Полиномиальная приближенная схема для задачи аппроксимации неплотных графов Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2GG7. № 4. С. 25-27.

УДК 519.8

В.П. Ильев, А.А. Навроцкая, А.С. Талевнин

Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского

ПОЛИНОМИАЛЬНАЯ ПРИБЛИЖЕННАЯ СХЕМА ДЛЯ ЗАДАЧИ АППРОКСИМАЦИИ НЕПЛОТНЫХ ГРАФОВ

A version of the graph approximation problem is considered: one has to find a nearest graph to the given one which has at most two connected components each of which is the complete graph. An asymptotically optimal algorithm and a polynomial approximation scheme for this problem on nondense graphs are proposed.

1. Основные определения

Будем рассматривать конечные графы без петель и кратных ребер. Граф назовем М-графом, если каждая его компонента связности есть полный граф. Обозначим М(У) класс всех М-графов на множестве вершин V, М2<( V) - класс всех М-графов на множестве V, имеющих не более двух компонент связности.

Пусть 01 и 02 - помеченные графы на одном и том же множестве вершин V, тогда расстояние между ними определим как

^(0ь02)=\Е(0і) Д £(02) |, т. е. й(01,0г) равно числу несовпадающих ребер в графах Оі и Ог.

Сформулируем задачу аппроксимации графов.

Задача А. Дан граф О = (V, Е). Найти такой граф М'єМСІ?), что й(О,М*) = тіп й(О,М).

МєМ (V )

Рассмотрим вариант задачи А.

Задача А2. Дан граф О = (V, Е). Найти такой граф М'єМ^^), что й(О,М ) = тіп й(О,М).

МєМ< (V)

Эквивалентная постановка задачи Аг<.

Для данного графа О = (V, Е) найти разбиение (VI, Уг) множества вершин V, на котором достигает минимума функция

/ (VI, V,) =| {(V, и) є Е: V є ^, и є V,} +

+1 {(V,и) ё Е: V,и єVi,і є {1,2}} |.

Одно из множеств VI, V2 может быть пустым.

Задача аппроксимации графов изучается уже более 30 лет [1]. Однако до последнего времени ее вычислительная сложность оставалась неизвестной. Лишь в 2006 г. было доказано, что задача А ЛР-трудна, а задача Аг< ЛР-трудна уже на 3 регулярных графах [2].

Рассмотрим некоторое семейство ди и-вершинных графов. Графы семейства ди назовем неплотными, если \Е\<аив для любого графа

© В.П. Ильев, А.А. Навроцкая, А.С. Талевнин, 2007

О = (V, Е) этого семейства, где а, в - некоторые константы, а > 0, 0 < в< 2.

Пусть К - некоторый класс задач минимизации. Для индивидуальной задачи ІєК обозначим ОРТ(1) - оптимальное значение целевой функции, а А(І) - значение, найденное приближенным алгоритмом А.

Семейство алгоритмов Ає называют полиномиальной приближенной схемой, если для любого £>0 алгоритм Ає за полиномиальное время находит такое решение, что Ає(І)<(1+є)ОРТ(І).

Алгоритм А называется гарантированно асимптотически точным, если А(І) < (1+єп) ОРТ(І) на множестве КпсК задач размерности п, где єп^-0 при п^-да (об алгоритмах с оценками см. [3]).

В данной статье для задачи А2< на неплотных графах предложен гарантированно асимптотически точный алгоритм, который легко превращается в полиномиальную приближенную схему.

2. Вспомогательные утверждения

Каждой вершине уєУ графа О и разбиению (Vі, Уг) поставим в соответствие две величины:

й1(у,ад) =|адп V, | + |ВД п VI \,

Ъг (V, VI, V,) = | N МП VI | + | N (V) П V, |, где N (v)={uєV:(v, и)єЕ}, а N(v)=V\ (N(v)U{v}).

Лемма і. Для любого допустимого решения (Vі, Уг) задачи А2< верно равенство:

X Ъl(v,Vl,V2) + Х Ъ, (V, V, V) = 2 / (VI, V,).

vєV уєУ2

Доказательство. Суммируя |N(v) П по всем уєУі, іє{1,2}, мы дважды считаем каждое отсутствующее ребро (V, и) в подграфе графа О, порожденном множеством Уі, іє{1,2}. Таким образом,

X Ъl(v,Vl,V2) +^ Ъ, (V, V, V) =

VЄVl VЄV2

= X|N(V)nv 1 + ^^(V)п V, | +

ує V, ує VI

+ 21 {(V, и) ё Е: V, и єVi, і є {1,2}} |.

