ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С НЕОБРАТИМЫМ ОПЕРАТОРОМ ПРИ ПРОИЗВОДНОЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 12. № 1 (2020). С. 3-12.

УДК 517.9

ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С НЕОБРАТИМЫМ ОПЕРАТОРОМ ПРИ ПРОИЗВОДНОЙ

М.С. БИЧЕГКУЕВ

Аннотация. Работе рассматривается интегро-дифференциальное уравнение с необратимым оператором при производной в пространстве равномерно непрерывных ограниченных функций, интегральная часть которого представляет собой свертку опера-торнозначной борелевской меры с компактным носителем и векторной непрерывной ограниченной функции. Получены достаточные условия (спектральные условия) почти периодичности на бесконечности ограниченных решений данного уравнения.

В основе приведенных результатов лежит доказанное утверждение о том, что если правая часть рассматриваемого уравнения принадлежит Co(J,X) - пространству стремящихся к нулю на бесконечности функций, то спектр Берлинга каждого слабого решения содержится в сингулярном множестве характеристического уравнения. В частности, для уравнений вида у * х = ф, где функция ф £ C0(J, X) и носитель supp^ скалярной меры ^ компактен, установлено, что каждое классическое решение является почти периодической на бесконечности. Получено, что если сингулярное множество характеристической функции рассматриваемого уравнения не имеет предельных точек на R, то каждое слабое решение является почти периодической на бесконечности.

Исследована структура ограниченных решений в терминах медленно меняющихся на бесконечности функций.

Приведены приложения к нелинейным интегро-дифференциальным уравнениям. Получено, что ограниченное решение нелинейного интегро-дифференциального уравнения, когда правая часть - убывающее на бесконечности отображение, а сингулярное множество характеристической функции не имеет конечных предельных точек на R, является почти периодической на бесконечности функцией.

Основные результаты статьи получены на основе методов абстрактного гармонического анализа. Существенно используется спектральная теория банаховых модулей.

Ключевые слова: почти периодическая на бесконечности функция, банахово пространство почти периодических на бесконечности функций, спектр Берлинга, периодическая по Бору функция.

Mathematics Subject Classification: 47G20

1. Введение. Основные результаты

Созданная Г. Бором [1] теория почти периодических функций нашла многочисленные приложения (см. [2]-[14]) в исследовании вопросов почти периодичности (по Бору) ограниченных решений разнообразных классов уравнений (дифференциальных, разностных и т.д.]). Обычно рассматривались различные классы линейных уравнений с

M.S. Bichegkuev, Almost periodic on infinity solutions to integro-differential equations

with non-invertible operator at derivative.

©Бичегкуев М.С. 2020.

Поступила 30 апреля 2019 г.

почти периодическими (в смысле Бора) коэффициентами и почти периодической правой частью. Однако, ограниченное решение простейшего дифференциального уравнения х(¿) = Ах(Ь) + ф(Ь),Ь ^ 0, рассматриваемого в конечномерном линейном пространстве [А — линейный оператор), с непрерывной исчезающей на бесконечности функцией ф : М+ ^ М не почти периодична в обычном смысле,

В статьях А,Г, Баскакова [17], [18] был введен в рассмотрение новый класс непрерывных почти периодических функций (они назывались почти периодическими на бесконечности), который содержит почти периодические функции Бора, и такому классу функций принадлежат ограниченные решения разнообразных классов уравнений, в том числе только что приведенное уравнение,

В данной статье получены достаточные условия (спектральные условия) почти периодичности на бесконечности достаточно обширного класса интегро-дифференциальных уравнений с необратимым оператором при производной. Основные результаты статьи содержатся в теоремах 1 - 4 и теореме 7, Они получены с использованием методов абстрактного гармонического анализа. Существенно используется спектральная теория банаховых модулей (см, [11], [12], [19], [20]) над банаховой алгеброй ^(М) = ^(М, С) суммируемых на М комплекенозначных функций со сверткой

(/ * 9)(Ъ= ! /(г - з)д(з№,Ь Е Ж,/,д Е Ь1(М)

в качестве умножения.

Вначале введем в рассмотрение основные функциональные пространства и несколько (эквивалентных) определений почти периодических на бесконечности функций.

Пусть X — комплексное банахово пространство и ЬВ (X) - банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в X.

