CC BY
3
ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 15. ВЫЧИСЛ. МАТЕМ. И КИБЕРН. 2023. № 3. С. 49-55 Lomonosov Computational Mathematics and Cybernetics Journal
УДК 519.712
С. С. Марченков1
ПОЧТИ ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ ВОЗВРАТНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ С АЛГОРИТМИЧЕСКИ НЕРАЗРЕШИМЫМИ ПРОБЛЕМАМИ
Рассмотрены возвратные последовательности над множеством целых чисел, у которых в качестве порождающих функций используются произвольные суперпозиции полиномиальных функций и функций, близких к полиномиальным, — почти полиномиальные возвратные последовательности. Выделена серия функций вида Ь • ]г(х). Каждая из этих функций вместе с полиномиальными функциями позволяет строить порождающие функции, которые дают возможность определять почти полиномиальные возвратные последовательности, моделирующие вычисления на машинах Минского. На основе этого результата сформулированы алгоритмически неразрешимые проблемы, связанные с данными почти полиномиальными возвратными последовательностями. Получены следствия, которые существенно расширяют круг функций, способных порождать возвратные последовательности с алгоритмически неразрешимыми проблемами.
Ключевые слова: почти полиномиальные возвратные последовательности.
Б01: 10.55959/М8и/0137-0782-15-2023-47-3-49-55
Введение. Пусть М — непустое множество, /(х1,... , хг) — функция на М. Возвратная (рекуррентная) последовательность порядка г над множеством М есть последовательность
0,1,0,2,0,3, ... (1)
элементов множества М, которая при любом п ^ 1 удовлетворяет соотношению
ап+г - /(ап, ■ ■ ■ , ап+г—1)-
Возвратная последовательность (1) полностью определяется первыми г членами 01,...,аг и функцией /, которую будем называть порождающей функцией последовательности (1).
Если функция / линейна, то возвратная последовательность (1) называется линейной. Линейные возвратные последовательности (ЛВП) полностью охарактеризованы, когда М — поле комплексных чисел [1] или поле Галуа [2]. В этих случаях они определяются через корни соответствующих характеристических многочленов.
Насколько сложной может быть ЛВП? Здесь следует отметить, что для ЛВП (над полем рациональных чисел) некоторые "естественные" алгоритмические проблемы либо труднорешаемы, либо пока остаются открытыми (см. [3] и приведенную там литературу). В частности, до сих пор неизвестно, существует ли алгоритм для решения проблемы Сколема (определить, принадлежит ли число 0 данной возвратной последовательности).
Существенно более общим объектом, нежели возвратная последовательность, является (дискретная) динамическая система [4]. Для дискретных динамических систем также можно сформулировать целый ряд различных алгоритмических проблем. Среди них имеются как разрешимые, так и неразрешимые проблемы (см., например, [5]).
Если порождающая функция возвратной последовательности полиномиальна, но нелинейна, то в общем случае не известно никаких результатов о строении порождаемой возвратной последовательности (даже когда М — множество натуральных чисел). Имеется лишь результат о том, что для целочисленных полиномиальных возвратных последовательностей некоторые алгоритмические проблемы могут быть ЕХРБРЛСЕ-полными [6].
1 Факультет ВМК МГУ, проф., д.ф.-м.н., e-mail: [email protected]
Чтобы оценить "сверху" сложность алгоритмических проблем, возникающих для полиномиальных возвратных последовательностей, в работах [7-9] рассматривались возвратные последовательности, порождающие функции которых "близки" к полиномиальным функциям. Точное определение "близости" к полиномиальным функциям, по-видимому, дать невозможно. Мы старались, чтобы, с одной стороны, такие функции были хорошо известны в общематематической практике, а с другой стороны, чтобы для получаемых возвратных последовательностей некоторые "естественные" алгоритмические проблемы были неразрешимы. Укажем лишь две такие "почти полиномиальные" функции sg(x) и |х|, добавление каждой из которых к полиномиальным функциям приводит к указанному алгоритмическому эффекту.
