CC BY
19
TFYHfl ППГИИ MA ШИНЫ И ПКПРУППЛй
ММУМУУМММ п rja Д ГРППРПММШПРННПГП 1СПМП ПРКГй
дл1" а! гопгомшшлеппо! о комплекса
Научная статья УДК 631.313
Б01: 10.24412/2227-9407-2022-11-19-32
Полуаналитическая модель взаимодействия с почвой плоского диска лущильника
Юрий Валентинович Константинов
Чувашский государственный аграрный университет, Чебоксары, Россия, konstantinov@polytech21.ru, https://orcid.org/QQQQ-QQ02-2Q76-Q432
Аннотация
Введение. Наиболее важной характеристикой почвообрабатывающего диска является его тяговое усилие, поскольку оно определяет удельные энергетические затраты на почвообработку. Адекватная математическая модель взаимодействия диска с почвой позволяет определять тяговое усилие диска в зависимости от его параметров и характеристик свойств почвы. Полуаналитические модели позволяют определять искомые характеристики точнее, чем аналитические.
Материалы и методы. Основные предположения модели: почва однородна, заглубление, поступательная скорость и угол атаки диска постоянны. Режим работы диска характеризуется тремя безразмерными параметрами: углом атаки диска, кинематическим параметром, равным отношению окружной скорости точки на кромке лезвия диска к проекции поступательной скорости на плоскость диска, и относительным заглублением, равным отношению глубины хода диска к его радиусу. Свойства почвы в модели учитываются с помощью коэффициента трения почвы о диск и двух эмпирических постоянных. Получены интегральные выражения для силовых характеристик диска и его потребной мощности.
Результаты и обсуждение. Показано, что если пренебречь трением в подшипнике диска, то диск вращается с такой угловой скоростью, при которой потребная мощность диска на почвообработку минимальна. Проанализирована зависимость от кинематического параметра и относительного заглубления диска мощности, необходимой для преодоления сил трения почвы, и зависимость мощности, необходимой для преодоления сопротивления почвы расклиниванию фасками лезвия. Анализ позволил установить, что кинематический параметр диска приближенно равен единице. Это условие позволило получить аналитическое выражение для тягового усилия диска.
Заключение. Получены явные выражения в зависимости от угла атаки, относительного заглубления и радиуса диска для потребной мощности и тягового усилия диска, установленного под углом атаки. Сравнение с опубликованными экспериментальными данными показало, что максимальная относительная погрешность определения тягового усилия диска в почвенном канале составила 3,8 %.
Ключевые слова: кинематический параметр, мощность, относительное заглубление, полуаналитическая модель, почвообрабатывающий диск, тяговое усилие, угол атаки
Для цитирования: Константинов Ю. В. Полуаналитическая модель взаимодействия с почвой плоского диска лущильника // Вестник НГИЭИ. 2022. № 11 (138). С. 19-32. БОТ: 10.24412/2227-9407-2022-11-19-32
(© Константинов Ю. В., 2022
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License. The content is available under Creative Commons Attribution 4.0 License.
XXX technologies, machines and equipment for the agro-industrial complex XXX Semi-analytical model of interaction of a flat harrow disc with soil
Yuriy V. Konstantinov
Chuvash State Agrarian University, Cheboksary, Russia, konstantinov@polytech21.ru, https://orcid.org/0000-0002-2076-0432
Abstract
Introduction. The most important characteristic of a tillage disc is its draft force, since it determines the specific energy consumptions for tillage. An adequate mathematical model of the interaction of disc with soil makes it possible to determine the draft force of disc depending on its parameters and the characteristics of soil properties. Semi-analytical models allow you to determine the desired characteristics more accurately than analytical ones. Materials and methods. The main assumptions of the model are: soil is homogeneous, the depth, forward speed and angle of attack of the disc are constant. The operating mode of the disc is characterized by three dimensionless parameters: the angle of attack of disc, a kinematic parameter equal to the ratio of the circumferential velocity of a point on the edge of disc blade to the projection of the forward velocity on the plane of disc, and relative depth equal to the ratio of the operating depth of disc to its radius. The soil properties in the model are characterized by the coefficient of friction between soil and disc surface and two empirical constants. Integral expressions are obtained for the force characteristics of disc and its required power.
Results and discussion. It is shown that if the friction in the disc bearing is neglected, then the disc rotates with such an angular velocity at which the required for tillage disc power is minimal. The dependences of the powers necessary to overcome the forces of friction and the resistance of soil to wedging by the blade bevels on the kinematic parameter and on the relative depth of disc are analyzed. The analysis made it possible to establish that the kinematic parameter of the disc is approximately equal to unity. This condition made it possible to obtain an analytical expression for the draft force of disc.
Conclusion. Explicit expressions are obtained depending on the angle of attack, the relative depth and the disc radius for the required power and the draft force of disc fixed at the angle of attack. Comparison with published experimental data showed that the maximum relative error in determining of the draft force of disc in the soil bin was 3.8 %.
Key words: tillage disc, semi-analytical model, power, draft force, kinematic parameter, relative depth, angle of attack
For citation: Konstantinov Yu. V. Semi-analytical model of interaction of a flat harrow disc with soil // Bulletin of the NGIEI. 2022. № 11 (138). P. 19-32. DOI: 10.24412/2227-9407-2022-11-19-32
Введение
Рабочим органом дисковых борон и лущильников является сферический или плоский диск, установленный под углом атаки к направлению поступательной скорости движения почвообрабатывающего орудия.
Чаще всего используются сферические диски [1]. Плоские диски используются в лущильниках, предназначенных для работы в районах, подверженных ветровой эрозии. При обработке почвы такими дисками большая часть растительных остатков остается на ее поверхности. Кроме того, такие диски меньше распыляют почву и не выносят на поверхность ее нижние влажные слои [2]. В связи с этим около 30 % наиболее распространенных ранее лущильников ЛД-10 (ЛДГ-10) выпускались с плоскими дисками.
Из всех силовых характеристик почвообрабатывающего диска наиболее важной является его
тяговое усилие, поскольку оно определяет удельные энергетические затраты на почвообработку.
Чаще всего тяговое усилие диска определяется с помощью специально поставленных полевых экспериментов [3; 4; 5] или экспериментов, проводимых в почвенном канале [6; 7; 8; 9].
Кроме того, тяговое усилие диска можно определять с помощью математического моделирования взаимодействия диска с почвой. Адекватная математическая модель взаимодействия диска с почвой позволяет рассчитывать диск на прочность, уменьшить износ и увеличить срок его службы [10; 11]. Поэтому задача построения модели взаимодействия диска с почвой является актуальной.
