CC BY
35
Диго Г.Б., Диго Н.Б. ПОДХОД К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО СИНТЕЗА НА ОСНОВЕ ДИАГОНАЛЬНОГО РАЗБИЕНИЯ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА ДОПУСКОВ ВНУТРЕННИХ ПАРАМЕТРОВ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Аннотация
Рассматривается использование адаптивного диагонального разбиения параллелепипеда допусков внутренних параметров при нахождении глобального экстремума алгоритмически заданной целевой функции как средства уменьшения объема вычислений в задаче параметрического синтеза технических систем и устройств.
Введение
В традиционном понимании задача параметрического синтеза сводится к выбору таких значений параметров элементов системы (при заданной ее структуре), при которых выполняются условия работоспособности [1]. На практике для решения такой задачи наиболее распространен подход, при котором учет возможных отклонений параметров от полученных расчетных значений и разработка мероприятий, обеспечивающих работоспособность системы при наличии таких отклонений, переносятся на последующие этапы проектирования (а иногда на этапы производства и эксплуатации). Найденный при этом вектор внутренних параметров позволяет говорить только о том, что «номинальный» проект работоспособен. Отклонения параметров от расчетных (номинальных) значений могут привести к потере работоспособности, поэтому можно попытаться найти в некотором смысле оптимальные значения внутренних параметров (например, такие, которые обеспечивают наибольший запас работоспособности или максимальную вероятность выполнения условий работоспособности).
Выбор оптимальных значений параметров далеко не всегда позволяет создать систему с требуемыми потребительскими свойствами, т.е. обеспечить заданное качество ее функционирования. Так, может оказаться, что максимальная вероятность безотказной работы объекта в течение определенного промежутка времени при найденных номинальных значениях параметров не достигает требуемого значения. В этом случае процесс проектирования не может считаться законченным, и приходится искать возможность дальнейшего улучшения решения путем выбора и реализации некоторой стратегии управления параметрами системы (их настройки или регулировки). Предварительным шагом поиска оптимальной стратегии является нахождение максимального значения (оценки) вероятности безотказной работы системы в пределах технологических допусков на ее внутренние параметры. Это задача многомерной глобальной оптимизации, специфика которой состоит в многоэкстремальности целевой функции и неразрешимости в общем случае, поскольку не гарантировано получение решения за конечное число шагов. Сложность ее численного решения вызвана как большой размерностью пространства параметров (и внутренних, и выходных), так и отсутствием достаточной априорной информации о характере целевой функции. Ряд трудностей обусловлен вероятностным характером критерия оптимальности, дефицитом информации о случайных закономерностях процессов изменения параметров проектируемых технических систем, их нелинейностью, необходимостью проводить анализ во временной области. Кроме того, в таких задачах зависимость выходных параметров от значений внутренних параметров, как правило, выражается неявно. Из выше перечисленного следует, что поиск максимума целевой функции связан с достаточно большим объемом вычислений и требует значительных вычислительных ресурсов, поскольку практически единственным конструктивным методом расчета ее значений является метод статистического моделирования (метод Монте-Карло) [1]. Для его практического применения при решении задачи оптимального параметрического синтеза по критерию надежности разработаны методы, обеспечивающие сокращение временные затрат на основе использования технологии параллельных и распределенных вычислений [2-5]. Но проблема сокращения объема вычислений и временных затрат на отдельных этапах проектирования как за счет уменьшения числа циклов анализа системы, так и за счет сокращения точек перебора при поиске максимума целевой функции по-прежнему актуальна.
В докладе предлагается использование подхода, основанного на диагональном разбиении параллелепипеда допусков внутренних параметров для нахождения глобального экстремума алгоритмически заданной целевой функции как средство сокращения числа точек перебора при параметрическом синтезе технических систем и устройств.
Постановка задачи и некоторые подходы к ее решению
Рассматривается техническая система (или техническое устройство), качество работы которой зависят от значений параметров ее элементов X = (х(1),...,х(п)) , хЕКп . Применительно к ней задача параметрического синтеза состоит в выборе номинальных значений параметров элементов исследуемого устройства или системы Хном = (X ном »■■■» ХПНОм) , обеспечивающих максимум вероятности выполнения условий работоспособности в течение заданного времени:
хном = агдтах Р{х(хном, t) е Ох, Vt е [0,7]}. (1)
В (1) Х( XHом, t) - случайный процесс изменения параметров; - область работоспособности; Т - за-
данное время эксплуатации устройства.
