Податливость газодинамического подшипника с эластичным компенсатором перемещения Текст научной статьи по специальности «Математика»

Journal of Siberian Federal University. Engineering & Technologies, 2017, 10(5), 657-663

УДК 621.9: 621.89

Compliance of Gas-Dynamic Bearing with Elastic Compensator of Movement

Vladimir A. Kodnyanko and Andrei S. Kurzakov*

Siberian Federal University 79 Svobodny, Krasnoyarsk, 660041, Russia

Received 09.04.2017, received in revised form 22.06.2017, accepted 29.07.2017

The design, the mathematical model and calculation method of compliance of a gas-dynamic bearing with elastic compensator of movement presented. It is shown that the bearing can have an arbitrarily small positive as well as negative and zero compliance.

Keywords: gas-dynamic bearing, compliance of bearing, negative compliance, zero compliance, elastic compensator of movement.

Citation: Kodnyanko V.A., Kurzakov A.S. Compliance of gas-dynamic bearing with elastic compensator of movement, J. Sib. Fed. Univ. Eng. technol., 2017, 10(5), 657-663. DOI: 10.17516/1999-494X-2017-10-5-657-663.

Податливость газодинамического подшипника с эластичным компенсатором перемещения

В.А. Коднянко, А.С. Курзаков

Сибирский федеральный университет Россия, 660041, Красноярск, пр. Свободный, 79

Представлена конструкция, приведены математическая модель и методика расчета податливости газодинамического подшипника с эластичным компенсатором перемещения. Показано, что подшипник может обладать сколь угодно малой положительной, а также нулевой и отрицательной податливостью.

Ключевые слова: газодинамический подшипник, податливость подшипника, отрицательная податливость, нулевая податливость, эластичный компенсатор перемещения.

Введение

Подшипники, обеспечивающие отсутствие контакта между движущейся деталью и корпусом, находят широкое применение в технике. Их преимуществами являются чрезвычайно малое трение и отсутствие износа даже при высоких частотах вращения. В качестве смазочных

© Siberian Federal University. All rights reserved

Corresponding author E-mail address: [email protected], [email protected]

сред в таких подшипниках используются жидкости либо газы. Применение жидкости позволяет получить жёсткость, сопоставимую и даже превосходящую подшипники качения. Однако при высоких скоростях скольжения существенную роль играет тепловыделение: вязкость жидкостей при нагревании может снижаться в десятки раз. Газовая смазка не имеет этого недостатка, поскольку при нагревании газа плотность незначительно возрастает. Кроме того, само тепловыделение в газовом подшипнике многократно ниже по причине весьма малой вязкости газа.

Интерес вызывают газодинамические подшипники, в которых несущая способность слоя газовой смазки создается за счет гидродинамического эффекта [1]. Такие подшипники находят применение в малонагруженных приборах и в некоторых видах технологического оборудования [1]. Их применение в машиностроении ограничивается по причине малой несущей способности и высокой податливости, для снижения которой традиционными методами приходится уменьшать рабочие зазоры подшипников либо увеличивать их частоту вращения и диаметр. При этом возникают очевидные конструкторские и технологические ограничения.

В настоящей работе предложен и рассмотрен газодинамический подшипник с активным управлением положения смазываемых элементов. Конструкция подшипника показана на рис. 1.

Цапфа 1поддержи ваетсягазовым слоем 2,разделяющимповерхностицапфы и опорной втулки 3 орквращгпии. В оалкчие оасрадиопкнной конструкции подшипнавот опгрная втулка Свыполпенаисдтижнсй. Воаможность еёсмещонияобеспечотас тсяолаеввчнтИ прокладкой 4. Во втулке 3 выполнены отверстия 5, выходящие в непроточные полости 6, образованные эластичной прокладкой 4, корпусом 7 и опорной втулкой 3. При вращении цапфы 1 в несущем слое подшипника возникает газовый клин, разделяющий поверхности цапфы 1 и опорной втулки 3. При этом в нагруженной и разгруженной областях подшипника в соответствующих полостях 6 компвилaтoиа, в которые опоскaиез скиротивления овладеет из пзклщего илакр чеогоoтвер-

Рис. 1. Газодинамический подшипник: а - осевой разрез; б - развёртка эластичной прокладки и опорной втулки

стия 5, повышается и понижае тсядавление,поддействием чегопр оисходит смещение опорной втулки 3 навстречу вектору внешней силы. Этот эффект обеспечивает снижение суммарной податливостицапфы относительно асфпуса подшипника.