Сумма ^^П^ по всем vёVi, іє{1, 2} определяет число ребер разреза. Отсюда, используя определение ДУь У2), получаем:

X Ъl(v,Vl,V2) + Х Ъ2(у^2) =

VЄV\ VЄV2

= 21 {(V,и) ё Е: V,и єVi,і є {1,2}} | +

+ 2| {(V,и) є Е: V є VI,и є^}|= 2/(^).

Лемма доказана.

Лемма 2. Пусть (V1, У2) произвольное разбиение множества вершин V. Если существует вершина vєVi для іє{1, 2} такая, что Ъ}(у^2) > (п-1)/2, то перенос V в противоположную компоненту приводит к уменьшению значения ^1, V2).

Доказательство. Пусть (Vl, V2) - допустимое решение задачи А2<. Выберем произвольную вершину vєV1 и положим V1'=V1\{v}, а V2'=V2 и{у}. Вычислим разность /(адь/ад)

Рассмотрим четыре возможных варианта расположения вершины uєV \{v}.

1. Для вершины и є V2n N (у) верно ра-

венство Ъ2(и,¥1 'V')=Ъ2(и,Ц^2)-1, так как | N(u)nVl '|=| N(u)nVl| -1, а Щй)№2' | .

2. Если uєV2 П N(v), то выполнено равенство Ъ2(и,¥1' V )=Ъ2(и,^,^)+1, поскольку Щи )П^'|=^(и )П^| и |N(й)nV2'|=^^+1.

3. Для любой вершины и є¥1П N (у) получаем Ъ1(и,¥1' V)=^(и, ^, ^)+1, поскольку | N^^1ПОДП^ , а | N(u)nv2l=| N (u)nV2|+1.

4. Для вершины uєV1 ПN(v) верно со-

отношение ^(и^',V2'в силу следующих равенств: (u)nV2|

и |Щ(й)nVl'|=|Щ(й)nVl |-1.

В результате, учитывая лемму 1, для вершины vєV1 получаем:

2/ (V' V') = 2/(Vl,V2) -- 2[Ъ1(v,Vl,V2) - Ъ2 (V, V!, V,)], откуда

/(V/, V,') - /(ад) = (1)

= Ь,(у,ад) - Ъ1(v,V1,V2). 1 )

Проведя аналогичные рассуждения для произвольной вершины иє V2, получаем:

/V V) - /(ад) = (2)

= Ъ1(v,V1,V2)-Ъ2(v,V1,V2). ( )

Заметим, что

Ъl(v,Vl,V2) + Ъ2(v,Vl,V2) = п -1. (3)

Полиномиальная приближенная схема...

27

Из формул (1), (2) и (3) следует, что если bt (v,V,V2)>(n—1)/2 для некоторой вершины Ve Vi, где ie{1, 2}, то, переместив ее в противоположную компоненту, получаем уменьшение значения целевой функции.

Лемма доказана.

3. Градиентный алгоритм

Алгоритм основан на пошаговом уменьшении значения целевой функции в соответствии с утверждением леммы 2. Когда не осталось вершин, для которых выполнено условие леммы 2, алгоритм заканчивает работу.

Алгоритм Gr.

1. Положим Vi=0, V2=V.

2. Пока

n — 1

max{maxb1 (v, Vb V2), maxb2 (v, V1, V2} >--,

veVi veV2 2

выполнять:

2.1 Выбрать вершину VieVi такую, что b1(v1,V1,Vj) = maxb^V^);

veVj

2.2 Выбрать вершину V2e V2 такую, что b2(v2,V,V2) = max b2(v,VbV2);

ve V2

2.3 Если b1(v1,V1, V2) > b2(v2,V1, V2), то

^1= V1 \ {V1}, V2 = V2 U{V1},

Иначе V1= V1 U {V2}, V2 = V2 \{V2},

конец цикла;

конец алгоритма.

На шаге 2 алгоритма максимум по пустому множеству принимается равным 0.

Несложно организовать вычисления таким образом, что трудоемкость градиентного алгоритма будет 0(п2).

Теорема 1. Решение, найденное градиентным алгоритмом, удовлетворяет оценке:

2 f (VbV2) <

n(n - 2)

f (Vi,V2) <

(n - i)2 4

Доказательство. Рассмотрим случай, когда п = | У| - четное число.

