Полиномиальные модели трендов цифровых сигналов: алгоритмы оценивания на основе дискретных преобразований и сравнительный анализ их вычислительной сложности Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.372

И. И. Исмагилов, И. Н. Аглиуллин, А. П. Кирпичников, А. В. Костромин

ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ ТРЕНДОВ ЦИФРОВЫХ СИГНАЛОВ: АЛГОРИТМЫ ОЦЕНИВАНИЯ НА ОСНОВЕ ДИСКРЕТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ И СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ИХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ СЛОЖНОСТИ

Ключевые слова: дискретное преобразование, трендовая модель, полиномиальное оценивание.

Рассмотрены приложения ортогональных и косоугольных обобщенных дискретных преобразований Уолша к синтезу алгоритмов параметрического оценивания полиномиальных трендовых моделей цифровых сигналов. Проведен сравнительный анализ вычислительной сложности алгоритмов в рамках модели r-ичных простых линейных вычислений.

Keywords: digital transform, trend model, polynomial estimation.

Applications of orthogonal and oblique generalized discrete Walsh transform to the synthesis ofparametric estimation algorithms ofpolynomial trend models of digital signals have been considered. A comparative analysis of the computational complexity of the algorithms on the model of r-ary simple linear calculations was made.

Введение

В настоящее время цифровая обработка сигналов (ЦОС) стала одним из сопутствующих факторов научно-технического прогресса. Важную роль в этом процессе играют теория и приложения дискретных преобразований (ДП). ДП являются признанным инструментом создания эффективных методов и средств решения задач ЦОС.

ЦОС активно развивается, и при этом наблюдаются увеличивающиеся объемы обрабатываемой информации. В этих условиях особое значение приобретает проблема выбора/ разработки эффективных в вычислительном отношении алгоритмов анализа и моделирования цифровых сигналов. Достижения прикладной теории ДП, развиваемой в рамках ЦОС, лежат в основе многих эффективных в вычислительном отношении алгоритмов решения задач обработки сигналов (быстрых алгоритмов, алгоритмов с сокращенной вычислительной сложностью, алгоритмов со сбалансированной вычислительной сложностью).

Широкое применение в ЦОС находят дискретные ортогональные преобразования (ДОП) в различных упорядочениях дискретных функций Уолша (ДФУ) [1-5]. Предложен также ряд обобщений систем ДФУ, в том числе и в косоугольных вариантах. Среди последних можно отметить дискретные системы наклонных функций Уолша и кусочно-степенных функций [6,7]. Эти косоугольные обобщения дискретных систем Уолша построены соответственно с использование систем ортогональных и смещенных (неортогональных) наклонных функций Радемахера [7,8]. Косоугольные системы дискретных функций введены в [7] под названием дискретных базисов кусочно-степенных функций. Однако, учитывая, что они могут быть построены с использованием смещенных наклонных функций Радемахера, на наш взгляд их целесообразно называть дискретными базисами смещенных наклонных функций Уолша. Для краткости в дальнейшем для этих базисов будем придерживаться названия косоугольные дискретные

базисы Уолша (КДБУ), а для базисных функций -косоугольные ДФУ [9].

Трендовые модели цифровых сигналов

Эффективное применение ДП в обобщенных базисах Уолша находят при построении моделей цифровых сигналов для решения задач их анализа и прогнозирования. В ряде прикладных приложений ЦОС, например, при обработке временных рядов (ВР), типичную модель сигналов принимают в виде аддитивной суммы четырех компонентов [10]:

1) тренд (систематическое изменение);

2) колебания относительно тренда (циклическая составляющая);

3) сезонные колебания;

4) случайная (нерегулярная) компонента.

Часто в зависимости от конкретной ситуации

используются также усеченные модели, описывающие сигнал как одну из вышеперечисленных компонентов или сумму нескольких из них. При этом в ряде приложений ограничиваются использованием дискретной модели вида:

? ■ /= м/^г,

где Р [/ ) - тренд (функция детерминированного тренда), е (/' ) - остаточный стационарный случайный сигнал.

