Подход к уменьшению времени работы модифицированной модели Голдберга при решении неоднородной минимаксной задачи Текст научной статьи по специальности «Математика»

Подход к уменьшению времени работы модифицированной модели Голдберга при решении неоднородной минимаксной задачи

1 2 1 1 В.Г. Кобак , А.Г. Жуковский , А.П. Кузин , А.Н. Тхазаплижева

1 Донской государственный технический университет, Ростов-на-Дону

2 Северо-Кавказский филиал Московского технического университета связи и

информатики

Аннотация: В статье рассматривается проблема решения неоднородной минимаксной задачи, характерной для теории расписаний. Данная задача является NP-полной и для нее не существует точного алгоритма решения, имеющего полиномиальное время для задач большой размерности. В качестве метода решения данной задачи рассматривается модифицированная модель Голдберга. Модель Годберга рассматривается с несколькими кроссоверами и наиболее эффективной мутацией. При определенных параметрах (большое количество особей и повторов) модифицированная модель Голдберга получает решение за достаточно долгое время, поэтому в статье подробно анализируется один из подходов по уменьшению времени работы без потери точности. Так как аналитически произвести расчеты крайне затруднительно и практически невозможно в работе был поставлен вычислительный эксперимент. В результате вычислительного эксперимента, в таблицах приводится сравнение эффективности работы модифицированной модели Голдберга после применения HT технологии. Применение HT технологии приводит к существенному уменьшению временных затрат.

Ключевые слова: одноточечный кроссовер, двухточечный кроссовер генетический алгоритм, модифицированная модель Голдберга, мутация, минимаксная задача, теория расписаний, особь, поколение, hyper-threading.

Введение

Одними из наиболее часто решаемых задач теории расписаний являются NP-полные задачи, для которых практически невозможно подобрать решение за полиноминально быстрое время. К таким задачам относится также и неоднородная минимаксная задача. Разработка различных методов, позволяющих получить близкое к оптимальному приближенное решение, является актуальной проблемой. Такие решения находятся в том числе и с использованием генетических алгоритмов т с их различными моделями.

Основным механизмом эволюции является сочетание генетического механизма передачи наследственности при помощи, механизма мутаций. Такой механизм обеспечивает разнообразие видов, и естественного отбора,

который позволяет с течением времени сформировать наиболее приспособленные для данной среды популяции особей. Более приспособленные особи имеют большую вероятность передать свою наследственную информацию. Наследственная информация в виде хромосомы полностью определяет развитие особи в ее жизненном цикле, и с помощью обмена генами хромосом происходит передача наследственной информации потомкам. Случайные изменения в генофонд вносятся во время мутаций, если новые признаки увеличивают приспособленность особи, то такие признаки, возможно, закрепятся и перейдут к потомкам.

Постановка задачи

В терминах теории расписаний неоднородная минимаксная задача может быть сформулирована следующим образом. Имеется система обслуживания, состоящая из N независимых устройств P={px,p2,...,pn}. На обслуживание поступает конечный поток M - множество независимых параллельных заданий (функциональных операторов) T = {t1,t2,.../m}. r(t1pJ)-

длительность обслуживания задания t устройством pJ, определяется

матрицей Тт. Приборы в общем случае не идентичны, задание t может быть

обслужено любым из устройств, и устройство pJ может обрабатывать

одновременно не более одного задания. Необходимо определить такое распределение заданий по устройствам без прерываний, чтобы время выполнения всей совокупности заданий было минимальным. Критерием минимизации времени выполнения заданий, является минимаксный критерий, который определяется в следующем виде: f = max f. ^ min, где

I < j< n J

f} = YsT(t'Pj) - время завершения работы процессора p. [1,2].

T(t,Pj )eT

В данной работе для решения неоднородной минимаксной задачи будет рассматриваться модифицированная модель Голдберга, являющеюся одним из видов моделей генетических алгоритмов (далее ГА). Модифицированная модель Голдберга отличается от классической модели Голдберга, тем, что используются различные кроссоверы и мутации и бинарный турнирный отбор в следующее поколение. Более детально с модифицированной моделью можно ознакомится в работе [3-5].

В данной работе для исследования рассматривается как классический одноточечный кроссовер, изображенный на рисунке 1, так и двухточечный кроссовер изображенный на рисунке 2.

Текущее поколение

Особь Особь ] Особь N

Рис. 1 - Классический одноточечный кроссовер.

Текущее поколение Особь

Особь 1

Особь N

Рис. 2 - Двухточечный кроссовер. В работе [2,3,4] были исследованы различные модификации мутаций, из всего спектра которых была выбрана одна как наиболее эффективная, а именно простая мутация, схематически изображенная на рисунке 3:

Рис. 3 - Простая мутация.

Вычислительный эксперимент

С ростом размерности минимаксной неоднородной задачи увеличивается время необходимое для получения решения при использовании генетического алгоритма. При проведении вычислительного эксперимента была заполнена таблица 1, содержащая оценку роста временных затрат в зависимости от размерности задачи, а также, как показано в [6-8] от количества особей и повторов.

