CC BY
306
УДК 624.94
и.и. шишов, м.А. Рязанов, м.о. максименко, Ю.А. вичужанина
ВлГУ
поэлементный расчет поперечной рамы каркаса здания
Аннотация: рассматривается деформирование плоских стержневых систем, состоящих из вертикальных и горизонтальных стержней, жестко или шарнирно соединенных между собой в узлах. Дифференциальные зависимости между внутренними силовыми факторами в сечениях стержня определяются с учетом возникающих прогибов и действия продольных сжимающих сил. Система рассчитывается поэлементно: последовательно определяются составляющие ее стержни, граничными условиями для которых служат угловые и линейные перемещения узлов системы.
Ключевые слова: стержень, внутренние силовые факторы, стержневая система, прогиб, изгибная жесткость, введенные защемляющие связи, введенные линейные связи
DOI: 10.22227/1997-0935.2016.9.51-61
Поперечная рама каркаса многоэтажного здания представляет собой плоскую стержневую систему, составленную из вертикальных и горизонтальных стержней, жестко или шарнирно соединенных между собой в узлах. Вертикальные стержни таких систем (колонны) обычно испытывают продольно-поперечный изгиб и, с геометрической точки зрения, деформируются нелинейно. Когда возникающие в них продольные силы приближаются к значению Ncr, при котором стержень теряет устойчивость, влияние сил на деформирование системы становится решающим. Расчет таких колонн приводится в [1]. Рассматривается стержень под действием сжимающей силы и моментов по концам, определенных из отдельного расчета несущих конструкций здания в целом. Учитываются геометрическая и физическая нелинейности деформирования. Задачи устойчивости сжатого стержня рассматриваются, например, в [2-6]. Для решения часто используется метод конечных элементов [7-9].
В настоящей работе расчет рамы предлагается выполнять поэлементно — как последовательность расчетов отдельно взятых стержней. Совместность деформирования стержня и стержневой системы обеспечивается тем, что стержень присоединяется концами к узлам системы. Используются предпосылки, принятые в методе перемещений, и соответствующая основная система. Если стержень присоединяется к узлу жестко, то поворот его конца принимается равным повороту узла системы — введенной защемляющей связи. Если стержень передает поперечную силу с левого или правого конца на введенную линейную связь, то линейное смещение этого конца становится равным перемещению в направлении этой связи (для вертикального стержня левым концом считается нижний). Перемещения в направлении введенных связей уточняются от приближения к приближению, как это показано ниже.
9/2016
Такое решение отличается простотой программирования. В частности, устраняется наиболее сложная процедура составления и решения системы уравнений, описывающих деформирование стержневой системы в целом. Это особенно важно для решения с учетом специфики железобетона, когда жесткость элементов изменяется по длине, и точность решения зависит от длины участков, на которых она усредняется. Решение с помощью известных программ может натолкнуться на проблему точности решения системы уравнений высокого порядка.
Решение задачи для стержня. Решение для стержня можно получить методом конечных разностей (можно также применить метод конечных элементов, что, видимо, было бы равноценно). Он позволяет определять жесткости стержня индивидуально для каждой из точек] = 1, 2, ..., п, нанесенных на стержень с некоторым малым шагом. Геометрическая нелинейность деформирования будет учтена, если зависимость между внутренними силовыми факторами в поперечном сечении стержня определить с учетом возникающих деформаций [10]. Для поперечной силы Q получается выражение (рис. 1):
в = оМ _,
Ох Ох
(1)
где М — изгибающий момент; Т — продольная сжимающая сила; V — прогиб стержня; х — продольная координатная ось.