Пусть отсутствует априорная информация о форме и ориентации области работоспособности Ох в пространстве внутренних параметров, а исходными данными в рассматриваемой задаче являются условия работоспособности, заданные в виде системы в общем случае нелинейных неравенств
аз - Уз (х) - ьз, з=1,...,т, (2)
у = {У]>т=1 - вектор выходных параметров, а3,Ьз, 3 = 1,...,т , - ограничения на его компоненты,
Уз = (х(1),...,х(п)) , (3)
¥3 (•) - известный оператор, зависящий от топологии исследуемой системы. Зависимости (3) обычно задаются неявно, в алгоритмической форме, в виде численного решения систем уравнений [1-3]. Кроме того, известны технологические ограничения на внутренние параметры, описываемые линейными неравенствами
*/тт^*/^*/тах = (4)
Ограничения (4) в ортогональной системе координат образуют п-мерный параллелепипед допусков В^
ВЛ = {х Е ЯП | XШп - X - Xшх I = 1,...,П} . (5)
В области работоспособности Ох , ограниченной нелинейными функциями внутренних параметров, поиск экстремума целевой функции, заданной алгоритмически, эффективно осуществляется путем распараллелива-
ния таких методов, как случайный поиск или метод сканирования [2-3]. Процедуры случайного поиска связаны с алгоритмами, использующими в процессе отыскания экстремума целевой функции элемент случайности, имеют простую структуру, легко реализуются, малочувствительны к росту размерности множества оптимизации и обладают потенциальным параллелизмом. В методе сканирования допустимая область пространства параметров разбивается на элементарные ячейки, в каждой из которых по определенному алгоритму выбирается точка, в них вычисляются значения целевой функции, а из полученных значений выбирается экстремум. При достаточно густом расположении точек он всегда гарантирует отыскание глобального экстремума [1]. Основная трудность при использовании методов перебора состоит в том, что с увеличением размерности пространства поиска число узлов сетки растет экспоненциально.
Использование алгоритмов глобального поиска, отличных от переборных, требует каких-либо априорных предположений о свойствах рассматриваемой целевой функции, например, ее липшицевости или дифференцируемости. В [6] рассмотрены методы перебора на неравномерной сетке и половинных делений применительно к поиску экстремума целевой функции в задаче оптимального синтеза аналоговых систем с учетом закономерностей производственных и эксплуатационных изменений их параметров и требований надежности. Анализ эффективности их применения показал преимущество метода половинных делений.
Стремление сократить число пробных точек при нахождении максимума алгоритмически заданной целевой функции и тем самым уменьшить количество расчетов в задаче параметрического синтеза технических систем вызвало интерес к методам поиска глобального экстремума, предложенным в [7] и получившим дальнейшее развитие в [8-9]. Они основаны на использовании безызбыточной стратегии адаптивного диагонального разбиения при оптимизации многомерных целевых функций, определенных на многомерных параллелепипедах и удовлетворяющих на них условию Липшица.
Ставится задача применения подхода, основанного на адаптивном диагональном разбиении параллелепипеда допусков внутренних параметров для нахождения глобального экстремума алгоритмически заданной многоэкстремальной целевой функции.
Анализ задачи
Целевая функция
ф(х) = Р{Х(Хном, О Е Ох, Vt Е [0,7]} , (6)
где Р{ ■} - алгоритмически заданная функция, определенная в (1), удовлетворяет в области поиска
(п-мерном замкнутом ограниченном множестве Ох с яп произвольной конфигурации и ориентации) условию Липшица с неизвестной константой Ь.
Задача максимизации многоэкстремальной функции ф(х) ф*= шахф(х), (7)
ХЕОх
определяемой выражением (6), не имеет аналитического решения.
В сформулированной выше задаче параметрического синтеза область Ох из (6)-(7), удовлетворяющая условиям (2)-(3), содержится в параллелепипеде В^ размерности п из (5), который может не являться для нее описанным. Когда В^ можно рассматривать как описанный п-мерный параллелепипед для Ох , задача (7) успешно решается применением методов поисковой оптимизации, приведенных в [3, 5].
Если В не является описанным для области работоспособности Ох, одним из возможных способов сокращения пространства поиска может быть его адаптивное диагональное разбиение [7]. Оно предполагает предварительный переход от границ параллелепипеда допусков В вида (5) к нулевым нижним и единичным верхним границам по каждой переменной, т.е. переход от п-мерного параллелепипеда к п-мерному единичному кубу В0 . Этого без потери общности всегда можно добиться с помощью линейных преобразований.
Использование адаптивного диагонального разбиения обосновано попыткой уменьшить число пробных точек и пространство памяти для хранения характеризующей их информации. Этого, согласно [7-9], можно достичь благодаря эффективному способу расположения выбираемых точек на каждом шаге адаптации и некоторой процедуре, устанавливающей глобальные связи между ними и исключающей дополнительные вычисления максимизируемой функции ф(х).
Описание адаптивной стратегии диагонального разбиения
В описанных выше условиях диагональное разбиение начинается с п-мерного параллелепипеда, единичного п-мерного куба В , каждая сторона которого равна 1.
