Поле упругих деформаций и смещений в системе «Клиновидный нанодвойник – цепочка полных дислокаций» Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 548.24

ПОЛЕ УПРУГИХ ДЕФОРМАЦИЙ И СМЕЩЕНИЙ В СИСТЕМЕ «КЛИНОВИДНЫЙ НАНОДВОЙНИК -ЦЕПОЧКА ПОЛНЫХ ДИСЛОКАЦИЙ»

О. М. ОСТРИКОВ

Учреждение образования «Гомельский государственный технический университет имени П. О. Сухого»,

Республика Беларусь

В чистом виде двойникование протекает лишь при специальных условиях деформирования [1]. В подавляющем же большинстве случаев развитие двойников сопровождается интенсивным скольжением [2]. Причем скольжение как предшествует зарождению двойников, так и сопутствует процессу двойникования, а также развивается после завершения двойникования, приводя к релаксации напряжений у сформировавшихся границ раздела. Поэтому в физико-механическом анализе важное значение приобретает знание напряженно-деформированного состояния в системе «двойник - группа полных дислокаций».

Остаточный нанодвойник может рассматриваться как зафиксированная начальная стадия развития двойников [2], которая относится к малоизученным стадиям двойникования [4]. Представляет интерес моделирование условий, при которых реализуется зарождение двойника вблизи скоплений полных дислокаций. В анизотропной среде эти скопления не всегда хаотичны. Влияние упорядоченности структуры деформируемого материала приводит к образованию упорядоченных скоплений полных дислокаций в виде дислокационных стенок или цепочек [5].

Целью данной работы является расчет в приближении однородной изотропной среды полей смещений и деформаций в системе «клиновидный нанодвойник -цепочка полных дислокаций».

На рис. 1 схематически представлен клиновидный нанодвойник длиной L и шириной у устья Н, находящийся вблизи цепочки полных дислокаций. Для упрощения задачи исключим из рассмотрения напряженно-деформированное состояние у устья двойника, обусловленное концентратором напряжений (у которого, как правило, зарождаются механические двойники), дислокациями двойника, либо границей зерна, в котором формируется механический двойник. Если обозначить через d и h проекции на оси OX и OY соответственно отрезку, соединяющего две соседние двойникующие дислокации на двойниковой границе (рис. 1), то, зная поля смещений, создаваемые единичной дислокацией, для поля смещений у рассматриваемого нанодвойника с N двойникующими дислокациями на каждой из границ в общем виде можно записать соотношение:

N N

ы? (х, у) = ^ ы(1'}(х + ^ - L, у - ^ )+^ ы(2\х + ^ - L, у + пИ), (1)

п=0 п=1

где в формулах для случая единичной дислокации, при переходе к суммированию общего вклада двойникующих дислокаций на двойниковых границах выполнены замены х ^ х + М - Ь и у ^ у - ^ для первой границы, поле смещений которой в (1) описывается первым слагаемым, и х ^ х + М - Ь, у ^ у + ^ - для второй границы, поле смещений которой в (1) задается вторым слагаемым. В (1) г принимает значения х, у или г.

Рис. 1. Схематическое изображение системы «клиновидный нанодвойник - цепочка полных дислокаций». Цепочка параллельна направлению развития двойника

Распределение полей смещений, созданных цепочкой полных краевых дислокаций с модулем вектора Бюргерса Ькр, будем находить с помощью соотношений:

Ь N

«?'(*. у )=I

2л «=о

Г

arctg

У - н д

х-^ + Lд + пёц )

- +

+

(х -{Ь + LД + пёц ))(у - Н Д)

2(1 -у)((х-(L + LА + пёц ))2 +(у - н Д)2 )

и_Ц" (х.

-к

N (

(х, У )=-^ I

2л п=о

1 - 2у, 2л

1п((х-(Ъ + ЬА+ пёц))2 + (у - н д)2) +

+

(х -(L + Lд + пёц ))2 -(у - Н д)2

4(1 -у)((х-^ + Lд + пёц ))2 +(у - Н д)2)

(2)

где Ьц - длина цепочки дислокаций; dц - расстояние между дислокациями в этом скоплении; Ьд и Нд - проекции на оси ОХ и OY соответственно расстоянию от вершины двойника до цепочки полных дислокаций.

Для цепочки винтовых дислокаций с модулем вектора Бюргерса Ьв получим:

-в

(

(х, У ) = ^1

2л п=о

arctg

У - н д

Л

(3)

В соотношениях (2) и (3) полагается Ь || Ьк^ и Ьв || Ь^ , где Ьк^ и Ь^ - краевая

и винтовая составляющие вектора Бюргерса частичной двойникующей дислокации Шокли.