В настоящей статье мы продолжаем линию работ [8, 9] и обращаемся к изучению возвратных последовательностей, когда М — множество целых чисел, а порождающие функции / возвратных последовательностей получаются суперпозициями полиномиальных функций и некоторых "почти полиномиальных" функций. Прежде всего нас будут интересовать функции вида Ь ■ ]г(х) — индикаторные функции числа г. В терминах таких функций удается промоделировать возвратными последовательностями вычисления на многоленточных машинах Минского. Отсюда сразу выводится алгоритмическая неразрешимость ряда проблем для рассматриваемых возвратных последовательностей. К функциям вида Ь-]г(х) удается свести еще целый ряд функций как с конечным, так и с бесконечным числом значений.
Основные понятия. Пусть Ъ — множество целых чисел, N — множество целых неотрицательных чисел, Р — множество всех полиномиальных функций, определенных на Ъ. Если / — произвольная функция, определенная на Ъ, то пусть Pf обозначает множество всех функций, реализуемых суперпозициями функций множества Р и {/}. Пусть далее г € Ъ. Обозначим через (х) функцию, которая равна 1 при х = г и равна 0 в остальных случаях.
В дальнейшем нас будут интересовать такие (преимущественно одноместные) функции /, для которых в множестве Р/ имеются функции, порождающие возвратные последовательности с алгоритмически неразрешимыми проблемами. Поскольку общий вид подобных проблем описать не представляется возможным, мы будем в основном ориентироваться на алгоритмические проблемы, которые рассматриваются после теоремы 1. Кроме того, чтобы избежать громоздких формулировок, функции / с указанным выше алгоритмическим свойством множества Р/ будем называть граничными. Отметим еще, что ввиду огромного многообразия граничных функций мы сосредоточим внимание на наиболее простых граничных функциях, расположенных достаточно "близко" к полиномиальным функциям. Вводя понятие граничной функции, мы молчаливо предполагаем (по крайней мере для полиномиальных возвратных последовательностей над множеством натуральных чисел), что для полиномиальных возвратных последовательностей рассматриваемые алгоритмические проблемы разрешимы.
Машина Минского [10, 11] представляет собой вариант нестирающей многоленточной машины Тьюринга. Обычная машина Минского М имеет к регистров, занумерованных числами от 1 до к, которые могут содержать произвольные числа из N и конечное множество состояний. Мы будем использовать модифицированный вариант машины Минского, в котором множество состояний отсутствует. Эффективный переход от обычных машин Минского к модифицированным выполнен, например, в [12]. Отметим, что модифицированные машины Минского могут вычислять произвольные частично-рекурсивные функции. В процессе работы машины М на каждом шаге вычисления содержимое любого регистра может независимым образом увеличиваться на 1, уменьшаться на 1 или оставаться неизменным. Функционирование машины М определяется программой, которая состоит из команд вида
ах ...ак ^ йх ...йк, (2)
где ах,... ,ак — символы 0 или 1 (0 отвечает числу 0 в рассматриваемом регистре, 1 — положительному числу) и йх,..., йк — символы изменения содержимого регистров, йх,... ,йк € {-1, 0,1}. Некоторые двоичные наборы (ах... ак) называем заключительными. Предполагаем, что программа машины М содержит ровно одну команду (2) для любого набора (ах... ак), не являющегося
заключительным. Считаем, что программа машины М организована таким образом, что в каждой ее команде (2) при ai = 0 выполняется неравенство й^ = -1.
Машина М вычисляет (частичную) функцию /(хх,... , хп), если к ^ п и выполняются следующие условия. В начальный момент вычисления первые п регистров машины М содержат соответственно числа хх,... ,хп, остальные регистры содержат число 0. Если значение /(хх,... ,хп) определено, то через конечное число тактов в регистрах машины М образуется упорядоченный набор из к чисел, которому отвечает заключительный двоичный набор (ах ... ак), при этом в данный момент времени в первом регистре содержится число /(хх,...,хп). Если же значение /(хх,... , хп) не определено, то машина М к заключительному набору не приходит.
В дальнейшем рассматриваем машины Минского, которые вычисляют одноместные функции. Кроме того, нам будет удобно считать, что для любого заключительного набора (ах... ак) в программе машины М соответствующая правая часть команды (2) имеет вид 0... 0. Содержательно это означает, что по достижении машиной М данной команды машина продолжает вычисление, не меняя содержимого регистров. Это соглашение необходимо для корректного определения возвратной последовательности, связанной с вычислением на машине М.
