CC BY
51
Секция теоретических основ радиотехники
УДК 681.3 (075.8)
А.Н. Орличенко, В.Н. Варламов
ПОИСК КОМПЛЕКСНО-СОПРЯЖЕННЫХ КОРНЕЙ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ЛОКАЛЬНО ЛИНЕЙНОЙ
СИСТЕМЫ
Временной анализ электронной цепи на дискретных элементах сводится решению характеристического уравнения
а + ах +... + а хт = 0 (1)
0 1 т
c вещественными коэффициентами а0, а1, ••• а т . Это ключевое уравнение лежит в
основе исследования переходного процесса любой локально линейной системы, которая в определённом временном интервале достаточно полно описывает не только линейные, но и нелинейные электромеханические и электронные устройства.
Дополнительная информация о свойствах корней алгебраического уравнения (1) позволяет либо ускорить поиск корней, либо улучшить их точность. Так, известно, что алгебраическое уравнение с кратными корнями сводится к решению алгебраического уравнения более низкого порядка [1. С. 162].
Здесь же будет показано, что знание о комплексной сопряжённости двух корней в (1) даёт возможность найти такие оценки для их вещественных и мнимых частей, у которых мнимые части точно равны, причём алгебраическое уравнение любого порядка сводится к системе двух уравнений
йО, 2) = 0, ЕгО, 2) = 0,
каждое из которых представляет собой квадратичную форму.
В свою очередь, принадлежность нелинейных функций ^(у, 2) и 1Жу, 2) к классу квадратичных форм также должна нести некие преимущества в точности и/или скорости счёта.
Многочлен порядка т >3 в (1) всегда можно представить произведением
квадратного трёхчлена [ х — (о + /®)][ X — (о — /®)] = X2 — 2ох + (о2 +®2) на
многочлен порядка т — 2:
2
(х — 2ох +о2 + ю2)(Ь0 + Ь1 х + Ь2 х2 +... + Ьт—3 хт—3 + Ьт—2 хт—2) = 0. (2)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в (1) и (2) и обозначая у = О2 +Ю2,2 = —2о, вместо уравнения (1) решаем эквивалентную ему систему из ( т +1 )-го уравнения относительно неизвестных Ь0,Ь 1,..,Ь т—2,у,2 :
у ао "
у г *о а1
у г *1 а2
у г Ъ2 а3
у г X * = а
у г 1 а+1
1 г у Ът—3 а т—2
1 г Ъ 2 а ,
т—2 т—1
1 а т
(3)
которая легко разделяется на систему двух первых нелинейных уравнений
у,г) = у* о( у,г) - а о = о, Ґ2(у,г) = гЪ о(у,г) + УЪ і( у,г) - а і = 0
(4)
и систему оставшихся т—1 линейных уравнений, дающую коэффициенты т—2 :
ЬуУ= 0,1
1
г
1
у
г
1
у
г
1
у
г
1
у
г
1
X
Ъ о 1 1 2а
*1 а3
Ъ 2 а
Ъ = а+1
— т Ъ ат—2
3 — т Ъ ат—1
1 2 — т Ъ 1 а т
(5)
Обратная матрица в (5) всегда верхнетреугольная и, например при т = 8, имеет вид:
1 — г — у + г2 2 уг — г3
— г 1 0 0 о 0
у + г —г 1 о о о
2 о 2 . 4
у — 3 уг + г
2 уг — г 3
2
— у + г —г 1 о о
— 3у2 г + 4 уг3 — г5
2 т 2 . 4
у — 3 уг + г
2 уг — г 3
2
— у + г —г 1 о
3 , с. 2 2 с 4 . 6
— у + 6 у г — 5 уг + г
— 3 у2 г + 4 уг3 — г5
2 о 2 . 4
у — 3 уг + г
2 уг — г 3
2
— у + г —г 1
причём рост т не изменяет ранее вычисленные элементы. Перемножая слева обе части (5) на эту матрицу, замечаем, что коэффициент Ь 0 представляет сумму
ь. =И' 'Ь1ку12к, индексы I, к и множители °Ь1к которой при т = 8 задаются
I к
табл.1. Аналогично получаем b j = II1 blkylzk , причём множитель 1b
l k
m = 8 берём из табл. 2.
Таблица 1
Значения b.
причём множитель bi k при Таблица 2
’Эттатп^ттттсг 1/l
Методом индукции, полагая 0! =1, устанавливаем
m-2-v I
2 I m-2-2l-v
bv= bv (y,z) = Z I (-1)'a
l=0
k=0
'! k!
y' k 2l +k+2+v У Z ,
(6)
где [...] - символ целой части числа v = 0,1, •••, m - 2.
Анализ обратных матриц в (5), аналитическое выражение которых даёт математическая программа REDUCE [1], например при m = 12, подтверждает (6).
Систему (4), с учётом квадратичных форм (6), целесообразно решить, например, надежным методом, предложенным в [3], что даёт двустороннюю оценку о и w.
Укрупнённый фрагмент граф-схемы алгоритма решения характеристического уравнения (1) с вещественными коэффициентами приведена на рис. 1.
Рис.1. Фрагмент граф-схемы алгоритма поиска комплексно-сопряженных корней
Реализацию алгоритма полезно выполнить на алгоритмическом компиляторного типа Pascal или С++.