Силовые характеристики почвообрабатывающего диска можно определять с помощью моделирования его взаимодействия с почвой, используя метод конечных элементов. Однако при этом приходится учитывать нелинейный характер такого
технологии, машины и оборудование ] для агропромышленного комплекса ]
взаимодействия. Нелинейные контактные задачи требуют использования большого числа конечных элементов. А это приводит к громоздкости расчетных процедур и значительному времени вычислений [12]. Кроме того, при этом погрешность определения тягового усилия может быть велика. Так в работе [13] систематическая ошибка определения тягового сопротивления дискового плуга (в сторону уменьшения) составила более чем 21 %. Вдобавок все стороны взаимодействия диска с почвой учесть сложно, а это может приводить к еще более существенным ошибкам. Так при определении тягового усилия биомиметического диска не учет прилипания почвы к диску приводил к погрешностям почти в 100 % [14]. Как отмечается в работе [15], анализ исследований, выполненных с помощью метода конечных элементов, показывает, что точность определения силовых характеристик и других почвообрабатывающих рабочих органов этим методом часто недостаточна.
Метод дискретных элементов также позволяет моделировать взаимодействие диска с почвой. Однако модели, построенные с помощью этого метода, часто также не обеспечивают требуемую точность определения силовых характеристик диска. Так в исследовании [16] относительная погрешность определения силы тяги для вертикального диска, установленного под углом атаки, превышала 130 %. А в другом исследовании [17] предсказанное значение вертикальной составляющей силы реакции почвы на диск оказалось на 62 % меньше экспериментального значения. Такие большие относительные погрешности можно объяснить сложностью подбора микропараметров дискретно-элементных моделей. Кроме того, для таких моделей требуются значительные вычислительные ресурсы.
Количественная адекватность или точность является главным требованием, предъявляемым к математическим моделям [18, с. 12]. Поэтому часто более предпочтительными являются полуэмпирические модели, обеспечивающие точность, близкую к точности регрессионных моделей. В целом дискретно-элементные и конечно-элементные модели, хотя и имеют больше возможностей для моделирования, но они менее вычислительно эффективны и менее обоснованы. В то время как полуаналитические модели, хотя и в силу принимаемых допущений более ограничены, но зато вычислительно более эффективны и количественно более адекватны.
Требование относительной простоты также является важным требованием, предъявляемым к математическим моделям [18, с. 15]. Поэтому если относительные погрешности у двух моделей одинаковы, то предпочтение должно отдаваться более простой модели.
В работе [19] указывалось на трудноприме-нимость громоздких формул расчета усилий, действующих на диск. А в исследовании [20] указывалось на необходимость разработки простых методик расчета реакций почвы на рабочие органы почвообрабатывающих орудий.
Такие методики расчета, по нашему мнению, дают возможность строить полуаналитические модели взаимодействия рабочих органов орудий с почвой. В качестве одного из аргументов этого можно привести тот факт, что полуаналитические и полуэмпирические модели успешно используются при изучении взаимодействия жестких колес и пневматических шин с почвой [21; 22; 23]. Так полуаналитические модели, построенные Bekker, Wong и Reece, сегодня уже стали классическими [24]. Они явились основой для построения новых более сложных моделей.
Дисковый нож, движущийся в своей плоскости, может разрезать почву в двух разных режимах. В режиме свободного вращения угловая скорость вращения диска является только результатом его взаимодействия с почвой. В приводном режиме угловая скорость вращения диска определяется угловой скоростью вала отбора мощности трактора.
Профессор Nerli предложил полуэмпирический подход к расчету сил, действующих на свободно вращающийся в своей плоскости дисковый нож [25; 26]. Этот подход состоял в анализе элементарных реакций почвы на лезвие и круговые сегменты диска с последующим определением результирующих реакций почвы с помощью численного интегрирования. Коэффициент трения и две эмпирические постоянные, давление почвы на боковые сегменты диска и давление почвы на фаски его лезвия позволяли учитывать механические свойства почвы. Полуэмпирическая модель была им построена в предположении, что кинематический параметр диска X, равный отношению окружной скорости точки диска на кромке его лезвия к поступательной скорости диска, не превышает единицы (X < 1), а сам диск заглублен до его оси вращения.
Обобщенная математическая модель взаимодействия с почвой дискового ножа, движущегося в
XXX technologies, machines and equipment for the agro-industrial complex
своей плоскости, при произвольном заглублении и движную прямоугольную систему координат Oxyz, произвольном X, позволила теоретически описать ось Ox1 которой направим в плоскости диска гори-явление скольжения-буксования диска в почве [27]. зонтально, а ось Oy 1 - по оси вращения диска.
Указанные выше модели взаимодействия дискового ножа с почвой были построены в предположении, что диск движется в своей плоскости, то есть с углом атаки, равным нулю. Это предположение не выполняется для дисковых рабочих органов лущильников, для которых угол атаки отличен от нуля и при лущении составляет 30-35°, а при использовании лущильников в качестве легких борон этот угол составляет 10-20° [28].
Целью данного исследования явилась разработка простой полуаналитической модели взаимодействия с почвой свободно вращающегося диска, установленного под некоторым углом атаки к направлению поступательной скорости орудия. Эта модель должна учитывать радиус диска, глубину резания, угол атаки и свойства почвы.
Материалы и методы
Свободно вращающийся плоский диск, движущийся под углом атаки а в однородной почве с постоянной поступательной скоростью vn, при постоянной глубине хода h, вращается с некоторой постоянной угловой скоростью ю (рис. 1). Режим работы такого диска можно охарактеризовать углом атаки, безразмерным кинематическим параметром
X = ■
юг
и безразмерным относительным заглуб-
лением = h/r, где r - радиус диска.
Почва давит на круговой сегмент диска и сопротивляется резанию его лезвием. Заменим распределенное давление почвы на круговой сегмент его средним значением p, а сопротивление почвы расклиниванию фасками лезвия диска будем характеризовать средней удельной силой Q, приходящейся на единицу длины лезвия диска. Как показывают эксперименты, p и Q практически постоянны и не зависят от параметров X и [29]. Эти две эмпирические константы p и Q несложно определить из простых экспериментов.