Пусть 1 — один из промежутков М = (—го, го) или М+ = [0, го). Символ ом Сь = Съ(1, X) обозначим банахово пространство непрерывных и ограниченных на 1 функций со значениями в X с нормой

= вир \\х(г)\\х.

Через Сь,и = Сь,и (1, X) обозначим замкнутое подпространство равномерно непрерывных функций из Съ(1, X), С0 = С0(1, X) - замкнутое подпространство, стремящихся к нулю на бесконечности функций из Сь(1,Х),

В банаховом пространстве Сь,и(1,Х) рассмотрим сильно непрерывную полугруппу операторов Б : 1 ^ ЬВ(Сь,и), действующих по правилу

(5(г)х)(т) = х(г + Т),г,т е 1, ж е Сь,и(1,х). (1)

Отметим, что Б — группа, если 1 = М,

Определение 1. (см. [17],[18],). Функция х Е Съ,и(1,Х) называется медленно меняющейся на бесконечности, если (Б (£)х — х) Е С0(1,Х) для любо го Ь Е 1. Множество медленно меняющихся на бесконечности, функций обозначим, символом, С3[,^(1,Х).

Примерами таких функций являются: 1) Х\(Ь) = вт1п(1 + Ь2)^ Е М; 2) х2({) = ахС^Ь, Ь Е М; 3) х3 : ^ X, х3(Ь) = с + х0(Ь),1 ^ 0,где с0 — вектор го банахово проетранетва X и х0 — любая функция из С0(М+,Х); 4) любая непрерывно дифференцируемая функция из Сь(М,Х) со свойством х Е С0(М,Х).

Отметим, что множество ) образует замкнутое подпространство в банаховом

пространстве Сь,и(1,Х).

В статьях [17], [18] было дано определение почти периодической на бесконечности функции, Имеется несколько подходов к их определению. Первое определение основано на понятии е-пернода (сравни [2]),

почти периодические на бесконечности решения интегро-

5

Определение 2. Пусть £ > 0. Число ш Е 1 называется е-периодом на бесконечности функции х Е Съ(1,Х\ если существует число а(е) ^ 0 такое, что вир \\xit + ш) — х(1)\\ < е. Множество £-периодов на бесконечности функции х обозна,-\tYMe)

чим символом ^^(х; е).

Определение 3. Функция х Е Съ,и(1,Х) называется, почти периодической на бесконечности, если, для, любого £ > 0 множество ^^(х; е) ее £-периодов обладает свойством,: существует число 1(е) > 0 такое, что каждый, интервал, из 1 длины, 1(е) содержит хотя бы один £-период на бесконечности функции х.

Из этого определения (соответствующего определению Бора [1] почти периодической функции) следует, что каждая непрерывная почти периодическая (по Бору) функция х Е Съ(1,Х) является почти периодической на бесконечности.

Далее приведем ряд определений из теории банаховых модулей, используемых при дальнейшем изложении. Пусть X — комплексное банахово пространство, В роли банаховой алгебры рассматривается пространство ^(к) = ^(к, С) со сверткой

(! * дт= [ /^ — з)д(з№, г Е к, ¡,д е ь\Ш), Jш

в качестве умножения. Если Т : К ^ ЬВ(X) — сильно непрерывное изометрическое представление группы К, то формулой (см,[19], [20])

¡х = [ /(в)Т(—в)хс1з, / Е Ь1(К),х Е X,

Jш

пространство X наделяется структурой банахова Ь1(К)-модуля, которую обозначают также символом (X,Т).

В частности, структурой банахова Ь1(К)-модуля наделяется банахово пространство Сь,и(К, X) = Сь,и с помощью группы изометрий сдвигов функций

5: к ^ ьв(сь,и), (я^)х)(в) = х(в + г), г, в е к,ж е сь,и-

Таким образом, модульная структура на Сь,и определяется сверткой функций

* х)(Ь) = [ !(г — з)х(з)хйз = [ !(т)(Б(—т)х)(Ь)с1т, г Е К, ./к Ум

для любых / Е Ь1(Ж),х Е Сь,и.

Определение 4. Вектор х из банахова Ь1 (Ж)-модуля (X,Т) называется, почти периодическим,, если, множество векторов {Т(£)х : Ь Е Ш} (орбита вектора х) предком,па,ктно в X.

Множество почти периодических векторов из банахова ^(к^модуля X образует замкнутый подмодуль, обозначаемый далее символом АР X. В частности, АРСь,и(к,Х) = АР(к,Х) — банахово пространство непрерывных почти периодических функций Бора относительно группы сдвигов БЕ к.