Согласно выбранной схеме разбиения [7] на первом шаге вычисляется значение ф(х) в вершинах (0,0,...,0) и (1,1,...,1), являющихся концами одной из диагоналей В0 .
На втором шаге В разделяется двумя гиперплоскостями, ортогональными координатной оси х и проходящими через точки (2/3,0,...,0) и (1/3,1,...,1) , в которых вычисляются значения ф(х) . В результате получаем разбиение В0 на три подкуба, в дальнейшем именуемые ячейками.
Прежде чем перейти к описанию к -го шага алгоритма введем некоторые обозначения и пояснения. Обозначим каждую j -ю ячейку В( з). Тогда на первом шаге имеем одну ячейку В(1), причем Во = В(1) , на
3
втором шаге - три ячейки: В(1), В(2) , В(3), при этом в(1) = ив(г') •
/=1
Для описания связи между образующимися в ходе разбиения подъячейками и ячейками, имеющими общие грани с ними и с ячейками, полученными на предыдущих шагах, с каждой ячейкой В( з) свяжем вектор соответствия
г(/) = Гr2,...,ГМ) . (8)
В (8) Г,1 — I — N , - строка, состоящая из п. +1 символа трехсимвольного алфавита {0,1,2}. Набор п.
содержит такое число символов, сколько раз было сделано разбиение, ортогональное координатной оси х. для получения ячейки В( 3) = В(г ,Гь.-гм) .
Тогда гиперкуб В0 обозначается как В(1) = В(0,0,...,0) , а все компоненты вектора г( Л из (8) представлены единственной цифрой 0. Ячейки, составляющие Во на втором шаге, записываются в виде
В(2) = В(00,0,...,0), В(1) = В(01,0,...,0), В(3) = В(02,0,...,0) ,
(9)
имея номера соответственно 2, 1, 3. Вершины ячеек, определяемые как и на первом шаге главными
диагоналями, есть
В(2) : а(2) = (0,0,0,...,0), Ь(2) = (1/3,1,1,...,1) ; В(1) : а(1) = (2/3,0,0,...,0), Ь(1) = (1/3,1,1,...,1) ; В(3) : а(3) = (2/3,0,0,...,0), Ь(3) = (1,1,1,...,1) .
Ці)
Перед выполнением k -го шага В0 является объединением Ь(к ) ячеек В (г) : В0 = ив«.
Отметим, что
координаты точек уже вычисленных вершин не будут храниться в памяти, поскольку они легко восстанавливаются при необходимости с помощью наборов цифр, составляющих числа Г,1 — I — N из (8).
Предположим, что требуется разбить ячейку В( р) = В(Г1, г*2,..., Г) двумя гиперплоскостями, ортогональными самой длинной грани параллельно i ой координатной оси. Для этого необходимы координаты вершин а(рХ Ь(р) , в которых вычислена функция Ф(х) . Их вычисляем по следующим формулам:
3-п (кПі +1) + Ъ
Л=0
П
Ъ ЬЛ
У-0
п
Ъ 3" Ьл
Л=0
в случае 1, 1 < г < N, в случае 2, 1 < г < N, в случае 1, 1 < г < N,
(10)
пг -1
(11)
3 п (кщ +1) +Ъ 3 '’кл, в случае 2, 1 < г < N,
1
Л=0
где ^0,к,. .,к„.-1,кп - цифры, составляющие Г ; случай 1 - число Г содержит нечетное количество цифр случай 2 - все остальные сочетания цифр.
После нахождения координат вершин а(р), Ь(р) переходим к описанию к -го шага разбиения. Ячейка
В( р) разбивается на три равных подъячейки двумя гиперплоскостями, ортогональными самой длинной грани параллельно і -ой координатной оси и проходящими через точки и и V : и = (а,«2,...,аі_!,аі + 2(Ь -аі)/3,аі+1,...,aN) , (12)
V = ь2,...,ьі_ 1,ьі+2(а - ьі )/3,ьі+^...^), (13)
где і = а^тіптах{|ь — ал| :1 < п < N1 . Полученные ячейки В(р(к + 1)) , В(Ь(к) +1) , В(Ь(к +1)) , с учетом Ь(к +1) = Щ) + 2 , определяются своими вершинами
а(1(к) + 1) = а(р(к)), Ъ(Ь(к) +1) = V , (14)
а(Ь(к) + 2) = и, Ъ(Цк) + 2) = Ь(р(к)), (15)
а(р(к +1)) = аЩк) + 2) = и, Ь(р(к +1)) = Ъ(Цк) + 1) = V , (16)
а по ним находятся главные диагонали новых ячеек.