Рис. 1. Продольно-поперечный изгиб стержня
для каждой из нанесенных точек записывается уравнение равновесия участка стержня длиной к
Qa Qb'
Представляя поперечные силы по формуле (1), моменты — через изгиб-
ную жесткость g и кривизну оси стержня М = — g —-, а производные — в раз-
Ох
ностной форме, получаем уравнение
а.. у. . + а.. .V. . + а у. + + а. . V = (2)
1 1 - 2 1- 2 1, ] - 1 ]- 1 1 ]] 1 ] + 1 ] +1 1 ] + 2 ] + 2 ] ^ '
Неизвестными здесь служат вертикальные перемещения в пяти точках, взятых в окрестности точки], а коэффициенты принимают значения:
а1, 1 - 2 = §1 -1;
a. .
j , j
1 =- 2 ( gj _1 + gj ) + Th2;
aj, j = 4 gj + gj -1+ gj+1 - 2 Th2; = - 2 ( gj + gj+1) + Th2;
aj, j+1
aj, j + 2 = gj+1 •
Перемещения в законтурных точках (за пределами ряда] = 1, 2, ..., п) выражаются через перемещения в точках этого ряда с помощью граничных условий — условий совместного деформирования стержня с другими элементами системы. Изгибные жесткости стержня в разных точках предполагаются разными, они будут определяться раздельно в зависимости от внутренних силовых факторов, продольная сила Т принимается постоянной. Из решения полученной системы уравнений определяются основные неизвестные — вертикальные перемещения стержня в точках ] = 1, 2, ..., п, по которым затем рассчитываются изгибающие моменты и поперечные силы.
Алгоритм прошел достаточную проверку в [10, 11]. Определялись критические силы для центрально сжатого упругого стержня при различных закреплениях концов, усилия, возникающие в опорных связях сжатых стержней от единичных кинематических воздействий — угловых и линейных перемещений концов. Было получено хорошее совпадение результатов с решением Эйлера и данными таблиц для расчета рам на устойчивость [12]. В [11] алгоритм и программа использовались для определения несущей способности сжато-изогнутой сваи в вечномерзлом грунте. В [13-15] подобный алгоритм применяется для расчета поперечных рам одноэтажного промышленного здания каркасного типа.
на рис. 2 показано решение контрольного примера — прогрессирующее увеличение прогибов стержня, нагруженного равномерно распределенной поперечной нагрузкой постоянной интенсивности q и продольной сжимающей силой N, которая изменяется в диапазоне (0,8.. ,0,99)^г.
Приведенные кривые соответствуют известному решению на основе нормальных фундаментальных функций А.Н. Крылова [16]. Числа на горизонтальных прямых показывают: левое — максимальный прогиб по решению [16], правое — по предлагаемому решению. Для расчетов реальных конструкций совпадение, видимо, можно считать достаточным.
Решение для стержневой системы. Решение задачи для стержневой системы приводится в [10]. Здесь мы подробнее опишем алгоритм и приведем решение контрольного примера расчета плоской рамы на устойчивость.
Формируется основная система метода перемещений (рис. 3) и принимаются его известные предпосылки.
б
Рис. 2. Прогрессирующее увеличение прогиба: а — при шарнирном опирании стержня; б — при жестком опирании
Раздельно нумеруются стержни системы, введенные защемляющие и линейные связи. В массиве Ш2(1, ], к, I) каждой защемляющей связи отводится строчка, в которой 7, ] — номера стержней, примыкающих к связи правыми концами, к, I — левыми. В массиве т1(7,], к, ...) каждой линейной связи отводится строчка, в которой указаны две группы чисел: первая — номера стержней, передающих на связь поперечные силы с правого конца, вторая — с левого. Для системы, показанной на рис. 3:
Рис. 3. Основная система и нумерация введенных связей
а
mz =
2, 0, 0, 1 3, 1, 0, 0 5, 0, 2, 4
ml =
5, 6, 2, 3 2, 3, 0, 0
затем рассчитываются жесткости введенных защемляющих связей. для каждого стержня, примыкающего к связи, задается единичный поворот примыкающего к связи конца, составляется и решается система уравнений, определяется передаваемый на связь момент. Сумма моментов всех примыкающих стержней определяет жесткость введенной защемляющей связи sx. далее определяются жесткости введенных линейных связей. для каждого стержня, передающего на связь поперечную силу, задается единичное линейное смещение правого или левого конца, составляется и решается система уравнений, рассчитывается сила, передаваемая на связь. Сумма таких сил определяет жесткость введенной линейной связи qx.