Задача выделения тренда в сущности сводится к его идентификации в классе адекватных моделей и важна во многих приложениях ЦОС. Среди таких задач обработки сигналов можно отметить задачи идентификации, сглаживания, экстраполяции, выделения признаков и спектрального анализа сигналов. Это является следствием того, что при решении ряда задач ЦОС используется разделение сигнала на компоненты и дальнейшее отдельное изучение последних. Даже в том случае, когда тренд сам по себе не представляет интереса его выделение необходимо для изучения спектра на высоких частотах.

Многие исследователи отмечают важность учета тренда при спектральном анализе сигналов. В

[11] рекомендуется учитывать тренд на всех этапах анализа. Встречаются также методические указания другого характера. Например, решение вопроса устранения тренда (детрендирования) сигнала оставляется на выбор исследователя. Это также предполагает наличие в процедурах анализа сигнала этапа выделения тренда.

Следует отметить важность задачи выделения тренда при построении моделей регрессии на основе данных, представленных временными рядами. Здесь нужно учитывать наличие или отсутствие у подвергаемых анализу рядов стохастического или недетерминированного тренда, т. е. установить класс каждого из рядов. Выделяют два класса временных рядов:

1) TS (trend stationary) ряды, стационарные относительно детерминированного тренда;

2)DS (difference stationary) ряды, которые имеют стохастический тренд (возможно, наряду с детерминированным трендом) и приводящиеся к стационарному виду только путем однократного или k-кратного дифференцирования.

Классификация рядов и их отнесение к классам рядов TS или DS необходимы для правильного построения долгосрочных моделей регрессии на основе ВР. Построение моделей без учета особенностей этих классов ВР может привести к проблеме ложной регрессии[12]. В результате устранения из ряда DS детерминированного тренда могут возникать систематические колебания - циклы с длинными периодами, которых не было в исходном ряде (ложная периодичность) и которые могут быть неверно истолкованы как проявление некоторого циклического явления [13].

Вопросы, связанные с выделением тренда, рассмотрены в многочисленных публикациях, например в [14,15]. Традиционно под трендом понимают некое устойчивое, систематическое изменение уровней сигнала в течение долгого периода. При выделении тренда всегда присутствует некоторый элемент субъективности, так как никогда нельзя быть уверенным, что он не является частью длительного колебательного процесса, за исключением случая сигналов на конечных интервалах. В сущности выделение тренда (ненаблюдаемой компоненты сигнала) является искусственным техническим приемом.

В качестве математической модели трендов обычно используются параметрические модели в классе степенных и тригонометрических полиномов, кусочно-полиномиальные структуры, сплайны - полиномы и не полиномы [14-17]. Среди этих функциональных классов в качестве моделей трендов цифровых сигналов на конечных интервалах широко используется класс дискретных полиномов невысоких степеней, определяемый функциональными зависимостями вида

P(j) = Z , j = 0, M -1, k e Zm, m < M -1, i=0

где Zm = 012,} .

При этом часто ограничиваются полиномиальными моделями (ПМ) тренда степеней не выше третьей, и их параметрическое оценивание проводят

на основе метода наименьших квадратов (МНК). Например, при прогнозировании временных рядов экстраполяцией по тренду рекомендуется использовать ПМ не выше второй степени.

Подход к оцениванию полиномиальных моделей трендов цифровых сигналов

Эффективные (в вычислительном отношении) алгоритмы, оценивающие коэффициенты ПМ могут строиться на основе спектрального подхода, базирующегося на ДОП вектора исходного сигнала. Этот подход к построению алгоритмов оценивания коэффициентов ПМ разработан и изучен в [4]. Основные результаты этой работы связаны с построением алгоритмов оценивания по МНК при М = 2п на основе обычных преобразований Уолша. Эти алгоритмы обладают практической значимостью, так как ориентированы на реализацию эффективными средствами двоичной арифметики и при небольших степенях ПМ позволяют значительно снизить сложность, связанную с мультипликативными операциями, по сравнению с прямыми алгоритмами.

