ПОИСК ОБЛАСТЕЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ КИНЕТИЧЕСКИХ КОНСТАНТ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ ПРОЦЕССОВ БЕЗОБРЫВНОЙ ПОЛИМЕРИЗАЦИИ ДИЕНОВ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Информатика, вычислительная техника и управление

DOI 10.36622^Ти.2021.17.1.001 УДК 544.42

ПОИСК ОБЛАСТЕЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ КИНЕТИЧЕСКИХ КОНСТАНТ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ ПРОЦЕССОВ БЕЗОБРЫВНОЙ ПОЛИМЕРИЗАЦИИ ДИЕНОВ

Э.Р. Гиззатова1, А.С. Исмагилова2, С.Л. Подвальный3

^терлитамакский филиал Башкирского государственного университета,

г. Стерлитамак, Россия 2Башкирский государственный университет, г. Уфа, Россия 3Воронежский государственный технический университет, г. Воронеж, Россия

Аннотация: рассматриваются процессы полимеризации на катализаторах Циглера-Натта. Исследован вопрос о механизме процессов как необходимом наборе элементарных стадий кинетической схемы. Приведена общая схема допустимых стадий процесса, включающая стадии инициирования, роста цепи, передач цепи и обрыва цепи. Указано, что часть элементарных реакций может быть убрана из кинетической схемы за счет способа приготовления самого катализатора, а часть - на основании получаемых кинетических зависимостей. Но гипотеза о наличии или отсутствии элементарных стадий может быть доказана не только экспериментальным, но и вычислительным путем. Приводимые в работе табличные данные свидетельствуют о практически нулевом значении константы скорости элементарной стадии материального обрыва цепи - дезактивации активных центров, что, в свою очередь, вызывает оптимизацию кинетической схемы. Тогда рассматриваемые процессы могут быть отнесены к типу безобрывной полимеризации. Составление кинетической и математической моделей для исследуемых процессов позволяет поставить прямые и обратные кинетические задачи. Решение последних может быть получено методом многократного решения прямых кинетических задач и сравнения расчетных значений молекулярных характеристик с их экспериментальными аналогами. Однако целесообразнее проводить предварительный этап нахождения областей локальных минимумов по оптимизируемым значениям констант путем построения базисной поверхности и при поиске допустимых наборов значений констант скоростей оперировать найденными областями минимумов

Ключевые слова: полимеризация, кинетическое моделирование, математическая модель, кинетические константы, метод моментов

Введение

Теоретическое исследование и экспериментальное изучение процессов полимеризации с использованием катализаторов Циглера-Натта имеют огромное практическое значение, поскольку их применение связано с производством наиболее массовых изопреновых и бутадиеновых каучуков. Интересен вопрос о механизме процессов полимеризации, проводимых в промышленных условиях в каскадно-реакторных схемах. Зачастую именно механизм процесса определяет основные физико-механические свойства получаемого полимерного продукта [1, 2], которые определяются молекулярно-массовым распределением полимера.

Задача выяснения механизма полимеризации может быть решена кинетическим модели-

© Гиззатова Э.Р., Исмагилова А.С., Подвальный С.Л., 2021

рованием. В этом случае определяется минимальный набор элементарных реакций, необходимых для математического описания процессов полимеризации. При этом каждая реакция сопоставляется с константой скорости. В работах [3, 4] показана кинетическая схема, общая для класса процессов растворной полимеризации, включающая следующие элементарные стадии: образование активного центра, рост цепи, обрыв цепи и передачу цепи на агент смеси, при этом каждая стадия может проходить по различному механизму. Применяя методы кинетического моделирования, выстраивается модель процесса, включающая скорости элементарных реакций и стехиометрическую матрицу участия каждого реагента в той или иной стадии реакции.

