CC BY
1
УДК 519.6
А. И. Рябиков
Федеральный исследовательский центр «Информатика и управление» Российской академии наук
Поиск неподвижной точки монотонного отображения полуупорядоченного топологического пространства
Рассматривается задача поиска неподвижной точки непрерывного монотонного отображения топологического пространства в себя. Решение задачи основано на методе последовательных приближений. Доказывается теорема о необходимых и достаточных условиях сходимости итерационного процесса к одной из неподвижных точек отображения. В отличие от других работ, посвященных неподвижным точкам монотонных отображений, в предлагаемой теореме не требуется существование точной верхней грани у любого частично упорядоченного подмножества топологического пространства.
Ключевые слова: неподвижная точка, монотонное отображение, полу упорядоченное пространство, топологическое пространство, метод последовательных приближений
A.I. Ryabikov
Federal Research Center «Computer Science and Control» of the Russian Academy of Sciences
On finding fixed point of monotone mapping of partially ordered topological space
The problem of finding a fixed point of a continuous monotone mapping of a topological space into itself is considered. The solution of the problem is based on the fixed-point iteration method. A theorem on necessary and sufficient conditions for the convergence of the iterative process to one of the fixed points of the mapping is proved. Unlike other works devoted to fixed points of monotone mappings, the proposed theorem does not require the existence of a least upper bound for any partially ordered subset of a topological space.
Key words: fixed point, monotone mapping, partially ordered set, topological space, fixed-point iteration method
1. Введение
Существует большое число работ, посвященных приближению неподвижных точек отображений. Широко известен метод последовательных приближений (метод Пикара -Банаха [1], а также его варианты [2-4]. Различают два подхода к его обоснованию. В первом подходе [1-4] сходимость метода основана на сжимаемости отображений на всей области определения. Для случая многозначных отображений используется обобщенный принцип сжимаемости [5]. В работах [6-10] сходимость метода доказывается для отображений со специальными метрическими свойствами.
Во втором подходе требуется монотонность отображения. Классическим результатом в теории неподвижных точек монотонных отображений частично упорядоченных множеств является теорема Тарского [11] и ее развитие в виде теоремы Кнастера - Тарского [12],
© Рябиков А. И., 2023
(с) Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования
«Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)», 2023
в которой для существования неподвижной точки требуется существование точной верхней грани для любого линейно-упорядоченного подмножества отображаемого множества. Для непрерывных функций можно потребовать существование точной верхней грани лишь для любого счетного линейно-упорядоченного подмножества. Для таких функций верна теорема Тарского - Канторовича [13], на основе которой можно получить итерационный алгоритм поиска неподвижной точки. Обобщения результатов Тарского - Канторовича на случай поиска точек совпадений однозначных и многозначных отображений даны в работах [14] и [15]. Альтернативная совокупность требований для сходимости итерационного метода сформулирована Клини [16].
В данной работе рассматривается метод последовательных приближений в том случае, когда непрерывное и монотонное отображение задано на полуупорядоченном топологическом пространстве, причем существование точной верхней грани у любого частично упорядоченного подмножества не требуется. Получены необходимые и достаточные условия сходимости итерационного процесса приближения неподвижной точки отображения для любой начальной точки из некоторого подмножества.
2. Теорема о сходимости итерационных процессов
Рассмотрим задачу приближения неподвижной точки монотонного и непрерывного отображения / : X ^ X, необязательно удовлетворяющего требованию сжимаемости. Под X будем понимать топологическое пространство, в котором задано отношение частичного порядка. Предполагается, что топологическое пространство обладает некоторыми свойствами, связывающими его систему открытых множеств с отношением строгого порядка, а именно:
1) для любой возрастающей ограниченной последовательности И = [хп}+=°0 существует точная верхняя грань, являющаяся точкой прикосновения множества И]
2) для любых х < у интервал (х, у) является непустым связным множеством;
3) для любых х < у найдутся окрестности Ох и Оу точек х и у, такие, что каждый элемент Ох предшествует каждому элементу Оу,т.е. Ох — Оу.
Определение 1. Множество назовем ограниченным сверху, если любая возрастающая последовательность элементов этого множества ограничена.
Определение 2. Возрастающую последовательность {хп}+=0 назовем сходящейся к точке х* если последовательность имеет точную верхнюю грань х*.
Отметим, что в случае метрического пространства сходимость возрастающих последовательностей в смысле определения 2 совпадает с обычной сходимостью. Тем не менее в данной работе не предполагается метризуемость топологического пространства X и не требуется сходимость произвольной неупорядоченной последовательности элементов пространства.
