Полиномиальное квантование на параэрмитовых пространствах с псевдоортогональной группой движений Текст научной статьи по специальности «Математика»

3. Цун И.М. Развитие умений анализа и синтеза в мыслительном процессе при обучении математике // Наука на рубеже веков. История. Филология. Педагогика: сборник научных статей / под ред. А.Л. Филоненко. СПб.: Нестор, 2001. С. 51-55.

4. Цун И.М. Развитие произвольного внимания у студентов при обучении математике. // Педагогические и философские аспекты образования: сборник научных трудов / под ред. П.Ю. Романова. Магнитогорск: МаГУ, 2004. С. 90-94.

5. Цун И.М. Изучение математических дисциплин как средство развития культуры мышления. // Педагогические аспекты математического образования: сборник научных трудов / под ред. проф. П.Ю. Романова. Вып. 3. Магнитогорск: МаГУ, 2006. С. 98-109.

Цун Иосиф Менделевич Магнитогорский государственный ун-т Россия, Магнитогорск e-mail: [email protected]

Поступила в редакцию 20 апреля 2007 г.

ПОЛИНОМИАЛЬНОЕ КВАНТОВАНИЕ НА ПАРАЭРМИТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ С ПСЕВДООРТОГОНАЛЬНОЙ ГРУППОЙ

ДВИЖЕНИЙ 1

© С. В. Цыкина

Мы рассматриваем полиномиальное квантование на пара-эрмитовых симметрических пространствах G/H с псевдоортогональной группой движений G = SOo(p, q). Все такие пространства (с данной G) получаются факторизацией из "самого большого" пространства G/H с H = SOo(p — 1, q — 1) х SOo(1,1). Размерность всех этих пространств G/H равна 2п — 4, где n = p + q, сигнатура есть (n — 2,п — 2). Конструкция квантования на произвольных пара-эрмитовых пространствах была предложена в [1]. В случае полиномиального квантования ковариантные и контравариантные символы являются многочленами на G/H. Полиномиальное квантование на пара-эрмитовых симметрических пространствах ранга 1 было построено в [2]. Наши пространства G/H с группой G = SOo(p, q) имеют ранг 2.

Группа G сохраняет форму [x, у\ = ^ K%îVî, где Xi = —1 для i = 1,... ,p и Xi = 1 для

i = p + 1,... ,п. Мы будем считать, что G действует в Rn справа: x ^ xg, так что векторы x из Rn будем записывать в виде строки. Мы рассмотрим общий случай p > 1,q > 1.

Базис в алгебре Ли 0 группы G образован матрицами Lj = Ej — XiXjEji, i < j, где Ej — матричная единица. Подгруппа H является стационарной подгруппой матрицы Zo = Li>n, так что G/H есть как раз G-орбита точки Zo.

хРабота выполнена при поддержке РФФИ (проект №05-01-00074a), Голландской организации научных исследований (NWO) (проект №047-017-015), научной программы «Развитие Научного Потенциала Высшей Школы» РНП. 2.1.1.351 и темплана №1.2.02.

Оператор ad Zo имеет три собственных значения: — 1, 0, +1. Алгебра Ли 0 распадается в прямую сумму соответствующих собственных подпространств 0 = q- + h + q+, где h = = LieH. Размерность обоих пространств q± равна n — 2. Подгруппа H сохраняет оба подпространства q- и q+ при присоединенном действии.

Пусть C — конус [x, x] = 0, x = 0 в Rn. Группа G действует на нем транзитивно. Возьмем в конусе две точки: s- = (1, 0,..., 0, —1), s+ = (1, 0,..., 0,1). Рассмотрим сечения конуса:

Г- = {xi — xn = 2}, Г+ = {xi + xn = 2}. Линейное действие группы G на конусе порождает

соответствующие дробно-линейные действия на Г- и Г+. Группы exp q- и exp q+ действуют просто транзитивно на Г- и Г+, соответственно. Это позволяет ввести координаты на Ги Г+ с помощью координат £ = (£2, • • •, £n-i) из q- и п = (П2, • • •, Пп-і) из q+, а именно:

и = и(£) = (1 + {£,£), 2£, — 1 + {£,£)), и є Г-

v = v(n) = (1 + (п,п), 2п, 1 — (п,п)), v Є Г+

где (^, ф) обозначает билинейную форму в Rn-2 с матрицей Ii = diag {А2, • • •, An-i}. Отметим, что [u, v] = —2N(£, п), где N(£,п) = 1 — 2(£,п) + (£,£)(п,п). Стационарной подгруппой пары (s-, s+) служит H, так что Г- х Г+ вкладывается в G/H. Поэтому (£, п) — локальные координаты в G/H.