Набор элементарных реакций со своими константами скоростей характеризует кинетику процесса. Но зачастую значения констант скоростей элементарных стадий неизвестны, поэтому их находят методами идентификации моделей, часто называемыми обратными кине-

тическими задачами, путем их (констант) поиска [1, 3, 5, 6] различными оптимизационными алгоритмами. Всякое усложнение модели за счет введение новых стадий осуществляется только после дополнительных экспериментальных исследований [7]. Важным фактором адекватности решения становится предварительное определение областей локализации оптимальных наборов значений констант. Используя методы нахождения базисов химических систем [8], можно определить п-мерную поверхность и ее сканированием определить требуемые области.

Таким образом, применяя методы кинетического и математического моделирований, определяются механизм полимеризационных процессов и оптимальные наборы значений кинетических констант элементарных стадий, входящих в номинальную кинетическую схему процесса растворной полимеризации изопрено-вых и бутадиеновых каучуков на катализаторах Циглера-Натта.

Поиск оптимальной кинетической схемы процесса полимеризации

Процесс полимеризации диеновых каучу-ков на катализаторах Циглера-Натта в общем случае проводится в четырех элементарных стадиях [1, 5, 9], тогда соответствующая кинетическая схема может быть представлена как: стадия инициирования

(1)

R. + M -1

P. + R 1 i

(5)

I 11 >2R0 стадия роста цепи

R, + M-R

i +1 '

стадия передачи цепи на агент

R + Agent kAgent > Pi + R1, стадия спонтанного обрыва цепи

R

desact

-»P.. 1

(2)

(3)

(4)

Однако так как стадия инициирования активных центров иногда проводится отдельно с мономером, что ведет к увеличению числа стабильных активных центров и формированию наиболее активного каталитического комплекса, то указанную стадию можно исключить из кинетической схемы [9], т.н. мгновенное инициирование.

В качестве агентов-передатчиков чаще выступают мономер и алюминийорганическое соединение, тогда в кинетическую схему будут включены две элементарные стадии: передачи цепи на мономер М

передача цепи на алюминииорганическое соединение A (АОС)

R. + Ai

P + R 1 1

(6)

Стадия дезактивации в полимеризацион-ной системе напрямую связана с ее кинетической активностью. Этот параметр, обозначаемый как а , при отсутствии указанной стадии в кинетической схеме остается постоянным на протяжении всего процесса полимеризации. Он определяется произведением константы скорости роста цепи kp и концентрацией активных

центров сАС, поэтому вариация значения а следует из изменения последней. Если же концентрация САС в ходе процесса меняется, то будет меняться активность каталитической системы. Однако в ходе натурного эксперимента активность системы во времени не определяется, поэтому ее вариативность теоретически «проверяют» поведением кривой по конверсии.

Естественно полагать, что наличие или отсутствие той или иной стадии в кинетической схеме должно согласовываться с химизмом исследуемого процесса.

Используя методы математического моделирования, вопрос учета стадии дезактивации активных центров сводится к решению обратной кинетической задачи поиска значения ее константы скорости км [3]. При этом в качестве значений констант скоростей остальных элементарных стадий могут быть приняты соответствующие значения, полученные в ходе натурного эксперимента [5].

Применяя законы химической кинетики и методы математического моделирования, выписывается математическая модель процесса на основании (2), (5), (6), (4). Применяя метод моментов [1], получают автономную систему из конечного числа обыкновенных дифференциальных уравнений:

= ~м + ^о )(к1 р + км)

^ = " Ак1А ^1 + ^0 )

м dR

—1 = -kpMRi + kMM^o + ^aA^o " kdRi dt

dP

—1 = kMMRi + kAARx + kdRi dt

duo

— = kpMRi - kMMUo - kAAUo - kdUo = kMMUo + kAAUo + kd Uo

dt

= M (0), Л(0) = Л(0), R¡0) = .R1(0),

(8)

с начальными данными:

м(0)

^(0) = Ло(0) = ^о(0) = 0

В системе (7)-(8) за моменты нулевого порядка /л0 и А0 молекулярно-массового распределения [1] приняты следующие выражения:

^0

I *

i=2

(9)

Используя момент нулевого порядка для активных цепей ц0 и концентрацию активных цепей с единичной длиной звена R1, можно представить концентрации активных центров САС как следующую сумму:

С АС = Rl + »0 (10)

Решают обратную кинетическую задачу, связанную с вопросом о наличии или отсутствии стадии дезактивации активных центров в кинетической схеме путем сопоставления расчетных и экспериментальных зависимостей по конверсии мономера и(0 :

(11)

Z (kd) = I " Uf f.

з=1

Тогда для минимизации функционала (11) необходимо решать систему дифференциальных уравнений (12), полученную из уравнений (7), характеризующих скорости изменения концентраций веществ м, R1 и . Но, с учетом (10), новая система (12) будет содержать только два уравнения для м и САС :

Ам = -МС АС (к„ + kм) А М', (12)

,САС = к С

■ = -к,С А

dt

d ЛС

Поскольку однопараметрическая оптимизация дает достаточно высокую точность расчетов по любому численному явному методу, то метод, используемый при оптимизации целевой функции (11), не имеет значения.

Численное решение задачи поиска значения kd было получено для каталитической системы NdCl3 - 3ТБФ - ТОА при M(0)=1,5 моль/л. Данные, приводимые в табл. 1, являются результатами решения обратной кинетической задачи поиска значения константы скорости дезактивации АЦ.

Таблица 1

Результаты решения обратной кинетической задачи поиска значения кА

Слс (0) kP kM kd

0.00065 17.4 0.024 1х10"8

Данные из табл. 1 свидетельствуют, что значение кА на порядки меньше значений других констант и близко к нулю. Однако только согласованность расчетов системы (7)-(8) с учетом и без учета константы кА может доказывать состоятельность гипотезы о наличии стадии дезактивации АЦ в кинетической схеме.

На рис. 1 приведены графические зависимости по конверсии для исследуемой каталитической системы.

Видно, что зависимость по конверсии мономера, рассчитанная с учетом константы скорости дезактивации АЦ, согласована по значениям с конверсией мономера, полученной при постоянном значении кинетической активности полимеризационной системы.

Рис. 1. Графические зависимости по конверсии мономера

для каталитической системы NdCl3 - 3ТБФ - ТОА. Точками указаны экспериментальные значения. Сплошная и пунктирная линии, соответственно, зависимости U(t), полученные без учета и с учетом стадии дезактивации в кинетической схеме процесса полимеризации

Решение обратной кинетической задачи поиска значения константы скорости дезактивации АЦ, представленное на рис. 1, доказывает, что соответствующая стадия может быть исключена из кинетической схемы процесса. Аналогичный вывод может быть получен путем оценки чувствительности модели с использованием методов сопряженных состояний [10]. Таким образом, решена задача детерминизации механизма процесса полимеризации и кинети-

i=2

ческая схема полимеризационного процесса для катализаторов Циглера-Натта может быть записана в трех элементарных стадиях (2), (5) и (6).

Нахождение областей неопределенностей при решении обратных кинетических задач

Обратные кинетические задачи для процессов полимеризации наряду с целью определения минимально допустимого механизма сводятся к поиску областей неопределенностей значений кинетических констант скоростей элементарных стадий [1,3,5,10]. Связано это, прежде всего, с двумя очень важными обстоятельствами: неполной наблюдаемостью в процессе экспериментальных исследований и большой погрешностью измерения молекулярных показателей (до 10 % и более).

Для процесса полимеризации, представляемого укороченной кинетической схемой (2), (5), (6), искомые константы будут САС (0), кр,

км, к

И1 = Е^, = Ег2^

(14)

А

К тому же, фиксируя значение кинетической активности полимеризационной системы а, можно, варьируя параметр кр, напрямую

рассчитывать параметр САС (0). Тогда обратная кинетическая задача будет заключаться в поиске соответствующих трех кинетических констант скоростей элементарных стадий.