Развитие такой спектральный подход получил в [3], где проанализированы вопросы построения алгоритмов оценивания ПМ по МНК и его обобщениям на основе преобразований в уолше-подобных базисах кусочно-полиномиальных функций. Дальнейшее развитие подход получил на основе использования преобразований по косоугольным обобщенным функциям Уолша [9]. Полученные результаты носят обобщенный характер и позволяют создавать алгоритмы с разными характеристиками сложности, как в одномерной, так и в многомерной постановке.

Кратко представим подход к параметрическому оцениванию ПМ трендов цифровых сигналов на основе дискретных преобразований по ортогональным и косоугольным (неортогональным) обобщениям функций Уолша. В дальнейшем для таких ДП в общем случае будем придерживаться названия дискретные преобразования Уолша (ДПУ), подразумевая обобщенные дискретные преобразования, как в ортогональном, так и косоугольных вариантах. При этом ограничимся рассмотрением одномерного случая.

Пусть f - М-мерный сигнальный вектор. Поставим ему в соответствие Ж-мерный (N = 1"\Г2---Гп, N > М) расширенный сигнальный вектор 1 = {,0ы_м ], где - ¿-мерный нулевой вектор.

Очевидно, начальные степенные моменты исходного сигнального вектора и его расширенного аналога равны. Это дает возможность записать классическое векторно-матричное соотношение для вычисления вектора оценок параметров ПМ а= /= (й}\ где 0,1,...,/тп }

гт¡п = пгл п , = 1,п \ по МНК [11] в следующем виде:

где *Мк+1- матрица независимых переменных (структурная матрица) вида

м-\

кМ,к+\

^к+\,ы - матрица весовых коэффициентов; Р - вектор ДП расширенного сигнального вектора.

Значения элементов 1-й (' = 0, к) строки матриц могут быть определены с использо-

ванием свойств аналитических описаний дискретных степенных функций не выше /-го порядка с использованием соответствующих ДФУ.

Отметим, что здесь по сути проводится разложение сигнального вектора по базисным векторам, усеченным до размерности не выше М. Возможность построения алгоритмов оценивания при любой размерности сигнального вектора, меньшей, чем размерность ДПУ, существенно расширяет алгоритмический арсенал средств параметрической идентификации ПМ. Это создает благоприятные условия для широкого внедрения алгоритмов оценивания ПМ на основе ДПУ в практику обработки дискретных данных.

Очевидно, что с практической точки зрения особое внимание следует уделить использованию

ДПУ размерности N = Гп. Остановимся более подробно на алгоритмах оценивания ПМ до второй степени включительно.

Ортогональные дискретные преобразования Уолша

Полученные формулы для вычисления оценок коэффициентов на основе ортогональных ДПУПМ второй степени в компенсационной форме (по коэффициентам, имеющим более высокий порядок) имеют такой вид [3]: ¿0 = 1ШРо - ( М- 1У2& -

- ( (\м-1) 2м-\16 ¡а,

аг =щ - 2М/г ;рг у (VI -1 £2,

а2 = и/2 $ЬБ0 - 6^1 г ^ + 12Л/2 //-2 £2 у

- з^-и2 а

где 1 2 - весовые коэффициенты вида

w1 = 6/(М (М2 -1)),

н>2 = 30/(М(М2 - 1)(М2 - 4)),

а = N - М,

Ь = 2 N - М,

5/,/ = 0,2, - величины, которые вычисляются по формулам

52= 11г Щ2 l;e21■1>+ Щ

где д = ^(г+1)/2__|_г/2_ - символ Кронекера;

*

Жг (') -нормированный дифференциальный вес /-го приведенного ДПЧ с размерностью г; S(\,2'...''k) - спектрально-сверточные представители (ССП) '-го ранга с отметкой ('1,'2,...,'к) расширен-

ного вектора исходного сигнала в базисе целочисленных г-функций Уолша.

Формулы, приведенные выше, дают общее описание оптимальных по критерию среднего квад-ратического приближения алгоритмов спектрального оценивания ПМ не выше второй степени (к < 2). Частные алгоритмы получаются из них при конкретных значениях г. Если нарушены условия г > к, п > к, то в формулы входят усеченные наборы ССП.