Очевидно, что длина цепочки полных дислокаций зависит от количества N полных дислокаций и расстояния между ними d и связана с ними соотношением

Ъ =(К ц -1)ёц.

(4)

В случае неподвижных источников внутренних напряжений [6] справедливо соотношение

идх.

(х, У ) = и* (х, У )+иц (х, У).

(5)

Методика расчета полей напряжений у нанодвойника подробно рассмотрена в [4]. В общем виде формулу для расчета полей напряжений у нанодвойника можно представить в виде:

N N

а *(х,У) = Іо(і^(х + пё -L,У - ^)+1о(2)(х + пё -L,У + nh),

(6)

п=0

п=1

где первое слагаемое задает напряжения, создаваемые первой границей двойника, а второе - второй. В (6) и далее j принимает значения х, у или г.

Зная поля напряжений и используя соотношения, связывающие компоненты тензора деформаций с компонентами тензора напряжений [5], [6]:

— [° хх -у(С

Е

- [° УУ -У (с

^хх =—рхх -П°УУ + °

Е

)]

8 УУ = —1° УУ -У (° хх + ° гг )]

Е

8 гг = — [° гг -У (° хх +° уу )]

Е

1

8 ху = ° ху

2|д

1 2|д

1 2|д

8 =—а

xz xz

8 =—а ,

у2 у2 5

(7)

получим формулу для расчета полей деформаций, созданных клиновидным нанодвойником, устье которого находится в начале декартовой системы координат (рис. 1). Расчетная формула в общем случае имеет вид:

N N

8*(х,у) = І8^(х + пё -L,у - п^+І8(2)(х + пё -L,у + nh).

п=0

п=1

Тогда для цепочки полных дислокаций получим:

ДЬкр

8« (х у )=-

2лЕ(1 - у)

V (У - Н А)((2У 2 -У-3) (х - (Ь + ЬА + ^ц ))2 + (2У 2 -У-1)(у - Н Д)2 )

X

п-о ((х - (ь + Ьд+ ndц ))2 + (у - н д)2)

ДЬкр

8цУ (х у )=

2лЕ (1 -у)

х

Ы" (у - Н А)((2у 2 + 3у + 1) (х - (Ь + ЬА + ^ц ))2 + (2у 2 +у-1)(у - Н А )2 )

”=° ((х - (Ь + ЬА+ ^ц ))2 + (у - НА )2 )

вц!(х, у )=°,

к

3 (х, у )=—^

4л(1 - у)

х^ (х - (Ь + ЬА + ^ц ))((х - (Ь + ЬА + ^ц ))2 - (у - Н А )2 )

”=° ((х - (Ь + ЬА+ ^ц ))2 + (у - НА )2 )

Ьв £ У - На

вцц (х, У ) = -^ 2

4 л П=°(х - (ь + ЬА + Мц))2 + (У - на )2

8цг(х,у)=-^2—х (ь+LА+ndц)—. (9)

4л п=° (х - (ь + ЬА + Мц ))2 + (у - На)2

Результирующие деформации находятся по формуле

8 У- (х у )=8Г (х у )+8гц" (х у ) (10)

Результаты расчетов полей смещений и деформаций в случае, когда цепочка полных дислокаций параллельна направлению развития двойника, приведены на рис. 2 и 3. Принималось: у = °,33; д = 81 ГПа; Е = 200 ГПа; d = 2,5 нм; h = 0,25 нм;

N = 1°; Ь£ = Ьв = °,1 нм; ЬКр = Ьв = 0,5 нм; Nц = 5; dц = 5 нм; = 1° нм; На = 2° нм.

Очевидно, что Ь = Nd. Следует также отметить, что при dц = а, где а - межатомное

расстояние, цепочка полных дислокаций может рассматриваться, как дислокационная трещина [5].

Из рис. 2 видно, что поля смещений искажаются нанодвойником, не приводя к их локализации на границах. В случае смещений ых(х, у) и ыг(х, у) цепочка дислокаций

приводит к периодическим изменениям конфигурации линий равных значений смещений (рис. 2, а, в). Эти изменения носят дальнодействующий характер и выходят далеко за рамки системы «нанодвойник - цепочка дислокаций». Конфигурация полей смещений ыу(х, у) существенно отличается от конфигурации смещений ых(х, у) и

X

X

ыг(х У )•

При этом наблюдается локализация смещений у цепочки дислокаций (рис. 2, б).