Поскольку экспериментально получаемыми кривыми являются зависимости по средне-численной и среднемассовой молекулярным массам, то их можно использовать в качестве целевых функций оптимизационной задачи. Количественной характеристикой образующихся глобул полимера является средняя длина цепи, которую характеризует значение средне-численной молекулярной массы, именно оно может быть использовано в качестве критерия оптимизации.

Тогда функционал соответствия расчетных и экспериментальных значений среднечислен-ных молекулярных масс записывается в виде суммы квадратов разностей [3,9]:

7(кр,км,кА) = Е Мп7 - МпТ1с )2 . (13)

3 =1

Для нахождения значений функционала (13) уравнений в системе (7)-(8) недостаточно, поэтому ее дополняют моментами 1-го и 2-го порядков активных и неактивных цепей:

Ч = Е Р, ¿2 = Ег 2р

г=2 1=2

и приводят к виду:

МММ =~М + Ц )(к1 р + кМ )

М = ~ Ак1А (R1 + ^0) (15)

dR

= -kpMRl + кмМ^0 + кАА^01

МР- = kмMRl + kAARl

Мг

^ = kpMRl - кмм^0 - кАА^0 М- = 2kpMRl + крм^0 - кмм^1 - кАА^1 ^ = 4kpMRl + крм^0 + 2крм^1 - кмм^2 - кАА^ = кмм^к + кАА^к к = 0,1,2

Мг

с начальными данными:

м(0) = м (0), А(0) = А(0), R1(0) = R1(0), (16) Р1(0) = 4 (0) = Цк (0) = 0, к = 0,1,2 Согласно статистической теории полимеризации, средние молекулярные массы могут быть найдены как отношения [1]:

ц(г) + )

(17)

(г) + Ч (г)

мм> (г) = т1

мп (г) = т

М*) + Ч)(г) И2(г) + Ч(г)

Ц(г) + )

где т - молекулярная масса мономера.

Применяя численные методы, можно решить обратную кинетическую задачу для процесса полимеризации бутадиена на каталитической системе NdCl3 - 3ТБФ - ТОА. Результаты решения приведены в табл. 2 в виде областей неопределенностей по значениям констант.

Таблица 2

Области неопределенностей кинетических констант, найденных при решении обратной кинетической задачи

Сас х 104 кР км кА

[4,9;-6,5] [17,3;-22,9] [0,021;-0,055] [1,3;-2,9]

Анализируя данные табл. 2, можно заметить, что часть констант имеет большие значения относительных погрешностей, это можно связать с тем, насколько чувствительны значения среднечисленной молекулярной массы к их изменениям.

Таким образом, решение обратной кинетической задачи поиска областей неопределенно-

г=2

г=2

стей для кинетических констант скоростей может быть получено путем многократного решения системы дифференциальных уравнений (15) с начальными данными (16) при различных исходных модельных значениях кинетических констант скоростей элементарных стадий, входящих в кинетическую схему процесса.

Определение базисных функций и локализация участков исходных значений кинетических констант

Поиск оптимального набора кинетических констант неизменно ведет к множественным вычислительным экспериментам [5,9]. Связано это с тем, что задачи многокритериальной и многопараметрической оптимизации для поли-меризационных процессов относятся к классу некорректно-поставленных задач, что, в свою очередь, ведет к значительным неопределенностям при поиске оптимизируемых параметров [1].

С этой целью выстраиваются алгоритмы и способы разделения задач на подзадачи, методы предварительной локализации участков допустимых значений оптимизируемых констант или методы сужения областей неопределенностей искомых параметров.

Одним из методов описания предварительной кинетики процесса является метод определения базисных функций [8].

