Подкритическая конвекция Рэлея−Бенара с внутренними источниками тепла Текст научной статьи по специальности «Физика»

2250

Фундаментальные проблемы теоретической и прикладной механики Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (5), с. 2250-2252

УДК 539.3

ПОДКРИТИЧЕСКАЯ КОНВЕКЦИЯ РЭЛЕЯ-БЕНАРА С ВНУТРЕННИМИ ИСТОЧНИКАМИ ТЕПЛА

© 2011 г. В.В. Колмычков

Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, Москва

ksv@keldysh.ru

Поступила в редакцию 24.08.2011

Проводится численное исследование конвективной устойчивости вязкой несжимаемой жидкости в прямоугольной области при наличии равномерного внутреннего нагрева. Цель исследования - получение ко -нечно-амплитудной подкритической конвекции и изучение ее свойств, в первую очередь - направления движения жидкости в ячейках. Приводятся результаты двухмерного и трехмерного моделирования процесса, зависимость кинетической энергии от числа Рэлея, показан жесткий режим возбуждения подкритической конвекции.

Ключевые слова: неустойчивость Рэлея -Бенара, подкритическая конвекция, внутренние источники тепла, шестиугольные ячейки, математическое моделирование.

Постановка задачи

Процесс возникновения и развития конвективной неустойчивости в тонком слое вязкой неоднородно нагретой жидкости — явление, широко распространенное в природе. Хорошо изученным примером подобной неустойчивости является конвекция Рэлея—Бенара в слое с линейным невозмущенным профилем температуры. Более общий случай — это конвекция в слое с нелинейным профилем температуры, формирующимся под действием внешних сил или вследствие зависимости физических свойств вещества от температуры. Для нелинейного профиля температуры характерно существование жесткого режима возбуждения конвекции, когда в области Ramm < Ra < < Касг, где Racr определяется из линейной теории устойчивости, возможно формирование устойчивого течения только из возмущений с амплитудой, выше некоторого порогового значения. Течение при этом имеет форму шестиугольных ячеек с восходящим (1-тип) или нисходящим ^-тип) потоком жидкости в центре. В случае зависимости физических свойств вещества от температуры анализ устойчивости вторичных течений [1] позволяет определить, какой именно тип ячеек является устойчивым, и экспериментальные данные подтверждают полученные результаты. Противоположная ситуация сложилась в исследованиях задачи о конвекции в слое с равномерным охлаждением границ и/или с внутренним нагревом. Здесь анализ устойчивости показывает, что направление движения жидкости в ячейках зависит

от направления выпуклости невозмущенного профиля температуры. Однако в одних работах демонстрируется, что профиль, выпуклый вверх, приводит к ячейкам 1-типа [2, 3], в то время как в других демонстрируется обратное [4, 5]. Недавние экспериментальные [6] и численные [7] исследования согласуются с [4, 5], однако в них присутствуют осложняющие факторы, которые, во -обще говоря, могут оказать влияние на структуру течения. Исследование конвекции в слое с внутренними источниками тепла проводится в рамках максимально простой постановки задачи. Полученные данные подтверждают результаты работ [4-7].

Конвективное движение жидкости описывается системой уравнений Навье-Стокса в приближении Буссинеска в безразмерной форме:

— + (УУ)У = -Ур + АУ + — Тег,

Э1 Рг

уу = 0,

ЛТ7 1

— + (УУ )Т = — АТ + а.

Э1 Рг

Здесь У = (Эх, Эу, Эе), А = У2 = Э2х + Э2у + Э2г (х, у, г) е П, П = [0, £]х[0, £]х[0, 1], У - скорость, 1 - время, р - давление, Т - температура, вг = = (0, 0, 1), а = QtV/5T, Q - мощность внутренних источников температуры; Яа = а^бТН^УХ - число Рэлея, Рг = у/% - число Прандтля, где а - ко -эффициент теплового расширения, g - модуль ускорения свободного падения, 5Т = Тш - Т0, Н -вертикальный размер области, V - коэффициент кинематической вязкости, % - коэффициент тем-

пературопроводности. В качестве масштаба измерения расстояния выбран вертикальный размер областиH, масштаб времени tv = H/v. Безразмерная температура вводится по формуле T = (Td -

- Ttop)/bT, Td - исходная температура. На всей границе ЭО скорость обращается в нуль, граничные условия для температуры имеют вид: Tz=0 = 1, Tz=1 = 0, на боковых стенках: dT = 0, n - нормаль к границе. Численное моделирование проводилось с помощью конечно-разностных алгоритмов, описанных в [8, 9].