Таблица 1

Оценка временных затрат для получения решения.

Особи и повторы Одноточечный кроссовер Двухточечный кроссовер

4*501

Время (с.) 400*400 215 231

800*800 626 666

1600*1600 1600 1956

5*501

Время (с.) 400*400 335 337

800*800 800 816

1600*1600 2336 2664

6*501

Время (с.) 400*400 507 547

800*800 1294 1140

1600*1600 3339 3752

Для вычислительных экспериментов был использован 4 ядерный процессор с поддержкой технологии Hyper-Threading, за счет которой реализуется поддержка работы с 8 потоками.

Hyper-Threading - это технология, которая была разработана компанией Intel. Суть технологии заключается в том, что она позволяет одному ядру процессора выполнять два потока данных одновременно. В ходе многочисленных исследований было выяснено, что обычный процессор зачастую при решении задач использует не более 70% всей своей вычислительной мощности. Было принято решение использовать технологию, позволяющую при простом вычислительном блоке, нагружать его работой с другим потоком. Данный подход позволяет увеличить производительность одного ядра от 10 до 80% в зависимости от особенностей задачи. Производительность таких виртуальных потоков гораздо ниже полноценного ядра. Использование виртуальных потоков позволяет добиться большей эффективности вычислительной мощности, путем загрузки процессора на 100% вычислениями, сокращая время простоя, при этом производительность в некоторых задачах может повыситься на 50% [9,10].

В ходе проведения вычислительного эксперимента был проведен ряд расчетов. В рамках исследования оценивались такие параметры как время поиска решения, среднее и минимальное значения, полученные в ходе эксперимента. Все эксперименты проводились для 100% вероятности кроссовера и мутации.

В рамках вычислительного эксперимента решение неоднородной минимаксной задачи генетическим алгоритмом была модифицирована для многопоточных вычислений. Для оценки времени получаемого решения

были взяты 3 варианта размерности задачи: 4 устройства и 501 задача; 5 устройств и 501 задача; 6 устройств и 501 задача.

Таблица №2

Сравнение эффективности применения многопоточных вычислений для одноточечного и двухточечного кросоверра.

Особи и повторы Параметры Одноточечный кроссовер Двухточечный кроссовер

1 поток 2 потока 4 потока 8 потоков 1 поток 2 потока 4 потока 8 потоков

4*501

400*400 мин 3459 3450 3430 3442 3369 3379 3393 3389

сред 3486,1 3498,6 3495 3479,8 3408 3402,5 3406,5 3408,8

время 215 114 112 84 231 147 104 89

800*800 мин 3411 3424 3417 3414 3365 3363 3373 3372

сред 3438,8 3447,4 3450,3 3445,1 3380,3 3375,6 3382,3 3385,9

время 626 339 263 193 666 448 279 211

1600*1600 мин 3399 3389 3398 3395 3359 3361 3359 3362

макс 3414,3 3405,1 3418,5 3415 3368,7 3370,1 3369,5 3376,6

время 1600 931 619 471 1956 1039 743 580

5*501

400*400 мин 2742 2749 2737 2746 2670 2693 2674 2693

сред 2784,6 2774,9 2757,5 2810,3 2712,3 2716,7 2707,3 2719,4

время 335 188 172 106 337 187 156 1320

800*800 мин 2725 2718 2716 2705 2684 2667 2676 2677

сред 2755,8 2740,8 2752,2 2772,5 2692,5 2682,3 2688,6 2694,1

время 800 472 358 296 816 625 386 330

1600*1600 мин 2693 2695 2692 2694 2662 2662 2662 2666

сред 2719 2719,5 2712,5 2715,9 2672,7 2672,9 2669,5 2679,1

время 2336 1265 900 747 2664 1473 1045 780

6*501

400*400 мин 2274 2273 2282 2288 2210 2209 2213 2217

сред 2303,9 2301,2 2304,7 2327,2 2228,4 2238,4 2244,5 2243,7

время 507 291 233 149 547 287 189 158

800*800 мин 2259 2253 2254 2250 2207 2205 2205 2208

сред 2276,6 2287,7 2284 2293,6 2226,8 2226,8 2226 2225,5

время 1294 644 529 346 1140 668 484 392

1600*1600 мин 2234 2243 2235 2242 2192 2201 2196 2192

сред 2247,7 2263,3 2263,8 2255,8 2207,1 2211,4 2208 2211,2

время 3339 1702 1123 883 3752 1808 1173 1024

Из таблицы 2 видно, что наибольший выигрыш по времени дает использование 8 потоков. Для оценки эффективности дальнейшего увеличения потоков был проведен эксперимент по сравнению времени получения решения при использовании 8 и 16 потоков, результаты которого представлены в таблице 3.

Таблица №3

Сравнение эффективности 8 и 16 потоков.