Свяжем с диском подвижную систему координат (рис. 1), начало которой совпадает с центром диска, направив ось Ox в направлении вектора поступательной скорости диска, ось Oz вертикально вниз, а ось Oy перпендикулярно этим двум осям в сторону, соответствующую правой системе координат. Кроме того, свяжем с диском еще одну по-
Рис. 1. Связанные с движущимся в почве диском системы координат Fig. 1. Coordinate systems associated with the disc moving in soil Источник: создано автором
Нормальная составляющая вектора скорости почвенной частицы совпадает с нормальной составляющей вектора скорости контактирующей с ней точки поверхности диска. Поэтому сила трения почвы направлена против векторной проекции на плоскость диска v' вектора скорости v данной точки диска.
Мгновенный центр поля векторных проекций векторов скоростей точек диска на его плоскость расположен на оси Oz в точке C(0; a), где a = r/X (рис. 2).
На круговой сегмент диска, контактирующий с почвой, действует система распределенных сил трения (рис. 2, а). Выберем центр диска, точку О, в качестве центра приведения этой системы сил. В этом случае система элементарных сил трения будет эквивалентна главному вектору Fx, приложенному в центре приведения, и паре с моментом mO, равным главному моменту этой системы сил относительно этой точки O [30].
V cos а
технологии, машины и оборудование ] для агропромышленного комплекса ]
Рис. 2. Схема взаимодействия с почвой элементарной части кругового сегмента диска в почве (а) и элементарной дуги лезвия диска в почве (б) Fig. 2. Scheme of the interaction with soil of the elementary part of circular disc segment in soil (a) and the elementary arc of disc blade in soil (b) Источник: создано автором
На произвольную элементарную площадку площадью dS = dx\ ■dz кругового сегмента диска, контактирующего с почвой, действует элементарная сила трения о почву dFт. Эта сила направлена против вектора v' - векторной проекции вектора абсолютной скорости v точки M(x1; z) этой площадки на плоскость диска (рис. 2, а), а ее величина равна dFT = fpdx1dz, где f- коэффициент трения почвы о стальную поверхность диска. Как следует из рисунка 2, а, горизонтальная проекция на ось Oxl силы dFт равна dFтx1 = -¿^г-со8ф, где
cos ф = (a - z) / ^x2 + (a - z)2.
M(x\, z), создает момент dmO относительно центра диска (рис. 2, а):
dmO = dFт•cosф•z - dFVsi^-xi. Подставляя в это равенство cos^ и
sin ф = x / yjх\ + (а - z)2 (рис. 2, а) и интегрируя
полученное равенство по круговому сегменту S, контактирующему с почвой, получим главный момент элементарных сил трения о почву, действующих на боковую грань диска, относительно центра О (оси вращения):
х,2 + (z - a)z
....... (i)
-fPÍÍ-
=dxxdz.
Находя двойной интеграл от dFTXl по круговому сегменту S диска, контактирующему с почвой, определим горизонтальную проекцию на ось Oxl главного вектора этой системы распределенных сил трения:
г - а
Fx, = fp fl-
=dx,dz.
х у[х[+~(г—"а)2
При а = 0 и X = 1 (с точностью до обозначений и коэффициента 2) из этого равенства следует формула, полученная Синеоковым [27; 29], а при а = 0, X < 1 и h = г из него следует формула, полученная №гН [26].
Вертикальная компонента вектора Fт, как известно, равна нулю [27; 29].
Если принять направление вращения диска в качестве положительного направления моментов сил, то элементарная сила трения, действующая на элементарную площадку, содержащую точку
х2 + (г - а)2
При а = 0, X < 1 и h = г (с точностью до обозначений и коэффициента 2) из последнего равенства следует формула, полученная №гН [26].
Из прямоугольного треугольника MBC на рисунке 2, а следует, что модуль векторной проекции вектора скорости на плоскость диска произвольной точки диска M(x1; z) равен
V' = ю ■ МС = ю ^ х2 + (а - г)2. Эта проекция направлена перпендикулярно отрезку МС, соединяющему данную точку с точкой С. Так как сила dFт направлена противоположно вектору v', то элементарная мощность, необходимая для преодоления этой элементарной силы трения, равна
= -V ■ = /рю ■ ^х2 + (а - г)2 йххйг.
Вычисляя двойной интеграл от правой части этого равенства по круговому сегменту диска, контактирующего с почвой, определим мощность, не-
technologies, machines and equipment for the agro-industrial complex
обходимую для преодоления сил трения, действующих на круговой сегмент диска
Рт = тЩ'+^а-Т^ёх^. (2)
х
Представим этот двойной интеграл в виде повторного интеграла:
г _
Р = 2/р(й | ёг | + (г - а)2 йхх.
г-И 0
Сделаем в нем замену переменных х = г-и, г = г4 и найдем внутренний интеграл. В результате получим выражение для искомой мощности через определенный интеграл:
p = fpr 2Xvn cos a j (V1 -12у]ц2 - 2Ц +1 +
i-?
+ (ц- t)2ln
Vi -12 + ^/ц2 - 2Ц +1
(3)
I ц -1|
dt,
где ц = 1/X.
На фаски лезвия диска действует система распределенных сил сопротивления почвы расклиниванию фасками. Если выбрать в качестве центра приведения этой системы сил ту же самую точку О, то эта система элементарных сил реакций почвы на лезвие диска будет эквивалентна главному вектору Лл, приложенному в центре приведения, и паре с моментом МО, равным главному моменту этой системы сил относительно точки О [30].
Для того, чтобы определить проекции главного вектора Лл на оси координат, рассмотрим произвольную элементарную дугу лезвия диска длиной dL = r-dS с точкой M(rsinS; rcosS) на ней (рис. 2, б). Элементарная реакция сопротивления почвы расклиниванию этой дугой лезвия dRn направлена против векторной проекции вектора абсолютной скорости точки М на плоскость диска, то есть перпендикулярно отрезку СМ (рис. 2, б).
Следовательно, ее проекция на ось Ox1 равна dRnx1 = -Qrd&cosq.
Из прямоугольного треугольника MBC (рис. 2, б) следует, что
a - rcosS
cos ф = ■
■у](г СОБ 9 - а)2 + г2 БШ2 9 Горизонтальная проекция силы Лл равна криволинейному интегралу от dRлXl по погруженной в почву дуге лезвия диска. Подставим преобразованное последнее равенство в предыдущее и проинтегрируем результирующее равенство в пределах от 0 до 90 = arccos(1-^). В итоге получим
и
Rm = Qr j
(X cos 3- 1)d 3
o Vi + X2 - 2X cos S Легко убедиться, что при а = 0 и X = 1 из этого равенства следует выражение (с точностью до обозначений), полученное ранее Синеоковым [27; 29].