В дальнейшем символом X обозначается фактор-пространство Сь,и (к+,Х )/Со(к+,Х).

В банаховом пространстве X корректно определяется группа изометрий Б : к ^ ЬВ(X), действующих по правилу

§(г)х = в{г)х, г е К,Х е х,

где Б(Ь)х - сдвиг функции х влево (см. (1)) для £ ^ 0 а для Ь < 0 символ Б(уЪ)х обозначает класс эквивалентности, содержащий непрерывную функцию вида

, . I x(s + t), при s + t ^ 0, xt(s) = < _1

I —t 1sx(0), при s + t ^ 0, s ^ 0.

Структура банахова ^(^-модуля на X определяется то представлению Б, т.е. формулой

¡Б^ !(г)>Б(-т)Ыт, / е Ь1 (Ж), Б е X.

К

Замечание 1. Непосредственно из определения модульной структуры, на факторпро-странстве X = Съ,и(К+,Х)/С0(Е+,Х) следует, что для, любых функций / е Ь1(К) и х е Съ,и(К+ ,Х) имеет место равенство

fx = (f * у)|

+

для, любого продолжения у Е Cb,u(R,X) функции х на, R со свойством,: lim y(t) = 0.

Определение 5. Функция х Е Сь,и($,Х) называется, почти периодической на бесконечности, если, класс эквивалентности, х = х + C0(J,X) является, почти периодическим, вектором из пространства X = Cb>u(J,X)/C0(J,X) изометрического представления, S : R м LB(X) (т.е. [S(t)x : t Е R} — предком,пактное множество в фактор-пространстве X или, что эквивалентно, t м- S(t)x : R м X есть непрерывная почти периодическая функция).

Определение 6. Функция х Е Сь,и($,Х) называется, почти периодической на бесконечности, если, для, любого £ > 0 можно указать числа Ai,... ,\п Е R и медленно меняющиеся на бесконечности, функции xi,... ,хп Е Csi,x(J,X) такие, что

sup tel

x(t) — ^ xk (t)eiXkt

k=i

< £.

Непосредственно из определений 5 и 6 следует их эквивалентность (см.[17], [18]). Далее символом АР(1,Х) обозначим банахово пространство почти периодических функций, а символом АР^ (1,Х) - банахово пространство почти периодических па бесконечности функций из Сь,и(!,Х).

Ясно, что имеют место включения С0(1,Х) С (1,Х) С АР^(},Х). Символом / : К ^ С обозначается преобразование Фурье

т = I f (1)е-шМ, А е К,

¿К

функции $ е Ь1(

Определение 7. Спектром Берлинга, вектора х из банахова Ь1(Ж)-модуля (X, Б) называется множество

А(х) = |А0 е К : ¡х = 0 для любой функции / е Ь1(Ж) с /(А0) = 0}.

Из определения следует, что А(ж) = е К : 3}' е Ь1(К) такая, что

/ы = 0 и ¡х = 0}.

Если До - замкнутый подмодуль X, то фактор-пространство X/ Х0 является банаховым Ь^К^модулем с модульной структурой, определяем ой для любых / Е Ь*(К) и х = х + Х0 формулой

¡х = ¡х + Хо = ¡х.

Определение 8. Пусть функция х Е Сь>и(1,Х). Спектром, Б ерлинга, функции х на бесконечности, называется, спектр Б ерлинга Л(х), где х = х + С0 (1, Х)— класс эквивалентности, из X = Сь>и(1,Х)/С0(1,Х) и обозначается символом А^(х).

Рассматривается интегро-дифференциальное уравнение вида

вх(г) + Ах(г) + (ц * х)(г) = ф(г),г е 1, (2)

где операторы В,А Е ЬВ(Х,У), ^ : а ^ ЬВ(Х,У) — борелевекая мера с компактным носителем (а— алгебра борелевских множеств из 1 и ф Е Сь,и(1,У), Здесь и далее символом ЬВ(Х,У) обозначается банахово пространство линейных ограниченных операторов, действующих из банахова пространства Х со значениями в V. Оператор В не обязательно является обратимым. Свертка ^ * х меры ^ и функции х Е Съ(1-¡V) определяется формулой

(¡1 * х)(Ь) = J ¡((в)х(Ь — в), ЬЕ 1.