При работе в двоичной арифметике построение алгоритмов оптимального оценивания целесообразно с использованием ССП Уолша-Адамара. Это вызвано тем, что алгоритмы быстрых преобразований Уолша-Адамара наиболее рациональны по реализационной сложности среди алгоритмов преобразований по альтернативным упорядочениям функций Уолша. В таком случае формулы оценивания коэффициентов ПМ второй степени примут следующий вид:

¿0 = 1Ш£00 >- ( у- 1У2& -ой-1) 2М-176*2. а^ ^^- ')- р-а = Щ ) - 3а311 > + 6521Д) 3, где - ССП Уолша-Адамара '-го ранга с

отметкой ('1,'2,. .,'к) расширенного сигнального вектора.

Явный вид формул для вычисления компонент вектора ССП базисе г-функций Уолша-Адамара следующий:

-?00 >=Г 0) ,

/7-1 _

5/> /= 12,

¡и = 0

П-1 /7-1

^ /г у Р1+М2 -1

И=0^2=И+1

где ¥(') - '-й коэффициент преобразования в базисе г-функций Уолша-Адамара.

Ввиду практической важности ССП Уолша-Адамара (г=2) низких порядков остановимся на них несколько подробнее. ССП второго порядка в этом случае имеет вид

$00) = ^ 0) ■

П-/ /7-/'+! П-1

.Е^1'2 ' = 1,2,

.....1 >=! Е- Е 2^ ^

М1=0М2 »Д+1 л=Л-1+1 М

где ¥(') - '-й коэффициент преобразования Уолша-Адамара.

При вычислении ССП не нужно выполнять операции полноразрядного умножения, так как при использовании целочисленной арифметики умножение на целую степень двойки легко заменяется операцией двоичного сдвига. Эффективность процедур вычисления вектора ССП Уолша-Адамара повышается применением схемы Горнера.

1 = 0

Косоугольные дискретные преобразования Уолша

Результаты синтеза алгоритмов оценивания ПМ тренда цифровых сигналов для случая использования косоугольного ДПУ представлены в [9]. Полученные формулы для вычисления оценок коэффициентов ПМ второй степени в компенсационной форме при г > 2 имеют следующий вид:

а = 0) 1 Ъ V~П 1М~1 Ъ

а0 = ш ах 32,

2 6

Зх = ^ • ( 1 £о° >-25^ У С4- 1 а2 = ^2( (1М-1) (И-2£00)-6(И -+ 6 £/>+2// ) )

где ^^ = Г 0); / =ЪП~10гМГ*М )

/ ) = Х=ог2м/г2*г,">

£(,1) = У"-2 У"-1/-М1+М2С* +Г^ ) ■ 2 = о£иМ2 =м + 1

^0^1, - весовые коэффициенты:

ИЛ = -

6

М

М IУ!2 -1 )

ил = -

30

М фА2 -1) - 4)

Эти формулы дают общее описание оптимальных по критерию среднего квадратического приближения алгоритмов оценивания ПМ не выше второй степени на основе косоугольных ДПУ. Частные алгоритмы можно получить из них при конкретных значениях г.

При работе в двоичной арифметике построение алгоритмов оценивания ПМ целесообразно с использованием косоугольного варианта дискретного преобразования Уолша-Адамара (ДПУА). Это связано с тем, что быстрые алгоритмы этих преобразований наиболее рациональны по сложности реализации среди алгоритмов преобразований по различным упорядочениям косоугольных ДФУ размерности

N = 2п . Тогда формулы для оценки коэффициентов ПМ второй степени принимают вид: а = шя 0) У^а М^^М-Х)

а0 = ъу 0&0 - - а

2 6

2 •

31 = ^ ( V- 1^0° >у-1^2,

82 = ш1( (И-1) <¥-^00'-6 (И-1Р,1 + 6р,2)+4Я211) )

где

500 0 ) ; 5/ 022м )к = 1,2;