Отметим, что хотя проекция Rm1 непрерывна
- л CRm1 при любом X, ее частная производная -гт— в точке
CX
X =1 равна бесконечности, то есть эта проекция резко изменяется в окрестности точки X = 1. Поэтому гипотеза X = 1 при определении Rm1 приводит к существенным погрешностям.
Проекция силы dRn на ось Oz равна:
dRz = -QrdSsi^. Как следует из прямоугольного треугольника MBC (рис. 2, б)
r sin S
sin ф = ■
V(гСОБ9- а)2 + г2 БШ2 9
Вертикальная составляющая силы Мл равна криволинейному интегралу от dRлz по круговой дуге лезвия диска, погруженной в почву. Подставим преобразованное последнее равенство в предыдущее и проинтегрируем результирующее равенство в пределах от 0 до 90. В итоге найдем:
К = Qг (|1 -Х|-л/ (1 -X)2 + 2Х^).
Величина элементарного сопротивления почвы расклиниванию фасками элементарной дуги лезвия диска, содержащей точку М(гет9; rcos9) (рис. 2, б), равна
dRл = Qr■d9.
Поскольку направление вращения диска принято за положительное направление моментов сил, то элементарный момент этой реакции относительно центра диска (оси вращения диска) равен (рис. 2, б) dMo = dRлcosф-rcos9 - dRлsinф-rsin9, то есть dMo = (cosф-cos9 -sinф-sin9)Qr2d9.
Подставляя в последнее равенство выражения для cosф, sinф и интегрируя результат по дуге резания почвы диском, получаем следующее выражение для главного момента элементарных реакций почвы на лезвие диска относительно центра диска О:
и
M0 = Qr2 j
(cos 3-X)d 3 Vi + X2 - 2X cos3
(4)
Из прямоугольного треугольника МВС на рисунке 2, б следует, что модуль векторной проекции вектора скорости на плоскость диска произвольной
0
технологии, машины и оборудование ] для агропромышленного комплекса ]
точки M элементарной дуги dL лезвия диска равен
V = юСМ = ю^(r cos Э - a)2 + r2 sin2 Э, или
V = vn cos a V1+ X2 - 2X cos Э.
Так как сила dRn направлена противоположно вектору v', то элементарная мощность, необходимая для преодоления элементарной реакции почвы, действующей на произвольную элементарную дугу лезвия диска длиной dL = r-dЭ, равна
dp = -v' - dR = Qrvn cos aV 1+ X2 - 2X cos ЭdЭ.
Криволинейный интеграл от этой элементарной мощности по дуге лезвия, погруженной в почву, дает полную мощность Pn, необходимую для преодоления сил сопротивления почвы расклиниванию фасками лезвия диска. Этот интеграл выражается через следующий определенный интеграл:
So _
р = Qrvn cos ajv 1 + X2 - 2X cos SdS.
(5)
Вектор элементарной нормальной реакции почвы dN на элементарную площадку площадью dxidz равен
dN = -pdxidz-n, где n - вектор нормали к диску, направленный в сторону сминаемой круговым сектором диска почвы (рис. 1).
Элементарная мощность, необходимая для преодоления реакции dN, равна dPQ = - dNv = =pdxdz-n-v, то есть
dPe = pv^inadx^z.
Вычислив двойной интеграл от правой части этого равенства по круговому сегменту S, контактирующему с почвой, найдем мощность, необходимую для преодоления сил сопротивления почвы сминанию и перемещению круговым сегментом диска Pe = pr2v^ina^o -sinS0cosS0). Выражая эту мощность через относительное заглубление получим
P = prЧ sina(arccos(1 - £) - (1 - ^ф^-^2 (6)
А мощность, потребная для работы почвообрабатывающего диска, равна сумме мощностей, необходимых для преодоления сил трения о боковые поверхности диска, мощности, необходимой для преодоления сопротивления почвы расклиниванию фасками его лезвия, и мощности, необходимой для преодоления сил сопротивления почвы сминанию и перемещению круговым сегментом диска:
P = Pл + PT + Pc. (7)
Так как интегралы, входящие в равенства (3) и (5), не выражаются через элементарные функции, то для определения мощностных характеристик почвообрабатывающего диска приходится использовать численное интегрирование.
Результаты и обсуждение Замена переменных x = г^ и z = г■w в двойных интегралах (1) и (2) приводит к равенствам
,P3 Я
Xu + (Xw - 1)w
dudw,
ф2ы2 + (Хм: -1)2 р = /рг2 ^ Я р7 X2 ы2 + (Хм -1)2 йыйм.
х
Дифференцируя последнее из этих двух равенств по параметру X под знаком интеграла, с учетом первого, получим
дРт г 2 ГГ Xы2 + (XV - 1)м , , —0
=/-2р^д / 2 +( ==^=-(8)
^ ^^и2 + (XV -1)2 г
А дифференцирование равенства (5) по параметру X под знаком интеграла с учетом равенства (4) приводит к
дР
dX
л = Qrv Í
I ^ п J
X - cos S
Vi + X2 - 2X cos S dP
d S = —п Mn.
(9)
dP ^ + дрб = --(m0 + M0). (10)
Поскольку —^ = 0 то дифференцирование
IX
равенства (7) по параметру X в силу равенств (8) и (9) дает
ар = зр^ + д_р =
IX IX IX г Если пренебречь моментом сил трения в подшипнике диска, то при установившемся движении диска при постоянной глубине его хода в однородной почве угловая скорость вращения диска будет постоянной. Поэтому сумма момента сил трения почвы о круговые сегменты диска относительно центра диска и момента сил сопротивления почвы расклиниванию фасками его лезвия относительно той же точки будет равна нулю: mo + Mo = 0. То
дР
есть, в силу равенства (10), — = 0.
IX
Находя с помощью равенств (8)-(10) вторую
производную
д2 P dX2:
несложно показать, что
д2 P
Ж7
> 0. Значит, если пренебречь силами трения в
подшипнике диска, то при постоянной глубине обработки в однородной почве диск движется с такой угловой скоростью, при которой минимальны
о
S
r
о
Вестник НГИЭИ. 2022. № 11 (138). C. 19-32. ISSN 2227-9407 (Print) Bulletin NGIEI. 2022. № 11 (138). P. 19-32. ISSN 2227-9407 (Print)
technologies, machines and equipment for the agro-industrial complex
ка. Эти функции задаются формулами (11), в которых мощности Рл и Рт определяются равенствами (3) и (5) через интегралы, которые можно найти известными численными методами.
Величина безразмерного кинематического параметра X зависит от относительного заглубления угла атаки а и свойств обрабатываемой почвы. Согласно экспериментальным данным [31] при малых углах атаки диска кинематический параметр X диска заключен в пределах 0,85 < X < 1,1.