Математнческое модели ров ание

Функция давления ф) в нееулцем г-азоеом слоеподшиинниа -

даче для дифференциал ьного у равней ия Рей нольдса [2]

1

д (, t dpz h p— дф

дф

+ «. д „>p!t U^iM,

dz ^ dz) дф

p(z, 0) = p(z, 2Ti),|P-(z, 0) = ■дР(м, ф) = 0, р(/, ф) = pa

дф дф дz

(1)

где z, ф-продольная и ооружная коо удинЕты; р о радщ^с цапфы; I - половина длиныпод-шипника; ц - динамическая вязкость газовой смазки; ю - угловая скорость вращения цапфы; й(ф) = h0 - e cos ф - функция зазора в смазочном слое; h0 - толщина слоя смазки при центральном положении цапфы; e -эксцентриситетцапфы ивтулки; pa - давлениеокружающейсреды.

При досооворноСюовшомлислееекщш элкятичноо про кладкиЗфуикцию раопределооия дооленио ic иямиенсктореРмкжносчикать моюд^^и^монр^^^ес^киР: и давтениевних праКпиженно опекагкоднноерной оо нюриев^а^(о,е)Р кдаСнрасстояниеекясиовекнойнлоскосоисимметрии подшивнлка до класкоста ракекнеоп^^ля сонерктей 5, через которые сжатая смазка поступает вполостикомпенсатора.

Расчет податливости подшипника проведен в безразмерной форме. За масштабы основных величин приняты: наружный радиус r0 для линейных размеров, pa - для давлений, 2nr02pa - для сил, hо - для смазочнодо вазорт иокскенткиеитетоД: Безитзмефным анеооекм ф) яввдевсе зядсрс

ap

дф

H3 P

д ф

А

GnZ

H'pZP^xddiPHl

dZ

дф

P(Z, 0) = P(Z, Ил),дР (Z,0) =др (Z, Ил), ■др (0, ф) = 0, P( L, ф) = Я.

дф) Лф дZ

(2)

Здесь Н(ф) = 1 - е cos ф - безразмерная функция зазора; е - относительный эксцентриситет цап(Д^1; Р - полорина беподшиплииа; P(Z, ф) - безразиерная ления в несущем слое; Z - безразмерная продольная координата; Л = r02 / h02pa - «число сжимаем ости» газовойп лерка Р].

Ннссмотрпм фтабооу подшипникспои малых поперечкек арремещения?£ цапфы е << 1. В этол саепан задачафЖ) может 6ьггьупрощоднпосрддством рп линеарпзециа.Нахождение ее решениядроседем в бемпоексфок формер]. Дфяэбсерколожим

H(ф) = 1 - ее"'9, P(Z, ф) = 1 + U(Z)ее-ф.

После линеаризации(2)и разделения переменных, получим задачу дляфункции U(Z)

- 659 -

U"- (1-гЛ)[/=г'А, U'(0 ) = 0, U (L ) = 0.

Решением йтой задачи является функция

UZ ^CLZLi

Г { chlL где; Л = лД-Тл.

Комплексная фокма беоряумерной тесутцей споиобносое лодшяпчика определяетсс выражен ием

2п 1 , 2i L

= ( Г Т — im I 1 ф t r-r t AZ

где

■ 2iL i 2n L

) = - J" J(P — l) e'^d/ldí} = - J J" Re {ed }elфdZdф = A

П 0 0 П 0 0

4 =-7 1 =2

/А fthAL

/A

-i.

Л

V У

Модуль глалного ттетора реакции неспщогл олоя подзоипнука р ав зн рействующей на цап-с^рс ннешней силе

| A\б = F.

С наружной стоооаы оанлкл носущей спалобнорти пролиотдяйствует сила

(3)

W— } - J= [Р (R(, ф) -l] eTdZd(- = - j Jf Re {(})se-í<d } e'"dZdq = A2s,

П г, г, П n r,

2n 14

2n L4

0 0 ""0 0 где iKm - НезрянуерныП нору жньш радиус втулки, L4 = L - 0.5L2 - L3,

A iAL.R

= _ _4 m

X2

chlLj chXL

A

-1

Проекция эксцентриситета втулки икорпуса на главный вектор реакции подшипника определяется выражением

Rm = КтЩА - A} в,

(4)

где Кт - коэМфициент податлииости эластичной ирокладки.Этосоотношение представляет робойуравнение цисовэгк равнокесия втулки.

Сум марныйклецентрисикетцавфыико рпуса равен

8„ = s + 8„

(5)

Решив систему линейных уравнений (3) - (5), получим искомую формулу податливости подшипникаотносительно его корпуса в направлея ии денствия гловпогоооктора реакции несущего слоя

= 1 + Km Re{A -4}

F Щ "

-66Э -

В пмедельном случае Л —> со имqqmA0=L, А2 =RmLb, поэтому при больших угловых ско-ростяхвращения цапфы податли=ость подшиивика может быть оценена с помощью более про-стойформулы

1 - C4K (R -1)

K =-4 тУ т—(6)

с

Результаты исследования

На рис. 2 представлены зависимости податливости K подшипника от «числа сжимаемости» Л. Кривая для Km = 0 (абсолютно жесткая прокладка) соответствует обычному газодина-мическомуподшипнику. В нем зависимость К(Л) является монотонно убывающей функцией.