Для формализации процесса вычисления введем понятие конфигурации машины М в момент времени Ь. Если в момент Ь в регистрах гх,..., г к машины М находятся числа гх (£),..., г к (Ь), то набор (гх(Ь),... , Гк(Ь)) будем называть конфигурацией машины М в момент Ь. Если в начальный момент времени Ь = 1 первый регистр машины М содержит число х, то начальная конфигурация в этот момент времени есть (х, 0,... , 0).
Используя введенное понятие, изобразим процесс вычисления машины М на аргументе х в виде бесконечной последовательности
(х, 0,... , 0), (гх(2),..., Гк(2)),... , (гх(Ь),..., Гк(Ь)),.... (3)
Обозначим Ь-ю конфигурацию этой последовательности через С. Занумеруем все двоичные наборы длины к числами от 1 до 2к. Помимо последовательности (3) нам понадобится специальная последовательность чисел, образованная из последовательности (3):
Ь ■ Сх, Ь^х + 1, Ь ■ С2, Ь^2 + 1, ..., Ь ■ С4, Ьд4 + 1, ..., (4)
где Ь ^ 1, числа дх, 92,... суть номера двоичных наборов длины к, определяемых непосредственно предшествующими конфигурациями, и Ь ■ С означает, что все элементы конфигурации С умножаются на число Ь.
Результаты. В приведенной теореме предполагаем, что в последовательности (4) удалены скобки, определяющие конфигурации.
Теорема. Для любых Ь ^ 1, г € Ъ и любой машины Минского М, вычисляющей одноместную функцию, последовательность (4) является возвратной последовательностью порядка к+1 с порождающей функцией, принадлежащей классу Pb•ji.
Доказательство. Будем предполагать, что Ь ^ 2, так как функция Ь ■ (х) получается из функции (х) подстановкой в линейную функцию Ьг.
Заметим, что в классе Рь^ содержатся все функции вида Ь ■ ]т(х), где т € Ъ, поскольку Ь ■ Зт(х) = Ь ■ ji(x + г — т). Далее, из строения последовательности (4) видно, что любые ее к + 1 последовательных элементов однозначно определяют непосредственно следующий (к + 2)-й элемент. Этот факт мы установим формально путем построения искомой порождающей функции /(хх,... ,хк+х) в классе Pb•ji. Функция / будет представлена в виде суммы
хх + дх(хх,..., хк+х) + ... + 5к+х(хх,..., хк+х),
где функции дх,... , дк+х отвечают случаям, когда значение вида Ь ■ д + 1 принимается соответственно (к + 1)-й, ..., 1-й переменной. Каждая из этих функций принимает лишь значения, кратные Ь. При этом функции дх,...,дк определяются сходным образом, а функция дк+х — несколько иначе.
Пусть 1 ^ т ^ к. Определим функцию $т. Содержательно функция "рассматривает" значение переменной х&+2-т и если оно имеет вид Ь ■ д + 1, то "определяет" набор (01,... ), который кодируется числом дг, "находит" величину и выдает значение Ь ■ В противном случае значением функции является 0. Очевидно, что величина Ь ■ есть функция от хк+2-т и т. Функцию задаем в виде
¿т ■ Ь ■ ¿6+1 (хк+2-т) + ^га ■ Ь ■ ¿26+1 (хк+2-т) + ... + ^га ■ Ь ' ¿2к6+1(хк+2-т)
где ¿т,..., — значения параметра в командах (2), когда левая часть команды имеет соответственно номер 1, 2,... , 2к.
