Полихроматический контроль туннелирования в двухуровневой двухъямной системе Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 5.40. И о

ПОЛИХРОМАТИЧЕСКИЙ КОНТРОЛЬ ТУННЕЛИРОВАНИЯ В ДВУХУРОВНЕВОЙ ДВУХЪЯМНОЙ СИСТЕМЕ

Л. II. Георгобиани, Б. Г1. Кирсанов, М. В. Кронгауз

Рассмотрены явления локализации электрона в двухъям-ном потенциале в двухуровневом приближении nod воздействием нескольких внешних электромагнитных полей. Ни основе метода усреднения Боголюбова и использования диаграмм Фейнмана разработаны методы pacut -та вероятности локализации и генерации гармоник .i.ick-тр о магнитного поля в этих условиях. Рассчитано несколько конкретных ситуаций с полями соизмеримых и несоизмеримых частот при различных начальных ус юьи-ях.

Скорость туннелирования электрона в двухъямном потенциале существенно зави сит от частоты и интенсивности приложенного внешнего электромагнитного поля ] 6]. При расчетах на ЭВМ неожиданно было обнаружено, что при определенных \ . и виях возможно не только увеличение скорости туннелирования [2Ь], но и подан лени«1 гуннелирования [1 6]. При этом возникает локализация электрона в одной из ям. Не смотря на то, что система обладает центром инверсии, подобная локализация можс i сопровождаться генерацией четных гармоник внешнего поля, а также возникновением постоянного диполя [4]. Подобные эффекты, обнаруживаемые при численном решении, находя т теоретическое объяснение [2 - 4, 6] на языке квазиэнергий [7] и теории Фло ке [8]. Полученные аналитические выражения [3, 4], применимые при определенных ограничениях [3], показывают, что частота туннелирования пропорциональна разнос i и квазиэнергий:

Ни2! = h.W2\Jo ^ 7 ' ( 1 )

где

У21 = -</21 Е, (2)

здесь ^21 частота перехода в двухуровневой модели без внешнего поля, ¿2] диполи иый момент перехода, Е - амплитуда внешнего переменного поля К соя (а;/ + «¿О- -А и.

функция Бесселя нулевого порядка 1-го рода. Таким образом при совпадении -А— 1 одним из корней 7о(.г) (квазиуровни пересекаются) туннелирование исчезает.

Цель нашей работы исследовать явление локализации туннелирования и с вязан ные с ним процессы генерации в присутствии нескольких внешних монохроматических полей

5(0 = £ Е(щ) + (3)

3

где 0. а поляризация всех полей направлена вдоль оси х.

Наше рассмотрение основано на процедуре "усреднения'' [9], аналогичной метод; Боголюбова [10].

Использование диаграмм Фейнмана, аналогичное тому как мы это делали в при странственной задаче [11] для дифракции на структуре с периодическими неоднородна стями, делает вычисления наглядными и позволяет просто оценивать вклады оч р*и личных сложных процессов в любых порядках при наличии нескольких взаимодейству ющих полей.

Рассмотрим одномерную квантовую систему с двухъямным потенциалам \ о('.) (''м рис. 1) и будем учитывать только уровни 1 и 2. Энергия взаимодействия нашей системы с внешним классическим полем (3) в дипольном приближении будет иметь вид

V(t) = —d£(t), (4)

где d дипольный момент перехода между уровнями 1 и 2. Удобно перей ти к состояниям, локализованным в правой (г) и левой (/) ямах [3]:

\г >= >+|2>),

|/>=^(|1>-|2». (">) В этом двухуровневом представлении гамильтониан системы примет вид [3]

где1 аг, ах матрицы Паули.

Й = У{1)аг +

Ч(х)

(6)

/

Е, \ / \ /

V У V У

0

Рис. 1. Потенциальная энергия У0(х),Е - уровни энергии невозмущенного Гамильтониана Оператор дипольного момента можно записать в виде

¿ = <1<тг. (7)

В двухуровневом приближении роль волновой функции будет играть столбец (','). где />,../>/ коэффициенты разложения произвольного состояния \ф > по состояниям |г > и |/ > соответственно из (5). Для наших целей удобно убрать диагональные члены в (6) с помощью преобразования

Г(0 = ехр|£ I у(т)а,</г].