далее задача решается методом приближений — последовательным выполнением двух шагов:
• многократно обходятся введенные защемляющие связи. Последовательно решаются задачи для стержней, примыкающих к связи и находящихся под действием заданной поперечной нагрузки и продольной сжимающей силы, при известных из предыдущего приближения угловых и линейных перемещениях концов. определяется сумма моментов sum, передаваемых стержнями на связь. корректируется угол поворота связи j(i) = j(i) + sum(i)/sx(i), равными которому принимаются углы поворота концов примыкающих стержней;
• многократно обходятся введенные линейные связи. Последовательно решаются задачи для стержней, передающих на связь поперечные силы и находящихся под действием заданной поперечной нагрузки и продольной сжимающей силы, при известных из предыдущего приближения угловых и линейных перемещениях концов. определяется сумма поперечных сил sum, передаваемых стержнями на связь. корректируется перемещение связи A(i) = A(i) + + sum(i)/sq(i), равными которому принимаются перемещения концов стерж-
Процесс решения заканчивается, когда надобность в приближениях отпадает.
рис. 4. (начало) иллюстрации к определению критической нагрузки
9/2016
О 8 16 24 32 40 48
Рис. 4. (окончание) Иллюстрации к определению критической нагрузки
Рис. 4 иллюстрирует определение критической нагрузки для плоской рамы при потере устойчивости по симметричной форме. Кривые 1 и 2 показывают прогрессирующее увеличение прогибов крайних стоек длиной 6 м и средних длиной 8 м, соответственно, при увеличении нагрузки. Приближение сил к критическому значению вызывает стремительный рост прогибов. По графикам, видимо, можно принять N = 21,4 МН или N = 21,6 МН. Решение методом перемещений [12] дает Nr = 20,7 МН. Расхождение составляет 3.. .4 %.
Исследование деформирования каркаса многоэтажного здания. Исследовательские расчеты выполнялись для полного каркаса здания, имеющего регулярную структуру: четыре этажа по 3,6 м и три пролета по 6 м с жесткими узлами соединения колонн и ригелей. Здание располагается в районе III по снеговой нагрузке и IV — по ветровой. Нормативная нагрузка на перекрытия 15 кПа. Полная расчетная нагрузка от покрытия на ригели четвертого этажа — 0,0318 МН/м; на ригели перекрытий: постоянная — 0,048МН/м, полная — 0,108 МН/м. Ригели имеют прямоугольное поперечное сечение 0,3 х 0,6 м, армируются одиночной арматурой As = 0,002514 м2 (8020 А500), m = 0,0152. Жесткость ригелей определялась в соответствии с предпосылками, принятыми в СП [17], усреднено для состояния, когда действующий момент M = 1,2M (M — момент образования трещин в растянутой зоне) и принималась постоянной по всей длине. Колонны каркаса имеют квадратное поперечное сечение 0,3 х 0,3 м, армируются симметрично As = A's = 0,000308 м2 (2014А500), m = m' = 0,0038, испытывают внецентренное сжатие. Жесткости колонн определяются также по СП [17] и перевычисляются в каждом приближении автономно для каждой из намеченных на стержне точек j = 1, 2, ..., n.
Наиболее опасным оказалось загружение, при котором полная расчетная нагрузка прикладывается к ригелям перекрытий в левом и среднем пролетах, а постоянная - в правом (при ветровой нагрузке слева направо). По прочности каркаса это предельно допустимая нагрузка. Наибольший момент возникает в нижнем сечении правой стойки первого этажа M = 0,0314 МНм, продольная сжимающая сила в этом случае N = 1,31 МН. Условие прочности внецентрен-но сжатого элемента приобретает вид 0,189 < 0,190. Прочность ригелей также оказывается достаточной.
