CC BY
5
УДК 535.374:621.375.8
ПОДАВЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫХ НЕУСТОЙЧИВОСТЕЙ В ШИРОКОАПЕРТУРНЫХ ЛАЗЕРАХ С МОДУЛЯЦИЕЙ НАКАЧКИ ПРИ ПОМОЩИ ОПТИЧЕСКОЙ ИНЖЕКЦИИ
Е.А. Ярунова1'2, А. А. Кренц1'2, Д. А. Анчиков1, Н.Е. Молевич1'2
В работе теоретически исследована динамика широко-апертурного лазера с временной периодической модуляцией параметра накачки и инжекцией внешнего оптического излучения. Показано, что инжекция эффективно подавляет поперечные неустойчивости, возникающие в результате модуляции накачки. Найдены параметры инжектируемого сигнала, при которых происходит эффективное подавление поперечных неустойчивостей.
Ключевые слова: широкоапертурные лазеры, оптическая инжекция, поперечные неустойчивости, стабилизация излучения.
Введение. В современных оптических системах связи полупроводниковые вертикально излучающие лазеры, а также микрочиповые твердотельные лазеры являются наиболее часто используемыми источниками излучения. Они обладают компактными размерами, а особенности геометрии обеспечивают генерацию на единственной продольной моде. Несмотря на эти достоинства, они обладают также важным недостатком, ограничивающим их применение во многих приложениях: генерация пространственно некогерентного излучения в режимах большой мощности. Дело в том, что увеличение мощности таких лазеров достигается за счет увеличения поперечных размеров активной среды. Как следствие, лазер начинает генерировать большое количество поперечных мод, нелинейное взаимодействие между которыми как раз и приводит к генерации лазером пространственно-временного хаоса.
1 Самарский национальный исследовательский университет имени академика С. П. Королёва, 443086 Россия, Самара, Московское шоссе, 34; e-mail: elisabetayarunova@yandex.ru.
2 Самарский филиал Физического института им. П. Н. Лебедева РАН, 443011 Россия, Самара, ул. НовоСадовая, 221.
На сегодняшний день существует несколько подходов для стабилизации излучения широкоапертурных полупроводниковых и твердотельных лазеров: структурированная обратная связь [1], фазово-сопряженная обратная связь [2], фурье-селекция поперечных мод [3] и другие. Во всех этих методах использование внешних элементов снижает надежность устройства, в то время как оно становится менее компактным. Было обнаружено, что происхождение сложной пространственно-временной динамики лазеров в значительной степени обусловлено волновой неустойчивостью режима пространственно-однородной генерации [4, 5], которая приводит к хаотической пространственно-временной динамике лазера в поперечной плоскости. В последние несколько лет развитие получили методы стабилизации динамики широкоапертур-ных лазеров, связанные с пространственной и временной модуляцией параметров лазера. В работе [6] рассмотрена двумерная пространственная модуляция коэффициента усиления, которая может быть достигнута с помощью периодической сетки электродов для полупроводников с накачкой электрическим током. Исследование предсказывает пространственную (угловую) фильтрацию излучения, которая приводит к существенному улучшению пространственного качества пучка при усилении. Недавно была предложена периодическая пространственно-временная модуляция накачки для улучшения качества излучения полупроводниковых лазеров [7]. Подобные методы позволяют добиться лишь частичной стабилизации излучения. Это означает, что вместо генерации пространственно-временного хаоса лазер начинает излучать более упорядоченный поперечный профиль, однако избавиться от его пространственной и временной модуляции полностью не удается. В предшествующих работах [8, 9] показано, что внешняя оптическая инжекция подавляет волновую неустойчивость, присущую широкоапертур-ным лазерам, и позволяет добиться пространственно-однородной генерации лазера даже в случае отстройки частоты генерируемого излучения от частоты инжектируемого излучения.
Прямая временная модуляция накачки является распространенным методом передачи полезного сигнала в высокоскоростных оптических каналах связи. В работах [8, 10] показано, что модуляция параметра накачки в широкоапертурных лазерах приводит к неустойчивости Фарадея (параметрической неустойчивости) и возникновению нерегулярных поперечных структур поля. Даже если подобрать параметры работающего лазера такими, чтобы в исходной системе не было волновой неустойчивости, то модуляция параметра накачки все равно приводит к неустойчивости Фарадея и генерации пространственно-временного хаоса.
В данной работе исследуется возможность подавления неустойчивости Фарадея, возникающей вследствие модуляции параметра накачки, с помощью инжекции внешнего оптического излучения.