Пусть а Є C, є = 0,1. Обозначим через Da,e(C) пространство функций f класса C^ таких, что f (tx) = ta,ef (x), x Є C, t Є R* = R \ {0}. Мы используем обозначение ta,£ = \t\asgn£t. Представление Та,є группы G действует в этом пространстве сдвигами. Оно может быть реализовано в функциях на каждом из сечений. Оператор

(A.,ef )(£) = / N (£,n)2-n-a,ef (n)dn,

сплетает представления Та,є и T2-n-a,e, действующие в функциях на разных сечениях. Для оператора Аа,є справедливо соотношение: Л2-п-а,єЛа,є = c-i(a, є)Е, где с(а, є) — некоторая функция.

Пусть D(G/H) обозначает алгебру дифференциальных операторов на G/H, инвариантных относительно G. Эта алгебра порождается двумя операторами (операторами Лапласа) Д2 и A4 второго и четвертого порядка соответственно. Введем в окрестности точки Zo орисферическую систему координат, отвечающую картановскому подпространству а = tiLi,n-i + t2^2,n, t = (ti, t2). На функциях, зависящих только от t = (ti,t2), оператор D порождает свою радиальную часть. Радиальные части операторов из D(G/H) относительно являются дифференциальными операторами с постоянными коэффициентами. Введем операторы

Di = [di + д2 + n — 3] — (2n — 7), D2 = [di — d2 + 1] — (2n — 7), di = d/dti•

Тогда радиальные части операторов Д2 и Д4 — это следующие операторы 1

2 {Di + D2 — (n — 4)(n — 6)} , DiD2 + 2(n — 4) .

Мы следуем схеме из [1]. В качестве переполненной системы мы берем ядро Ф(£, п) = N(£, пУ,є сплетающего оператора А2-п-0,є. Аналогом пространства Фока служит пространство функций <^(£). В качестве исходной алгебры операторов мы берем алгебру операторов D = Та,є(Х), где X принадлежит универсальной обертывающей алгебре алгебры Ли 0. Определим коваpианmный символ F(£,п) оператора D формулой:

F(£,п) = Ф-1(£,п) (D <8> 1)Ф(£,п),

Эти ковариантные символы на самом деле не зависят от е. Они являются многочленами на G/H. Для а общего положения пространство Ла ковариантных символов есть пространство всех многочленов на G/H. Оператор восстанавливается по своему ковариантному символу:

(ЭД(0 = с(ае) IF(£>v) ^(u) dx(u v) (1)

где dx(u,v) — инвариантная мера на G/H.

Умножение операторов порождает умножение * ковариантных символов:

(fi * ъж,п) = J т,^ыи,п){c • ф(^,П)ф(и, V)}dx(u,v)- (2)

Пространства Ла — ассоциативные алгебры с единицей относительно умножения *. Функция F(£, п) есть контpаваpиантный символ для оператора A, который задается (1) с заменой F(£,v) на F(u,v).

Переход от контравариантного символа оператора к его ковариантному символу является интегральным оператором с ядром, участвующим в (2), - пpеобpазованием Беpезина. Оно может быть выражено через операторы Лапласа на G/H:

Г(а + n - 2 + )Г(а + 1 - )Г(а + f + а— )Г(а + f - 1 - —)

Г(а + n - 2)Г(а + 1)Г(а + n)Г(а + n - 1) ’

где a,b — некоторые переменные, и надо считать

D\ = (a + b)2 + 2(n - 3)(a + b) + (n - 4)’

D2 = (a - b)2 + 2(a - b) - 2(n - 4).

Пусть а ^ -ж, тогда B ~ 1 - ^ A2. Отсюда вытекает принцип соответствия, в качестве

«постоянной Планка» надо взять h = -1/а.

ЛИТЕРАТУРА

1. Molchanov V.F. Quantization on para-Hermitian symmetric spaces // Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2. (Adv. Math. Sci.-31). 1996. V. 175. C. 81-95.

2. Molchanov V.F., Volotova N.B. Polynomial quantization on rank one para-Hermitian symmetric spaces //

Acta Appl. Math. 2004. V. 81, №1-3. P. 215-232.

Цыкина Светлана Викторовна Тамбовский государственный ун-т Россия, Тамбов e-mail: [email protected]

Поступила в редакцию 10 мая 2007 г.