СУ ) = у-2 у-^м+й-!^ 2м1 + 2м2 >

2 ¿.им = 0/-1М2 =м +1

Отметим, что при использовании в предложенных алгоритмах преобразований в других упорядочениях косоугольных ДФУ формулы для вычисления параметров ПМ остаются в вышеприведенном виде, подвергаются изменению лишь формулы для величин ^ ) Я/^'1 )

Сравнительный анализ вычислительной сложности алгоритмов оценивания полиномиальных моделей тренда

Остановимся кратко на результатах исследования вычислительной сложности алгоритмов оценивания ПМ не выше второй степени. Оценки последовательной вычислительной сложности алгоритмов требуют фиксации модели вычислений. Учитывая возможности, предоставляемые целочисленной арифметикой, при анализе вычислительной сложности алгоритмов будем придерживаться модели г-ичного простого линейного вычисления [3]. В рамках этой модели вычислительные затраты на реализацию алгоритмов оцениваются общим числом требуемых операций сложения , умножения и г-

ичного сдвига ]. При этом полагается, что весовые коэффициенты генерируются табличным способом.

Оценки вычислительных затрат получены для следующих алгоритмов: прямой алгоритм (А1), спектральный алгоритм на основе ортогональных ДПУ (А2) и алгоритм на основе косоугольных ДПУ (А3). При этом в алгоритмах на основе ДПУ используются усеченные преобразования, вычисляющие лишь требуемые элементы соответствующих спектров.

Вопросы оценки вычислительной сложности алгоритмов оценивания на основе ортогональных ДПУ в общей постановке достаточно полно рассмотрены в [3]. Отдельные результаты по оценке вычислительной сложности алгоритмов на основе косоугольных ДПУ представлены в [9]. Поэтому ограничимся предварительно более углубленным анализом вычислительной сложности алгоритмов на основе косоугольных ДПУ.

Приведем полученные оценки вычислительных затрат на вычисление усеченных преобразований по косоугольным ДФУ к-го (£=1,2) кронекеров-ского порядка при N = гп, г > 2 : 1) £=1

Ы-1

а1)=(а/ >+1)-

-1

-,

м-1

г -1

ЗЛ/ =5/? >

2) к=2

Аар={Ас1 > 1)-

N -1 г -1

^^^г )+1

Г - 1

Г-1 2

п (7 + 1 )

5/7/) = 5/7 2 ' (Г + >Гт-П ),

где А с/ 1' (Г,- ), 5/?1' (Г,- ) - соответственно аддитивная и г -ичная сложность операций сдвига г -точечного преобразования по формирующему ядру, строки которой являются дискретными степенными функциями.

При этом затраты на вычисление косоугольных ССП не выше второго порядка можно оценить по формулам: 1) £=1

1

ш, = -

Аб}] =5ЛСП =п-1, 2) к=2

МС" = ЫС"= * " + 4}-1.

С С 2

С учетом вычислительных затрат на нахождение коэффициентов ПМ с использованием косоугольных ССП можно получить оценки сложности предложенных алгоритмов оценивания в следующем виде: 1) к=1

+ мС У+ 2 , 1) = +

Ми = 4; 2) к=2

АС 2 > = л^2>+ Аб}Х21+7, 5/?2 > = 5ЛГ2) + >, Ми = 10 .

Следует отметить, что при г = 2,4 выполнение усеченных г -точечных преобразований, которые являются основой быстрых алгоритмов косоугольных ДПУ, можно организовать с использованием лишь операций сложения. В случае преобразований по дискретным полиномам Чебышева (ДПЧ), используемых в качестве базовых при организации быстрых процедур вычисления спектра в уолше-подобных базисах кусочно-полиномиальных функций, используются как операции сложения, так и вычитания.

Отметим также очевидный факт, заключающийся в том, что вычислительные затраты рассматриваемых алгоритмов на основе ДПУ зависят от величины г и от того, насколько близка размерность сигнального вектора М снизу к размерности преобразования N = гп. При М = N достигаются наименьшие вычислительные затраты для фиксированного г.