Для его реализации рассматривается математическая модель процесса в виде системы дифференциальных уравнений (15). Поскольку метод аналитический, то находятся в ектор -функции системы:

/1 = (М', А',Я), /2 = (*1, Ц0) = У (18)

к = (кр , км и матрица и как

Ьс2

(19)

и =

3/1 5/1

дк' ду

ду

дк'

(20)

Анализ последней позволяет выделить линейно независимые столбцы, которые и представляют собой искомый базис процесса:

Р1(к') = кА (1 + £2) , (21)

р2(к') = кр (1 + £1)км (1 + £1). (22)

Базисные функции (21)-(22) показывают, что рассматриваемый полимеризационный процесс зависит от двух исходных веществ -

М и А, с которыми связаны, соответственно, произведение кинетических констант кр, км и

одна кинетическая константа кА .

Переходя к поверхности на рис. 2, представляемой значениями функционала (13) и построенной на векторах базисных функций (21)-(22), можно получить картину ее локальных изменений в зависимости от задаваемых значений кинетических констант скоростей элементарных стадий процесса полимеризации.

Рис. 2 показывает изменение линий уровня поверхности. Видны контуры изменения и локализация максимумов функции, то есть, практически, те значения кинетических констант, которые могут быть исключены из области допустимости получаемых в дальнейшем решений обратной кинетической задачи.

Следует отметить, что задача алгоритмически разрешима при любом размахе варьирования значений кинетических констант, к тому же точность локализации будет выше с задаваемым увеличением точности изменения значений самих констант.

Рис. 2. Базисная поверхность, рассчитанная на области определения (кр'км) х кА: ([10;30] ■ [0.014;0.038]) х [1.0;2.1]

Следовательно, определяя базисные нелинейные параметрические функции процесса, можно перейти к построению базисной поверхности и нахождению участков допустимых решений обратных кинетических задач.

к

1

Выводы

Исследования процессов полимеризации в большинстве своем сводятся к определению кинетики процесса и нахождению минимального набора кинетических параметров [1, 8, 9], влияющих на поведение молекулярных характеристик и соответственно связанных с ними физико-механических параметров полимера в условиях производства, что всегда является конечной целью моделирования.

Основной кинетической кривой, получаемой в ходе натурного эксперимента, является кривая молекулярно-массового распределения. Ее количественные показатели, такие как среднечисленная и среднемассовая молекулярные массы характеризуют статистическую длину цепи и массу готового полимерного продукта, поэтому именно они используются в качестве идентификаторов при нахождении значений кинетических констант скоростей элементарных стадий. Указанные константы являются частью кинетической модели, предопределяют всю кинетику и характеризуют механизм поли-меризационного процесса.

Литература

1. Подвальный С.Л. Моделирование промышленных процессов полимеризации. М.: Химия, 1979. 350 с.

2. Синтетический каучук / под ред. И.В. Гармонова. Изд. 2-е. Л.: Химия, 1983. 559 с.

3. О решении обратной задачи формирования моле-кулярно-массовых распределений при ионно-

координационной полимеризации / Т.С. Усманов, И.К. Гатауллин, С.М. Усманов, С.И. Спивак, Ю.Б. Монаков // Доклады АН. 2002. Т. 385. № 3. С. 368-371.

4. Монаков Ю.Б., Муллагалиев И.Р., Харитонова Е.Ю. Кинетические параметры полимеризации бутадиена на каталитической системе VOClз - диалкилмагний // Высокомолекулярные соединения. Сер. А. 2002. Т. 44. № 2. С. 220-225.

5. Гатауллин И.К. Математическое моделирование кинетически неоднородных неодимсодержащих каталитических систем в ионно-координационной полимеризации бутадиена: автореф. дис. ... канд. хим. наук: 02.00.17. Уфа, 2004. 22 с.

6. Математическое моделирование процесса синтеза бутадиенового каучука на неодимсодержащей каталитической системе / Г.А. Аминова, Г.В. Мануйко,

B.В. Бронская, Т.В. Игнашина, А.И. Исмагилова, Г.С. Дьяконов // Высокомолекулярные соединения. Сер. А. 2006. Т. 48. № 8. С. 1495-1501.