Перейдем к функции $¿+1. Она будет зависеть от всех переменных х1,..., х^+1. Функция $¿+1 "рассматривает" значение переменной х1 и если оно имеет вид Ь ■ д + 1, то на основе значений переменных х2,... ,х^+1 (точнее, на основе двоичного вектора (¿0(х2),...,^о(х^+1))) определяет такое число г, кратное числу Ь, чтобы сумма х1 + г была равна подходящему числу Ь ■ + 1. Поскольку функции ¿о (х) у нас нет, мы воспользуемся функцией Ь ■ ¿о (х) и соответствующим ей вектором (Ь ■ ¿0(х2),..., Ь ■ ^0(х^+1)). Кроме того, вместо значения х1 будем сразу рассматривать последовательность величин Ь ■ ^ь+1(х1), Ь ■ ^2ь+1(х1),..., Ь ■ ¿2кь+1(х1). Таким образом, функция $к+1, "анализируя" последовательность чисел
Ь ■ ¿+1 (х1), Ь ■ ¿26+1 (х1), Ь ■ j2k 6+1 (х1), Ь ■ ¿о(х2), Ь ■ ;'о(хк+1)
из множества {0,Ь}, должна вычислить необходимую "добавку" г к числу хь Заметим, что данная добавка г кратна Ь и ограничена по модулю величиной 2к. Чтобы не выписывать довольно громоздкую формулу для функции $^+1, мы на основе сделанных замечаний установим, что в классе содержатся функции, ограничения которых на множество {0, Ь} могут являться произвольными функциями на множестве {0, Ь}.
Для а € {0, Ь} посредством ¿0"б(х) обозначим функцию из класса : Ь ■ ¿о(х), если а — 0, и Ь — Ь ■ ¿о(х), если а — Ь. Пусть $(х1,..., хп) — функция на множестве {0, Ь}, принимающая лишь значения 0, Ь, отличная от константы 0 и (01,..., ап) € {0, Ь}п. Функция
¿0,6 (П¿&(х0) (5)
Чг=1
принимает на множестве {0, Ь}п только значения 0, Ь, причем значение Ь — лишь на наборе (01,..., 0п). Поэтому для функции $(х1,..., хп), отличной от константы 0, путем суммирования подходящих функций (5) можно получить функцию $'(х1,... ,хп) из , ограничение которой на множество {0, Ь} совпадает с функцией $(х1,..., хп). Теорема доказана.
Машины Минского, как хорошо известно, представляют собой универсальные вычислительные устройства. Поэтому для них можно сформулировать целый ряд алгоримически неразрешимых проблем. Ввиду теоремы некоторые из таких проблем могут быть перенесены на возвратные последовательности с порождающими функциями из класса . Отметим лишь три проблемы. По заданной возвратной последовательности определить: 1) является ли она периодической (с
предпериодом), 2) является ли она ограниченной, 3) содержит ли она заданное число вида Ь1 + 1.
Сразу укажем две одноместные функции, которые (при наличии полиномиальных функций) легко порождают функцию вида Ь ■ ¿¿(х). Во-первых, это функция sg(x), равная 1 при х > 0, равная 0 при х — 0 и равная —1 при х < 0. Для нее имеем 1 — sg2(x) — ¿о(х). Вторая функция — это |х|. Соответствующей формулой для нее будет 2¿0(x) — |х + 1| — 2|х| + |х — 1|.
Следствия 1-3 из теоремы показывают, что множество граничных функций достаточно обширно.
Следствие 1. Пусть функция f (ж), определенная на Z, принимает лишь значения ai,..., am, am+i, причем значения ai,..., am — только в конечном числе точек. Тогда функция f является граничной.
Доказательство. Будем считать, что значения ai,... , am (среди них могут быть повторяющиеся) функция f принимает соответственно в точках ci, ..., cm, во всех остальных точках функция f принимает значение am+i. Рассматривая, если необходимо, вместо функции f (ж) функцию (f (ж)-am+i)2, будем предполагать, что числа ai,..., am положительны и am+1 = 0. Пусть, например, ci < c2 < ... < cm. Тогда функция f (ж) ■ f (ж + ci — cm) в точке cm принимает значение ai-am, а во всех остальных точках — значение 0. Значит, мы имеем функцию aiam jCm(ж). Следствие доказано.
Применим следствие 1 к функциям, близким к полиномиальным. Пусть для функции f (ж1, ... , жп) существует такой полином ф(ж1,... , жп), который отличается от функции f в конечном (но непустом) множестве наборов. Тогда функция
f 1 (ж1,... ,ж„) = f(ж1,... ,ж„) — Ф(ж1,... ,ж„)
отлична от нуля только на конечном множестве наборов. Обозначим через (ai,...,an) любой такой набор и рассмотрим функцию
f2^) = Л(ж + ai,..., ж + a„).
