CC BY
16
ПОЛИНОМИАЛЬНЫМ СИНТЕЗ МНОГОКАНАЛЬНОГО РЕГУЛЯТОРА ДЛЯ ДВУХМАССОВОЙ СИСТЕМЫ
© Вороной В.В.*
Новосибирский государственный технический университет, г. Новосибирск
В работе рассматривается пример синтеза регулятора для двухка-нальной двухмассовой системы без демпфирования по методике неявно описанной в [3].
В качестве объекта управления рассмотрим двухмассовую систему без демпфирования. Подробное описание и вывод математической модели для многоканального случая представлен в [1]. В [1] также рассматривается стабилизация двухмассовой системы при помощи регулятора синтезированного полиномиальным методом синтеза. Синтез аналогичной системы, но для одноканального случая представлен в [2]. В данной работе рассматривается синтез регулятора полиномиальным методом по методике неявно представленной в [3].
Объект описывается строго правильной матричной передаточной функцией, представленной в виде правого полиномиального разложения:
wa (s) = n (s) • D-1(s),
где D(s) - столбцово-приведенная полиномиальная матрица «знаменателя» объекта. Матрицы D(s) и N(s) взаимно-простые справа.
D(s) =
16(s2 + 4) -2(s2 + 4)
-32
s4 + 10s2 + i
"16 0 "
, N (s) = 0 s2 + 4
Регулятор представляет собой правильную матричную передаточную функцию в виде левого полиномиального разложения:
жг =у -v) • x (*).
Структурная схема замкнутой синтезируемой системы представлена на рис. 1.
Рис. 1. Структурная схема синтезируемой системы
* Аспирант.
Матричная передаточная функция замкнутой системы определяется по выражению:
ж (5) = (i + жа (*)жг (*)жг (5).
Если рассмотреть объект в виде правого полиномиального разложения, а регулятор в виде левого, то уравнение (1) можно переписать в следующем виде:
ж (5) = n (5)(у (^од + x (5'))-хх (5).
Так как предполагается решать задачу синтеза модальным методом, то для нахождения искомых параметров регулятора «знаменатель» замкнутой системы необходимо приравнять к «желаемому» матричному полиному. В результате, задача синтеза сводится к решению следующего уравнения:
у (5)б(5) + x ^ (5) = ^ (5),
(1)
где - желаемый характеристический полином замкнутой системы, который задается исходя из требований к качеству переходных процессов. В литературе можно встретить достаточно много работ, посвященных решению уравнения (1), например [4-6].
В соответствии с теоремой 9.М1 [3, с. 294]. Решение уравнения (1), т.е. нахождение полиномиальных матриц У(я) и X(я), существует, если и только если полиномиальные матрицы -(я) и взаимно простые справа.
Далее приводится пошаговая процедура синтеза многоканального регулятора полиномиальным методом в соответствии с [3].
Шаг 1. Определяются столбцовые степени матрицы -0(5):
=дЕ>Л = 2 = д°с2 = 2.
Шаг 2. Выбирается максимальное значение из набора толбцовых степеней матрицы -(я):
ц = шах(ц1, ц2) = 2.
Шаг 3. Выписываются матричные полиномы -(я) и Щ(я) в виде:
д(5) = д + + ^^2 =
n (5) = n + ^ + n252 =
2 -1 0 0 4 0
+ 5 +
-1 1 0 0 0 1
1 0 0 0 0 0
+ 5 +
0 1 0 0 0 0
5 2.
В силу строгой правильности объекта В2 Ф [0]2х2, а Щ2 = [0]2х2. Шаг 4. Строится результант Сильвестра:
10
ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ
5 =
А А а о n0 n м2 о о А А А
о n0 N N2,
Шаг 5. Вычисляется количество линейно-независимых N строк. Для чего можно, например, воспользоваться так называемым ^-разложением, которое можно легко реализовать в ПО ЫайаЪ с помощью оператора [д, г] = qr[S\, заранее задав матрицу & В качестве выходных переменных, функция выдает матрицы д и г, из которых нас интересует только вторая. В матрице г проверяются диагональные элементы, если какой-либо элемент равен нулю, то он соответствует линейно-зависимой N строке. В данном случае нулевых элементов на главной диагонали не оказалось, значит все строки линейно-независимы. Итак,
у1 = 2, у2 = 2.
Шаг 6. Вычисляется строчный индекс результанта: V = шах(^, v2) = 2.
Шаг 7. Задается степень регулятора из соотношения: т > V-1 ^ т > 1.
Шаг 8. Выписываются матричные полиномы регулятора:
У (5) = У0 + У^, X(5) = Х0 + Х^.
Шаг 9. Определяются столбцовые степени желаемого матричного полинома:
8^1 = т + М1 = 3 8рс 2 = т + Ц2 = 3.
Зададим матрицу Е^) аналогично [1], диагональной с желаемыми полиномами на главной диагонали:
53 + 352 + 35 + 1 0
0 53 + 352 + 35 + 1
^ (5) =
Шаг 10. Выписывается желаемый матричный полином:
^ (5) = ^ + ^ + ^2 + =
1 0 3 0 3 0 5 2 + 1 0
+ 5 +
0 1 0 3 0 3 0 1
3
5
[Yo Xо Y XJ
10 3 0 3 0 10 0 10 3 0 3 0 1
"0.75 0" "0.25 0" "-0.5 0.75" "2.5 0.25"
, Y = , X0 = , X =
0 3 0 1 3 -2 1 2
Шаг 11. Матричные полиномы, полученные на шагах 3, 8 и 10 подставляются в уравнение (1). Далее, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях 5, составляется матричное уравнение:
[У X у = [^ ^ ¥2
Или в варианте с числами:
" 2 -1 0 0 4 0 0 0" -1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 -1 0040 0 0 -1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 Решая данное уравнение, находим параметры регулятора:
Y =
Результат решения по методике, представленной в [3] совпал с результатами в [1]. Однако в данной работе обосновывается выбор степени регулятора, а формируемый результант Сильвестра отличается структурой построения. Следует так же отметить, что система синтезированная система получилась статическая, а установившееся значение определяется нулями регулятора.
Список литературы:
1. Воевода А.А. Стабилизация двухмассовой системы: полиномиальный метод синтеза // Сб. науч. тр. НГТУ - 2009. - № 4 (58). - С. 3-10.
2. Воевода А.А., Ижицкая Е.А. Стабилизация двухмассовой системы: модальный метод синтеза // Сб. науч. тр. НГТУ - 2009. - № 2 (56). - С. 3-10.
3. Chen C.T. Linear System Theory and Design. - Third Edition. - New York; Oxford, 1999. - 334 p.
4. Feinstein J., Bar-Ness Y. The solution of the matrix polynomial equation A(s)X(s) + B(s)Y(s) = C(s) // IEEE Trans. on Automatic control. - 1984. - V 29, 1. - P. 75-77.
5. Manabu Y., Piao C.Z., Yasuyuk F. On solving diophantine equations by real matrix manipulation // IEEE Trans. on Automatic control. - 1985. - V 40, 1. -P. 118-122.
6. Wolowich W.A. A division algorithm for polynomial matrices // IEEE Trans. on Automatic control. - 1984. - V. 29, 7. - P. 416-423.