7. Кинетическая неоднородность активных центров при полимеризации бутадиена на титансодержащих катализаторах / И.Р. Миргалиева, И.Р. Муллагалиев, Е.А. Глухов, Ю.Б. Монаков // Известия ВУЗов. Химия и химическая технология. 2008. Т. 51. Вып. 6. С. 72-75.

8. Хурсан С.Л., Исмагилова А.С., Ахметьянова А.И. Определение базиса гомодесмотических реакций циклических органических соединений с использованием теории графов // Журнал физической химии. 2018. Т. 92. № 7.

C. 1076-1085.

9. Гиззатова Э.Р., Подвальный С.Л., Спивак С.И. Поиск кинетических констант при моделировании процессов полицентровой безобрывной полимеризации диенов // Вестник Воронежского государственного технического университета. 2020. Т. 16. № 5. С. 14-18.

10. Подвальный С.Л. Многоальтернативное управление экспериментом с использованием моделей сопряженных систем // Вестник Воронежского государственного технического университета. 2016. Т. 12. № 4. С. 19-25.

Поступила 08.01.2021; принята к публикации 18.02.2021 Информация об авторах

Гиззатова Эльвира Раисовна - д-р физ.-мат. наук, профессор, Стерлитамакский филиал Башкирского государственного университета (453103, Россия, Республика Башкортостан, г. Стерлитамак, проспект Ленина, 49), e-mail: makella@rambler.ru, тел.:+7(917)424-15-55

Исмагилова Альбина Сабирьяновна - д-р физ.-мат. наук, доцент, заведующий кафедрой управления информационной безопасностью, Башкирский государственный университет (450076, Россия, Республика Башкортостан, г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32), e-mail: ismagilovaas@yandex.ru, тел.: +7(917)787-33-55

Подвальный Семен Леонидович - д-р техн. наук, профессор, Воронежский государственный технический университет (394006, Россия, г. Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84), e-mail: spodvalny@yandex.ru, тел. +7(929)011-21-53

SEARCH FOR UNCERTAINTY REGIONS OF KINETIC CONSTANTS IN MODELING PROCESSES OF NON-BREAK POLYMERIZATION OF DIENES

E.R. Gizzatova1, A.S. Ismagilova2, S.L. Podvalny3

^terlitamak Branch of Bashkir State University, Sterlitamak, Bashkortostan Republic, Russia 2Bashkir State University, Ufa, Bashkortostan Republic, Russia 3Voronezh State Technical University, Voronezh, Russia

Abstract: this paper considers the processes of polymerization on Ziegler-Natta catalysts. The question of the mechanism of the processes as a necessary set of elementary stages of the kinetic scheme is investigated. A general scheme of the permissible stages of the process is given, including the stages of initiation, chain growth, chain transfers and chain termination. It is indicated that part of the elementary reactions can be removed from the kinetic scheme due to the method of preparation of the catalyst itself, and part on the basis of the obtained kinetic dependences. However, the hypothesis about the presence or absence of elementary stages can be proved not only experimentally but also computationally. The tabular data presented in the work indicate a practically zero value of the rate constant of the elementary stage of material chain termination - deactiva-tion of active centers, which, in turn, leads to optimization of the kinetic scheme. Then the processes under consideration can be attributed to the type of non-break polymerization. Compilation of kinetic and mathematical models for the processes under study makes it possible to pose direct and inverse kinetic problems. The solution of the latter can be obtained by the method of multiple solution of direct kinetic problems and comparison of the calculated values of molecular characteristics with their experimental counterparts. However, it is more expedient to carry out the preliminary stage of finding the regions of local minima by the optimized values of the constants by constructing the base surface. When searching for admissible sets of values of the rate constants, operate with the found areas of minima

Key words: polymerization, kinetical modeling, mathematical model, kinetic constants, method of moments

References

1. Podvalnyy S.L. "Industrial polymerization process modeling" ("Modelirovanie promyshlennykh protsessov polimerizatsii"), Moscow, Khimiya, 1979, 350 p.

