Научная статья на тему 'Поиск решения как пуассоновский процесс'

Поиск решения как пуассоновский процесс Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

CC BY
86
23
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ВРЕМЯ ПОИСКА РЕШЕНИЯ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ / ОДНОРОДНЫЙ ВО ВРЕМЕНИ ПРОЦЕСС / СРАВНЕНИЕ ЭМПИРИЧЕСКИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ С ТЕОРЕТИЧЕСКИМИ ЗАВИСИМОСТЯМИ / TIMES OF SEARCH OF TEST TASKS SOLUTIONS / TIME HOMOGENOUS PROCESS / COMPARISON OF EMPIRICAL DISTRIBUTIONS WITH THEORETICAL DEPENDENCES

Аннотация научной статьи по электротехнике, электронной технике, информационным технологиям, автор научной работы — Попов Александр Петрович

Обсуждаются условия, которые должны удовлетворяться для того, чтобы поиск решения тестовых заданий можно было рассматривать как однородный во времени (пуассоновский) стохастический процесс. Тщательное изучение эмпирических распределений времени, необходимого для поиска верных ответов на тестовые задания, позволяют сделать заключение о том, что все эти эмпирические распределения принадлежат к хорошо известному классу гамма распределений. Плотность гамма распределения зависит от двух параметров: в рамках модели безразмерный параметр α интерпретируется как трудность тестового задания, а параметр λ, который имеет размерность обратного времени, ассоциируется с уровнем подготовленности испытуемого.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

SEARCH OF SOLUTION AS POISSONS PROCESS

There are discussed conditions which must be satisfied for one can consider the search of test tasks solutions as time homogenous (Poisson's) stochastic process. Careful studying of empirical distributions of times required for searching of true answers on test tasks allows making conclusion that all these empirical distributions are possessed to well known class of gamma distributions. Density of gamma distributions depends on two parameters: in framework of model dimensionless parameter α is interpreted difficulties of test task, and parameter λ, which has a dimension of inverse time, is associated with level of training of participant of trial.

Текст научной работы на тему «Поиск решения как пуассоновский процесс»

2. Никитина А.В. Численное решение задачи динамик и токсичных водорослей в Таганрогском заливе // Известия ЮФУ. Технические науки. 2010. - № 6 (107). - С. 113-116.

3. Мат ишов Г Т., Фуштей Т. В. К проблеме вредоносных «цветений воды» в Азовском море //Электронный журнал «Исследовано в России». - 2003. - С. 213-225.

4. Ласт иека Т.В. Сезонная динами ка фитопланктона. Современное развитие эстуарных экосистем на примере Азовского моря. - Апатиты: Изд-во КНЦ РАНД999. - С. 73-95.

5. Роговая ОТ. Экологическое моделирование. - СПб.: ООО «Книжный мир», 2007. - 104 с.

6. Самарский А.А. Теория разностных схем. - М.: Наука, 1977. - 656 с.

Статью рекомендовал к опубликованию д.ф.-м.н., профессор АЛ. Жорник.

Никитина Алла Валерьевна - Технологический институт федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге; e-mail: [email protected]; 347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44; тел.: 88634371606; кафедра высшей математики; зав. кафедрой; доцент.

Третьякова Мария Валерьевна - студентка.

Nikitina Alla Valerievna - Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Autonomy Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”; e-mail: [email protected]; 44, Nekrasovsky, Taganrog 347928, Russia; phone: +78634371606; the department of higher mathematics; head of department; associate professor.

Tretyakova Maria Valerievna - student.

УДК 519.85:004.421

АЛ. Попов

ПОИСК РЕШЕНИЯ КАК ПУАССОНОВСКИЙ ПРОЦЕСС

, , решения тестовых заданий можно было рассматривать как однородный во времени (mac-) . времени, необходимого для поиска верных ответов на тестовые задания, позволяют сделать заключение о том, что все эти эмпирические распределения принадлежат к хорошо известному классу гамма распределений. Плотность гамма распределения зависит от двух : -ность тестового задания, а параметр X, который имеет размерность обратного времени, ассоциируется с уровнем подготовленности испытуемого.

Время поиска решения тестовых заданий; однородный во времени процесс; сравнение эмпирических распределений с теоретическими зависимостями.