При этом новая волновая функция будет определяться выражением

О ■ 'й-

а гамильтониан в этом представлении примет вид

Нт = ТИТ

-1

-дТ-1

~дГ

_ ' О А'(/)

2 \к*(1) 0 ,

(9)'

(10)

где

/С(*) = ехр(| I У(т)Ж-).

(1

Вместо уравнения Шредингера мы получим два связанных уравнения

г =--— K(t)l,

i = -^K-(t)r. (12)

Заметим, что в (11) мы интегрируем от —оо, предполагая здесь и далее адиаба гпчно<л включения взаимодействия в начальный момент, т.е. V(t) умножается фактически на при о —> 0. Аналогично работе [11] определим операцию усреднения за время Г любой величины (оператора):

г+т/2

Р = / Пт)*Т. (13)

¿—Т/2

Тогда

Г = Р + Р, (14)

где А "быстрая" часть К.

Время усреднения выберем так, чтобы <С Т <С т, где т время характерного изменения г.1. Например, для туннелирования т ~ т.е. наше усреднение пригодно при ш Ш21 (приближение, которое и используется в работах [3, 4]). Усредняя (12) < учетом (13) и (14), получим "медленные" уравнения

Г- = (К~1 + ~К1),

гш21

и 'быстрые" уравнения

/ =--7Г~(К*г + A'*f), (10)

г = + А7" + Kl),

i =-~-{i<*r + к*г + k'f). (iü)

Систему (16) будем решать методом последовательных приближений, полагаая г.1

г(-оо) = 7(-оо) = 0 (г(0) = /(0) = 0).

Тогда

г = г0 + Г| + г2 + ... I = ¡0 + /i + k + -

(17)

причем г0 = /о = 0. Из (16) найдем

г 1

-ОО i

Г ^21 _

'1 =--7Г~г

J K(r)dr,

(18)

а высшие приближения определяются формулами

i t -(I<(t) J /„_1(r)dr+ J K(T)ln.i(T)dr),

r-n. —

гш2\

-oo <

—oo i

/„ =

J fn-i(r)dT+ J Km(T)rn-i(T)dr).

(19)

Вычисляя г„, /„ и подставляя в (17), а затем в (15), мы получим систему двух связанных уравнений, аналогичных исследованным нами раньше [9, 11]:

г = mrr — г/?г//, / = iaj — г/?/гг,

(20)

к которым необходимо добавить начальные условия г(—ос) = г0, /( —оо) = /0 или (г(0) г0 и т.п.). Вычислять а,/!?, используя (17) - (19), весьма сложно из-за большого числа слагаемых, особенно для высших порядков и при действии нескольких внешних полей ¡) + <^7). Однако вычисления можно сделать наглядными и простыми, если

использовать Фейнмановские диаграммы, как в работе [11].

Выражение для К{1) из (11) представим в виде

К (/) = ехр

2 г r ^ — у dj^ ЕМ cos(ujT + if3)di

t

—

-oo J=1

N

= П

j=l

(21)

При этом мы использовали известную формулу [12]

оо

е'"'пф = £

s=—ОС

где ./,(г) функция Бесселя 1-го рода .s-порядка. Усредняя (21), получим

т-й^),

K(t) =ПЕ Js (22)

Вклады в а и {1 будем представлять в виде диаграмм по следующим правилам:

1. Диаграмма состоит из прямых (электронных) и волнистых (фотонных) линий и узлов.

2. В каждый узел входит слева прямая линия, соответствующая состоянию /•(/). а выходит прямая линия, соответствующая состоянию /(г). В каждый узел при »том входят А волнистых линий по числу взаимодействующих полей с частотой ^ у =-l....;V).

Волнистые линии входят в узел сверху, если соответствуют 'поглощению ол повременно А:, фотонов с частотой Uj. Волнистая линия выходи] из узла с низу. <-с м соответствует излучению к, фотонов (в обоих случаях к1 может быть равно ну по) 11. каждой волнистой линии пишем kjUj. Например, некоторые узлы в случае грех полей с час тотами u>i,u>2,<a>3 изображены на рис. 2а.

4. Прямые линии диаграммы между узлами называются "внутренними", а дв< остальные, обозначаемые стрелками, называются "внешними". Стрелки на внешних линиях направлены слева направо, что соответствует последовательности приближе ний.