VESTNIK
JVIGSU
Принимая эту нагрузку за единицу, будем постепенно увеличивать ее с помощью множителя тд и наблюдать за горизонтальными перемещениями верхней точки каркаса. Ветровая нагрузка и нагрузка от покрытия на верхний ригель остаются неизменными. Кривая 1 на рис. 5, а показывает это прогрессирующее перемещение, по которому можно определить, что нагрузка становится критической при тд = 3,5. Кривая 2 соответствует аналогичному исследованию, выполненному для меньшей ветровой нагрузки, взятой для района I, (Ж0 = 0,23 кПа вместо 0,48 кПа); кривая 3 — при отсутствии ветра. Интересно отметить, что перемещения существенно различаются, но критической нагрузкой для всех трех случаев можно приближенно принять одну — соответствующую множителю тд = 3,5, при которой сопротивление стоек вертикальной нагрузке приближается к нулю. Одинаковой оказывается и форма потери устойчивости (рис. 5, б). Рис. 5, в показывает деформирование колонны первого этажа каркаса.
Рис. 5. Устойчивость каркаса: а — определение критической нагрузки; б — формы потери устойчивости; в — кривые деформирования колонны первого этажа
Вывод. Разработаны алгоритм и компьютерная программа расчета плоских стержневых систем, составленных из вертикальных и горизонтальных стержней, жестко или шарнирно соединенных между собой в узлах. в качестве основных неизвестных приняты прогибы стержней и перемещения системы в целом. По ним определяются внутренние силовые факторы в сечениях элементов, по их прогрессирующему возрастанию — критическая нагрузка для системы. Учитывается геометрическая нелинейность деформирования вне-центренно сжатых элементов; жесткость их определяется с учетом специфики железобетона индивидуально для каждой из точек] = 1, 2, ..., п, нанесенных на стержень с некоторым малым шагом. Представляется возможность проектировать такие системы с заданным запасом прочности, жесткости и устойчивости. Предложенный поэлементный расчет системы отличается простотой программирования и освобождает от наиболее сложной и трудоемкой процедуры — составления и решения системы уравнений, описывающих деформирование стержневой системы в целом.
Библиографический список
1. Соломин В.И., Хомяк В.П. Напряженно-деформированное состояние и прочность железобетонной колонны // Строительная механика и расчет сооружений. 2013. № 2. С. 11-17.
2. Тимошенко С.П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек / под ред. Э.И. Григолюка. М. : Наука, 1971. 807 с.
3. ВольмирА.С. Устойчивость упругих систем. М. : Физматгиз, 1963. 879 с.
4. Каган-Розенцвейг Л.М. О расчете упругих рам на устойчивость // Инженерно-строительный журнал. 2012. № 1 (27). С. 74-78.
5. Галкин А.В., Сысоев А.С., Сотникова И.В. Задача устойчивости сжато-изгибаемых стержней со ступенчатым изменением жесткости // Вестник МГСУ 2015. № 2. С. 38-44.
6. Блюмин С.Л., Зверев В.В., Сотникова И.В., Сысоев А.С. Решение задачи устойчивости сжато-изгибаемых жестко опертых стержней переменной жесткости // Вестник МГСУ 2015. № 5. С. 18-26.
7. Маилян Д.Р., Мурадян В.А. К методике расчета железобетонных внецентрен-но сжатых колонн // Инженерный вестник Дона. 2012. № 4 (часть 2). Режим доступа: http://www.ivdon.ru/magazine/archive/n4p2y2012/1333. Дата обращения: 14.04.2016.
8. Агапов В.П., ВасильевА.В. Моделирование колонн прямоугольного сечения объемными элементами с использованием суперэлементной технологии // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2012. № 4. С. 48-54.
9. Агапов В.П., Васильев А.В. Учет геометрической нелинейности при расчете железобетонных колонн прямоугольного сечения методом конечных элементов // Вестник МГСУ 2014. № 4. С. 37-43.
10. Шишов И.И., Дживак Р.Н., Лапин А.В. Расчет стержневой системы с учетом возникающих деформаций // Бетон и железобетон. 2014. № 1. С. 13-15.