Введем обозначение Bf = {х € X|/(х) > х}. Предположим, что Bf непустое множество. Рассмотрим итерацию метода последовательных приближений, т.е. изучим семейство последовательностей {хп}+=°0, порождаемых х0 € Bf и рассчитываемых согласно формуле
хп+1 = / (хп),п = 0,1,.... (1)
Сформулируем теорему о сходимости возрастающей последовательности {хп}+=01 где х0 € В}.
Теорема 1. Для того чтобы последовательность {хп}+=°0 для любого х0 € В^ сходилась к некоторой (может быть, зависящей от, х0) неподвижной точке х* отображения, f : X ^ X, необходимо и достаточно, чтобы существовала система попарно непересекающихся открытых и ограниченных сверху множеств, покрывающих Bf.
Доказательство. Необходимость. Обозначим через X* множество всех неподвижных точек, к которым сходятся последовательности, порождаемые начальными точками из Bf и рассчитываемые согласно формуле (1). Рассмотрим систему попарно непересекающихся множеств
их* = {хо е Bf | вир{/п(хо)} = ж*}, где х* е X*, (2)
покрывающих Bf. Очевидно, что любое множество из (2) является ограниченным сверху. Покажем теперь, что (2) - система открытых множеств.
Возьмем произвольное их* и рассмотрим интервал (жо, $(жо)), где Жо е их*. Для точек Жо и /(жо) найдутся окрестности Охо и 0$(жо) точек, такие, что Охо — 0$(жо). В силу непрерывности / множество вхо = /-10/(жо) П Охо является непустой окрестностью Жо и при этом Бхо — /(вхо)- В частности, будут выполнены неравенства Жо — /(вхо) и Бхо — f(жо). С учетом монотонности /, получим 8ир{/п(5жо)} = ж*, следовательно, окрестность точки жо лежит в их*. Необходимость доказана.
Достаточность. Пусть существует система попарно непересекающихся открытых и ограниченных сверху множеств, покрывающих Л/, т.е. Bf С У иа. Возьмем произвольную
а
точку жо е В^ Существование покрытия Л/ означает, что пайдется од, что жо е иао-Покажем, что все элементы последовательности {хп}+=°о лежат в множестве иао.
Из монотонности £ следует, что все точки хп и интервалы {хп, /(хп)), п = 0,1,..., лежат в Л/. Предположим, что на йдется щ, что т очки хП0 и / (хП0) лежат в различных непересекающихся открытых множествах иао и У иа из покрытия Bf. Интервал
а=ао
(хП0(хП0)) является непустым связным множеством, а значит, найдется точка из этого интервала, не принадлежащая ни иао, ни иа- Это противоречит тому, что интер-
а=ао
вал (хПо(хПо)) С Bf. Таким образом, все элементы возрастающей последовательности {хп}+=°о лежат в иао. Из ограниченности сверху множества иао следует существование х* = 8ир{жга}. Покажем теперь, что /(ж*) = ж*.
Действительно, хп < х*, п = 0,1,..., следовательно, /(ж*) является верхней гранью последовательности {хп}+=°о.
Пусть х* < f(х*). Как показано ранее, найдется окрестность Бх* точки ж*, что х* — £(Бх*). Точка ж* является точкой прикосновения множества {жп}+=о> а значит, найдется хПо е Ях*. Но это означает, что ж* < f (хпо). Получили противоречие с хПо+\ < х*. Таким образом, /(ж*) = ж*. Теорема полностью доказана. □
Замечание. Отметим, что множество и [хп(жга)] является подмножеством Bf. Таким
п
образом, отрезками \хп, /(жга)] можно строить внутреннюю аппроксимацию множества Bf.
Пример. Рассмотрим пример топологического полуупорядоченного пространства, не являющегося решеткой. Возьмем в качестве X круг с единичным радиусом на плоскости В2, в котором задано отношение строгого порядка по Слейтеру, т.е. ж < у, если XI < у г для всех г = 1, 2. Очевидно, что все три свойства топологического пространства выполняются. Рассмотрим монотонное и непрерывное отображение / : X ^ X
/(зд) = а (Х1 - \ , (3)
где к = а = 0.9. На рис. 1 пунктирной линией показана граница множества X. Серым цветом выделены попарно непересекающиеся открытые и ограниченные сверху множества, покрывающие Bf. В углах множеств отмечены неподвижные точки отображения (3).