Предложенный здесь метод, базирующийся на выделении квадратного множителя, рядом интересных свойств выгодно отличается от известных подобных методов Лобачевского-Греффе-Данделена [4. С. 59], Лина [4. С. 70], Хичкока [5. С. 83-84].
Во-первых, глубокое применение численно-аналитического подхода позволило свести решение нелинейного уравнения (1) любого порядка т >3 к системе двух алгебраических уравнений (4).
Во-вторых, при этом достигнута высокая алгоритмичность аналитического
(I + к )
решения. Так, коэффициенты к =—— на границах табл. 1
С00 = С01 = С02 = --=С10 = С20 =•••= \, а внутри неё вычисляются по рекуррентной формуле к = С{ к-1 + С1-1 к , содержащей только операцию сложения. Знаки у коэффициентов к в Pascal-программе определяются посредством лишь логических операций - на основе информации о чётности (нечётности) строк (столбцов) табл.1. Резервирование массива под С; к , в котором затем хранятся
°Ьк, существенно ускоряет итерационный процесс в (4). Аналогичный массив полезен и для запоминания 1Ь; к . Фактически массив-матрица (табл. 1) сначала “окаймляется” коэффициентами а(-, взятыми с необходимым знаком, а затем как сумма с обратным знаком по рекуррентной формуле вычисляются внутренние коэффициенты . Аналогично, по табл. 2, рассчитываются множители 1Ь; к .
В-третьих, отсутствует искусственное завышение порядка промежуточных величин, характеризующее метод Лобачевского-Греффе-Данделена. Так [4. С. 6465], решение этим методом кубического уравнения ( т = 3), у которого I а(- |<6,
24
приводит к оперированию с числами порядка 10 . Наоборот, в предложенном
методе старшая степень равна т -2=1.
Далее, оценки мнимых частей ю у обоих комплексно-сопряженных корней 0±1ю точно равны друг другу, что очень важно при расчёте переходных процессов в линейных системах, а также устойчивости нелинейных систем [4. С. 188-189]. Точное равенство гарантирует отсутствие комплексной составляющей в физическом отклике. Такой результат численного решения уравнения (1) разрешает проблему “лишних” мнимых составляющих в отклике и сбои схемотехнических САПР.
Заметим, что если ю = 0, то искомые корни - это один двукратный корень о, а
2 2 2 п й 2 при ю = у —— < 0 - два разных действительных корня: — У и
z \z2
■2 Ч Т—у
Наконец, аналитическое решение (6), после определения о = -z/2 и w = у2 - о2 из (4), даёт численные значения остальных коэффициентов bv ; v = 2, 3, L , m -2 . Этот “обратный ход” подготавливает всю необходимую информацию для рекурсивного применения метода с целью поиска остальных корней (1), что целесообразно, естественно, при m > 5.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. - М.: Физматгиз, 1966. - 664 с.
2. Еднерал В. Ф., Крюков А.П., Родионов А.Я. Язык аналитических вычислений REDUCE. -М.: Изд-во МГУ, 1989. - 176 с.
3. Орличенко А.Н. Интервальная оценка решения системы нелинейных конечных уравнений // Тр. 2-й Международн. НТК “Актуальные проблемы фундаментальных наук”. Секция А - “Математическое моделирование: непрерывные модели и численные методы”. -М., 1994. - С. 93 - 96.
4. Хьюз В.Л. Нелинейные электрические цепи. - М.: Энергия, 1967. - 336 с.
5. Воробьева Г.Н, Данилова А.Н. Практикум по вычислительной математике. - М.: Высш. шк., 1990. - 208 с.
УДК 681.84.083:534.3
А.В. Бакаев
АНАЛИЗ ФОРМАНТНОЙ СТРУКТУРЫ ПЕВЧЕСКОГО ГОЛОСА
В последнее время наблюдается внедрение точных наук в такие области, как психология, языкознание, история и другие гуманитарные науки, в частности музыкознание. Одной из таких областей является искусство вокального пения.
Основными особенностями голоса профессионального певца являются звонкость, «полетность» и «серебристость» тембра (по терминологии вокальных педагогов). Эти характеристики обусловлены наличием ярко выраженных максимумов огибающих низкочастотных и высокочастотных составляющих спектра певческого голоса - формантных областей, а также амплитудно-частотной модуляцией звуковых колебаний во времени (вибрато).
Высокая певческая форманта - это группа усиленных обертонов в спектре певческого голоса, обладающая высокой интенсивностью у профессиональных исполнителей. Частота области высокой (третьей речевой) форманты лежит в пределах от 1800 до 3500 Гц (в зависимости от типа голоса). Также в спектре голоса певца присутствуют область низкой певческой (первой речевой) форманты (200 -1200 Гц) и область средней певческой (второй речевой) форманты (800 - 1800 Гц).
В спектре обычной речи присутствуют первые две форманты, отвечающие за разборчивость речи и тембр голоса. Наибольшей интенсивностью обладает третья форманта, называемая высокой певческой формантой, которая свойственна профессиональным вокалистам.
Вопросам формирования высокой певческой форманты у певцов уделяется достаточно пристальное внимание исследователей. Так, у Е.А. Рудакова высокая певческая форманта объясняется «краевым тоном» голосовых связок, подобным свисту.
