CC BY
6
ПОДХОД К ФОРМАЛИЗАЦИИ ВЛОЖЕННОЙ КУСОЧНО-ЛИНЕЙНОЙ
РЕГРЕССИИ
С.И. Носков, д-р техн. наук, профессор
Иркутский государственный университет путей сообщения (Россия, г. Иркутск)
Б01:10.24412/2500-1000-2023-1-2-218-220
Аннотация. В работе предложен способ формализации вложенной кусочно-линейной регрессии двух типов, являющихся комбинациями традиционной кусочно-линейной регрессии и функции риска. Оценивание параметров вложенной кусочно-линейной регрессии может быть сведено к решению задачи линейно-булевого программирования.
Ключевые слова: производственная функция, кусочно-линейная регрессия, функция риска, вложенная кусочно-линейная регрессия, оценивание параметров, метод наименьших модулей.
При анализе сложных объектов различных объектов широко применяются методы регрессионного анализа (см., например, [1, 2]). Особенно они востребованы в экономике, где с их помощью разрабатываются эффективные эконометрические моде-
ли.
Пусть при анализе некоторого объекта исследователь, исходя из соображений содержательного и (или) формального характера, считает, что поведение зависимой переменной у определяется значениями независимых переменных х1, х2,..., хт, то есть предполагает наличие регрессионной зависимости у от хь х2,..., хт:
Ук — Р(а> хк1, хк2, ■■■, хкт) + £к, к — 1, П,
(1)
х1,х2,.,хт - ресурсные факторы, в рамках математической экономики разработаны различные типы производственных функций. К числу наиболее известных, наряду с простейшей, линейной, относятся, в частности, следующие [3-5].
где к - номер наблюдения, п - их количество, а - вектор оцениваемых параметров, £к - ошибки аппроксимации, Б - аппроксимирующая функция.
Для случая, когда переменная у представляет собой выпуск продукции, а
1. Функция Кобба-Дугласа у = а0 Х11 + £,а[ > 0, / = 1, т.
2. Функция с постоянной эластичностью замещения
3. Многорежимная функция с различными параметрами крутизны
У
— (l'=iaix^Pl)-Yl/Pl(Xflißix^P2)-Y2/P2+e
4. Функция Солоу
5. Функция Аллена
У — li>jaijxixj T*s=i Psxs +
6. Функция Сато
У — ас П?=1Х*1 }xjp)-/p + е.
7. Функция Кокса-Бокса
ул-1
х}-1
— ас + %i=1 --+ £.
В работе [4] рассмотрена возможность комбинирования приведенных выше классических производственных функций по-
средством использования, в частности, мультипликативных (а, как следствие, и аддитивных тоже) конструкций вида:
F(-) — Fii-Ш-).
(2)
Несколько менее часто по сравнению с перечисленными выше производственными функциями в эконометрике используется производственная функция с нулевой
эластичностью замены ресурсов, или с постоянными пропорциями [3,4,6], в математическом отношении представляющая собой кусочно-линейную регрессию:
х
Ук — шin{alXkl, <X2xk2, ■■■, атхкт} + Ек.
Построение функции (3) целесообразно тогда, когда объем выпуска продукции в исследуемой системе определяется «узким местом», а именно, количеством ресурса, обеспечивающего лишь наименьший возможный выпуск. При этом любое увеличение количества других потребляемых ресурсов не может компенсировать дефи-
(3)
цит лимитирующего фактора. В работе [6] описаны особенности оценивания параметров регрессии (3) методом наименьших модулей [7], сводящимся к решению задачи линейно-булевого программирования.
В работе [8] предложена противоположная по смыслу модели (2) функция риска
ук — max{a,ixkv (l2xk2, ■■■ ,атхкт} + Ек.
Здесь зависимая переменная имеет негативный по отношению к объекту характер, например, риск, уязвимость, угроза и т.д., а независимые факторы являются частными индикаторами этого агрегирующего показателя.
(4)
Возможным способом комбинирования (обобщения) кусочно-линейных регрессий (3) и (4), наряду с формой (2), является введение двух типов вложенных кусочно-линейных регрессий следующим образом.
1. Вложенная кусочно-линейная регрессия первого типа:
ук = тт[тт1е11{а1хк1},... ,тт1е1с{а?хк{}, тах1е11{р1хы},...,тах1е]н{^хк1}} + ек. (5)
2. Вложенная кусочно-линейная регрессия второго типа:
ук = тах{тт1е11[а1хк1},... ,тт1е1с{а? хк1], тах1е11{р1хы},...,тах1е]н{р11хк1}} + ек. (6)
Здесь индексные множества 11Л= ми множества |1,2,...,т} и могут иметь
1, с, ]1,] = 1,Н являются подмножества- непустые попарные пересечения.
Способ идентификации параметров вложенных кусочно-линейных регрессий (5) и (6) может быть аналогичен тому, который используется при оценивании параметров регрессий (3) и (4), и сведен, таким образом, к решению специальным образом сформированных задач линейно-булевого программирования.
Библиографический список
1. Носков С.И., Кириллова Т.К. Регрессионная модель оценки влияния рекреационной деятельности на социально-экономическое развитие территории // Вестник Иркутского государственного технического университета. - 2013. - № 9 (80). - С. 24-28.
2. Носков С.И., Оленцевич В.А., Базилевский М.П. Математическая модель оценки безопасности перевозочного процесса на региональном уровне // Транспортная инфраструктура Сибирского региона. - 2014. - Т. 1. - С. 537-542.
3. Клейнер Г.Б. Производственные функции. - М.: Финансы и статистика, 1986. - 239 с.
4. Носков С. И. Технология моделирования объектов с нестабильным функционированием и неопределенностью в данных. - Иркутск: Облинформпечать, 1996. - 320 с.
5. Минько Э.В., Минько А.Э. Оптимальное управление коммерческими проектами. -Саратов, 2017.
6. Носков С.И., Хоняков А.А. Программный комплекс построения некоторых типов кусочно-линейных регрессий // Информационные технологии и математическое моделирование в управлении сложными системами. - 2019. - № 3 (4). - С. 47-55.
7. Носков С. И. О методе смешанного оценивания параметров линейной регрессии // Информационные технологии и математическое моделирование в управлении сложными системами. - 2019. - № 1. - С. 41-45.
8. Носков С.И. Идентификация параметров кусочно-линейной функции риска // Транспортная инфраструктура Сибирского региона. - 2017. - Т. 1. - С. 417-421.
APPROACH TO FORMALIZING NESTED PIECE-LINEAR REGRESSION
S.I. Noskov, Professor
Irkutsk State Transport University
(Russia, Irkutsk)
Abstract. The paper proposes a method for formalizing nested piecewise linear regression, which is a combination of traditional piecewise linear regression and a risk function. Estimating the parameters of a nested piecewise linear regression can be reduced to solving a linear Boolean programming problem.
Keywords: production function, piecewise linear regression, risk function, nested piecewise linear regression, parameter estimation, least absolute deviation method.
Отметим, что в формулах (5) и (6) отражен первый порядок вложенности. Он может также вторым, третьим и т.д.
Автор намерен заняться дальнейшим исследованием вложенных кусочно-линейных регрессий.
