CC BY
905.18.01 - Технология обработки, хранения и переработки злаковых, бобовых культур, крупяных продуктов, плодоовощной продукции и виноградарства (технические науки) DOI: 10.25712^Ш2072-8921.2019.02.004 УДК 534.014.3
ПОЛНАЯ МОЩНОСТЬ ВИБРОПРИВОДОВ МАШИН ДЛЯ ПРОСЕИВАНИЯ МУКИ И САХАРА
И.П. Попов
Рассматриваются разновидности механической мощности в вибрационных процессах. При работе вибрационных машин развивается кинетическая энергия за счет движения массивных тел и тепловая за счет трения. Их производные определяют различные виды механической мощности - переменную реактивную и неотрицательную тепловую. Дуально-инверсным аналогом реактивной механической мощности является реактивная электрическая мощность. Тепловой механической мощности соответствует электрическая активная мощность. Целью работы является теоретическое описание разновидностей мощности, имеющей место при работе вибрационных машин. Задача заключается в аналитическом представлении энергетического аспекта вибрационных явлений. Актуальность исследования обусловлена негативным влиянием механической реактивной мощности на качество тока питающей сети (появление гармоники с частотой механических колебаний, трансформация механической реактивной мощности в электрическую реактивную мощность и др.). рассмотрение основано на том, что в удовлетворительном приближении перемещение массивного рабочего органа вибромеханизма можно считать гармоническим. Также как активная мощность электротехнике определяется механическая диссипативная мощность P = FV cos ф, где ф представляет собой разность фаз колебаний представленных величин. Также как реактивная мощность электротехнике определяется механическая реактивная (инерционная) мощность Q = FV sin ф. В электротехнике принято, что P - это среднее значение, а Q- амплитуда. Здесь все обстоит точно также. Также как в электротехнике определяется полная мощность S = ^О; + P2 = FV. Она находится как умножение
действующих значений величин. Представлены комплексное и векторное описания диссипативной и реактивных мощностей. Материальным воплощением виртуальных вращающихся векторов в вибрационных процессах являются кривошипы вращательно-линейных преобразователей.
Ключевые слова: реактивная, активная, полная мощности, комплексное, векторное представления.
ВВЕДЕНИЕ
Механическая мощность является производной энергии по времени. При работе вибрационных машин [1] развивается кинетическая энергия [2] за счет движения массивных тел и тепловая за счет трения. Их производные определяют различные виды механической мощности - переменную реактивную [3] и неотрицательную тепловую.
Дуально-инверсным аналогом реактивной механической мощности является реактивная электрическая мощность. Тепловой механической мощности соответствует электрическая активная мощность [4, 5].
Целью работы является теоретическое описание разновидностей мощности, имеющей место при работе вибрационных машин [6-9].
Задача заключается в аналитическом представлении энергетического аспекта вибрационных явлений.
Актуальность исследования обусловлена негативным влиянием механической реактивной мощности на качество тока питающей сети (появление гармоники с частотой механических колебаний, трансформация механической реактивной мощности в электрическую реактивную мощность и др.).
РЕАКТИВНАЯ ИНЕРЦИОННАЯ И АКТИВНАЯ ТЕПЛОВАЯ МОЩНОСТИ
В удовлетворительном приближении перемещение массивного рабочего органа вибромеханизма можно считать
гармоническим
X = l sin ю t ,
где х - координата, l - амплитуда, ю - круговая частота. Скорость определяется как производная перемещения
v = &= 1ю cosюt = Vm cosюt.
Здесь
Vra = l ю .
- максимальное значение. Из электротехники известно, что действующее значение меньше
72 72'
В соответствии с вторым законом Ньютона сила определяется как
V =-
(1)
f = mX= —/mro sin roí.
(2)
Сила трения равна
f = ц&= ц/rocos roí. (3)
Здесь ц - коэффициент трения. Сумма этих сил имеет вид:
f = f + f = —/mro2 sin roí + ц/ro cos roí =
(
= /ro^/ц2 + m2ro2
ц
v
mro
V2 2 2 ц + m ro
Л
sin ro í
cos roí —
Пусть
V2 2 2 ц + m ro
mro
Ф = arctg-.