11. Шишов И.И. Определение несущей способности сжато-изогнутой сваи в веч-номерзлом грунте // Основания, фундаменты и механика грунтов. 2010. № 4. С. 15-17.
12. Дарков А.В., Шапошников Н.Н. Строительная механика. 8-е изд., перераб. и доп. М. : Высш. шк., 1986. 606 с.
13. Рощина С.И., Шишов И.И., Капцова Е.Н., ЭззиX Покрытие здания на сборно-монолитных стропильных конструкциях // Бетон и железобетон. 2013. № 3. С. 30-31.
14. Шишов И.И., Дрогина А.О., Ковалишина Т.В. Покрытие производственного здания на спаренных колоннах // Бетон и железобетон. 2013. № 5. С. 14-15.
15. Шишов И.И., Рошина С.И., Рязанов М.А., Эззи X. Несущие конструкции покрытия промышленного здания при шаге поперечных рам 15 или 18 метров // Бетон и железобетон. 2015. № 3. С. 13-16.
16. Прочность, устойчивость, колебания: в 3-х тт. / под общ. ред. И.А. Биргера, Я.Г. Пановко. М. : Машиностроение, 1968. Т. 1. С. 229-238.
17. СП 63.13330.2012. Бетонные и железобетонные конструкции. Основные положения. Актуализированная редакция СНиП 52-01-2003 : утв. Приказом Минрегиона России от 29.12.2011 № 635/8. М., 2012.
Поступила в редакцию в июне 2016 г.
Об авторах: шишов Пван Пванович — кандидат технических наук, профессор, доцент кафедры строительных конструкций, владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых (влгУ), 600000, г. Владимир, ул. Горького, д. 87, 8 (4922) 47-98-10, shishov@ shishov777.elcom.ru;
Рязанов Максим Александрович — аспирант кафедры строительных конструкций, Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых (ВлГУ), 600000, г. Владимир, ул. Горького, д. 87, makc85@bk.ru;
максименко марина олеговна — магистрант кафедры строительных конструкций, владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых (ВлГУ), 600000, г. Владимир, ул. Горького, д. 87, fate-judo@mail.ru;
Вичужанина Юлия Александровна — магистрант кафедры строительных конструкций, владимирский государственный университет имени Александра григорьевича и Николая григорьевича Столетовых (влгУ), 600000, г. владимир, ул. Горького, д. 87, 33juli@mail.ru.
Для цитирования: Шишов И.И., Рязанов М.А., Максименко М.О., Вичужанина Ю.А. Поэлементный расчет поперечной рамы каркаса здания // Вестник МГСУ 2016. № 9. С. 51-61. DOI: 10.22227/1997-0935.2016.9.51-61
I.I. Shishov, M.A. Ryazanov, M.O. Maksimenko, Yu.A. Vichuzhanina
STEPWISE CALCULATION OF THE TRANSVERSE BENT OF A BUILDING FRAME
Deformation of plane core systems consisting of vertical and horizontal cores, which are rigidly or hingedly interconnected in the assembly, is considered in the article. Building frames of industrial and civil buildings, the columns of which undergo eccentrical compression and geometrically nonlinear deformation, have been investigated. There arises a necessity to solve the issues of strength, rigidity and stability. An algorithm and a computer program for solving this issue is proposed.
The basic system of the deflection method and its suppositions has also been applied.
The solution indicated stable convergence. Dependability between internal stresses of the cross section has been determined with account of the arising deformations and the effect of the linear compressing force that provides the accounting of geometrical nonlinearity. The examples illustrating high accuracy of the dislocation determination for the deformed-compressed core and the crippling load of the core system have been given. Finite-difference method that allows employing the cores the rigidity of which vary within their length limits has been used. The stability of the building under the core increment has also been investigated.