Результаты

Исследование устойчивости стационарных движений вблизи критического значения числа Рэлея показывает, что подкритическая конвекция является существенно трехмерной, в то время как в надкритической области жидкость является неустойчивой относительно двухмерных возмущений. Поэтому для определения зависимости критического числа Рэлея от мощности источника Racr(q, Pr) была проведена серия двухмерных расчетов, в которых исключено влияние трехмерных возмущений. Процесс развития конвективной неустойчивости из случайных возмущений поля температуры рассматривался в области с отношением длины к высоте 5 п. Полученные данные хо -рошо согласуются с теоретическими результатами [10]. На рис. 1 для qPr = 6 приведена зависимость от Ra средней по области кинетической энергии полученных в расчетах стационарных валиковых движений; критическое значение числа Рэлея в этом случае составляет 1635. На том же рисунке построена зависимость средней по пространству кинетической энергии трехмерных стационарных движений (3D расчеты проводились для qPr = 6, Pr = 1, 10, 100). Во всех приведенных на рис. 1 расчетах наблюдалось устойчивое конвективное движение в форме шестиуголь-

2.5

1.5 1.0

0.5

■ 2D

• 3D, Pr = 1

* 3D, Pr = 10 о 3D, Pr = 100

ных ячеек g-типа.

В подкритической области отмечался жесткий режим возбуждения конвекции: случайные возмущения поля температур с амплитудой ниже некоторого порогового значения затухали; возмущения с амплитудой выше порогового приводили к формированию устойчивой ячейковой кон -векции. На рис. 2 показано поле температуры в плоскости z = 0.5 для Pr = 1, светлые участки соответствуют горячему веществу, темные - холод -ному.

0J Ч1 1 1 1 1 1 1

-50 0 50 100 150 200 Ra-Racr

Рис. 1

Рис. 2

Для всех трех значений числа Прандтля течение сохраняет ячейковую структуру на протяжении 300z с волновым числом к ~ 2.5. Изменение

V

направления выпуклости невозмущенного профиля температуры за счет замены внутреннего нагрева охлаждением приводило к формированию движения в форме шестиугольных ячеек /-типа. Наблюдавшаяся в расчетах зависимость направления циркуляции жидкости в шестигранных ячейках от направления выпуклости невозмущенного профиля температуры согласуются с данными исследований [4, 5, 7, 10] и расходятся с данными [2, 3].

Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант №09-01-00-640-a.

Список литературы

1. Busse F.H. // J. Fluid Mech. 1967. V. 30, No 4. P. 625.

2. Krishnamurti R. // J. Fluid Mech. 1968. V. 33. P. 445-455.

3. Krishnamurti R. // J. Fluid Mech. 1968. V. 33. P. 457-463.

4. Roberts PH. // J. Fluid Mech. 1967. V. 30, No 1. P. 33-50.

5. Tntton D.J., Zarraga M.N. // J. Fluid Mech. 1967. V. 30, No 1. P. 14-32.

6. Takahashi J. // Int. J. Heat and Mass Transfer. 2010. V. 53. P. 1483-1490.

7. Getling A.V., Simitev R.D. // Int. J. Geomagn.

1-1/2 Eu:„ Pr

kin

Аегоп. 2007. V 7. 011004. нения. 2006. Т. 42, №7. С. 932-942.

8. Мажорова О.С., Попов Ю.П. // ЖВМ и МФ. 10. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная

1980. №20. С. 1005-1020. устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972.

9. Колмычков В.В., Мажорова О.С. // Диф. урав- 392 с.

SUBCRITICAL CONVECTIVE MOTION IN RAYLEIGH-BENARD PROBLEM WITH UNIFORM INTERNAL HEATING

V V Kolmychkov

The paper deals with convective instability of viscous incompressible fluid in a rigid square box with uniform internal heating. The main purpose is to study numerically subcritical hexagonal convection with respect to the flow direction. The critical Rayleigh number is determined in the scope of a 2D model. Finite amplitude subcritical convective motion in the form of hexagons has been registered in 3D simulations. Dependence of the kinetic energy on the Rayleigh number value for round and hexagonal flows is determined.

Keywords: Rayleigh- Benard problem, subcritical convection, hexagons, internal heating, numerical simulation.