Очевидно, что она принимает значение fi(ai,..., an) в точке 0 и, кроме того, отлична от нуля только в конечном числе точек. По следствию 1 функция f2 является граничной.
Следствие2. Пусть для функции f (ж) существует такое число c € Z, что f (c) = 0 и f (ж) = 0 либо при всех ж < c, либо при всех ж > c. Тогда функция f является граничной.
Доказательство. Пусть для определенности f (ж) = 0 при ж < c. Тогда f (c — (ж — c)2) есть функция вида b ■ ^с(ж).
Установим, что две хорошо известные арифметические функции являются граничными. Пусть функция [ж/y] равна целой части от деления ж на у при у = 0 и доопределена каким-либо образом при y = 0. Замечаем, что функция [(ж2+2)/(ж2+1)]—1 совпадает с функцией j0 (ж). Следовательно, граничной будет и функция [ж/у].
Пусть функция гт(ж, у) равна остатку от деления ж на у, если у = 0, и равна, например, 0 в противном случае. Замечаем, что функция 1 — гт(ж + 2, ж + 1) равна 1 при ж = 0 и равна 0 при ж > 0. Далее применяем следствие 2.
Следствие 3. Пусть функция f (ж), определенная на Z, при ж > 0 отлична от 0 только в точках ci, c2,..., причем ci < c2 < ... и функция cn+i — cn монотонно не убывает и не ограничена. Тогда функция f является граничной.
Доказательство. Положим Д(ж) = f (ж) ■ f (ж + c2 — c1). Тогда функция f1 удовлетворяет условиям следствия 2. В самом деле, имеем fi(ci) = f (ci) ■ f (c2) = 0. Если же число n' таково, что cn'+i cn' > c2 ci, то cn' < cn' + c2 — ci < cn'+1 и потому f (cn' + c2 — ci) = 0. Далее обращаемся к следствию 2.
Применение следствия 3 продемонстрируем на ряде примеров. Для любого натурального m ^ ^ 2 и любого натурального p рассмотрим функцию f(ж), определенную на Z и совпадающую с функцией [ лУж]р при ж ^ 0. Замечаем, что для натурального п в промежутке пт ^ ж < (п + 1)т функция f (ж) постоянна и равна np. Поэтому разность f (ж + 1) — f (ж) равна 0 при nm < ж + 1 < (n + 1)m и положительна при ж + 1 = (n + 1)m. Таким образом, функция f (ж) является граничной.
Для любого натурального m ^ 2 рассмотрим также функцию f(ж), определенную на Z и совпадающую с функцией [^т(ж)] при ж ^ 1. Здесь при n € N в промежутке mn ^ ж < mn+1 функция [^т(ж)] принимает значение n. Функция mn+1 — mn, очевидно, строго монотонна, и мы снова приходим к тому, что функция f (ж) является граничной.
В утверждении мы предполагаем, что функция [¡(ж)], рассматриваемая в целых точках полупрямой L, вычислима (иначе алгоритмическая неразрешимость проблем, связанных с возвратными последовательностями, может получаться за счет невычислимости функции [¡(ж)]).
Утверждение. Пусть функция ¡(ж) действительной переменной ж удовлетворяет следующим условиям:
1) на некоторой полупрямой L функция ¡(ж) имеет производную, которая не меняет знак на L и ¡'(ж) — 0 при ж — то (знак бесконечности определяется полупрямой L);
2) функция ¡(ж) на полупрямой L не ограничена по модулю.
Тогда функция f (ж), определенная на Z и совпадающая с функцией [¡(ж)] на полупрямой L, является граничной.
Доказательство. Без ограничения общности будем считать, что полупрямая L имеет вид [0, +то], а производная ¡'(ж) неотрицательна на L. Поскольку lim ¡'(ж) = 0 при ж — то и производная ¡'(ж) неотрицательна, можно выбрать такое число жо ^ 0, что при любом ж ^ жо будут выполняться неравенства
0 < ¡(ж + 1) - ¡(ж) < 1/3. (6)
Из этих неравенств, монотонного неубывания функции ¡> и условия 2 утверждения следует, что найдутся такие натуральные числа ж1, ж2, что ж1 ^ ж0, ж2 > ж1 + 1 и на концах отрезков [ж1, ж1 + 1], [ж2,ж2 + 1] функция [¡] принимает различные значения. Положим a = ж2 — ж1 и рассмотрим целочисленную функцию
<?(ж) = (f (ж + 1) — f (ж))(f (ж + a + 1) — f (ж + a)).