Имея формулы (12)-(16), представим описание новых ячеек, образованных на к -ом шаге, в следующем виде
В(к + 1) = ^г2,...,У^.А* -А, 0,Г^,.-^) ,
В(р) = В(гЬг2 -.,Ъ0\..\-Фп. Iг+1,...,^) ,
В(к + 2) = B(rl,г^..^И^..Ь”.-А. 2г+1,...,^).
Если на первых двух шагах алгоритма в каждой из выбранных вершин ячеек сразу вычислялись значения функции ф(х), то на каждом из последующих шагов k (к>2) таким вычислениям должна предшествовать проверка, определяющая, не находились ли они прежде. По полученным на текущем разбиении векторам соответствия проверяем по имеющейся информации, использовались ли найденные вершины на предыдущих шагах и, следовательно, вычислялись ли в них значения функции ф(х) в точках u и v. Возможны три варианта :
уже вычислены оба значения; вычислено только одно из значений; не вычислялось ни одно из значений.
В первом случае не вычисляется ни одно новое значение ф(х), а в двух других находятся недостающие значения.
Описанный процесс адаптивного разбиения прекращается, когда диагональ ячейки, которая должна быть разбита на текущем шаге, станет меньше, чем заданное Є>0 .
Выбор максимального значения ф(х) осуществляется среди ее вычисленных значений, полученных на всех шагах разбиения.
В силу того что каждая из вершин, получаемых на любом шаге разбиения, может принадлежать различным (вплоть до 2^ ячейкам, вычисление в каждой из них значения максимизируемой функции ф(х) может привести к появлению избыточной информации. Введение векторов соответствия, задаваемых выражением (8), позволяет избежать многократных повторений одних и тех же расчетов и тем самым сократить время
г=1
а =
ь
вычислений и требуемый объем машинной памяти для сохранения необходимой информации, доступ к которой осуществляется через целочисленные координаты векторов соответствия. Кроме того, отпадает необходимость сохранять координаты вершин a(p), b(p) для ячейки В(р), поскольку они легко воспроизводятся по
координатам вектора соответствия r(p).
Заключение
Применение адаптивного диагонального разбиения в задачах оптимального параметрического синтеза на этапе нахождения глобального максимума алгоритмически заданной целевой функции обеспечивает:
• сокращение временных затрат за счет уменьшения количества точек перебора;
• сокращение объема вычислений путем уменьшения числа циклов анализа системы;
• уменьшение объема компьютерной памяти, необходимой для хранения информации.
Опробованная стратегия, предложенная в [7-9], формируя регулярные пробные сетки, отвечает требованиям минимального описания, поскольку каждая промежуточная ячейка на всех шагах поиска имеет не более двух вершин, в которых вычисляется целевая функция. Использование векторов соответствия для установления связей между ячейками из различных шагов разбиения устраняет появление излишней информации.
Работа выполнена при поддержке грантов ДВО РАН 0 6-1-ЭММПУ-054 Программы № 15 отделения ЭММПУ РАН
и 06-III-A-03-070.
ЛИТЕРАТУРА
1. Абрамов О.В. Параметрический синтез стохастических систем с учетом требований надежности. -М.: Наука, 1992.
2. Абрамов О.В., Катуева Я.В. Использование технологии параллельных вычислений в задачах анализа и оптимизации. // Проблемы управления. 2003. №4, С. 11-15.
3. Абрамов О.В., Диго Г.Б., Диго Н.Б., Катуева Я.В. Параллельные алгоритмы построения области работоспособности // Информатика и системы управления, 2004. №2(8), С. 121-133.
4. Абрамов О.В., Катуева Я.В. Параллельные алгоритмы анализа и оптимизации параметрической надежности // Надежность, 2005. № 4, С. 19-26.
5. Катуева Я.В. Параллельный алгоритм дискретной оптимизации на множестве номиналов параметров в задаче параметрического синтеза // Информатика и системы управления, 2005. № 1, С. 114-121.
6. Диго Г.Б., Диго Н.Б. Анализ эффективности поиска глобального экстремума алгоритмически заданной функции на основе методов половинных делений и перебора на неравномерной сетке // Труды VII Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPR0'08. - М.: Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, 2008. С. 512-525.
7. Sergeyev Ya.D. An efficient strategy for adaptive partition of N-dimensional intervals in the framework of diagonal algorithms // Journal of Optimization Theory and Applications, 2000. V. 107. N 1, P. 145-168.
8. Квасов Д.Е., Сергеев Я.Д. Многомерный алгоритм глобальной оптимизации на основе адаптивных диагональных кривых // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2003. Т. 43. № 1, С. 42-59.
9. Sergeyev Yaroslav D. and Kvasov Dmitri E. Global Search Based on Efficient Diagonal Partitions
and a Set of Lipschitz Constants // SIAM: Journal of Optimization, 2006. V. 16. N 3, P. 910-937.