У, нм

0,6

О 25 50 75 дс, нм

в)

Рис. 2. Результаты расчета полей смещений в системе «клиновидный нанодвойник -цепочка полных дислокаций»: а - ых(х,у) (цепочка краевых дислокаций); б - ыу(х,у)

(цепочка краевых дислокаций); в - ыг(х,у) (цепочка винтовых дислокаций). Вектор Бюргерса цепочки дислокаций направлен в одну сторону с направлением

соответствующей составляющей вектора Бюргерса частичных двойникующих дислокаций; цепочка дислокаций указана стрелкой и параллельна направлению развития двойника

у, нм

О 25 50 75 100 0 25 50 75 х, нм

д) е)

Рис. 3. Поле деформаций в системе «некогерентный нанодвойник - цепочка полных дислокаций»: а - 8„(х,у); б - 8у,(х,у); в - 8 =(х,у); г - 8^(х,у); д - 8х2(х,у);

е - 8 {х, у). Вектор Бюргерса цепочки дислокаций направлен в одну сторону

с направлением соответствующей составляющей вектора Бюргерса частичных двойникующих дислокаций; цепочка дислокаций параллельна направлению развития двойника

Как видно из рис. 3, полям деформаций свойственна локализация, как вдоль границ нанодвойника, так и у цепочки дислокаций. Наибольшие значения величина деформаций принимает у цепочки дислокаций. Это связано с тем, что величина

вектора Бюргерса полных дислокаций цепочки выше величины мощности частичных двойникующих дислокаций, а количество дислокаций в цепочке и на границе нанодвойника в рассматриваемом примере мало отличается.

Ситуация, представленная на рис. 1, типична для случая, когда цепочка дислокаций существовала в кристалле еще до зарождения двойника. Если же двойникование первично, а скольжение - вторично, то чаще цепочка дислокаций зарождается на границе двойника или у его вершины. В первом случае Lд < 0, а во втором - Lд = 0. Причем в первом случае, как правило, Нд ^ 0, а во втором -Нд ^ 0. Возможна ситуация, когда цепочка дислокаций находится внутри двойника. В этом случае Lц < L, а Lд < 0. Нахождение цепочки дислокаций у границы двойника или у его вершины приведет к увеличению в этой области величины деформаций. Однако

в этих областях возможно и уменьшение значения некоторых компонент тензора деформаций, если направление вектора Бюргерса полных дислокаций цепочки будет противоположным направлению соответствующей компоненты частичной двойникующей дислокации.

Рис. 4. Схематическое изображение системы «клиновидный нанодвойник - цепочка полных дислокаций». Цепочка перпендикулярна направлению развития двойника

Если цепочка дислокаций перпендикулярна направлению развития двойника (рис. 4), то поля смещений и деформаций могут быть найдены по формулам

иг (х у ) = и? (х у)+и?1 (х у ); (11)

ео-(Х У ) = < (Х У )+<(Х У )- (12)

Здесь

ц! ( ) Ькр + х - (Ь + Ь,) |

х (Х У }=— ^ аГС1§------------------------Г---------- \ +

2^ п=° ^ У -(Н Д+ Мц )

+ (У ~(Н д+ ^ц ))(х ~(L + Lд))

2(1 - у) ((у ~(н д + ^ц ))2 + (х - (Л + Lд ))2 ^

^(х у)=-—Е 1п((у -(н д + ))2 +(х -(Л+Лд))2)

2 л п=01 2л

д ' '-ц// ' Vх - + Лд)> >+

+ (У-(Н д+ ^ц ))2 -(х-(Л + Лд))

4(1 -у)((у-(н д + ^ц ))2 +(х-(л + Лд))2 )У

Л N -гц1(х, у ) = ^ Е 2л п=0

(н д+ ^ ц )

(13)

8«(х у )=—х

2лЕ (1 -у)

Е (х-(л + Лд))((2у2 -у-з)(у-(нд + ^ц))2 +(2у2 -у-1)(х-(Л + Лд))2) ”=° ((у-(Н д+ ^ц ))2 +(х-(Л + Лд))2 )

^Лк,

У ) = ——

2лЕ (1 -у)

хЕ (х-(Л + Лд))((2у2 + 3у + 1)(у-(нд + ^ц))2 +(2у2 +у-1)(х-(Л + Лд))2)

П-0 ((у -(Н д+ ^ ))2 +(х -(Л + Лд))2 ^

цг1(х у )=а

Лк 4л(1 - у)

'ц1(х, У ) = - ^кр

8XУ^x, У) =------------х

х^ (У-(Н д + ^ц ))((У-(Н д + ^ц ))2 -(х-(Л + Лд))2 )

”=0 ((у-(Н д+ ^ц ))2 +(х-(Л + Лд))2 )2

ц1(х У)= Лв Е х-(Л + Лд)

8 г(x, у Ь-—Е х

4л «=0 (У-(Нд + ^ц))2 + (х-(Ъ + Лд))2

8ц1(х, у) = А. Е-----------У (Нд + Ч )---------------------------------------------------------. (14)

4л «=0 (у - (нд + ndц ))2 + (х - (Л + Лд ))2

Результаты расчетов представлены на рис. 5 и 6. Данные для расчета брались такие же, как и в предыдущем случае, за исключением Нд = 10 нм.