1

Такая форма записи свертки объясняется операторозначноетыо меры ¡. Определение 9. Операторнозначная, функция

Н : К ^ ЬВ(Х, V),Н(X) = гВХ + А + ¡(X), X Е К, где ¡(X) = / ¡(&)е-гХг,Х Е К, - преобразование Фурье меры ¡, называется, характери-

М

стической функцией, отвечающей, операторному уравнению (2).

Замечание 2. Поскольку носитель вирр! меры ¡компактен (т.е. вирр1 содержится, в некотором, отрезке [а, Ъ\), то из представления

ь

¡(X) = У ¡(а)е= У ¡(М)е-м,Х Е К,

К а

следует, что функция ¡2 : К ^ ЬВ(Х^) бесконечно дифференцируем,а, на, К. Более того, она, допускает расширение на С до целой функции экспоненциального типа, не выше шах{|6|, |а|}.

Определение 10. Множество

в(Н) = {X Е К : Н(X) — необратимый оператор из ЬВ(Х^)}

Н.

р(Н) = К \ в(Н) назовем регулярным множеством функции Н.

Замечание 3. Пусть Ьк ,к ^ 1, — некоторая, последовательность точек из отрезка [а, Ь\ и Ак ,к ^ 1, — последовательность операторов из банахова, пространства ЬВ (Х, V), удовлетворяющих условию ^ \\ Ак|| < го. Тогда, мера ¡ = ^Ак51к, где 5к — мера Дирака,

сосредоточенная, в точке Ьк, удовлетворяет вышеприведенным требованиям,. Ее преобразование Фурье имеет вид ¡(X) = ^Аке-гМк. Таким образом,, ¡ является, почти периодической, операторнозначной функцией. В данном случае характеристическая функция

Н(X), отвечающая уравнению (2) с так выбранной мерой имеет вид

Н(X) = гВХ + А + ^Аке-Шк ,Х е К. к'^1

Если В = 0, то уравнение (2) становится разностным уравнением вида

Ах(г) + ^Акх(г — гк) = Ф(г),г е 1. к'^1

Замечание 4. В рассматриваемый класс уравнений включается, ряд уравнений с частными производными, где А : В (А) С У ^ У — линейный замкнутый оператор и В - оператор, подчиненный оператору А. В этом, случае X = О (А) с норм,ой графика, оператора, А. Если, ^ = 0, то уравнение (2) приобретает вид

Вх(г) + Ах(г) = ф(г),г е 1.

Характеристической функцией, отвечающей этом,у уравнению, является операторный пучок

Н(Х) = гХВ + А, X е К.

Сингулярное множество такой характеристической функции имеет вид в(Н) = {X е К : гХВ + А — необратимый оператор}.

Используя терминологию [10]-[12], получаем, что множество в(Н) совпадает с множеством а(А, —В) П (Ж), где а(А, —В) - спектр упорядоченией пары А, —В (спектр операторного пучка А + ХВ, X е К).

Многие из полученных результатов могут быть обобщены на дифференциальные включения, определенные линейным отношением на банаховом пространстве (см.[21]-[24]).

Замечание 5. Уравнение в свертках вида, ^ * х = ф (случай В = 0, А = 0,) рассматривалось в статье [10]. В ней были получены достаточные условия асимптотической почти периодичности решения этого уравнения с комплексной мерой. Напомним, что функция х е С5,м(Е+,Х) называется, асимптотически почти периодической, если она, представлена в виде суммы двух функций, одна из которых почти периодична по Бору, а, вторая, функция принадлежит пространству С0(К+,Х). Ясно, что такие функции являются, почти периодическими на бесконечности. Критерии асимптотической почти периодичности ограниченных решений уравнений параболического типа, рассматривались в статьях [13]-[15] (см,, также монографию [3]^.

Определение 11. Классическим, решением интегро-дифференциального уравнения (2) называется, непрерывно дифференцируемая, функция х0 е Сь,и(1,Х) такая, что х0 е Сь,и(1,Х) и удовлетворяет уравнению (2). Функция у0 е Сь>и(1,Х) называется, слабым, решением интегро-дифференциального уравнения (2), если она, является, равномерным пределом, некоторой последовательности классических решений уравнения (2).

Следующие четыре теоремы являются одними из основных результатов статьи.

Теорема 1. Для, любой функции ф е С0(1,Х) и для каждого слабого решения х0 уравнения (2) имеет место включение

(хо) С з(Н). (3)

Эта теорема служит основой для доказательства большинства утверждений данной статьи.