An algorithm and a computer program for a plane core system calculation made up of vertical or horizontal cores rigidly or hingedly interconnected in the assembly have been worked out. Auxiliary core offsets and displacements of the system core joints have been taken as the basic unknown variables that allow making calculations with pre-set safety factor, rigidity and stability. The proposed stepwise method of the core system calculation is notable for its simplicity for programming. As the calculations testify, this method provides high accuracy of solutions. The applied method of finite differences may serve as a prerequisite for taking physical non-linearity of reinforced concrete into account.
Key words: core, internal force factors, core system, deflection, flexural rigidity, introduced fixed connections, introduced linear connections
References
1. Solomin V.I., Khomyak V.P. Napryazhenno-deformirovannoe sostoyanie i prochnost' zhelezobetonnoy kolonny [Stress-Strain State and Strength of Reinforced Concrete Column]. Stroitel'naya mekhanika i raschet sooruzheniy [Structural Mechanics and Analysis of Constructions]. 2013, no. 2, pp. 11-17. (In Russian)
2. Timoshenko S.P. Ustoychivost'sterzhney, plastin i obolochek [Stability of Cores, Plates and Shells]. Moscow, Nauka Publ., 1971, 807 p. (In Russian)
3. Vol'mir A.S. Ustoychivost' uprugikh system [Stability of Elastic Structures]. Moscow, Fizmatgiz Publ., 1963, 879 p. (In Russian)
4. Kagan-Rozentsveyg L.M. O raschete uprugikh ram na ustoychivost' [On Stability Calculation of Elastic Frames]. Inzhenerno-stroitel'nyy zhurnal [Magazine of Civil Engineering]. 2012, no. 1 (27), pp. 74-78. (In Russian)
5. Galkin A.V., Sysoev A.S., Sotnikova I.V. Zadacha ustoychivosti szhatoizgibaemykh sterzhney so stupenchatym izmeneniem zhestkosti [The Resistance Problem of Compressed-Bent Shanks with Step Inflexibility Change]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2015, no. 2, pp. 38-44. (In Russian)
6. Blyumin S.L., Zverev V.V., Sotnikova I.V., Sysoev A.S. Reshenie zadachi ustoychivosti szhato-izgibaemykh zhestkoopertykh sterzhney peremennoy zhestkosti [Solving the Stability Problem of Compressed Bendable Pinned Rigid Rods of Variable Rigidity]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2015, no. 5, pp. 18-26. (In Russian)
7. Mailyan D.R., Muradyan V.A. K metodike rascheta zhelezobetonnykh vnetsentrenno szhatykh kolonn [On the Calculation Method of Reinforced Concrete Beam Columns]. Inzhen-ernyy vestnik Dona [Engineering Journal of Don]. 2012, no. 4 (part 2). Available at: http://www. ivdon.ru/magazine/archive/n4p2y2012/1333. Date o access: 14.04.2016. (In Russian)
8. Agapov V.P., Vasil'ev A.V. Modelirovanie kolonn pryamougol'nogo secheniya ob"emnymi elementami s ispol'zovaniem superelementnoy tekhnologii [Modeling of Rectangular Section Columns by 3D Elements Using Superelement Technology]. Stroitel'naya mekhanika inzhenernykh konstruktsiy i sooruzheniy [Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings]. 2012, no. 4, pp. 48-54. (In Russian)
9. Agapov V.P., Vasil'ev A.V. Uchet geometricheskoy nelineynosti pri raschete zhelezobetonnykh kolonn pryamougol'nogo secheniya metodom konechnykh elementov [Account for Geometrical Nonlinearity in the Analysis of Reinforced Concrete Columns of Rectangular Section by Finite Element Method]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2014, no. 4, pp. 37-43. (In Russian)