2. Garmonov I.V. ed. "Syntetical rubber" ("Sinteticheskiy kauchuk"), Leningrad, Khimiya, 1983, 559 p.

3. Usmanov T.S., Monakov Yu.B., Gataullin I.K., Usmanov S.M., Spivak S.I. "Solution of the inverse problem on the formation of molecular-weight distributions in ionic-coordination polymerization", Reports of Academy of Science (AN), 2002, vol. 385, no. 3, pp 368-371.

4. Monakov Yu.B., Mullagaliev I.R., Kharitonova E.Yu "The kinetic parameters of butadiene polymerization with a VOCl3-dialkylmagnesium catalyst system", High Molecular Weight Compounds (Vysokomolekulyarnye soedineniya), 2002, vol. 44, no. 2, pp. 220-225.

5. Gataullin I.K. "Mathematical modeling of kinetically inhomogeneous neodim-based catalytic systems in ion-coordination polimerization of butadiene" ("Matematicheskoe modelirovanie kineticheski neodnorodnykh neodimsoderzhashchikh katalitich-eskikh sistem v ionno-koordinatsionnoy polimerizatsii butadiena"), Cand. of Chemical Sci. diss., 02.00.17, Ufa, 2004, 22p.

6. Aminova G.A., Manuyko G.V., Bronskaya V.V., Ignashina T.V., Ismagilova A.I., D'yakonov G.S. "Mathematical modeling of butadiene rubber synthesis process on neodymium-containing catalyst system", High Molecular Weight Compounds (Vysokomolekulyarnye soedineniya), 2006, vol. 48, no. 8, pp. 1495-1501.

7. Mirgalieva I.R., Mullagaliev I.R., Glukhov E.A., Monakov Yu.B ."Kinetic heterogeneity of active centers at butadiene polymerization on titanium containing catalytic systems", Russian Journal of Chemistry and Chemical Technology (Izvestiya VUZov. Khimiya i khimicheskaya tekhnologiya), 2008, vol. 51, no. 6, pp. 72-75.

8. Khursan S.L., Ismagilova A.S., Akhmetyanova A.I. "Determining the basis of homodesmotic reactions of cyclic organic compoundsby means of graph theory", Russian Journal of Physical Chemistry (Zhurnal fizicheskoy khimii), 2018, vol. 92, no. 7, pp.1076-1085.

9. Gizzatova E.R., Podvalnyy S.L., Spivak S.I. "Search for kinetic constants in modeling the processes of polycenters non-break polymerization of dienes", Bulletin of Voronezh State Technical University (Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta), 2020, vol. 16, no. 5, pp 14-18.

10. Podvalnyy S.L. "Multialternative control of the eexperiment using conjugated systems", Bulletin of Voronezh State Technical University (Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta), 2016, vol. 12, no. 4, pp. 19-25.

Submitted 08.01.2021; revised 18.02.2021

Information about the authors

Elvira R. Gizzatova, Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Starlitamak Branch of Bashkir State University (49 Prospekt Lenina, Ster-litamak 453103, Bashkortostan Republic, Russia), e-mail: makella@rambler.ru, tel.: +7(917)424-15-55

Al'bina S. Ismagilova, Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Associate Professor, Bashkir State University (32 Zaki Validi str., Ufa 450076, Bashkortostan Republic, Russia), e-mail: ismagilovaas@rambler.ru, tel.: +7(917)787-33-55

Semyon L. Podvalny, Dr. Sc. (Technical), Professor, Voronezh State Technical University (84 20-letiya Oktyabrya str., Voronezh 394006, Russia), e-mail: spodvalny@yandex.ru, tel. +7(929)011-21-53