5. Диаграммы бывают двух сортов:

а) 'внешние" (входная и выходная) линии одинаковы и диаграмма дает вклад в п:

б) "внешняя" входная линия г(/) отличается от выходной /(г) диаграммы дани вклад в /3.

(). Число узлов в диаграмме совпадает с порядком теории возмущений и каждо.ч у узлу соответствует множитель (—u;2i/2).

7. Каждой нижней волнистой линии с индексом pujj соответствует множите ! Jp а верхней волнистой линии с индексом puij множитель ( —1 )р.)р -'•*-■)

При этом каждой волнистой линии с индексом ри^ узла, в который слева входит прямая г-линия, следует приписать дополнительный множитель ( — 1)р.

8. Каждой внутренней линии в диаграмме соответствует дробный множитель 1/Ш — 1С Язшз)^ где С Р'шг: С Ч]и] ~ сумма индексов всех "излученных" (нижних)

« 3 « 3

и "поглощенных" (верхних) волнистых линий соответственно в узлах, слоящих < к ва от данной внутренней линии. Заметим, что в силу операции ~ эти знаменатели не обращаются в нуль.

9. Вклад от каждой диаграммы нужно умножить на символ Кронекера 6(22

г

(¡-¡и,) и ехр[г(ХЗ/>,</?, — ГДе суммы индексов берутся по всем волнистым линиям

з « з

диаграммы (первая сумма по нижним, а вторая по верхним).

Заметим, что диаграммы с четным числом узлов дают вклад только в а, а с нечетным вклад только в /?. Можно показать, что аг = а/ = а, а = Д./ = /?. Равенство а/ = аТ - достаточное основание, чтобы их не рассматривать, т.к. они приводя т к одинаковому энергетическому сдвигу вырожденных состояний г, I и этот сдвиг можно убра гь каноническим преобразованием.

Таким образом достаточно рассмотреть "медленные" уравнения

f = -i0l,

1= -ip'r, (23)

решение которых будет иметь вид

г = + Be-W

1 = (24)

где Л, В постоянные, определяемые из начальных условий. При так называемых [1 "туннельных" начальных условиях, когда

г(0) = 1, /(0) = 0, (25)

a. система в начальный момент пребывает в правой яме, решение (24) примет вид

f(t) = cos(|/?|<),

i{t) = lMsMim . (26)

Р®. ю,

г(1)

б ^ =

рсо,

1со,

1(г) 1(1) ^ 1(г) ко,

рсо,

1(1) X *> 1(г)

1со,

а.

Р, = Р„=Р =

Осо >• *

1со

Я-" = Й? = -- +

2со,

Осо,., г-ОЮг

- У>.

Г

1(0

2со

Р'

(3'" =

1 Осо,

Осо,

г + Осо, Осо

Г^Гг + +...+ + Г V г

Осо., 1® Ыг\г 1®, \,2со, 2со2 Д Ъ >

2ко,

г +•-

Ж П"> -

1со,

2со, 2со,

Р"

Осо

Осо,

К'ьг (Ч,Р)

,РС02

+

' т

• рсо, суо,

Рис. 2. Диаграммы, соответствующие

/ЗСП

и

При "оптических" [4] начальных условиях, когда

=(0) = /(0) = 1/2

(27)

и система в начальный момент находится в наинизшем собственном состоянии |Ф[ >. при вещественном /3 имеем

- 7 1

г = I — —т=е л/2

-1/3«

(28)

Для вычисления дипольного момента нам могут потребоваться иг,/, которые буду ч описывать высокочастотные компоненты дипольного момента. В соответствии с (17) (19) можно написать

еми£ ши: ш

Последнее приближенное равенство написано в первом приближении по взаимодей ствию, когда

яЦ] = я{и] = о, я,г = -кт1 = Я. (29')

Для вычисления Я каждому элементу матрицы Я можно поставить в соответствие сумму вкладов от диаграмм аналогичных предыдущим, с тем отличием, что правые выходные линии рисуются без стрелок, и они будут "внутренними" и им соответствует дробный множитель, как в пункте 8 предыдущих правил. Кроме того вместо множителей пункта 9 вклад от диаграммы нужно умножить на ехрг[$2р»(<*>^+<£>,) —

» ]

где суммы аналогичны таковым в пункте 9. Заметим, что ни один знаменатель вклада диаграммы не обращается в 0, а индексы матричных элементов Я должны соответствовать индексам крайних "электронных" линий (см., например, рис. 26).