х

в)

Рис. 5. Поле смещений в системе «клиновидный нанодвойник - цепочка полных дислокаций»: а - их (х,у) (цепочка краевых дислокаций); б - иу (х,у) (цепочка краевых

дислокаций); в - иг(х,у) (цепочка винтовых дислокаций). Вектор Бюргерса цепочки краевых дислокаций перпендикулярен соответствующей составляющей вектора Бюргерса частичных двойникующих дислокаций и направлен в сторону развития двойника; вектор Бюргерса цепочки полных винтовых дислокаций направлен в одну сторону с направлением соответствующей составляющей вектора Бюргерса

частичных двойникующих дислокаций; цепочка дислокаций перпендикулярна направлению развития двойника

У, нм

д) д)

Рис. 6. Поле смещений в системе «клиновидный нанодвойник - цепочка полных дислокаций»: а - єх, (х,у); б - є(х,у); в - є = (х,у); г - є,у (х, у); д - є^(х,у); е - єуг (х, у). Вектор Бюргерса цепочки краевых дислокаций перпендикулярен

соответствующей составляющей вектора Бюргерса частичных двойникующих дислокаций и направлен в сторону развития двойника; вектор Бюргерса цепочки полных винтовых дислокаций направлен в одну сторону с направлением соответствующей составляющей вектора Бюргерса частичных двойникующих дислокаций; цепочка дислокаций перпендикулярна направлению развития двойника

Как видно из рис. 5, а, в поворот цепочки полных дислокаций на угол 9°° в случае смещений их (х, у) и иг (х, у) приводит к переориентировке периодических изменений конфигурации линий равных значений смещений на угол, равный углу

поворота цепочки дислокаций. Смещения иу (х, у), как и в предыдущем случае,

локализованы у цепочки дислокаций и отражают наличие ее поворота (рис. 5, б) по сравнению с предыдущим случаем.

Поворот цепочки полных дислокаций, удаленной от нанодвойника на расстояние Нд = 10 нм и Лд = 10 нм, к существенному изменению конфигурации и величины деформаций у границ двойника и внутри него по сравнению с предыдущим случаем ориентировки цепочки дислокаций не приводит. Такие изменения существенны, когда цепочка дислокаций касается границы двойника, или его вершины.

Таким образом, с использованием дислокационного подхода разработан метод расчета полей смещений и деформаций в системе «клиновидный нанодвойник -цепочка полных дислокаций». Установлено, что цепочка полных дислокаций является концентратором больших напряжений, чем границы нанодвойника. Это связано

с тем, что количество дислокаций на двойниковых границах имеет такой же, или меньший, порядок, что и у цепочки дислокаций, а мощность вектора Бюргерса частичной двойникующей дислокаций меньше, чем у вектора Бюргерса полной дислокации.

Литература

1. Классен-Неклюдова, М. В. Механическое двойникование кристаллов / М. В. Классен-Неклюдова. - М. : АН СССР, 1960. - 262 с.

2. Лаврентьев, Ф. Ф. Взаимодействие дислокаций в цинке, висмуте и сурьме при двойниковании / Ф. Ф. Лаврентьев // Физика металлов и металловедение. - 1964. -Т. 18, № 3.- С. 428-436.

3. Остриков, О. М. Нанодвойникование монокристаллов висмута / О. М. Остриков // Изв. вузов. Сер. Черная металлургия. - 2002. - № 3. - С. 51-52.

4. Остриков, О. М. Механика двойникования твердых тел : монография / О. М. Остриков. - Гомель : ГГТУ им. П. О. Сухого, 2008. - 301 с.

5. Хирт, Дж. Теория дислокаций / Дж. Хирт, И. Лоте. - М. : Атомиздат, 1972. - 600 с.

6. Старовойтов, Э. И. Основы теории упругости, пластичности и вязкоупругости / Э. И. Старовойтов. - Гомель : БелГУТ, 2001. - 344 с.

- Получено 22.09.2011 г.