Рис. 1. Множество В/ и неподвижные точки отображения (3)
Следствие 1. Пусть / : К+ ^ К+ - непрерывная функция, не убывающая по своему аргументу. Для того чтобы последовательность [хп}+=°0 для любого Хо € В,+ сходилась к некоторой (может быть, зависящей от хо) неподвижной точке ж * отображения /, необходимо и достаточно, чтобы для любого у > 0 бесконечный отрезок [у, не принадлежал Bf.
Доказательство. Необходилюсть. По теореме 1 существует система попарно непересекающихся открытых и ограниченных сверху множеств, покрывающих Bf. Это означает, что для любого у > 0 бесконечный отрезок [у, не принадлежит Bf. Необходимость доказана.
Достаточность. Итак, пусть для любого у > 0 бесконечный отрезок [у, не принадлежит Bf. Тогда найдется неограниченная возрастающая последовательность точек [Уп}п=о> не принадлежащих В^ Значит, существует система попарно непересекающихся ограниченных интервалов (уга, угащ), где п = 0,1,..., покрывающих В^. В случае 1, когда х0 € В^ следствие 1 доказано. В случае 2, когда f (ж0) < ж0, рассмотрим неубывающую функцию <^(х) = —/ (—ж) при х < 0. Множество В^ ограничено сверху, и по теореме 1 последовательность (жп}+=0 сходится к неподвижной точке функции Следствие 1 полностью доказано. □
3. Применение следствия теоремы 1 к прикладной задаче
В [17] рассматривается задача выбора правил управления каскадом водохранилищ. Выбор правил управления каскадом водохранилищ основан на вариантных расчетах, в рамках которых используется многошаговая динамическая модель каскада. Для проведения вариантного расчета требуется задать начальные значения объемов воды в водохранилищах. Тогда, используя балансовое уравнение и изучаемое правило управления, можно последовательно, начиная с самого верхних) водохранилища каскада, рассчитать величины попусков через плотины и объемы воды во всех водохранилищах на шаг вперед. Проблема состоит в том, что различие начальных и конечных объемов воды на траектории, построенной для заданных параметров правил управления, означает использование дополнительного водного ресурса (или его экономию) и делает различные варианты параметров несравнимыми. В работе [18] сформулирована зависимость конечного объема воды от начального в виде непрерывной и монотонной функции / неотрицательного аргумента и предложен алгоритм нахождения подходящих значений начальных объемов воды в водохранилищах на основе метода последовательных приближений. Следствие 1 позволило получить важные результаты при решении задачи выбора правил управления каскадом водохранилищ:
обосновать алгоритм поиска подходящих значений начальных объемов водохранилищ и сформулировать условие безопасности правил попуска.
4. Заключение
Доказанная теорема 1 обосновывает существование неподвижной точки отображения /. Отметим, что неподвижная точка в общем случае может быть не единственной и зависеть от выбора начальной точки итерационного процесса.
Автор благодарит Кукушкина Николая Серафимовича за помощь в подготовке статьи.
Список литературы
1. Petrusel A. Fixed point theory: the Picard operators technique // Seminar of Mathematical Analysis. Proceedings of the lecture notes of the seminar. 2004. P. 175-193.
2. Красносельский M.A. Два замечания о методе последовательных приближений // Успехи математических наук. 1955. Т. 10, № 1. С. 123-127.
3. Mann W.R. Mean value methods in iteration // Proc. Amer. Math. Soc. 1953. V. 44. P. 506-510.
4. Ishikawa S. Fixed points by a new iteration method // Proc. Amer. Math. Soc. 1974. V. 44. P. 147-150.
5. Арутюнов А.В., Гельман Б.Д. Минимум функционала в метрическом пространстве и неподвижные точки // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2009. Т. 49, № 7. С. 1167-1174.
6. Browder F.E., Petryshyn W. V. Construction of Fixed points of nonlinear mappings in Hilbert space 11 J. Math.Anal. Appl. 1967. V. 20, N 2. P. 197-228.
7. Chidume C.E. Geometric Properties of Banach Spaces and Nonlinear Iteration. Springer, 2009.
8. Chidume C.E., Maruster St. Iterative methods for the computation of fixed points of demicontractive mappings //J. Comput. Appl. Math. 2010. V. 234, N 3. P. 861-882.
9. Fukhar-ud-din H., Khan A.R., Akhtar Z. Fixed point results for a generalized nonexpansive map in uniformly convex metric spaces // Nonlinear Anal. 2012. V. 75, N 13. P. 4747-4760.