Рассмотрим конкретные примеры. Будем вычислять вероятности локализации в одной из ям:

а также дипольный момент И. Используя (7), с точностью до получим

о = = "|/_|2" 00

Начнем со случая монохроматического поля частоты ш. Результаты можно будет сравнить с данными, полученными другим методом в работах [4],

Рассмотрим случай с "туннельными" начальными условиями (25). Вычислим величину ¡3. Соответствующая диаграмма в первом порядке показана на рис. 2в и

А, = /?,„ = /? = ( • (32)

2

Диаграммы, соответствующие показаны на рис. 2г и

д(1) = = ^

и;

^ 2р+1

Р=о ^ Т х Р=1 2р

где е = Из (30), (26), (32), (33) с точностью до 0(Л<^) получим

1 1

Рт = 2 + 2 со®^^(е)*) - — £

^21 ^ </2р(е) вт(2ри;г)

Р=1

2р

Подст авляя (26), (33) в (31), получим дипольный момент

(33)

(34)

О = <1

соз(а;217о(е)0--- £ о„ вт^,70(е)<)

р=1

2р

(35)

В случае "оптических" начальных условий (27) из (28) следует, что |г|2 = |/|2 = ]/2. Выражения (32), (33) справедливы и в этом случае. Используя (30) и (31), получим

р - 1 и21 V- ^2р-ц(е) соз((2р + 1)и<) г ~ 2 ш 2р + 1

р=0

О = = £

^ Р=о

■/2р+1(е)соз((2р-ПМ) 2р + 1

(36)

(37)

Выражение (35) для Б, полученное в "туннельном" случае, совпадает с выражением из работ [4]. Когда е совпадает с корнем функции Бесселя Jo(e) = 0, согласно (34) возникает локализация электрона в правой яме: РГ = 1. Из (35) видно, что возможна генерация низких частот, а также генерация расщепленных четных гармоник.

При локализации (Jo(e) — 0) низкочастотная генерация, расщепление часго гармоник и их амплитуды исчезают, но возникает постоянный диполь. В "оптическом случае у нас, согласно (37), отсутствует низкочастотная генерация и постоянный ди поль, нет генерации четных гармоник, а есть только нерасщепленные нечетные гармоники. Аналогичный результат в [4] содержит еще дополнительный низкочастотный член. Появление этого члена в [4] связано с особенностями мгновенного включения ноля в начальный момент. Мы же предполагаем адиабатическое включение и поэтому у наг этот член отсутствует.

Рассмотрим теперь случай двух полей с соизмеримыми частотами и>1. и>2 = 2и:х Диаграммы первого порядка, которые дают вклад в /3, показаны на рис. 2д, и соответствующее /5 будет иметь вид

/3 = -~[Ме1)Ме2) + 2 £ У2р(е2)Лр(е1)со8(2рФ)+ 1 Р=1

оо

+ 2г £ ЛР+1(е2)Л(2Р+1)(ег) зт((2р + 1)Ф)], (38)

р=0

2 ¿Е

где с3 — Ф = — Условие локализации электрона в одной яме (В 0)

принимает в зависимости от е1е2 и фаз вид, отличный от случая одного поля

Условие Л)(б1) = 0 или ,/0(е2) = 0 недостаточно для локализации, т.к. в (38) есть еще члены, не равные нулю. В частном случае, когда Ф = 0, условие локализации приме вид

оо

Мег)Ме2) + 2 £ = 0. (39)

р=1

Если ех и е2 выберем так, что ./о(ех) = 0(е1 = 2,40), «/2(е2) = 0(е2 = 5, 14), то первый (наибольший) член, отличный от нуля в (38), будет 2.У4(е2)Js(el) ~ 7- 10"а. остальные члены будут значительно меньше. В этом случае локализация будет меняться очень медленно, а ¡3 будет отрицательным. Не меняя е2, выберем ел = 2,3, тогда ) = 0,055 при <7о(е2) — —0,13 и левая часть (38) будет отрицательна, т.е. ¡3 > 0. В силу непрерывности при некотором € (2,3; 2,4) коэффициент /3 будет равен нулю. Таким образом, мы доказали существование локализации в этом частном случае.