По выбору чисел ж1,ж2 получаем ^(ж1) = 0. Покажем далее, что функция д(ж) при ж ^ 0 принимает ненулевые значения лишь в конечном числе точек.
Так же, как при выборе числа жо, возьмем такое число жз > ж2, чтобы при любом ж ^ жз выполнялись неравенства
0 < ¡(ж + a + 1) — ¡(ж) < 1/3. (7)
Пусть ж' — натуральное число, ж' ^ ж3. Предположим, что f (ж' + 1) — f (ж') = 0. Тогда из этого неравенства и неравенства (6), рассматриваемого для точки ж', следует, что в полуинтервале (ж', ж'+1] найдется такое число ж'', на котором функция ¡> принимает целое значение (отметим, что это целое число для данного полуинтервала единственно). Далее из неравенств (6),(7) получаем
¡(ж' + a) — ¡(ж'') ^ ¡(ж' + a + 1) — ¡(ж') < 1/3,
¡(ж' + a + 1) — ¡(ж'') < (¡(ж' + 1) — ¡(ж'')) + (¡(ж' + a + 1) — ¡(ж' + 1)) < 1/3 + 1/3 = 2/3.
Отсюда выводим, что обе величины ¡(ж' + a), ¡(ж' + a + 1) расположены в полуинтервале [¡(ж''), ¡(ж'') + 1), т.е. f (ж' + a) = f (ж' + a + 1) и, следовательно, разность f (ж' + a + 1) — f (ж' + a) равна 0. Далее к функции ^(ж) применяем следствие 2. Утверждение доказано.
В качестве примера укажем функцию (ж) = жа, где а — действительное число, принадлежащее интервалу (0,1). Чтобы функция [¡а(ж)] (рассматривается на множестве N, при ж < 0 доопределяем ее каким-либо вычислимым образом) была вычислимой, необходимо потребовать, чтобы вычислимым было число а (например, вычислимой должна быть функция, дающая n-й знак в десятичном представлении числа а).
Автор признателен рецензенту за полезные замечания.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Холл М. Комбинаторика. М.: Мир, 1970.
2. Нечаев В. И. Элементы криптографии: Основы теории защиты информации. М.: Высшая школа,
1999.
3. Ouaknine J., Worrel J. Ultimate positivety is decidable for simple linear recurrence sequences / / Automata, Languages, and Programming. 41st International Colloquium Proceedings. Part II. Copenhagen, Denmark: 2014. P. 330-341.
4. Биркгоф Дж. Динамические системы. Ижевск: РХД, 1999.
5. H a i n r y E. Decidability and undecidability in dynamical systems. URL: https://hal.inria.fr/inria-00429965.
6. Марченков С.С.О сложности целочисленных полиномиальных возвратных последовательностей // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2022. № 2. С. 17-27.
7. Марченков С. С. О сложности возвратных последовательностей / / Дискрет. матем. 2003. 15. № 2. С. 52-62.
8. Марченков С.С.О сложности полиномиальных возвратных последовательностей / / Проблемы передачи информации. 2018. 54. № 3. С. 67-72. (M archenkov S. S. On the complexity of polynomial recurrence sequences // Problems of Information Transmission. 2018. 54. N 3. P. 258-262).
9. М а р ч е н к о в С. С. О полиномиально-модульных возвратных последовательностях // Дискрет. матем. 2022. 34. № 2. С. 43-49.
10. Мальцев А. И. Алгоритмы и рекурсивные функции. М.: Наука, 1986.
11. Марченков С. С., Савицкий И. В. Машины в теории вычислимых функций. М.: МАКС Пресс, 2018.
12. Марченков С. С. О сложности класса E2 Гжегорчика // Дискрет. матем. 2010. 22. № 1. С. 5-16.
Поступила в редакцию 09.01.23 Одобрена после рецензирования 05.03.23 Принята к публикации 05.03.23