A.P. Popov

SEARCH OF SOLUTION AS POISSON’S PROCESS

There are discussed conditions which must be satisfied for one can consider the search of test tasks solutions as time homogenous (Poisson's) stochastic process. Careful studying of empirical distributions of times required for searching of true answers on test tasks allows making conclusion that all these empirical distributions are possessed to well known class of gamma distributions. Density of gamma distributions depends on two parameters: in framework of model dimen-sionless parameter is interpreted difficulties of test task, and parameter , which has a dimension of inverse time, is associated with level of training of participant of trial.

Times of search of test tasks solutions; time homogenous process; comparison of empirical distributions with theoretical dependences.

Введение. В работе [1] была предложена модель тестирования, основанная на предположении, что поиск решения тесовых заданий является однородным во времени (пуассоновским) стохастическим процессом, а распределение времени поиска решения тестовых заданий зависит всего от двух параметров. Безразмерный параметр а интерпретируется как трудность тестового задания, а имеющий размерность обратного времени параметр X ассоциируется с уровнем подготов-.

. ,

верного решения тестового задания является случайной величиной, подчиняющейся гамма-распределению [4-5]:

, _( 0 1

/ (а,Л, г) = -

Г(а)

— X г. -е X .

(1)

Прямая проверка показывает, что при фиксированном значении параметра X свертка двух гамма распределений вновь является гамма распределением:

|/(, Л,г - г')/(а2,Л, г')йг' = /( + а2,Л, г),

(2)

что согласуется с принятым предположением об однородности во времени процесса поиска решения тестовых заданий.

Характеристическая функция гамма-распределения [4-5]:

/ е\-а

р(а,Л,£) = [/( (х1,Л, г) ехр(^г) йг = 1

о V

1 - і

Л

удовлетворяет функциональному уравнению:

(р(ах,Л,,Л,Е) _ (р(а1 +а2,Л,£).

(3)

(4)

Рис. 1. Плотность гамма-распределения для значений а = 1, 2, 3, 4 при фиксированном значении X = 0,1 с1 (время указано в секундах)

При а > 1 зависимость плотности гамма-распределения от времени имеет , :

а-1

0

Математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение гамма-распределения равны [5]:

/ \ О / \ у[О /¿г-,

<0=— rt)=—■ (6)

Используя (6), можно связать трудность тестового задания с математическим ожиданием и среднеквадратичным отклонением времени поиска решения задания:

Г /л л2

(7)

О =

il

o/t)

\ У) /

Функциональному уравнению (4), которое, как и уравнение (2), выполняется для любого пуассоновского процесса, удовлетворяет не только характеристическая функция (3), но и любая функция вида

/ / £\\а

р/х,Л,£) =

(8)

Заданная на вещественной числовой оси функция g(Ç) должна быть непрерывной и положительно определенной, и удовлетворять условию нормировки g(0) = 1. Эти достаточно слабые ограничения являются следствием известной теоремы Бохнера-Хинчина [5]. Таким образом, однородность во времени процесса поиска решения не определяет однозначно распределение времени поиска решения тестовых заданий. Предпочтение, отданное гамма-распределению, на эвристическом уровне можно объяснить соображениями простоты, но на самом деле этот выбор требует эмпирического обоснования.

Процедура обработки данных. Созданная в отделе контроля качества образования система компьютерного тестирования АЛЬФА фиксирует не только правильность решения тестовых заданий, но и время, затраченное на их решение. После завершения каждой сессии компьютерного тестирования формируются два , :

%.j j i = 1,2,... n j = 1,2,...N, (8)

ît j i = 1,2,...n j = 1,2,...N, (9)

где n - число заданий в индивидуальных тестах, N - число студентов, принявших участие в сессии тестирования.

Входящий в систему компьютерного тестирования АЛЬФА модуль обработки использует процедуру, основанную на принципе максимального правдоподо-.

l{o — t) = £ £ Xij Ц/ (о ,—, tu )) . (10)

i=1 j=1

Необходимые условия максимума функции (10) приводят к системе нормальных уравнений правдоподобия:

1 N

V(o) =—'Zxu Ь—,j) i = 1,2,..л, (11)

N j=i

Ё я,/

о

Л. = J=------------- j = 1,2,...N, (12)

j n J

Ё ^i, /■

¡,j ',j =1

где N - число испытуемых, верно решивших ье задание; \|/(а) - пси функция Эйлера.

Решая систему уравнений (11 - 12) методом итераций, можно найти наиболее вероятные значения трудности тестовых заданий и уровня подготовленности испытуемых. Формула (7) используется здесь лишь для определения стартовых значений трудности тестовых заданий. Приобретенный нами опыт показывает, что для достижения относительной точности порядка £ ~ 0,01, вполне достаточной с практической точки зрения, обычно хватает 20 - 25 итераций.