Рассмотрим ситуацию трех полей с частотами ш\ + ш2 = Диаграммы, дающие вклад а /3 а первом порядке показаны на рис. 2е и

(3 = ~ — [Мс1)Ме2)Мез) + J2p(el)J2p(e2)J2p{e3) соь2Ф + 1 Р= 1

оо

+ 2г£

J2p+l(^l)J2p+l(^2)J2p+l(^з)sin(2p-\- 1)Ф], (39')

р=О

где Ф = <¿>3 — ф2 — ¡у?!.

Полагая Ф = 0 (/3 - вещественное), е\ = 2,40; е2 = 5,14; е3 = 7,50, получим •Л)(е 1) = — <А(ез) и первый неисчезающий член в сумме для ¡3 будет малым:

■h{t\)^h{c2)Jв{e3) = 1,7- Ю-4, т.е. локализация электрона в одной из ям "рассасыва ется1' очень медленно. Небольшой вариацией еь как и в предыдущем случае, можно достичь полной локализации.

В случае действия п-полей с несоизмеримыми частотами {] — 1,2...п.) единствен пая диаграмма, дающая вклад в ¡3, показана на рис. 2ж, и, соответственно

1,=12=2

з +

3

Р+Ч= 21+1 г

з" з'

1 +

шг <3 <3

1_1

3 +

3

Гч|

!,=!;= 2 р+Ч=21

з 3 + +

Д Д

п. II

со/со,

со/со,

Рис. 3. Спектральные компоненты 0(и) дипольного момента в произвольных единица, в присутствии двух полей с несоизмеримыми частотами и ш2. ш2 = \/За>1; и2\/ш\ 0,1; = ЮО см~1; Ь.Ш\ = 1000 слг_ 1; г/ = 250.Д. а) птуннельные" начальные условия

ех = е2 = 1 (интенсивности 1\ = 37,8 МВт/см2, 12 = 113,4 МВт/см2, = ().()(>)

б) "оптические" начальные условия; остальное как в (а), в) "туннельные" начальные условия; ех — е-г = 2 (/, = 151,2 МВт/см2, /2 = 453,6 М Вт/см2, и'2Х/ш\ — 0,02). г) "оптические~ начальные условия; остальное как в (в). Компоненты с амплитудой, меньшей 0,01, не показаны. Низкочастотная компонента на рис. За,в уменьшена в два раза. Компонента 1Ц2и;1 — ш2) на рис. Зг уменьшена в 1,47 раза.

Р = —^-Ме1)Ме2)...Меп). (10)

Для локализации (/3 = 0) в этом случае достаточно, чтобы ■Jo(e:¡) = 0, хотя бы для одного е.Г

Рассмотрим в заключение пару примеров излучения нашей системы в присутствии нескольких полей. Пусть на нее действует два поля с несоизмеримыми частотами и

ш2. Тогда, единственная диаграмма, дающая вклад в /3 в 1-м приближении показана на рис. 2з и в этом случае

ß = -^y-«/o(ei)«/o(e2),

(41)

4Х)= Е Мм), ('|2)

р,д=0

где диаграммы, дающие вклад в Л/г(</,р), показаны на рис. 2и и соответственно

\р + д = 21>0,

I + (-1'

Гр + 9 = 2/+1 >0,

( ы21 Л(е1) + (-1)'=^^]-

Поскольку фазы <¿>1,2 в этом случае несущественны, мы положим = — 0. В случае "туннельных начальных условий (25) из (31), (26), (43) получим дипольный момещ

ИЗ)

D = dl cos(w2i Jo{ei)Jo(e2)t) + 2u;2i sm(ix>2iJo(ei)J0(e2)t)x

x Ц Jq(ei)Jp(e2)

p+q=2l>0;p,q>0

sin((gu;1 +pu2)t) + ^ ^HÎW ~

+ pu>2

qux - pu;2

(44)

Откуда видно, что существует генерация с низкой частотой ui'21 = и2\ Jo(e.\)Jq(c¿) (пер вый член), которая при локализации (Jo(ßi) = 0 либо Jo(e2) = 0) исчезает, и появляется постоянный дипольный момент. Диполь в (44) помимо четных гармоник и,'! и jj>, ра< щепленных на ш'21 (с/ — 0 либо р = 0), содержит всевозможные "четные" (q + р = 21 > 0). комбинационные тона (/и>\ + рш2 и \qu\ — рш21, также расщепленные на Как и в "одноцветном" случае в условиях локализации это расщепление стремится к нулю. При совпадении ег и е2 с корнем Js(e) из спектра исчезают серии su^ -f /kj2 и |su>i — ри;2 \ или quj] + suj2 . \qu)\ — su;2| соответственно.