Рассмотрим также более подробно оценки вычислительной сложности алгоритмов оценивания ПМ к-й (к = 1,2) степени на основе косоугольных

ДПУА при N = 2Ы .

Количество операций сложения затраты на реализацию процедур усеченных косоугольных ДПУА к-го (к = 1,2) кронекерского порядка можно

определить по следующим формулам: 1) к=1

Аб}) = 2 (V-1 )-п ;

2 к=2

Ай} >= 3Л/ -

п2 + 3п + 4 2

Приведем также аналогичные оценки для усеченных быстрых ортогональных ДПУА: 1) к=1

= 3 (V -1 уп ;

2) к=2

Ай} >= 5Л/ -

/72 + 5п +10 2

Сравнение оценок показывает, что усеченные косоугольные ДПУА в вычислительном отношении эффективнее, чем аналогичные усеченные ортогональные ДПУА. При больших N значение ко-

эффициента ускорения вычислений (КУВ) не ниже 1,5 раз. Именно это предопределяет эффективность применения косоугольных ДПУА при синтезе алгоритмов решения задач оценивания ПМ трендов.

Затраты на вычисление косоугольных ССП не выше второго порядка можно оценить по следующим формулам: 1) к=1

АбС = п-1;

2) к=2

2

Соответствующие затраты на вычисление ССП в дискретном ортогональном базисе Уолша-Адамара равны 1) к=1

АбС = п-1,

2) к=2

2

С учетом полученных формул можно получить следующие оценки вычислительной сложности алгоритмов оценивания на основе косоугольных ДПУА: 1) к=1

ЛС = 2Л/-1, вс^ = п -1, Ми = 4;

2) к=2

Лй(2) = 3( N +1),

5/7

2 ,= <р-1) у + 4) 1

> — \,

Ми = 10.

Оценки для спектральных алгоритмов на основе ортогональных ДПУА имеют следующий вид: 1) к=1

АСС) = 3Л/ - 2, 5/72п = /7-1, Ми = 4; 2) к=2

/1с/ 2 > = 5Л/ - 2 Ц + 2 у 5Л22 > = П 1 а 2 Ми = 6

В табл. 1 приведены соответствующие оценки алгоритмов оценивания на основе ДП ПМ к-й степени ^т = 12; при М = Ы = 2".

Здесь КУВ13, КУВ23 - КУВ алгоритма оценивания на основе косоугольного ДПУА соответственно относительно прямого и спектрального алгоритмов.

Представленные оценки КУВ показывают, что вычислительная эффективность алгоритмов оценивания ПМ на основе косоугольных ДПУА проявляются уже при @Ми = 1 и возрастает по мере увеличения значения этого параметра.

Следует отметить, что при М ф N мультипликативная сложность спектральных алгоритмов оценивания ПМ на основе преобразований в уолше-подобных базисах кусочно-полиномиальных функций при к=2 несколько возрастает, что влечет за собой также соответствующее практически незначимое увеличение аддитивной сложности. Формулы для оценки мультипликативной сложности в общем случае имеют следующий вид:

Ми =

\6,М = Л/ = 2п, ¡9,Л^Л/ = 2п.

Таблица 1 - Оценки вычислительной эффективности алгоритмов на основе ДП ПМ 1-й и 2-й степени

КУВ

k N Рми

1 5 10

КУВ13 КУВ23 КУВ13 КУВ23 КУВ13 КУВ23

16 1,29 1,39 2,24 1,28 2,85 1,20

32 1,37 1,44 2,68 1,36 3,77 1,29

64 1,42 1,46 3,01 1,41 4,58 1,37

1 128 1,45 1,48 3,22 1,45 5,17 1,42

256 1,47 1,49 3,35 1,47 5,54 1,46

512 1,49 1,49 3,42 1,49 5,75 1,48

1024 1,49 1,50 3,46 1,49 5,87 1,49

16 0,99 1,14 1,63 0,95 1,99 0,84

32 1,20 1,31 2,36 1,14 3,20 1,01

64 1,36 1,44 3,00 1,31 4,47 1,20

2 128 1,47 1,52 3,49 1,45 5,59 1,36

256 1,55 1,58 3,83 1,54 6,41 1,48

512 1,59 1,62 4,04 1,59 6,94 1,56

1024 1,62 1,64 4,17 1,63 7,26 1,61

В табл. 2 приведены оценки требуемого количества умножений для анализируемых трех видов

алгоритмов оценивания ПМ при г = 2,4 и М Ф N (без учета затрат на генерацию весовых коэффициентов).

