3-приближенный алгоритм для одного варианта задачи аппроксимации графа Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2009. № 4. С. 77-79.

УДК 519.8

В.П. Ильев, С.Д. Ильева

Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского

3-ПРИБЛИЖЕННЫЙ АЛГОРИТМ ДЛЯ ОДНОГО ВАРИАНТА ЗАДАЧИ АППРОКСИМАЦИИ ГРАФА

Рассматривается КР-трудная задача аппроксимации графами с одной или двумя компонентами связности. Для данной задачи предложен 3-приближенный алгоритм.

Ключевые слова: задача аппроксимации графа, приближенный алгоритм.

Задачи аппроксимации графов возникают при анализе систем взаимосвязанных объектов, в частности, в задачах классификации. При этом минимизируется число связей между классами и число недостающих связей внутри классов.

Будем рассматривать только обыкновенные графы, т. е. графы без петель и кратных рёбер.

Следуя Р.И. Тышкевич [1], обыкновенный граф будем называть М -графом, если каждая его компонента связности является полным

графом. Обозначим через М'2 (V) класс всех М -графов на множестве вершин V, имеющих не более двух компонент связности.

Если Ох = (V,Е1) и G2 = (V,Е2) - графы на одном и том же множестве вершин V, то расстояние р(Сг, G2) между ними определяется как р(Сг, G2) =| Е1АЕ2 |, т. е. р(Сг, G2) - число несовпадающих рёбер

в графах G1 и G2.

Рассмотрим следующий вариант задачи аппроксимации графа. Задача А2. Дан граф G = (V, Е). Требуется найти такой граф

М є М1 ^) , что Р(С, Мо ) = т\п Р(С,М) .

о Ь і’А2 V )’ МєМ2 (V)

В работе [2] доказано, что задача А2 является ЫР-трудной.

Пусть G1 = (V,Е1) и G2 = (V,Е2) - помеченные графы. Через , G2) будем обозначать граф на множестве вершин V с множеством ребер Е1АЕ2. Очевидно, р^1,G2) равно числу ребер графа В(С1,G2), откуда вытекает следующее.

Лемма 1. Пусть В = В^1,G2) , dmm - минимум степеней вершин в графе В . Тогда

р(Сх,G2) > ^•

© В.П. Ильев, С.Д. Ильева, 2009

78

В. П. Ильев, С.Д. Ильева

Пусть дан п -вершинный граф G = (V, Е) - вход задачи А2. Для

V1 ,У2 — V таких, что V1 Пі V2 = 0 и

V1 и V2 = V введем следующее обозначение: М V V- М -граф из класса

М\(У), в котором все вершины множества V1 лежат в одной компоненте связности, а все вершины множества V2 - в другой.

Легко видеть, что при переносе любой вершины некоторого М -графа М є є М2 (V) в противоположную компоненту связности расстояние от данного графа G до полученного М -графа увеличится не более, чем на п — 1. Поэтому имеет место следующее утверждение.

Лемма 2. Пусть М = М(^1,^2) - произвольное допустимое решение задачи

А2. Тогда для любых и — ^1, и — ^2 та-

| и л | + | и2 |= к /1 < к < п \ ких, что 1 11 1 21 справедливо следующее утверждение: если

М'= М(V'1, V'2), где V'1 = (К\ и,) и и2,

V '2 = (К\ и2 ) и и,, то

р(0,М') < р^,М) + к(п — 1).

Далее через ~Ы(Э (^ будем обозначать

dmin = тІП d0(и) = d 0(У)

uєV

окрестность вершины

V єV

в графе G , а

Ыг (V) v

через 1 ' - все несмежные с к верши-

ны.

Мо є м2(к)

Пусть о 2\ ; - оптимально аппроксимирующий М -граф для графа G ,

Во = D(G’М°) . Через ^(^ обозначим

степень вершины v в графе В<о .