При "оптических" начальных условиях (27) из (31), (28), (43) следует, что диполь ньгй момент будет иметь вид

D = du2x Jq{ei)JP(e2)

р+</=21+1>0 Г,Ч> О

cos((qux +pu2)t) «»((y^-pufr)/)'

quji + puj2

quj] - pu2

В этом случае в спектре присутствуют все нечетные гармоники и ш2 (р = 0 или q — 0), а также всевозможные "нечетные" (р + q — 21 + 1 >0) комбинации частот: qcu 1 + рш2 и \qui — рш2\. При совпадении ej или е2 с корнем Js(e) из спектра исчезают серии .swi + ри>2 и — рш2\ или quj + su2 и |qu\ — su>2\ соответственно. На рис. ] показаны относительные спектральные компоненты D в обоих случаях, вычисленные по формулам (44) и (45) при некоторых значениях параметров.

Если частоты соизмеримы, например, ш\ = 2ш2, то ситуация усложняется, ß, опре деляемое (39), и расщепление и>'21 = \ß\ зависят от полей более сложным образом. В частности, появляется зависимость от разности фаз Ф = 2<pi — ip2. В остальном выра жения для D идентичны (44) или (45) с тем отличием, что, в силу операции в суммах нужно исключить "резонансные" слагаемые при quj\ — pui2 = 0.

Таким образом с помощью метода усреднения Боголюбова [10] и диаграмм Фейнмана достаточно просто описать явления локализации и генерацию гармоник в случае двуху ровневого двухъямного потенциала при наличии нескольких монохроматических полей Условия локализации при этом усложняются, особенно в случае соизмеримых час тот. В последнем случае проявляется зависимость от начальных фаз полей, что предоставля ет дополнительные возможности для управления подобными явлениями, в частности, в квантоворазмерных структурах. Работа поддержана Министерством науки России ской Федерации как часть программы "Физика твердотельных нанострук тур (проек i 1-070/4).

ЛИТЕРАТУРА

[1] Lin W. А., В а 1 1 е n t i n е L. Е. Phys. Rev. Lett., 65, N 24, 2927 (1990).

[2] Grossman F., D i t t г i с h T., J u n g P., H a n g g» i P. Phys. Rev. Lett.. 67, N 4, 516 (1991). G г о s s m a n F., J u n g P., D i t t r i с h T., H a n g g i P. Zeitschrift für Physik В, 84, 315 (1991).

[3] G о m е z Jose M. Plata Jesus, Phys. Rev., A 45, N 10, R6958 (1992): Phys. Rev., A 49, N 4, 2759 (1993).

[4] В a v 1 i Raanan, Metiu Horia. Phys. Rev. Lett., 69, N 13, 1986 (1992): Phys. Rev., A 47, N 4, 3299 (1993). Dakhnovskii Y., Bavli Raanan. Phys. Rev., В 48, N 9, 11021 (1993). Bavli Raanan, Dakhnovskii Y. Phys. Rev. A 48, N 2, 886 (1993).

[5] Wagner M. Phys. Rev., В 49. N 23, 16544 (1994-1); Phys. Rev., A 51, N 1. 798 (1993).

[6] Г орбацевич А. А., К а п а е в В. В., К о п а е в Ю. В. ЖЭТФ, 107, 1320 (1995).

[7] 3 е л ь лови ч Я. Б. УФН, 110, вып. 1, 139 (1973).

[8] S h i г 1 е у J. Н. Phys. Rev., 138, N 4В, В979 (1965).

[9] К и р с а н о в Б. П., С е л и в а н е н к о. Опт. и спектр. XXIII, N 6, 938 (1967). К и р с а н о в Б. П. Труды ФИАН, 18, 187 (1968); Дис. канд.физ.-мат.наук. ФИАН, Москва, 1969.

[10] Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М., ГИФМЛ, 1963.

[11] К и р с а н о в Б. П., Кронгауз М. В. Краткие сообщения по физике ФИАН. N 1-2, 17 (1996).

[12] К о р н Г., К о р н Т. Справочник rio математике. М., Наука, 1973.

Поступила в редакцию 13 ноября 1996 г.