Особи и повторы Одноточечный кроссовер Двухточечный кроссовер

8 потоков 16 потоков 8 потоков 16 потоков

4*501

400*400 84 80 89 85

800*800 193 196 211 214

1600*1600 471 504 580 632

5*501

400*400 106 123 132 116

800*800 296 286 330 295

1600*1600 747 724 780 757

6*501

400*400 149 176 158 151

800*800 346 377 392 368

1600*1600 883 921 1024 1038

Выводы

1. С увеличением количества особей и количества повторов при использовании различных кроссоверов модифицированная модель Голдберга дает как лучшие средние результаты, так и лучшее отдельное решение, наиболее приближенное к точному.

2. С увеличением количества особей и количества повторов при использовании различных кроссоверов резко увеличивается время получения решения модифицированной моделью Голдберга.

3. Использование технологии Hyper-Threading при решение неоднородной минимаксной задачи модифицированной моделью Голдберга позволяет в разы уменьшит время получения решения, что позволяет решать задачи большей размерности.

4. Использование технологии Hyper-Threading при решение неоднородной минимаксной задачи модифицированной моделью Голдберга позволяет определится с количеством потоков равным 8. Дальнейшее увеличение потоков не приводит к реальному уменьшению расчетного времени для обоих кроссоверов.

Литература

1. Кобак В.Г., Жуковский А.Г., Кузин А.П. Исследование применения одноточечного кроссовера при решении неоднородной минимаксной задачи //Инженерный вестник Дона, 2018, №1. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1y2018/4714/.

2. Кобак В.Г, Жуковский А.Г., Кузин А.П. Исследование модификаций турнирного отбора при решения неоднородной минимаксной задачи модифицированной моделью Голдберга. //Инженерный вестник Дона, 2018, №2. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/N2y2018/4962.

3. Титов Д.В., Кобак В.Г. Анализ подходов к улучшению результатов работы генетического алгоритма при решении однородной минимаксной задачи. // Проблемы информатики в образовании, управлении, экономике и технике: Сб. статей Всерос. научно-техн. конф.- Пенза: ПДЗ, 2008, С. 76-78.

4. Кобак В.Г., Поркшеян В.М. и Кузин А.П. Использование различных вариантов мутации при решении неоднородной минимаксной

задачи модифицированной моделью Голдберга // Научно практический журнал «Аспирант», 2017, №10, С. 26-29.

5. Каширина И.Л. Введение в эволюционное моделирование. Воронеж, 2007, 40 С.

6. Кобак В. Г. Методический подход к улучшению работы генетического алгоритма в однородной минимаксной задаче. Вестник Дон. гос. техн. ун-та, 2010, Т 10, № 4(47), С. 474-479.

7. Аль-Хулайди А.А., Чернышев Ю.О. Разработка параллельного алгоритма нахождения оптимального решения транспортной задачи на кластере // Инженерный вестник Дона, 2011, №2. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y2011/445/.

8. Нетёсов А.С. Эволюционно-генетический подход к решению задач оптимизации. Сравнительный анализ генетических алгоритмов с традиционными методами оптимизации // Инженерный вестник Дона, 2011, №3. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2011/459/.

9 Desktop Products Group. Hyper-threading technology architecture and microarchitecture // Intel Technology Journal, 2002, Q1. URL: cs.virginia.edu/~mc2zk/cs451/vol6iss1_art01.pdf.

10 Wessam M. Hassanein. Analyzing the Effects of Hyperthreading on the Performance of Data Management Systems // International Journal of Parallel Programming, 2008, V. 36, PP 206-225.

References

1. Kobak V.G., Zhukovskiy A.G., Kuzin A.P. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2018, №1. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1y2018/4714/.

2. Kobak V.G., Zhukovskiy A.G., Kuzin A.P. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2018, №2. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/N2y2018/4962.

3. Titov D.V., Kobak V.G. Problemy informatiki v obrazovanii, upravlenii, ekonomike i tekhnike, Penza, 2008, PP. 76-78.

4. Kobak V.G., Porkshejan V.M., Kuzin A.P. Nauchno prakticheskij zhurnal «Aspirant», 2017, №10, PP. 26-29.

5. Kashirina I.L. Vvedeniye v evolyutsionnoye modelirovaniye [Introduction to evolutionary modeling]. Voronezh, 2007, 40 P.

6. Kobak V.G. Vestnik Donskogo Gosudarstvennogo Tekhnicheskogo Universiteta, 2010, T 10, № 4(47), PP. 474-479.

7. Al'-Khulaydi A.A., Chernyshev YU.O. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2011, №2. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y2011/445/.

8. Netosov A.S. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2011, №3. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2011/459/.

9. Desktop Products Group. Intel Technology Journal, 2002, Q1. URL: cs.virginia.edu/~mc2zk/cs451/vol6iss1_art01.pdf.

10. Wessam M. Hassanein. International Journal of Parallel Programming, 2008, V. 36, PP. 206-225.