Графики зависимости P* (на рисунке Ps*) от X изображены сплошными линиями на рисунке 3, а для трех значений параметра = 0,3 (нижняя), 0,5 (средняя) и 0,7 (верхняя). На этом же рисунке для этих же значений изображены пунктирными линиями графики функций, принимающих постоянные значения, равные соответствующим значениям мощности P* при X = 1.
суммарные затраты мощности на преодоление сил трения почвы о круговые сегменты диска, мощности на преодоление сил сопротивления почвы расклиниванию фасками его лезвия и мощности, необходимой для преодоления сил сопротивления почвы сминанию и перемещению круговым сегментом диска.
Для сокращения числа независимых параметров исследуемых зависимостей введем безразмерные мощности диска по формулам
P P P =-3-, P =-1-. (11)
л ^ ' т г 2
Qrvn cos a fpr vn cos а Тогда, согласно равенству (7), формула для мощности, необходимой для преодоления всех сил сопротивления почвы обработке, примет вид
P = Qv cos aP* + fpr2 v cos aP1* + Pc. (12) Безразмерные мощности диска P* и P* являются функциями безразмерных параметров X и определяющих вместе с углом а режим работы дис-
Рис. 3. Графики зависимости безразмерной мощности P* от параметра X (а) и параметра (б) Fig. 3. Graphs of the dimensionless power P* dependence on the X parameter (a) and the parameter (b)
Источник: создано автором
На рисунке 3, б приведены графики зависимости Р* от при X = 0,85 (сплошная линия), X = 1,0 (пунктирная линия) и X = 1,1 (точечная линия).
Как следует из рисунка 3, в диапазоне 0,85 < X < 1,1 выполняется приближенное равенство РтЧХ, £) « Рт*(1,
Графики зависимости Р* (на рисунке Рь*) от X изображены сплошными линиями на рисунке 4, а для трех значений параметра = 0,3 (нижняя), 0,5 (средняя) и 0,7 (верхняя). На этом же рисунке для этих же значений изображены пунктирными линиями графики функций, принимающих постоянные значения, равные соответствующим значениям мощности Р* при X = 1.
технологии, машины и оборудование ] для агропромышленного комплекса ]
Рис. 4. Графики зависимости безразмерной мощности P* от параметра X (а) и параметра 0 (б) Fig. 4. Graphs of the dimensionless power P* dependence on the X parameter (a) and the 0 parameter (b)
Источник: создано автором
На рисунке 4, б приведены графики зависимости P* от 0 при X = 0,85 (сплошная линия), X = 1,0 (пунктирная линия) и X = 1,1 (точечная линия).
Из рисунка 4 следует, что в диапазоне 0,85 < X < 1,1 с несколько большей погрешностью выполняется приближенное равенство
PU 0) * P*(1, 0).
Значит, из равенства (12) при 0,85 < X <1,1 следует приближенное равенство для мощности
P * QV cos ap (1,0) + fpr2v cos aP* (1, 0) + Pc. (13)
При X = 1 интеграл в равенстве (3) выражается через элементарные функции, что с учетом одного из равенств (11) дает
— = Q(4 - 2J4 - 20 )cos a + pr {[arccos(1 - 0)
vr
- r I -
-(1-0W20-021 sin a+ f
03
ln
2 4 - 20 л/20
(302 - 40-16)
+32
cos a!
Поскольку тяговое усилие диска F = P/vп, то приближенное явное выражение для тягового усилия диска примет следующий вид:
— = Q(4 - 2^/4 - 20 )cos а + рг |[агс^(1 -0) -
—т*(1, 0) =
(302 - 40-16)
V4-20 + 32 -
-(1 -0)л/20-021 sin a + f
03
ln
3
03
ln
2 4 - 20
V20
(14)
2-У 4 - 20
V20
(302 - 40-16)
v^+32
cos a:
При X = 1 интеграл в равенстве (5) также выражается через элементарные функции, что с учетом другого из равенств (11) приводит к
Рл*(1,0) = 4 - 2^/4-20.
Подставив в равенство (13) выражения для функций Р*(1,0), Р*(1,0) и выражение (6) для мощности Pc, получим следующее приближенное явное выражение для мощности диска P, потребной для обработки почвы:
Для подтверждения количественной адекватности построенной полуаналитической модели были использованы опубликованные экспериментальные данные по определению тягового усилия почвообрабатывающего диска, установленного под углом атаки.
На рисунке 5, а квадратиками изображены средние результаты экспериментального определения тягового усилия вертикального плоского диска диаметра 460 мм в почвенном канале [8]. Поскольку коэффициент трения почвы о диск в экспериментах
3
Вестник НГИЭИ. 2022. № 11 (1SS). C. 19-S2. ISSN 2227-9407 (Print) Bulletin NGIEI. 2022. № 11 (1SS). P. 19-S2. ISSN 2227-9407 (Print)
technologies, machines and equipment for the agro-industrial complex
и p = 1,285 Н/см2. Эти значения эмпирических постоянных Q и p были найдены методом наименьших квадратов. Расчеты показали, что максимальная относительная погрешность определения тягового усилия диска по выражению (14) составила 2.0 %, а средняя - 1,0 %.
не измерялся, примем для него наиболее вероятное значение /= 0,5. Глубина обработки почвы составляла к = 50 мм, то есть относительное заглубление = к/г = 0,217.
Сплошной линией на этом же рисунке изображен график зависимости (14) при Q = 14,509 Н/см
130
120
100
90
I I I I 1 , V
/
/ /
/ / /
0
10
15
20
(а) (б)
Рис. 5. Графики зависимости тягового усилия от угла атаки а и экспериментальные значения этого усилия в опытах Malasli и Celik (а) и в опытах Лысыча (б) Fig. 5. Graphs of the dependence of the draft force on the angle of attack а and the experimental values of this force in the experiments of Malasli and Celik (a) and in the experiments of Lysych (b)
Источник: создано автором
На рисунке 5, б квадратиками изображены средние результаты экспериментального определения тягового усилия дисковой батареи сферических дисков, в пересчете на один диск [15]. Коэффициент трения почвы о диск в этих опытах также не измерялся, поэтому снова принимаем f= 0,5. Глубина хода дисков составляла h = 90 мм, а диаметр - 450 мм, то есть относительное заглубление = h/r = 0,444.