Лемма 3. Пусть V єV - вершина

минимальной степени в графе Во . Рассмотрим М -граф М = М(У1,У:2) , где

V = {V} и ^ (V), V2 = V \ V = NG (V) . Тогда

р^, М) < 3 — 2

р(^, Мо ) п

Доказательство. Пусть

Положим, Мо = М V0 ^2). Покажем, что М -граф М может быть получен из

графа Мо путем переноса dmm вершин в противоположную компоненту. Без ограничения общности считаем, что V єУ1 и

V єУх°

Очевидно, в графе Во смежны те и только те вершины, которые либо смежны в графе G и находятся в разных компонентах графа Мо , либо несмежны в графе G и находятся в одной компоненте

графа Мо . Следовательно, для любой вершины и є V \ {V} справедливо слеи є К0

дующее утверждение: 1 тогда и

только тогда, когда либо

и є NG (У)\ Ыв0 (У) , либо

и є NG(v) п Ыво (v) (значит, и є , если и

только если и є NG (У) ^ ЫВо (У) или

и є NG(^\Ыво (у)).

Положим, и1 = ^ Ыэо ^) ,

и2 = NG (г0 П ЫЭо ^) . Легко видеть, что

и1 — V0 и2 — V» V = (V0\и1) и и 2 > > >

V2 = (К0\ и 2) и и1 т

2 2 2 1 . Так как

1 и 1 М и2 | = | ^ (У) П ЫВо 00 | +

+ 1 NG 00 ^ ЫВ0 (У) Н ЫВ0 00 |= dmin , то в силу леммы 2 получаем: р^ М) < р(С,Мо ) + dmin (п — 1) . При

dmm =0 отсюда вытекает равенство

= 1 . Если dmm > 0 , то оценим от-

р(ОМ) 1

ношение рг, , с учетом леммы 1:

р(0 Мо)

р(0, М)

d ■ (п — 1)

р(а, Мо) р(р, Мо)

< 1 + dтп(п — 1) = 1 + 2(п — 1) = 3 — 2

п

п

Лемма 3 доказана.

Рассмотрим следующий алгоритм.

З-приближенный алгоритм для одного варианта задачи аппроксимации графа

79

Алгоритм Ы.

1. Для каждой вершины V єV определим М -граф Му є М2 (V) следующим

образом: вершина v и все смежные с ней вершины графа G принадлежат одной

компоненте связности графа Му , а все несмежные с v вершины графа G - другой компоненте.

2. Среди всех графов Му выберем такой граф МЫ , что

р^, Мы ) = mm р^, Му)

vєV

Очевидно, среди всех вершин будет

выбрана и такая V єV , что do = dmin .

Отсюда с учетом леммы 3 получаем оценку погрешности алгоритма Ы.

Теорема 1. Для любого п -вершинного графа G = (У, Е)

р(в, МЫ) „ 2

^ < 3---. (1)

р(^, Мо ) п

Замечание 1. Существует бесконечное семейство графов {Gn} (п - число вершин графа Gn , п = 2к, к = 2, 3, ...) такое, что

р(^п, Мы ) = 3 — 6

р^п, М о ) п

т. е. оценка (1) достижима в асимптотическом смысле.

При любом п > 4 граф Gn устроен

следующим образом: вершина v1 степени

1 в нем смежна с вершиной V2 степени п — 1; остальные п — 2 вершины порождают подграф, полученный из полного

(п — 2 )-вершинного графа Кп—2 удалением наибольшего паросочетания мощности

п— о

2 . Пример такого графа для п = 8 приведен на рисунке.

Нетрудно видеть, что оптимально аппроксимирующим графом для графа Gn

является M -граф M O = {v1} ^ Kn—1, в котором вершина v1 принадлежит одной компоненте связности, а все остальные вершины - другой компоненте, и p(Gn,MO ) = n . Для каждого M -графа

Mv, построенного на шаге 1 алгоритма

N, выполнено равенство p(Gn, Mv ) =

= 3т — 3 . В качестве графа MN алгоритм может выбрать, например, полный граф MV2 = Kn.

Замечание 2. Предложена также модификация алгоритма N для задачи аппроксимации M -графами с числом компонент связности, равным двум. Показано, что гарантированная оценка погрешности модифицированного алгоритма не превосходит 5.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Тышкевич Р.И. Матроидные разложения графа // Дискрет. математика. 1989. Т. 1. Вып. 3.

С. 129-139.

[2] Агеев А.А., Ильев В.П., Кононов А.В., Талевнин А.С.

Вычислительная сложность задачи аппроксимации графов // Дискрет. анализ и исслед. операций. Сер. 1. 2006. Т. 13. № 1. С. 3-15.