Теоретический анализ. Математическое моделирование пространственно-временной динамики широкоапертурного лазера с инжекцией внешнего оптического излучения проводилось с помощью системы уравнений Максвелла-Блоха [11]:
дЕ дР
— = гаА±Е + а (Р - (1 - г5)Е + Егпзет) , — = -(1 + г5)Р + ДЕ,
dt ---^ v 4 ' -j , > dt
О 7 \ -1
d D — r(t) + ^(E*P + P*E)
dt "7
(1)
где E, P, D - безразмерные огибающие электрического поля, поляризации и инверсии населённости, соответственно; 7 = 7у/7± и а = fc/7±, где 7^, 7|| и k - скорости релаксации поляризации среды, инверсии населённости и электрического поля в резонаторе, соответственно; 8 = (ш2\ — ш)/(y± + k) - обезразмеренная отстройка между центром линии усиления и частотой резонатора; Д^ - двумерный поперечный лапласиан, а = c2/(2u^±d2) - дифракционный параметр, где d - характерный пространственный размер задачи; r - величина накачки, нормированная на её пороговое значение. Внешняя инжекция характеризуется двумя параметрами: Einj - амплитуда электрического поля инжектируемого оптического излучения и 9 - частотная расстройка между инжектируемым сигналом и генерируемым излучением. Зависимость величины накачки от времени имеет вид: r(t) = r0(1 + m ■ cos(Qmodt)), где m - глубина модуляции, Qmod -частота модуляции. Предполагается, что лазер работает на единственной продольной моде, а активная среда имеет однородно уширенную линию. Данное приближение применимо при моделировании твердотельных и газовых лазеров, а также для полупроводниковых лазеров на квантовых точках (КТ), поскольку КТ обладают симметричной формой спектра, что приводит к очень слабой амплитудно-фазовой связи.
Простейшее решение системы уравнений (1) при r = const имеет вид бегущей волны:
E(t, r) = Est ■ exp(i(q ■ r + fit)), P(t, r) = Pst ■ exp(i(q ■ r + fit)), D(t, r) = Dst, (2)
где r - двумерный (поперечный) радиус-вектор, q - поперечное волновое число. Решение (2) справедливо для бесконечно широкого резонатора, в случае же наложения реальных граничных условий с учетом формы зеркал, простейшими решениями системы (1) являются поперечные моды резонатора, где q соответствует волновому числу поперечной
моды. В таком случае фундаментальной моде будет соответствовать д = 0, а поперечным модам высших порядков соответствует д = 0. Прямой подстановкой решения (2) в исходную систему (1) несложно получить стационарные значения [12]:
Хорошо видно, что частота П = П(д) является функцией волнового числа д, и таким образом, поперечные моды оказываются разделены в частотной области. Несмотря на то, что система (1) описывает лазер, работающий на единственной продольной моде, весь спектр поперечных мод оказывается учтен автоматически за счет включения в модель двумерного лапласиана. Динамика лазера критически зависит от знака и величины параметра отстройки 8. Как показано в [12], при 8 < 0 широкоапертурная лазерная система выбирает пространственно-однородное решение с д = 0. В работе [4] было проведено исследование устойчивости этого решения по отношению к бесконечно малым пространственно-временным возмущениям и показано, что в широкоапертурных лазерах динамического класса В (к ним относятся полупроводниковые, твердотельные и газовые лазеры) режим пространственно-однородной генерации с д = 0 оказывается неустойчив уже при малых значениях модуля 8, при этом реализуется волновой тип неустойчивости. Развитие неустойчивости приводит к филаментации излучения и генерации пространственно-временного хаоса. Как уже было сказано выше, наряду с волновой неустойчивостью, в широкоапертурном лазере с модуляцией накачки возникает также параметрическая неустойчивость [10]. Целью данной работы является исследовать возможность подавления обоих типов неустойчивостей с помощью инжекции внешнего излучения.
Хорошо известно, что отклик лазера на модуляцию параметра накачки имеет резонансный характер. Отклик лазера наиболее выражен при частоте модуляции, равной частоте релаксационных колебаний Пто^ = \fbjYf{Е^^р/Д^, поэтому в данной работе будет рассмотрен именно этот случай.
Результаты и их обсуждение. Численное моделирование системы уравнений Максвелла-Блоха с учетом инжектируемого излучения Е^, модуляции параметра накачки и отстройки между частотой генерируемого и инжектируемого излучения 9 проводилось с помощью псевдоспектрального метода расщепления по физическим факторам (БрШ^ерЕоипегМеЛоё). Для полупроводниковых лазеров характерны следую-
щие параметры [13]: 7^ ~ 1013 о-1, к ~ 2.5 • 1011 е-1, 7ц ~ 5 • 109 е-1, тогда безразмерные параметры модели (1) равны а = 0.025, 7 = 5 • 10-5, также для определенности зафиксируем параметр 8 = -0.15 и параметр накачки г = 2. При выборе характерного пространственного размера й =10 мкм дифракционный параметр равен а = 6 • 10-4.
х1(Г3
-2
(а)
/
/с
0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01
-1-1-1-1-1-1— -'--^- / (б) -
\ \ \\ \\ / /7 // / / // X
10 20 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04
Рис. 1: (а) Показатели Флоке. Л: Е^ = 0, т = 0.5, Б: Е^ = 0.03, т = 0.5, О: Е^ = 0.05, т = 0.5. (б) Бифуркационная диаграмма границ стабилизации излучения (пояснения в тексте).