Время поиска верного решения. Ниже приведены результаты тестирования , 46

.

, 20 .

Рис. 2. Распределение времени поиска верного решения заданий

На рис. 2 для четырех наугад выбранных заданий показаны гистограммы эмпирического распределения времени выхода на верное решение тестовых заданий вместе с нанесенными на них графиками теоретической зависимости (1). В подписи к каждому графику указан номер тестового задания, вероятность верного реше-, , решивших это задание.

, -тового задания в данной сессии тестирования должно получаться в результате усреднения распределений тех участников сессии, которые верно решили данное :

1 N

$1 (О = 77 ( ,Л;, О 1 = 1,2,"Л. (13)

Ni ;=1

, (13)

совпадает с распределением, полученным усреднением уровня подготовленности испытуемых, верно решивших задание:

Именно распределение (14) использовалось нами при сравнении эмпирического распределения времени, затраченного испытуемыми на решение тестовых , . -пределения (13) распределением (14) не удалось, хотя некие эвристические доводы в пользу возможности использования такой замены в качестве допустимой аппроксимации распределения (13), все же имеются.

Отметим также, что, несмотря на относительно небольшой объем выборки, эмпирические распределения времени поиска решения тестовых заданий согласуются с теоретической зависимостью гораздо лучше, чем следовало ожидать на основе априорных оценок границ для значений плотности эмпирических распределений. Хорошее

(1)

и ранее [1-3], причем на выборках самого разного объема, полученных при обработке данных тестирования по широкому спектру дисциплин - от психологии, истории и русского языка до химии, физики, линейной алгебры и информатики.

Время поиска неверного решения. В заключение обсудим еще одну эмпирически установленную закономерность. Уже на начальном этапе работы с новой моделью тестирования нами был обнаружен любопытный и до некоторой степени : ,

заданий подчиняется тем же самым закономерностям, что и процесс поиска верного решения. Так, время выхода на неверное решение тестовых заданий оказывается случайной величиной, которая также подчиняется гамма-распределению (разу, ):

Сложности возникли не при поиске разумной интерпретации обнаруженной за,

параметрам. Параметр р мы назвали трудностью поиска неверного решения, а второй параметр ц получил условное название уровня неподготовленности испытуемых.

На рис. 3 для тех же четырех заданий показаны гистограммы эмпирического распределения времени выхода на неверное решение тестовых заданий вместе с нанесенными на них графиками теоретической зависимости (15). В подписи к каждому графику указан номер тестового задания, вероятность неверного решения , , , неверно решивших это задание.

. -тирования позволяют сделать следующие выводы:

1. ,

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

считать однородным во времени (пуассоновским) стохастическим про.

2. ( )

, .

3. -

как трудность выхода на верное (неверное) решение тестового задания.

4. - , -

мени, ассоциируется с уровнем подготовленности (неподготовленности)

.

(15)

1 13. q = 0,61 3 = 4,0 ц = 0,102 с 1 1 20. q = 0,65 3 = 4,1 ц = 0,088 с 1

Рис. 3. Распределение времени выхода на неверное решение заданий

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. По пов АЛ., Богомолов А А., Попова Л.А. Новая математическая модель тестирования // Наука и образование. - 2005. - № 3. - C. 221.

2. Попов АЛ. Новое направление в теории тестирования // Известия ЮФУ. Педагогические науки. - 2008. - № 1-2. - С. 24.

3. . ., . ., . .

тестирования // Грани познания: электронный журнал. - ВГПУ, 2009. - № 4 (5). URL: http: // www.grani.vspu.ru.

4. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. - М., 1988. - 448 с.

5. . ., . ., . ., . . -

ятностей и математической статистике. - М., 1985. - 640 с.

Статью рекомендовал к опубликованию д.т.н., профессор АЛ. Чукарин.

Попов Александр Петрович - Педагогический институт федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет»; e-mail: [email protected]; 344068, г. Ростов-на-Дону, ул. Криворожская, 57, кв. 20; тел.: +79094412895; отдел контроля качества образования;

.

Popov Alexander Petrovich - Federal State-Owned Autonomy Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”; e-mail: [email protected]; 57, ap. 20, Krivorozhskaya street, Rostov-on-Don, 344068, Russia; phone: +79094412895; the department of education quality control; chief.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.