В силу целочисленности Ъ (и, Ух, У2), для каждой вершины иеУ;, где хе{1,2}, справедливы неравенства: Ьг(у,У|,У2)<

<(п-2)/2. Отсюда, используя лемму 1, получаем необходимое утверждение:

2

f (Vi,V2) <

n(n - 2)

4

(n -1)2 4

Перейдем к случаю, когда и - нечетное.

Удалим из данного графа вершину и є V со всеми инцидентными ей ребрами. Для полученного графа с помощью градиентного алгоритма найдем приближенное решение. Для этого решения значение целевой функции не превышает числа (п--1)(п-3)/4.

Теперь вернем вершину и и все удаленные ребра. Поместим вершину и в ту компоненту, для которой выполнено неравенство: Ь^и,^^) < (п-1)/2 для и є V, где іє{1, 2}.

Таким образом, получаем, что значение целевой функции возрастет не более, чем на (п-1)/2. В результате получим:

/(V V,)<(п-1)(п-3) + П-1 = (п-1)2 4 2 4

Теорема доказана.

Далее доказано, что предложенный алгоритм является гарантированно асимптотически точным для неплотных графов.

4. Анализ алгоритма Ог для неплотных графов

Теорема 2. Для решения ^1, V:;!) задачи А2< на произвольном неплотном графе

Оєди, полученном алгоритмом Ог, справедлива оценка:

f (ViV)

< i +

4ane + i

/ У, У*) п2 - 4апв - 2п’

где (Ух*,У2*) - оптимальное решение задачи А2<.

Доказательство. Для любого решения (Ух, У2) задачи А2< справедливо равенство:

/УхУг) = П(П2-1) -1 Е | +2С -1^11^2 1,

где С - это количество ребер (и, и) таких, что иеУх, ие У2. Учитывая, что

I Ух|| У2 | <п2/4 и С > 0, а также то, что для неплотных графов | Е | <апв, получаем:

/ у,у) > п(пр!>-апв+ 2С - пт: >

>■

2

n2 - 2n 1

- ane.

Заметим, что данное неравенство верно для любого разбиения ^1, V2), в том числе и для оптимального разбиения (V!*, 1/2*). Применяя теорему 1, оценим отношение значения целевой функции для разбиения, полученного градиентным алгоритмом, к значению целевой функции для оптимального разбиения:

/(ад).< (п- 1)2

/УУ)

4

п2 - 2п

4

- апв) =

= 1 +

4апв +1

п2 - 4апв - 2п

Очевидно, что (4апв+1)/(п2-4апв-2п)^0 при п^-да.

Теорема доказана.

Следствие. Градиентный алгоритм является гарантированно асимптотически точным на неплотных графах. Действительно, достаточно положить Єи= =(4 апв+1)/( п2-4 аив-2 и).

Построение полиномиальной приближенной схемні для задачи А2< на неплотных графах можно разбить на два этапа. На первом этапе по заданному є из формулы є=(4апв+1)/(п2-4апв-2п) определяем и=иє. На втором в зависимости от размерности конкретной задачи формулируем алгоритм Ає решения задачи А2<. Обозначим размерность данной задачи и.

Если и > пє, то решаем задачу алгоритмом Ог и по теореме 2 получаем оценку:

< 1 + ■

4апв +1

< 1 + є .

лад1_

/(У,У2*) п2 - 4апв - 2п

При п<пе находим точное решение с помощью метода ветвей и границ или полного перебора, что гарантирует требуемую оценку. Для полного перебора в худшем случае потребуется порядка 2п-1п2 операций. Но для любого фиксированного пе существует такое число у, что п7> 2п-1п2 при п < пе. То есть для заданного наперед е и фиксированного п существует алгоритм Ае полиномиальной трудоемкости, который находит решение задачи А2<, значение целевой функции на котором отличается от оптимального значения целевой функции не более, чем в 1+е раз.

Таким образом, полиномиальная приближенная схема построена.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Фридман Г.Ш. О некоторых результатах в зада-

че аппроксимации графов // Проблемы анализа дискретной информации. Ч. 1. Новосибирск, 1975. С. 125-152.

[2] Агеев АЛ, Ильев В. П., Кононов А. В., Талевнин А.С. Вычислительная сложность задачи аппроксимации графов // Дискретный анализ и исследование операций. Сер. 1. 2006. Т. 13. № 1. С. 3-15.

[3] Гимади Э.Х., Глебов Н.И., Перепелица В.А. Алгоритмы с оценками для задач дискретной оптимизации // Проблемы кибернетики. М.: Наука, 1975. Вып. 31. С. 35-42.