На рис. 1(а) изображены дисперсионные кривые, показывающие зависимость инкремента нарастания малого возмущения от волнового числа этого малого пространственно-временного возмущения. График был получен численно с помощью теории устойчивости Флоке, обобщенной для пространственно-временных (распределенных) динамических систем [14], для т = 0.5 и при частоте модуляции, равной частоте релаксационных колебаний. Инкременты нарастания в этой теории совпадают с показателями Флоке. Хорошо видно, что при Ещ = 0 существует область волновых чисел с положительным инкрементом, что соответствует неустойчивости. Однако уже при небольших значениях инжектируемого излучения возмущения с любым волновым числом затухают (инкременты отрицательные), т. е. режим приосевой пространственно-однородной генерации оказывается устойчив.
Построенные бифуркационные диаграммы (рис. 1(б)) определяют пороговые границы инжектируемого сигнала, начиная с которых, при данном т и в, будет наблюдаться стабилизация излучения широкоапертурного лазера (для определенности выбрано три значения т = 0, т = 0.25 и т = 0.5). Рост т приводит к росту порогового значения. Эффективное подавление неустойчивых поперечных мод при т = 0.5 происходит при
параметрах, находящихся в области рисунка выше кривой с точками, при m = 0.25 - в области выше пунктирной кривой, при m = 0 - в области выше сплошной кривой.
Заключение. В представленной работе проведено исследование пространственно-временной динамики широкоапертурного лазера с модуляцией параметра накачки и инжекцией внешнего оптического излучения с учетом частотной расстройки между частотой генерируемого и инжектируемого излучения. Показано, что инжекция подавляет как волновую неустойчивость, присущую полупроводниковым и твердотельным лазерам, так и фарадеевскую неустойчивость, возникающую в результате модуляции параметра накачки. Определены области параметров инжектируемого излучения, при которых происходит стабилизация излучения при различных значениях глубины модуляции. Интерес к данной тематике обусловлен техническим прогрессом оптических информационных технологий.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ № 18-32-00704 мол-а, Министерства науки и высшего образования РФ (Государственное задание по теме 00232019-0003, FSSS-2020-0014).
ЛИТЕРАТУРА
[1] S. Wolff, H. Fouckhardt, Opt. Express. 7(6), 222 (2000). DOI: 10.1364/oe.7.000222.
[2] D. H. DeTienne, G. R. Gray, G. P. Agrawal, and D. Lenstra, IEEE J. Quantum Electron. 33(5), 838 (1997). DOI: 10.1109/3.572159.
[3] S. Wolff, D. Messerschmidt, and H. Fouckhardt, Opt. Express. 5(3), 32 (1999). DOI: 10.1364/oe.5.000032.
[4] A. V. Pakhomov, N. E. Molevich, A. A. Krents, and D. A. Anchikov, Opt. Commun. 372, 14 (2016). DOI: 10.1016/j.optcom.2016.03.089.
[5] Д. А. Анчиков, А. А. Кренц, Н. Е. Молевич, А. В. Пахомов, Краткие сообщения по физике ФИАН 41(8), 21 (2014). DOI: 10.3103/S1068335614080041.
[6] R. Herrero, M. Botey, M. Radziunas, and K. Staliunas, Opt. Lett. 37(24), 5253 (2012). DOI: 0146-9592/12/245253-03S15.00/0.
[7] W. W. Ahmed, S. Kumar, R. Herrero, et al., Phys. Rev. A 92, 043829-1 (2015). DOI: 10.1103/physreva.92.043829.
[8] A. V. Pakhomov, R. M. Arkhipov, and N. E. Molevich, J. Opt. Soc. Am. B 34(4), 756 (2017). DOI: 10.1364/JOSAB.34.000756.
[9] Е. А. Ярунова, А. А. Кренц, Д. А. Анчиков, Н. Е. Молевич, Краткие сообщения по физике ФИАН 46(4), 33 (2019). DOI: 10.3103/S1068335619040067.
[10] N. E. Molevich, A. A. Krents, and D. A. Anchikov, J. Opt. Soc. Am. B 34(8), 1733 (2017). DOI: 10.1364/J0SAB.34.001733.
[11] A. V. Pakhomov, N. E. Molevich, A. A. Krents, and D. A. Anchikov, Computer optics 40(1), 31 (2016). DOI: 0.18287/2412-6179-2016-40-1-31-35.
[12] P. Jacobsen, J. Moloney, A. Newell, and R. Indik, Physical Review A 45(11), 8129 (1992). DOI: 10.1103/physreva.45.8129.
[13] J. Ohtsubo, Semiconductor Lasers. Stability, Instability and Chaos. Third Edition (Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2013), 570 p. DOI: 10.1007/978-3-642-30147-6.
[14] B. Pena, M. Bestehorn, The European Physical Journal Special Topics 146(1), 301 (2007). DOI: 10.1140/EPJST/E2007-00188-5.
Поступила в редакцию 23 января 2020 г.
После доработки 22 декабря 2020 г.
Принята к публикации 23 декабря 2020 г.
Публикуется по результатам XVII Всероссийского молодежного Самарского
конкурса-конференции по оптике и лазерной физике (Самара, 2020).