С увеличением Km, когда прокладка приобретает упругие свойства, податливость подшипника уменьшается и может достигать нулевого или отрицательных значений (цапфа относительно корпуса не смещается либо движется во встречном по отношению к внешней силе направлении). При этом зависимости К(Л), как видно на рис. 2, приобретают унимодальный характер,которыйпроявляетсянанихввидеэкстремума-минимума.

Экстремальный характер кривых можно объяснить исходя из анализа эпюр функции |U(Z)|, которые показаны на рис. 3. Кривые характеризует продольную конфигурацию газового клина, который образуется в несущем слое подшипника в результате гидродинамического эффекта. При относительно малых значениях параметра Л перепад давления в газовом клине, как видно на графиках, мал и наибольшие его значения приходятся на узкую область центральной части несущего слоя. Если питающие компенсатор отверстия расположены в этой части подшипника, то превосходство интегральной реакции постоянного по длине компенсатора давления, которое значительно превышает соответствующий показатель в несущем слое, способствует быстрому уменьшению податливости до ее минимального значения. С увеличением частоты вращения цапфы при умеренных значениях параметра Л размер газового клина быстро расши-

Рис. 2. Зависимости податливости К от «числа сжимаемости» Л при различных значениях податливости Кт эластичной прокладки,/, = 1.5,,и = 0.2,Ь= = Ь3=0.1,Кт =1.2

Рис. 3. Функция | ЩФ) | при различных значениях «числа сжимаемости» Л, .0=1

ряется, давление в нем возрастает, что влечет ослабление силового противодействия реакции несущего слоя со стороны сил давления в компенсаторе.

В ре зульматп птсчо при далинчйшемшвчшгениичасхоты в»ащения цапфыХункция по-датливостимчняет твчй хаиантери,доскионув ивьего мриирумч, начянаеж .величиваться. При этом,ихм следует из анализа формулы (6), подшипник может обладать низкой положительной, нульмой и ктринптельвоР подприивытоких ямсвхаа» вращения цжпфпв.

Упомвнутый харвравр эиюр функции |ТН (Зи)! позволяьчуправнятъ жераммым видом харак-терисяикипхдяяръвocмъ х»(Л( посредством назначения требуемого значения параметра Ьи а также парамвв40в42и» 3. Кмк тиднн на рис. 4, имм больше хначвние марамввра ,ачтем больше и абсцисса м иниму ма 4Т(Л),

Сувелиимнием»! минимальные аихмвмняИавчхчкви свчсремума расяут, однако их всегда можнм ум»нмшиаь,увьличив подаслиоость А3„энастичной пракладчн.Тмк, 5 опти-

мальным сточки зрения минимума податливости является Л ~ 9. Если Ь1 = 0.5, то минимум податливости имеет место при Л ~ 32, а при Ь1 = 0.75 оптимальным будет значение Л ~ 160.

На рис. 4 видно также, что с увеличением значений параметра Ь1 характеристика податливости К(Л) в области экстремума становится более стабильной.

Заклю чение

Представленная математическая модель статического состояния рассмотренного газодинамического подшипника, аналитическое решение дифференциальной задачи, полученное в комплексной форме, дают возможность выполнить исследование его статической податливости.

Полученные результаты позволяют сделать вывод о возможности существенного снижения податливости конструкции, а также достижения очень низких, нулевых и отрицательных

К 1.5

1.0

0.5

0.0

-0.5

-1.0

-1.5

-2.0

Рис. 4. Зависимости податливости K от «числа сжимаемости» Л при различных значениях параметра Ь1, Ь = 1, ¿2 = £з= 0.1,Я„,= 1.2,Г,„ = 8

величин, когдатакие подшипникиспособны компенсировать положительную податливость другихэлементов консерунцио, вкооорыи оно иопольднются.

Показано, что при соответствующем подборе конструктивных параметров можно получить требуемые статические характеристики подшип ника.

Список литературы

[1] Шейнберг С.А., Жедь В.П., Шишеев М.Д. Опоры скольжения с газовой смазкой. М.: Машиностроение, 1979. 335 с. [Sheinberg S.A., Zhed V.P., Shisheev M.D. Sliding bearings with gas lubrication. Moscow, Mashinostroenie, 1979, 335 p. (in Russian)]

[2] Константинеску В.Н. Газовая смазка. М.: Машиностроение, 1968. 718 с. [ConstantineHCpVN. Gas /p^i'co.'ob.MHScow, Maslmostrconie, 1960,718T.(inRu6oien)]

[°] ДювдоьдпВ.Н. 'озв.отамвчвокио подшипдтпо.Лв. Машиностроение, °976. (08 с. [Drozdovic0 V.N. Gaa-dynamiobeaomga. Lnningrail, МдоЫповВдптк, (уде,20ь с До RusKrnn)]

! \

0.75

4,

> <<

/X

4 0.5

£=0.25

~ I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I

0 40 80 120 160 Л