10. Shishov I.I., Dzhivak R.N., Lapin A.V. Raschet sterzhnevoy sistemy s uchetom vozni-kayushchikh deformatsiy [Calculation of a Frame System with Account of Arising Deformations]. Beton i zhelezobeton [Concrete and Reinforced Concrete]. 2014, no. 1, pp. 13-15. (In Russian)
11. Shishov I.I. Opredelenie nesushchey sposobnosti szhato-izognutoy svai v vechno-merzlom grunte [Estimation of the Load Bearing Capacity of Beam Column and in Everfrost Soil]. Osnovaniya, fundamenty i mekhanika gruntov [Soil Mechanics and Foundation Engineering]. 2010, no. 4, pp. 15-17. (In Russian)
12. Darkov A.V., Shaposhnikov N.N. Stroitel'naya mekhanika [Structural Mechanics]. 8th edition, revised and enlarged. Moscow, Vysshaya shkola Publ., 1986, 606 p. (In Russian)
13. Roshchina S.I., Shishov I.I., Kaptsova E.N., Ezzi Kh. Pokrytie zdaniya na sbor-no-monolitnykh stropil'nykh konstruktsiyakh [Building Roof on Precast with Cast-in-Place Truss Structures]. Beton i zhelezobeton [Concrete and Reinforced Concrete]. 2013, no. 3, pp. 30-31. (In Russian)
14. Shishov I.I., Drogina A.O., Kovalishina T.V. Pokrytie proizvodstvennogo zdaniya na sparennykh kolonnakh [Roof of an Industrial Building on Twin Columns]. Beton i zhelezobeton [Concrete and Reinforced Concrete]. 2013, no. 5, pp. 14-15. (In Russian)
15. Shishov I.I., Roshina S.I., Ryazanov M.A., Ezzi Kh. Nesushchie konstruktsii pokrytiya promyshlennogo zdaniya pri shage poperechnykh ram 15 ili 18 metrov [Bearing Structures of an Industrial Building Roof in Case of a 15 or 18 Meter Span of Transverse Frames]. Beton i zhelezobeton [Concrete and Reinforced Concrete]. 2015, no. 3, pp. 13-16. (In Russian)
16. Birger I.A., Panovko Ya.G., editors. Prochnost', ustoychivost', kolebaniya: v 3-kh tt. [Strength, Stability, Fluctuations: in 3 volumes]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1968, vol. 1, pp. 229-238. (In Russian)
17. SP 63.13330.2012. Betonnye i zhelezobetonnye konstruktsii. Osnovnye polozheni-ya. Aktualizirovannaya redaktsiya SNiP 52-01-2003 : utv. Prikazom Minregiona Rossii ot 29.12.2011 № 635/8 [Requirements SP 63.13330.2012. Concrete and Reinforced Concrete Structures. Basic Provisions. Updated edition of Construction Regulations SNiP 52-01-2003 : approved by the Decree of the Ministry of Regional Development from 29.12.2011 no. 635/8]. Moscow, 2012. (In Russian)
About the authors: Shishov Ivan Ivanovich — Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Department of Building Structures, Vladimir State University named after Alexander and Nikolay Stoletovs (VISU), 87 Gor'kogo str., Vladimir, 600000, Russian Federation; +7 (4922) 47-98-10; shishov@shishov777.elcom.ru;
Ryazanov Maksim Aleksandrovich — postgraduate student, Department of Building Structures, Vladimir State University named after Alexander and Nikolay Stoletovs (VISU), 87 Gor'kogo str., Vladimir, 600000, Russian Federation; makc85@bk.ru;
Maksimenko Marina Olegovna — Master student, Department of Building Structures, Vladimir State University named after Alexander and Nikolay Stoletovs (VISU), 87 Gor'kogo str., Vladimir, 600000, Russian Federation; fate-judo@mail.ru;
Vichuzhanina Yuliya Aleksandrovna — Master student, Department of Building Structures, Vladimir State University named after Alexander and Nikolay Stoletovs (VISU), 87 Gor'kogo str., Vladimir, 600000, Russian Federation; 33juli@mail.ru.
For citation: Shishov I.I., Ryazanov M.A., Maksimenko M.O., Vichuzhanina Yu.A. Poele-mentnyy raschet poperechnoy ramy karkasa zdaniya [Stepwise Calculation of the Transverse Bent of a Building Frame]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2016, no. 9, pp. 51-61. (In Russian) DOI: 10.22227/1997-0935.2016.9.51-61