ц
(4)
Пр и это м формулу для силы можно записать в виде:
f = /ю7ц2 + m2 ю2 (cos ф cos rot — sin ф sin rot ) =
= /ro^/ц2 + m2ro2 cos(roí + ф) . Максимальное значение
Fm = /ro/ц2 + m2ro2 . Соответственно, действующее -
72 72
2 2 -m ro
(5)
Мощность определяется следующим образом:
5 = fv = lra^/ц2 + т2ю2 cos(at + ф)lюcosat = = 0,5l2ю27ц2 + т2ю2 [cosф + cos(2at + ф)] =
= FF [cos ф + cos(2юt + ф)] = = FV (cos ф + cos2юt cos ф-sin2rat sin ф) = = FV cos ф(1 + cos2юt)-FV sin ф sin2юt. (6)
Также как активная мощность электротехнике определяется механическая дисси-пативная мощность
P = FV cos ф . (7)
ф представляет собой разность фаз колебаний представленных величин.
Также как реактивная мощность электротехнике определяется механическая реактивная (инерционная) мощность
Q = FV sin ф . (8)
В электротехнике принято, что P - это среднее значение, а Q - амплитуда. Здесь все обстоит точно также.
Также как в электротехнике определяется полная мощность
S = 7Qi + P2 = FV . (9)
Она находится как умножение действующих значений величин. С учетом (1), (5) и (8)
Q = FV sin ф =
l ю/ц2 + m 2ю2 1ю тю ml 2ю3 ^^
= 72 72 7ц2 + mV = 2 . В то же время, fv = —lmro2 sin rotlrocos rot = —0,5l 2mro3 sin2rot = = —Fa V sin 2rot = — Q sin 2ю, (11) см. (6) и (10).
С учетом (1), (5) и (7)
P = FV cos ф =
_lю/ц2 + m2ю2 Iю ц _ц12ю2
= 72 72 ^ц2 + mV = 2 . В то же время,
fv = ц/rocos rotlrocos roí =
= 0,5ц/2 ю2(1 + cos2roí) =
= FV(1 + cos2rat) = P(1 + cos 2ю t), (13)
см. (6) и (12).
С учетом (9), (10) и (12)
S = FV =
/ro^/ц2 + m2ro2
72 72
/го /2 ro2V ц2 + m2ro2
2
РЕАКТИВНАЯ ДЕФОРМАЦИОННАЯ МОЩНОСТЬ
Далее рассматриваются силы при линейной упругой деформации [10, 11]. Инертность во внимание не принимается.
Сила определяется как
f = kx = kl sin raí , (14)
к - жесткость. Сумма сил, принимая во внимание (3), равна
f = f + f = kl sin raí + |lracos raí =
= Цк2 +ц2го2
k
•v/k
.sin roí +
2 2 2 2 +ц2го2
Л
цго
■y/k2 + ц2го2
cos roí
Пусть
ф = arctg— .
цго
И.П. ПОПОВ
При этом формулу для силы можно записать в виде:
f = lijk2 + ц2ю2 (sin ф sin юt + cosфcos юt) =
= l*Jk2 +ц2ю2 cos(юt-ф). Максимальное значение
Fm = ф2 +ц2ю2 . Соответственно, действующее -
F ^Jkr+
F =_т — —jL_
2 2 Ц Ю
Л = 72 . (15)
М о щн о сть определяется следующим образом:
s = fv = l^k2 + ц2ю2 cos (raí-ф)/ю cos raí = = 0,5/2ю/k2 + ц2ю2 [cosф + cos (2raí -ф)] =
= FV [cos ф + cos(2raí - ф)] = = FV (cos ф + cos 2raí cos ф + sin 2raí sin ф) = = FV cos ф(1 + cos2raí) + FV sin ф sin2raí. (16)
По аналогии (6), (7) и (12) тепловая мощность равна
P = FV cos ф =
_ Цк2 + Ц2Ю2 IЮ ЦЮ _ Ц2Ю2
V2
2 + Ц2Ю2 2
С учетом (15), (1), (8) и (16) реактивная деформационная мощность имеет вид:
Qi = FV sin ф =
_ l<Jk2 + ц2ю2 /ю к _ kl2ю
V2 -fifi
2 + Ц2Ю2 2
(17)
В то же время,
fkv = kl sinrotlrocosrat = 0,5kl2ю sin2rot =
= FV sin 2юt = Q sin 2юt, (18)
см. (16) и (17).
Полная механическая мощность находится как
S = FV = V 02 + P
■ l2ю^/к2 +ц2ю2 = 2
РЕАКТИВНАЯ ГРАВИТАЦИОННАЯ МОЩНОСТЬ
í= а0юcos raí = а0 J— cos raí.
Механическая мощность
qg = mа&= mgLa0 sin raí cos raí =
= 0,5mal^Lg sin2raí. Реактивная гравитационная мощность
равна
Qg = 0,5та2^.
КОМПЛЕКСНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
Гармоническую величину можно представлять в виде комплексной амплитуды вектора в комплексной плоскости для нулевого момента времени.
Комплексная скорость при инертной нагрузке равна
8 ■ п
Vm = Vy я/2.
Имеется в виду, что
8
v = Vm cosrai = ReVm .
При переходе к действующим величинам
V = VeJ2, F = FeJw2+ф).
Также как в электротехнике для определения полной мощности необходимо умножить силу не на саму скорость, а на сопряженный ей вектор
S = FV = Fe
- T7¿(V2+фуе-^2 -
= FVe
j(V2+ф-л/2) _
= FVe"9 = FV cos ф + jFV sin ф= P + jQ . Над комплексными величинами, не являющимися изображениями гармонической функции, точка не ставится, такие величины подчеркиваются.
Реактивная деформационная мощность
имеет обратный знак
g *
S = F V = Fej 2-ф) Ve~j ^2 = FVejw2-ф-л/2) = = FVe~J,f = FV cos ф - jFV sin ф = P + jQ.
Нетрудно убедиться,что
g * g *
P = Re FV , 0 = Im FV.
Момент силы при отклонении математического маятника от положения равновесия определяется как
m = mgLa.
Здесь L - длина подвеса, а - отклонение (град.). При этом
а = а sin (t.
Производная отклонения
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ТРЕХМЕРНЫХ ВЕКТОРОВ
Гармонические скорости и силы допускают векторное представление, при котором они являются проекциями на выбранную ось в плоскости виртуального пращения.
Подобно комплексному представлению гармонические величины можно отождествить с проекциями вращающихся векторов
g
(в рассматриваемом случае Р и V) на ортогональные оси в фазовой плоскости вращения. Формулы мощностей приобретают компактный вид
р = (е, v), д = [е, v], 52 =(е, v)2 +[е, v]2 .
Материальным воплощением виртуальных вращающихся векторов в вибрационных процессах являются кривошипы вращатель-но-линейных преобразователей.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Установлено, что в вибрационных машинах и механизмах помимо традиционной тепловой мощности развиваются реактивные мощности, в первую очередь инерционная, которая является производной кинетической энергии массивных деталей и узлов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Попов И.П., Кубарева С.Ю. Самобалансировка виброприводов машин для просеивания муки и сахара // Ползуновский вестник. 2018. № 4. С. 68-72. DOI: 10.25712^т2072-8921.2018.04.014
2. Попов И.П. О мерах механического движения // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2014. № 3(26). С. 1315.
3. Попов И.П. Механические аналоги реактивной мощности // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2015. № 3(30). С. 37-39.
4. Попов И.П. Свободные гармонические колебания в электрических системах с однородными реактивными элементами // Электричество. 2013. № 1. С. 57-59.
5. Попов И.П. Емкостно-инертное устройство // Известия Санкт-Петербургского государственного электротехнического университета «ЛЭТИ». 2015. Том 2. С. 43-45.
6. Попов И.П. Моделирование биинертного осциллятора // Приложение математики в экономических и технических исследованиях: сб. науч. тр. / под общ. ред. В.С. Мхитаряна. - Магнитогорск: Изд-во Магнитогорск. гос. техн. ун-та им. Г.И. Носова, 2017. С. 188-192.
7. Попов И.П., Парышев Д.Н., Самуйлов В.М., Васильев К.А. Балансировка вибромашин при строительстве железнодорожного пути // Вестник Уральского государственного университета путей сообщения. 2018. № 2(38). С. 15-19.
8. Popov I.P., Chumakov V.G., Rodionov S.S., Chumakova L.Ja., Rodionova S.I. Energy efficiency assessment of sieve separation gear kinematic diagram // British journal of innovation in science and technology. 2017. Vol 2. № 3. Р. 5-11.
9. Попов И.П. Механическая мощность при колебательных технологических операциях // Вестник Псковского государственного университета. Технические науки. 2015. Вып. 2. С. 15-18.
10. Попов И.П. Свободные гармонические колебания в упруго-емкостной системе // Вестник Курганского государственного университета. Естественные науки. 2011. Вып. 4. №2(21). С. 87-89.
11. Попов В.Е., Парышев Д.Н., Моисеев О.Ю., Харин В.В., Попов И.П. Регулируемое упругое устройство // Естественные и технические науки. 2018. № 6(120). С. 95-99.
Попов Игорь Павлович, старший преподаватель кафедры «Технология машиностроения, металлорежущие станки и инструменты» Курганского государственного университета, тел. 8-951-273-80-87, е-mail: ip. popo w@ yandex. ru