Сплошной линией на этом же рисунке изображен график зависимости (14) при Q = 9,174 Н/см и p = 1,621 Н/см2. Как показали расчеты, максимальная относительная погрешность определения тягового усилия диска по выражению (14) составила 3,8 %, а средняя - 2,8 %. Увеличение ошибок объясняется тем, что испытывался не плоский диск, а сферический. Отметим, что максимальная относительная погрешность определения тягового усилия при дискретно-элементном моделировании составила 22,2 % [15].
Заключение
Предложенная математическая модель позволила установить, что если пренебречь силами
трения в подшипнике вертикального почвообрабатывающего диска, установленного под углом атаки, то при постоянном заглублении в однородной почве диск движется с такой угловой скоростью, при которой потребная мощность диска минимальна.
Получены явные выражения в зависимости от угла атаки, относительного заглубления, радиуса диска, коэффициента трения почвы о диск и двух эмпирических постоянных для потребной мощности и тягового усилия вертикального почвообрабатывающего диска, установленного под углом атаки.
Опубликованные экспериментальные данные по определению тягового усилия диска, движущегося под углом атаки, двух разных исследователей подтвердили количественную адекватность построенной полуаналитической модели. Максимальная относительная погрешность определения тягового усилия диска по построенной модели в почвенном канале составила: для плоского диска - 2,0 %, для сферического диска - 3,8 %.
VWWWW^V ТРУНП ППГИИ MA ШИНЫ И ПКПРУПППА f/urVWWWWW
i слпили1 nn, 1м1ашпны n udurj^udannn
XXXXXXXXXXX для агропромышленного комплекса XXXXXXXXXXX
СПИСОК ИСТОЧНИКОВ
1. Трубилин Е. И., Сохт К. А., Коновалов В. И., Данюкова О. В. Рабочие органы дисковых борон и лущильников // Научный журнал КубГАУ. 2013. № 91 (07). С. 1-20.
2. Евченко А. В., Кобяков И. Д. О качестве обработки почвы дисковыми лущильниками // Доклады Российской академии сельскохозяйственных наук. 2010. № 2. C. 53-54.
3. Taylor P. A. Field Measurement of Forces and Moments on Wheatland Plow Disks // Transactions of the ASAE. 1967. P. 762-770.
4. Salokhe V. M, Islam M. S., Gupta C. P., Hoki M. Field Testing of a PTO Powered Disk Tiller // Journal of Terramechanics. 1994. V. 31. No. 2. P. 139-152.
5. Лобачевский Я. П., Старовойтов С. И., Гринь А. М. Энергетические и технологические аспекты работы дискового рабочего органа // Сельскохозяйственные машины и технологии. 2017. № 1. С. 18-22. DOI 10.22314/2073-7599-2018-11-1-18-22
6. Nalavade P. P., Salokhe V. M., Niyamapa T., Soni P. Performance of Free Rolling and Powered Tillage Discs // Soil & Tillage Research. 2010. V. 109. P. 87-93.
7. Kumar S., Singh T. P. Assessment of Power, Energy and Torque of Powered Disc through Soil Bin Study // Journal of Agricultural Engineering. July-September, 2016. V. 53. № 3. P. 1-9.
8. Malasli M. Z., Celik A. Disc angle and tilt angle effects on forces acting on a single-disc type no-till seeder opener // Soil & Tillage Research. 2019. V. 194. 104304. P. 1-9. DOI 10.1016/j.still.2019.104304
9. Никулин И. С., Мишунин М. В., Никуличева Т. Б., Бородавкин И. Г., Титенко А. А. Экспериментальная оценка влияния влажности и типа обработки почвы на уплотняемость при механическом воздействии // Достижения науки и техники АПК. 2020. Т. 34. № 12. С. 61-65.
10. Saleh A. W., Abdullah A. A., Tahir H. Th. Performance Evaluation and Analysis Stress (Theoretical and Practical) of Auxiliary Parts (Coulter Knives) Locally Manufactured for Moldboard Plow During Tillage // Plant Archives. 2020. V. 20. № 2. P. 4109-4118.
11. Ghezavati J., Abbasgholipour M., Mohammadi Alasti B. Modeling and Design of a Disk-Type Furrow Opener's Coulter Its Mechanical Analysis and Study for No-Till Machinery (Combination and Bertini) // Int J Advanced Design and Manufacturing Technology. December 2017. V. 10. № 4. P. 63-73.
12. Chiroux R. C., Foster Jr. W. A., Johnson C. E., Shoop S. A., Raper R. L. Three-dimensional finite element analysis of soil interaction with a rigid wheel // Applied Mathematics and Computation. 2005. V. 62. P. 707-722. DOI 10.1016/j.amc.2004.01.013
13. Abu-Hamdeh N. H., Reeder R. C. A nonlinear 3D finite element analysis of the soil forces acting on a disk plow // Soil & Tillage Research. 2003. V. 74. P. 115-124.
14. Sun J., Wang Y., Zhang S., Ma Y., Tong J., Zhang Z. The mechanism of resistance-reducing/anti-adhesion and its application on biomimetic disc furrow opener // Mathematical Biosciences and Engineering. 2020. V. 17. № 5. P. 4657-4677. DOI 10.3934/mbe.2020256
15. Лысыч М. Н. Компьютерное моделирование процесса обработки почвы рабочими органами почвообрабатывающих машин // Компьютерные исследования и моделирование. 2020. Т. 12. № 3. С. 607-627. DOI 10.20537/2076-7633-2020-12-3-607-627
16. Murray S. E., Chen Y. Soil Bin Tests and Discrete Element Modeling of a Disc Opener // Canadian Biosystems Engineering / Le genie des biosystemes au Canada. 2018. V. 60. P. 2.1-2.10. DOI 10.7451/CBE.2018.60.2.1
17. SadekM. A., Chen Y., Zeng Z. Draft force prediction for a high-speed disc implement using discrete element modelling // Biosystems Engineering. 202l. V. 202. P. I33-I4I. DOI 10.1016/j.biosystemseng.2020.12.009
18. Мышкис А. Д. Элементы теории математических моделей. М. : КомКнига, 2007. 192 с.
19. Свищук С. В. Анализ существующих теоретических предпосылок для расчета дисковых рабочих органов почвообрабатывающих машин // Ученые записки Крымского инженерно-педагогического университета. Технические науки. 2008. № 11. С. 26-29.
20. Николаев В. А. Расчёт затрат энергии на резание грунта горизонтальным лезвием путём анализа процесса // Научно-технический вестник Брянского государственного университета. 2019. № 2. C. 243-250. DOI 10.22281/2413-9920-2019-05-02-243-250
XXX technologies, machines and equipment for the agro-industrial complex XXX
21. Umsrithong A., Sandu C. A 3D Semi-empirical On-Road Transient Tire Model // SAE Int. J. of Commercial Vehicles. 2010. V. 3. № 1. P. 42-59.