Таблица 2 - Оценки мультипликативной сложности алгоритмов оценивания ПМ

k Алгоритм Алгоритм А2 Алгоритм А3

А1 г г

2 3 4 2 3 4

1 M-2 4 4 4 4 4 4

2 2М-4 9 10 10 10 10 10

Отметим, что мультипликативная сложность алгоритмов оценивания на основе ДП не зависит от величины вектора исходного сигнала.

Анализ предложенных алгоритмов показывает значительное снижение мультипликативной сложности при больших размерностях сигнального вектора. Это приводит к следующим оценкам КУВ относительно прямого и спектрального алгоритмов предложенного алгоритма на основе косоугольных ДПУА при больших № 1) к =1

КУВ

13

Л +

Рми 2

2) к =2

КУВ

13

, 3 +Рыи_ ' 4 2

КУВ?,* 1,5;

КУВ23-\,6.

Заключение

Исследования вычислительной сложности алгоритмов оценивания ПМ на основе ДП невысоких степеней показывают следующее. При больших размерностях вектора исходного сигнала наблюдается значительное уменьшение мультипликативной сложности при некотором росте аддитивной сложности по сравнению с алгоритмами, которые принято называть традиционными прямыми. Однако общее число арифметических операций в таких алгоритмах будет меньше, чем в прямом алгоритме. Алгоритмы на основе ДПУ имеют более высокую вычислительную эффективность по сравнению со спектральными алгоритмами. Это связано с их основным преимуществом перед ними, которое заключается в меньшей трудоемкости вычисления КДПУ. Следует подчеркнуть, что при организации вычислений не используются операции вычитания.

Также наблюдается сокращение вычислительных затрат на получение весовых коэффициентов, а при их получении табличным способом - и объема постоянного запоминающего устройства. Отметим, что при больших размерностях сигнального вектора экономия памяти будет весьма значительной (поскольку объем постоянного запоминающего устройства определяется количеством умножений).

Кратко остановимся на статистических свойствах оценок коэффициентов ПМ трендов. МНК рассматривался нами как формальный метод для получения таких оценок. Эффективность оценок формальных методов связана с характером закона распределения случайной составляющей исходного сигнала (помех). Известно, что оценки МНК при нормальном распределении случайных ошибок не отличаются от оценок, которые дает метод максимального правдоподобия. При соблюдении допущений классического регрессионного анализа оценки, полученные по МНК, обладают свойствами состоятельности, несмещенности и эффективности, т.е. имеют наименьшую дисперсию среди всех линейных несмещенных оценок [10]. В математической статистике такие оценки относят к категории наилучших линейных несмещенных оценок. Отсюда следует, что при вероятностной трактовке алгоритмы, построенные на основе ДПУ, позволяют получить наилучшие линейные оценки параметров нормальной регрессии в классе дискретных степенных полиномов.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 09-01-97001-р_поволжье_а).

Литература

1. Голубов Б.И. Ряды и преобразования Уолша: Теория и применения / Б.И. Голубов, А.В. Ефимов, В.А. Скворцов. - М.: Издательство ЛКИ, 2008. - 352 с.

2. 3алманзон Л.А. Преобразования Фурье, Уолша, Хаара и их применение в управлении, связи и других областях. -М.: Наука, 1989. -496 с.

3. Исмагилов И.И. Дискретные преобразования в базисах уолше-подобных функций: Основы теории и применения

в цифровой обработке сигналов / И.И. Исмагилов. - Казань, Отечество, 2003. - 130 с.

