Полигональные диаграммы Текст научной статьи по специальности «Математика»

Прикладная математика

5

УДК519.21

А. В. Бирюков ПОЛИГОНАЛЬНЫЕ ДИАГРАММЫ

Полигональную диаграмму образует разбиение плоскости случайными прямыми на выпуклые полигоны. При этом исключается наличие параллельных прямых и пересечение более двух прямых в одной точке, т.е. случаи с нулевой вероятностью.

Если А и В - соответственно число разбивающих плоскость прямых и число образованных полигонов, то

В = (А2 + А + 2) / 2.

Очевидно, что на каждой прямой число вершин и ребер полигонов равно А-1. Поэтому суммарное количество вершин диаграммы равно

С = А (А-1) / 2, а суммарное число ребер

В = А (А-1) = 2С.

У случайно выбранного полигона число вершин N случайно со средним значением М и законом распределения

Р N = 4 / 2я, N > 3, где Р (N) - вероятность встречи N - вершинного полигона.

Поскольку каждая вершина является общей для четырех полигонов, то среднее число вершин у одного полигона равно отношению 4С / В или М = 4А (А-1) / (А2 + А + 2).

Отсюда следует, что у бесконечной диаграммы (А^-да) среднее число вершин полигона равно 4.

Взаимное расположение полигонов на диаграмме обладает неопределенностью или хаосом. Количественной оценкой этого хаоса служит энтропия закона распределения случайной величины N>0.

Подставляя сюда значения вероятностей, получим:

ГО ГО

н = £ - 2 £ -4-

N=3 2 N = 32

Первая из этих сумм по определению равна М, а вторая -единице (в силу свойства закона распределения). Следовательно, энтропия бесконечной диаграммы равна

Н — М - 2 — 2.

Полигональную диаграмму можно рассматривать как граф, у которого вершинами и ребрами являются вершины и ребра полигонов. Алгоритмическую сложность описания этого графа определим следующим образом.

Рассмотрим у данного графа все его подграфы третьего порядка. Для конечной диаграммы число таких подграфов равно числу сочетаний из С по три, т. е.

Е — С (С-1) (С-2) / 6.

Вводя здесь переменную А, получим многочлен шестой степени от этой переменной:

Е — [А3 (А-1)3 - 6А2 (А-1)2 + + 8А (А-1)] / 48.

Среди множества подграфов третьего порядка различными являются лишь четыре подграфа: цикл, цепь, ребро и вершина, три попарно несмежных вершины.

Обозначим число этих подграфов соответственно через Р1, Р2, Р3, Р4. Тогда относительные частоты

0 = Р- / Е, і — 1, 2, 3, 4 дают вероятностное распределение с энтропией

н = £ 0іЦ101) .

Так как среди всех полигонов доля циклов (треугольников) равна Р(3) — У2, то число всех циклов равно В/2 и, следовательно,

Р1 — (А2 + А + 2) / 4.

Число цепей на разбивающих прямых равно А(А-3). К ним добавляются цепи на полигонах с N > 4 вершинами. Поэтому общее количество цепей Р2 = МВ - 1,5В + А (А - 3) или в выражении через переменную А

Р2 = (9А2 - 23А - 6) / 4. Каждому ребру соответствует С-8 вершин, которые несмежны с концами ребра. Отсюда следует, что

Р3 = В (С-8) = 2С (С-8) или в выражении через А Р3 = А (А-1) (А2 - А - 16) / 2.

Наконец, непосредственно находим, что Р4 = (С-5)3 / 6 =

= (А2 - А - 10)3 / 48. Таким образом, получены пять многочленов от переменного количества прямых диаграммы: РI, Р2 - второй степени, Р3 - четвертой степени, Р4 и Е - шестой степени с одинаковыми коэффициентами при старших степенях. Отсюда следует, что с увеличением числа прямых вероятность Q4 = Р4 / Е асимптотически стремится к единице, а остальные вероятности - к нулю. Поэтому граф на бесконечной диаграмме имеет нулевую энтропию. Это свойство присуще всем разреженным графам, т.е., у которых число вершин и число ребер связаны линейной зависимостью. О характере поведения энтропии можно судить по следующему небольшому фрагменту вычислений:

А) 5 10 15

Н) 1,76 0,82 0,14

□ Автор статьи:

Бирюков Альберт Васильевич ■ докт.техн.наук, проф., зав. каф.

высшей математики