22. Taheri S., Wei T. A New Semi-Empirical Method for Estimating Tire Combined Slip Forces and Moments During Handling Maneuvers // SAE Int. J. of Passenger Cars-Mechanical Systems. 2015. V. 8. № 2. P. 797-815. DOI 10.4271/2015-01-9112
23. Lopez A., Olazagoitia J. L., Marzal F., Rubio M. R. Optimal parameter estimation in semi-empirical tire models // J. Automobile Engineering. 2019. V. 233. № 1. P. 73-87. DOI 10.1177/0954407018779851
24. Madsen J., Seidl A., Negrut D. Off-Road Vehicle Dynamics Mobility Simulation with a Compaction Based Deformable Terrain Model // Proceedings of the ASME 2013 International Design Engineering Technical Conferences & Computers and Information in Engineering Conference. Portland. 2013. P. 1-8.
25. Nerli N. Sul vantaggio dinamico del coltro rotante [On the dynamic advantage of the rotating coulter] // Pubblicazioni della R. Scuola d'ingegneria di Pisa. 1929-1930. V. 3 (127).
26. Nerli N. Sul problema dinamico dell' aratro a disco [On the dynamic problem of the plough disc] // Annali delle Universita Toscane. Sezione delle Scienze Mediche, Fisiche, Matematiche e Naturali, Nuova Serie. 1929-1930. V. 14 (48). P. 51-78.
27. Акимов А. П., Константинов Ю. В. Скольжение-буксование дискового ножа в почве и его силовые характеристики // Тракторы и сельхозмашины. 2005. № 4. С. 30-34.
28. Старовойтов С. И. Особенности дисковых почвообарабатывающих орудий // Проблемы энергообеспечения, информатизации и автоматизации, безопасности и природопользования в АПК. Брянск. 2014. С. 210-215.
29. Акимов А. П., Константинов Ю. В. Оптимизация параметров и режимов функционирования дисков почвообрабатывающих машин и орудий. Чебоксары : ФГБОУ Чувашская ГСХА, 2017. 108 с.
30. YangM. Application of Matlab in Teaching of Statics in Theoretical Mechanics Course // International Conference on Social Science, Education Management and Sports Education. 2015. P. 2340-2342.
31. Нартов П. С. Дисковые почвообрабатывающие орудия. Воронеж : Изд-во ВГУ, 1972. 184 с.
Статья поступила в редакцию 18.08.2022; одобрена после рецензирования 19.09.2022;
принята к публикации 21.09.2022.
Информация об авторе: Ю. В. Константинов - к.т.н., Spin-код: 2055-4400.
REFERENCES
1. Trubilin Ye. I., Sokht K. A., Konovalov V. I., Danyukova O. V. Rabochiye organy diskovykh boron i lush-chil'nikov [Tools of disc harrows and cultivators], Nauchnyy zhurnal KubGAU [Scientific journal of KubGAU], 2013, No. 91 (07), pp. 1-20.
2. Yevchenko A. V., Kobyakov I. D. O kachestve obrabotki pochvy diskovymi lushchil'nikami [About the quality of soil treatment with disc harrows], Doklady Rossiyskoy akademii sel'skokhozyaystvennykh nauk [Reports of the Russian Academy of Agricultural Sciences], 2010, No. 2, pp. 53-54.
3. Taylor P. A. Field Measurement of Forces and Moments on Wheatland Plow Disks, Transactions of the ASAE, 1967, pp. 762-770.
4. Salokhe V. M., Islam M. S., Gupta C. P., Hoki M. Field Testing of a PTO Powered Disk Tiller, Journal of Terramechanics, 1994, Vol. 31, No. 2, pp. 139-152.
5. Lobachevskiy Ya. P., Starovoytov S. I., Grin' A. M. Energeticheskiye i tekhnologicheskiye aspekty raboty diskovogo rabochego organa [Energy and technological aspects of the tillage disc], Sel'skokhozyaystvennyye mashiny i tekhnologii [Agricultural machines and technologies], 2017, No. 1, pp. 18-22, DOI 10.22314/2073-7599-2018-11-118-22
6. Nalavade P. P., Salokhe V. M., Niyamapa T., Soni P. Performance of Free Rolling and Powered Tillage Discs, Soil & Tillage Research, 2010, Vol, 109, pp. 87-93.
7. Kumar S. Singh T. P. Assessment of Power, Energy and Torque of Powered Disc through Soil Bin Study, Journal of Agricultural Engineering, July-September 2016, Vol. 53, No. 3, pp. 1-9.
30
Вестник НГИЭИ. 2022. № 11 (138). C. 19-32. ISSN 2227-9407 (Print) Bulletin NGIEI. 2022. № 11 (138). P. 19-32. ISSN 2227-9407 (Print)
VWWWW^V TFYHfl ППГИИ MA ШИНЫ И ПКПРУПППй f/urVWWWWW
XXXXXXXXXXX для агропромышленного комплекса XXXXXXXXXXX
8. Malasli M. Z., Celik A. Disc angle and tilt angle effects on forces acting on a single-disc type no-till seeder opener, Soil & Tillage Research, 2019, Vol. 194, 104304, pp. 1-9, DOI 10.1016/j.still.2019.104304
9. Nikulin I. S., Mishunin M. V., Nikulicheva T. B., Borodavkin I. G., Titenko A. A. Eksperimental'naya ocenka vliyaniya vlazhnosti i tipa obrabotki pochvy na uplotnyaemost' pri mekhanicheskom vozdej stvii [Experimental assessment of the influence of moisture and the type of tillage on the compactability under mechanical action], Dosti-zheniya nauki i tekhniki APK [Achievements of science and technology of the agro-industrial complex], 2020, Vol. 34, No. 12, pp. 61-65.
10. Saleh A. W., Abdullah A. A., Tahir H. Th. Performance Evaluation and Analysis Stress (Theoretical and Practical) of Auxiliary Parts (Coulter Knives) Locally Manufactured for Moldboard Plow During Tillage, Plant Archives, 2020, Vol. 20, No. 2, pp. 4109-4118.
11. Ghezavati J., Abbasgholipour M., Mohammadi Alasti B. Modeling and Design of a Disk-Type Furrow Opener's Coulter Its Mechanical Analysis and Study for No-Till Machinery (Combination and Bertini), Int J Advanced Design and Manufacturing Technology, December 2017, Vol. 10, No. 4, pp. 63-73.
