (2) берутся аналитически с использованием известных специальных функций. Для различных математических моделей это могут быть интегральные синус и косинус или интегралы Френеля. Встречаются частные случаи без специальных функций. В соответствии с модифицированным методом интегрирования Нюстрёма [4], траектория восстанавливается по формулам:
>1 = ЖО], > = &0 +1/2 • И, Ко +1/2 • ИГо +1/8 • И2 £ (И/2)], > = >[^о + И, Ко + И¥о +1/2 • И2 >2 + М (И)]; И = 12-1Х. (3)
V = ¥0 +АЖ +1/6• И(> + 4>2 + >3); К = К + И¥0 + И(1/6• > +1/3• >2).
Данный полуаналитический метод интегрирования (3) уравнений движения БР или РН открывает широкие возможности для модернизации метода терминального наведения по вектору требуемой кажущейся скорости; он позволяет производить интегрирование с крупным шагом, как правило, равным интервалу аппроксимации (порядка 10-15 секунд), и использовать при этом относительно несложные аналитические зависимости в сочетании с известными специальными функциями, что не требует значительных затрат вычислительных ресурсов БЦВМ при реализации нелинейного прогноза концевых условий полета.
Ввиду простоты реализации и высокого быстродействия процесса моделирования полета по одной траектории с использованием описанной методики,
возможна реализация статистических испытаний алгоритмов наведения ЛА на персональных ЭВМ. Статистические испытания для данной универсальной модели представляют собой многократный расчет траекторий с учетом влияния случайных факторов, действующих на ракету, и начальных условий полета. При этом учет рассеивания значений аэродинамических сил и сил, создаваемых двигательной установкой (ДУ), производится непосредственно с помощью обобщенных параметров и и Т, входящих в аналитические выражения для кажущейся скорости. Через баллистические производные можно установить связь между параметрами эллипса рассеивания для данного изделия и отклонениями значений продольной кажущейся скорости от ее номинальных значений на каждом из участков аппроксимации. Это позволяет оценить предельные отклонения кажущейся скорости от номинальных значений. Далее с использованием датчика случайных чисел (ДСЧ) по нормальному закону распределения вероятностей синтезируются случайные значения продольной кажущейся скорости с учетом действующих возмущений по форме: Ж = ЖНОМ +ошХ, где X - случайное число, ЖНОМ - номинальное значение
(математическое ожидание), ош - дисперсия, определяемая из предельного отклонения.
Из полученного «реального» значения приращения продольной кажущейся скорости можно получить и обобщенные параметры и и Т, доставляющие именно такое значение ЖиО
Одним из наиболее перспективных свойств данной методики является ее универсальность. По описанным алгоритмам можно восстанавливать траектории широкого спектра ЛА: ракет-носителей, разгонных блоков, баллистических ракет.
Метод может быть пригоден для восстановления траектории вновь разрабатываемых или уже существующих ракет в условиях неполной информационной обеспеченности.
В перспективе ожидается разработка алгоритма терминального наведения с реализацией быстрого прогнозирования конечного положения ЛА и соответствующей коррекцией программ управления.
Литература
1. Беневольский С. В., Бурлов В. В., Казаковцев В. П. [и др.] Баллистика. Пенза:
Пензенский артиллерийский инженерный ин-т, 2005. 511 с.
2. Беневольский С.В. Расчет опорных траекторий и наведение баллистической ракеты дальнего действия на цель: Методические указания к лабораторным работам по курсу «Управление движением летательных аппаратов». - Ч.1. -М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007. 40 с.
3. А. Н. Андреев, С. И. Войтенко, Б. С. Нуждин. Баллистика ракет. Часть I. Методологические основы математического моделирования движения ракет. М.: Военная академия имени Петра Великого, 2005
4. Беневольский С.В. Математические модели движения для синтеза методов наведения перспективных баллистических ракет// Ежемесячный научно-технический сборник «Оборонная техника», № 3-4, 2007 г.
5. Козлов П.Г. Разработка алгоритма восстановления траекторий ЛА на основе обобщенных проектных параметров и параметров программы управления//Студенческий научный вестник. Сборник тезисов докладов общеуниверситетской научно-технической конференции "Студенческая научная весна - 2011", посвященной 50-летию полета Ю.А. Гагарина в космос. 4 - 30 апреля 2011 г. Том XI, часть 3. М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. С. 25-27
electronic scientific and technical periodical
SCIENCE and EDUCATION
_EL .№ FS 77 - 30569. №11421100025, ISSN 1W4-04HM_
77-30569/216895 The semianalytic trajectory calculation technique based on the generalized design parameters and the guidance program parameters. Prospects for its further usage
# 10, October 2011 Benevol'skii S.V., Козлов П. Г.
mgtu-bsv@mail.ru paul.kozlov@mail/ru
The problem of designing new terminal guidance algorithms, based on the nonlinear prognosis of the powered portion of flight of the flying vehicle, is quite relevant nowadays. In this article the semianalytic integration technique is reported. This algorithm provides the desired prognosis with a minimal computation effort. The concerned method is universal and eligible for a wide range of flying vehicles. It is based on the curve fitting of the pitch and apparent velocity programs involving standard functions. This article reveals how to obtain the numeric parameters, required for the algorithm realization, and how to transform them to the condition, suitable for the further operations. Then, the trajectory restoration process is described; it utilizes the derived analytical functions and numerical large-step integration. Besides, the article indicates how this method can be applied to various ballistic tasks.
Publications with keywords: ballistic missiles, carrier rockets, guidance methods, trajectory calculation, semianalytic
Publications with words: ballistic missiles, carrier rockets, guidance methods, trajectory calculation, semianalytic
Literatura
1. Benevol'skii S. V., Burlov V. V., Kazakovcev V. P. [i dr.] Ballistika. Penza: Penzenskii artilleriiskii injenernyi in-t, 2005. 511 s.
2. Benevol'skii S.V. Raschet opornyh traektorii i navedenie ballisticheskoi rakety dal'nego deistviya na cel': Metodicheskie ukazaniya k laboratornym rabotam po kursu «Upravlenie dvijeniem letatel'nyh apparatov». - Ch.1. - M.: Izdatel'stvo MGTU im. N.E.
Baumana, 2007. 40 s.
3. A. N. Andreev, S. I. Voitenko, B. S. Nujdin. Ballistika raket. Chast' I. Metodologicheskie osnovy matematicheskogo modelirovaniya dvijeniya raket. M.: Voennaya akademiya imeni Petra Velikogo, 2005.
4. Benevol'skii S.V. Matematicheskie modeli dvijeniya dlya sinteza metodov navedeniya perspektivnyh ballisticheskih raket// Ejemesyachnyi nauchno-tehnicheskii sbornik «Oboronnaya tehnika», № 3-4, 2007 g.
5. Kozlov P.G. Razrabotka algoritma vosstanovleniya traektorii LA na osnove obobschennyh proektnyh parametrov i parametrov programmy upravleniya//Studencheskii nauchnyi vestnik. Sbornik tezisov dokladov obscheuniversitetskoi nauchno-tehnicheskoi konferencii "Studencheskaya nauchnaya vesna - 2011", posvyaschennoi 50-letiyu poleta Yu.A. Gagarina v kosmos. 4 - 30 aprelya 2011 g. Tom XI, chast' 3. M.: Izdatel'stvo MGTU im. N.E. Baumana, 2011. S. 25-27