10. Berinde V. Convergence theorems for fixed point iterative methods defined as admissible perturbations of a nonlinear operator // Carpathian Journal of Mathematics. 2013. V. 29, N 1. P. 9-18.
11. Berinde V. Iterative Approximation of Fixed Points. Berlin : Springer, 2007.
12. Abian S., Brown A.B. Convergence theorems for fixed point iterative methods defined as admissible perturbations of a nonlinear operator // Canadian Journal of Mathematics. 1961. V. 13. P. 78-82.
13. Granas A., Dugundji J. Fixed point theory. Springer-Verlag, 2003.
14. Arutyunov A. V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Coincidence points principle for mappings in partially ordered spaces // Topology and its Applications. 2015. V. 179. P. 1333.
15. Arutyunov A. V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Coincidence points principle for set-valued mappings in partially ordered spaces // Topology and its Applications. 2016. V. 201. P. 330-343.
16. Stoltenberg-Hansen V., Lindstrom I., Griffor E.R. Mathematical theory of domains. Cambridge University Press, 1994.
17. Лотов А.В., Рябь,ков А.И., Болгов М.В., Бубер А.Л. Использование границы Иарето при поиске компромиссных правил регулирования уровня озера Байкал // Искусственный интеллект и принятие решений. 2022. № 3. С. 72-87.
18. Рябиков А.И. Сходимость итерационных процессов в модели каскада водохранилищ // Вестник Бурятского ГУ. Математика, информатика. 2019. № 4. С. 31-39.
References
1. Petrusel A. Fixed point theory: the Picard operators technique. Seminar of Mathematical Analysis. Proceedings of the lecture notes of the seminar. 2004. P. 175-193.
2. Krasnoselsky M.A. Two remarks about the method of fixed-point iterations. Advances in Mathematical Sciences. 1955. V. 10, N 1. P. 123-127. (in Russian).
3. Mann W.R. Mean value methods in iteration. Proc. Amer. Math. Soc. 1953. V. 44. P. 506510.
4. Ishikawa S. Fixed points by a new iteration method. Proc. Amer. Math. Soc. 1974. V. 44. P. 147-150.
5. Arutyunov A. V., Gelman B.D. Minimum of a functional in a metric space and fixed points. J. Comput. math, and mat. physics. 2009. V. 49, N 7. P. 1167-1174. (in Russian).
6. Browder F.E., Petryshyn W. V. Construction of Fixed points of nonlinear mappings in Hilbert space. J. Math.Anal. Appl. 1967. V. 20, N 2. P. 197-228.
7. Chidume C.E. Geometric Properties of Banach Spaces and Nonlinear Iteration. Springer, 2009.
8. Chidume C.E., Maruster St. Iterative methods for the computation of fixed points of demicontractive mappings. J. Comput. Appl. Math. 2010. V. 234, N 3. P. 861-882.
9. Fukhar-ud-din H., Khan A.R., Akhtar Z. Fixed point results for a generalized nonexpansive map in uniformly convex metric spaces. Nonlinear Anal. 2012. V. 75, N 13. P. 4747-4760.
10. Berinde V. Convergence theorems for fixed point iterative methods defined as admissible perturbations of a nonlinear operator.Carpathian Journal of Mathematics. 2013. V. 29, N 1. P. 9-18.
11. Berinde V. Iterative Approximation of Fixed Points. Berlin : Springer, 2007.
12. Abian S., Brown A.B. Convergence theorems for fixed point iterative methods defined as admissible perturbations of a nonlinear operator. Canadian Journal of Mathematics. 1961. V. 13. P. 78-82.
13. Granas A., Dugundji J. Fixed point theory. Springer-Verlag, 2003.
14. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Coincidence points principle for mappings in partially ordered spaces. Topology and its Applications. 2015. V. 179. P. 13-33.
15. Arutyunov A. V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Coincidence points principle for set-valued mappings in partially ordered spaces. Topology and its Applications. 2016. V. 201. P. 330-343.
16. Stoltenberg-Hansen V., Lindstrom I., Griffor E.R. Mathematical theory of domains. Cambridge University Press, 1994.
17. Lotov A. V., Ryabikov A.I., Bolgov M.V., Buber A.L. Using the Pareto frontier in the search for compromise rules for regulating the level of Lake Baikal. Artificial intelligence and decision making. 2022. N 3. P. 72-87. (in Russian).
18. Ryabikov A.I. Convergence of iterative processes in the reservoir cascade model. Bulletin of the Buryat State University. Mathematics, computer science. 2019. N 4. P. 31-39. (in Russian).
Поступим в редакцию 20.04-2023