4. Смирнов Ю.М. Проектирование специализированных информационно-вычислительных систем / Ю.М. Смирнов, Г.Н. Воробьев, Е.С. Потапов, И.И. Сюзев: Под ред. Ю.М.Смирнова. - М.: Высшая школа, 1984. - 359 с.

5. Хармут Х.Ф. Теория секвентного анализа. Основы и применения/ Х.Ф. Хармут. - М.: Мир, 1980. - 574 с.

6. Исмагилов И.И. Наклонные функции Радемахера: свойства и применение в задачах цифровой обработки сигналов // И.И. Исмагилов // Радиоэлектроника. - 1996. - №12. - С.11-16. - (Известия вузов).

7. Исмагилов И.И. Дискретные преобразования в базисах кусочно-степенных функций и их свойства / И.И. Исма-гилов // Радиоэлектроника. - 2001. - №3. - С.54-59. - (Известия вузов).

8. Исмагилов И.И. Об одном обобщении системы дискретных функций Радемахера / И.И. Исмагилов // Доклады Академии Наук Республики Узбекистан. - 1996 . - №8. -С.16-18.

9. Исмагилов И.И. Косоугольные обобщения дискретных базисов Уолша// Известия вузов. Радиоэлектроника. -2010. - №12. С.3-13.

10. Вучков И. Прикладной линейный регрессионный анализ / И. Вучков, Л. Бояджиева, Е. Солаков. - М.: Финансы и статистика, 1987. - 239 с. Марпл - мл. С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения / С.Л. Марпл -мл.: Пер. с англ. - М.: Мир, 1990.584с.

11. Марпл-мл. С. Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения / С.Л. Марплю-мл.: Пер. с англ. - М.: Мир, 1990. - 584 с.

12. Hamilton J. D. Time Series Analysis. Princeton: Princeton University Press, 1994. - 816 p.

13. Nelson C. R., Kang H. Spurious periodicity in nappropriately detrended time series // Journal of Monetary Economics. - 1981. - V. 10. - P. 139-162.

14. Валеев С.Г. Регрессионное моделирование при обработке наблюдений. -М.: Наука, 1991. -272 с.

15. Теребиж В.Ю. Анализ временных рядов в астрофизике: монография. - М.: Наука, 1992. - 389 с.

16. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. -М.: Наука, 1980. -352 с.

17. Исмагилов И.И., Кирпичников А.П., Костромин А.В., Хасанова С.Ф. Применение быстрого дискретного преобразования к фазовому сплайн-анализу макроэкономической динамики// Вестник технологического университета. - 2015. - Т.18, №7. - C. 231-235.

© И. И. Исмагилов - д-р техн. наук, профессор зав/ кафедрой экономико-математического моделирования ИУЭиФ КФУ, email: iiismag@mail.ru; И. Н. Аглиуллин - канд. техн. наук, доцент кафедры экономико-математического моделирования ИУЭиФ КФУ e-mail: agliullinilsur@yandex.ru; А. П. Кирпичников - д-р физ.-мат. наук, зав. кафедрой интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами КНИТУ, e-mail: kirpichnikov@kstu.ru; А. В. Костромин - канд. техн. наук, доцент кафедры экономико-математического моделирования ИУЭиФ КФУ, e-mail: Andrei_kostromin@inbox.ru.

© I. I. Ismagilov - Doctor of Technical Sciences, Professor, Head of the Department of Economical-mathematical modeling in the Institute of Management, Economics and Finance of Kazan Federal University, e-mail: iiismag@mail.ru; I. N. Agliullin - PhD. of Technical Sciences, docent of the Department of Economical-mathematical modeling in the Institute of Management, Economics and Finance of Kazan Federal University, e-mail: agliullinilsur@yandex.ru; А. P. Kirpichnikov - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Head of the Department of Intelligent Systems & Information Systems Control in Kazan Scientific Research Technical University, e-mail: kirpichnikov@kstu.ru; A. V. Kostromin - PhD. of Technical Sciences, docent of the Department of Economical-mathematical modeling in the Institute of Management, Economics and Finance of Kazan Federal University, e-mail: an-drei_kostromin@inbox.ru.