12. Chiroux R. C., Foster Jr. W. A., Johnson C. E., Shoop S. A., Raper R. L. Three-dimensional finite element analysis of soil interaction with a rigid wheel, Applied Mathematics and Computation, 2005, Vol. 62, pp. 707-722, DOI10.1016/j.amc.2004.01.013
13. Abu-Hamdeh N. H., Reeder R. C. A nonlinear 3D finite element analysis of the soil forces acting on a disk plow, Soil & Tillage Research, 2003, Vol. 74, pp. 115-124.
14. Sun J., Wang Y., Zhang S., Ma Y., Tong J., Zhang Z. The mechanism of resistance-reducing/anti-adhesion and its application on biomimetic disc furrow opener, Mathematical Biosciences and Engineering, 2020, Vol. 17, No. 5, pp. 4657-4677. DOI 10.3934/mbe.2020256
15. Lysych M. N. Komp'yuternoye modelirovaniye protsessa obrabotki pochvy rabochimi organami pochvoob-rabatyvayushchikh mashin [Computer modeling of the process of tillage by tools of tillage machines], Komp'yuternyye issledovaniya i modelirovaniye [Computer Research and Modeling], 2020, Vol. 12, No. 3, pp. 607-627, DOI 10.20537/2076-7633-2020-12-3-607-627
16. Murray S. E., Chen Y. Soil Bin Tests and Discrete Element Modeling of a Disc Opener, Canadian Biosystems Engineering/Le genie des biosystemes au Canada, 2018, Vol. 60, pp. 2.1-2.10, DOI 10.7451/CBE.2018.60.2.1
17. Sadek M. A., Chen Y., Zeng Z. Draft force prediction for a high-speed disc implement using discrete element modeling, Biosystems Engineering, 202l, Vol. 202, pp. I33-I4I, DOI 10.1016/j.biosystemseng.2020.12.009
18. Myshkis A. D. Elementy teorii matematicheskikh modeley [Elements of the theory of mathematical models], Moscow: KomKniga, 2007, 192 p.
19. Svishchuk S. V. Analiz sushchestvuyushchikh teoreticheskikh predposylok dlya rascheta diskovykh rabo-chikh organov pochvoobrabatyvayushchikh mashin [Analysis of the existing theoretical prerequisites for the calculation of disk tools of tillage machines], Uchenyye zapiski Krymskogo inzhenerno-pedagogicheskogo universiteta. Tekhnicheskiye nauki [Scientific notes of the Crimean Engineering and Pedagogical University. Technical science], 2008, No. 11, pp. 26-29.
20. Nikolayev V. A. Ras^t zatrat energii na rezaniye grunta gorizontal'nym lezviyem pUsm analiza protsessa [Calculation of energy consumptions for cutting soil with a horizontal blade by analyzing the process], Nauchno-tekhnicheskiy vestnik Bryanskogo gosudarstvennogo universiteta [Scientific and technical bulletin of the Bryansk State University], 2019, No. 2, pp. 243-250, DOI 10.22281/2413-9920-2019-05-02-243-250
21. Umsrithong A., Sandu C. A 3D Semi-empirical On-Road Transient Tire Model, SAE Int. J. of Commercial Vehicles, 2010, Vol. 3, No. 1, pp. 42-59.
22. Taheri S., Wei T. A New Semi-Empirical Method for Estimating Tire Combined Slip Forces and Moments During Handling Maneuvers, SAE Int. J. of Passenger Cars-Mechanical Systems, 2015, Vol. 8, No. 2, pp. 797-815, DOI 10.4271/2015-01-9112
23. Lopez A., Olazagoitia J. L., Marzal F., Rubio M. R. Optimal parameter estimation in semi-empirical tire models, J. Automobile Engineering, 2019, Vol. 233, No. 1, pp. 73-87. DOI 10.1177/0954407018779851
24. Madsen J., Seidl A., Negrut D. Off-Road Vehicle Dynamics Mobility Simulation with a Compaction Based Deformable Terrain Model, Proceedings of the ASME 2013 International Design Engineering Technical Conferences & Computers and Information in Engineering Conference, Portland, 2013, pp. 1-8.
31
XXX technologies, machines and equipment for the agro-industrial complex XXX
25. Nerli N. Sul vantaggio dinamico del coltro rotante [On the dynamic advantage of the rotating coulter], Pub-blicazioni della R. Scuola d'ingegneria di Pisa [Proceedings of the Royal School of Engineering of Pisa], 1929-1930, Vol. 3 (127).
26. Nerli N. Sul problema dinamico dell' aratro a disco [On the dynamic problem of the plough disc], Annali delle Université Toscane. Sezione delle Scienze Mediche, Fisiche, Matematiche e Naturali, Nuova Serie [Annals of the Tuscan Universities, Section of Medical, Physical, Mathematical and Natural Sciences, New Series], 1929-1930, Vol. 14 (48), pp. 51-78.
27. Akimov A. P., Konstantinov Yu. V. Skol'zheniye-buksovaniye diskovogo nozha v pochve i yego silovyye kharakteristiki [Skidding-sliding of a disc knife in soil and its power characteristics], Traktory i sel'khozmashiny [Tractors and agricultural machines], 2005, No. 4, pp. 30-34.
28. Starovoytov S. I. Osobennosti diskovykh pochvoobarabatyvayushchikh orudiy [Features of tillage discs], Problemy energoobespecheniya, informatizatsii i avtomatizatsii, bezopasnosti i prirodopol'zovaniya v APK [Problems of energy supply, informatization and automation, safety and environmental management in the agro-industrial complex], Bryansk, 2014, pp. 210-215.
29. Akimov A. P., Konstantinov Yu. V. Optimizatsiya parametrov i rezhimov funktsionirovaniya diskov pochvoobrabatyvayushchikh mashin i orudiy [Optimization of parameters and operating modes of discs of tillage machines and implements], FGBOU VO Chuvash State Agricultural Academy, 2017, 108 p.
30. Yang M. Application of Matlab in Teaching of Statics in Theoretical Mechanics Course, International Conference on Social Science, Education Management and Sports Education, 2015, pp. 2340-2342.
31. Nartov P. S. Diskovyye pochvoobrabatyvayushchiye orudiya [Disc tillage tools], Voronezh: Publ. VGU, 1972, 184 р.
The article was submitted 18.08.2022; approved after reviewing 19.09.2022; accepted for publication 21.09.2022.
Information about the author: Yu. V. Konstantinov - Ph. D. (Engineering), Spin-code: 2055-4400.