Теорема 2. Пусть сингулярное множество в(Н) характеристической функции Н не имеет конечных предельных точек на К и функция ф е С0(1,Х). Тогда, каждое слабое решение х0 е Съ,и(1,Х) является, почти периодической на бесконечности, функцией.

Непосредственно из теоремы 2 следует

Теорема 3. Пусть сингулярное множество в(Н) характеристической функции Н не имеет конечных предельных точек на Ж. Тогда каждое слабое решение х0 Е Сь,и($,Х) однородного уравнения (2) является, почти периодической на бесконечности, функцией.

Теорема 4. (О структуре ограниченных решений) Пусть множество Н) = [Хк : к^ 1} не имеет конечных предельных точек на, Ж и, х0 Е Сь,и($,Х) - слабое решение уравнения (2) с функцией, ф Е С0($,Х). Тогда для любого £ > 0 существуют медленно меняющиеся на, бесконечности, функции ... Е С^,те(1,Х) такие, что

sup te J

xo(t) (t)e

i\kt

k=l

< £.

2. Доказательство основных результатов

Имеет место следующая

Лемма 1. Функция х0 Е С&,и(Е+,Х) почти периодична на, бесконечности, тогда, и только тогда, когда, почти периодична на, бесконечности, функция у0 Е Сь,и(Ж,Х) со следующими, свойствам,и,: 1) у0 - непрерывное продолжение х0 на, Ж 2)вирру0 П -компактное множество, где = (-го, 0].

Доказательство. Для произвольного ш > 0 существуют числа а(ш) > 0 и Ь(ш) > 0 такие, что имеет место равенство

sup \\xo(t + u)-Xo(t)\\ = sup \\y0(t ±ш) — yo(t)\\.

Г^а(ш) Щ-Ь(ш),а(ш)]

Непосредственно из этого равенства следует, что

М<х>(хо, е) = уо, е) П R+,

е) = ^(хо, £) U (—П(хо, £)), для любого е > 0. □

Доказательство теоремы 1. Предположим сначала, что х0- классическое решение уравнения (2), Пусть А0 Е р(Н) = R\s(Н). Функция Н(X) = iXB + А + fi(X), X Е C, является целой функцией. Поэтому из обратимости Н(А0) следует существование числа 8 > 0 такого, что интервал ( А0 — 8, А0 + 8) содержится в регулярном множестве р(Н) функции Н (число 8 определяется из условия sup|A-Ao< \\Н(А) — Н(А0)\\ ■ \\Н(Ао)\\-1 < 1.) Таким образом, Н(А), А е (А0 — 8, А0 + 8), — обратимые операторы.

Рассмотрим бесконечно дифференцируемую функцию f0 го алгебры L1(M) со свойствами:

1) /о(А0) = 0; 2) supp/о С (А0 — 8, А0 + 8). Тогда функция

МА) Н(А)-1, при А Е (Ао — 8, Ао + 8), 0, при А Е (Ао — 8, Ао + 8),

является бесконечно дифференцируемой и имеет компактный носитель. Она является преобразованием Фурье суммируемой операторнозначной функции F : R ^ LB(Y,X) вида

F(t) = — f F(\)eiXtdА, t Е R. 2ж J

R

Р(А) = {

t

Вначале рассмотрим случай J = R. Применим к обеим частям равенства

Вх0 + Ах0 + ¡л * х0 = ф

оператор свертки с функцией F. В итоге будем иметь равенство (используются простейшие свойства преобразования Фурье)

(В F + AF + ц * F) * х0 = F * ф.

Следовательно, имеет место соотношение

Ф * х0 = F * Ф = <Р е C0(R,X),

где Ф : R ^ LB (Y,X) - суммируемая операторнозначная функция вида Ф = BF + AF + ¡л * F. Ее преобразование Фурье имеет вид

Ф (Л) = iXBF(X) + AF(X) + $(X)F(X) =

Н(A)F(A), при А е (Ао - ó,Xo + ó), д е R 0, при А е (А0 - S,X0 + ó),

Поскольку f0(X)I = Н(X)F(X), где А е (А0 — 5,Х0 + #) и I тождественный оператор из LB (Y), имеет место равенство

/0 *Ж0 = Р eC10(R,X).

Ввиду того, что f0(Х0) = 0, то непосредственно из определения спектра Берлинга на бесконечности получаем, что А0 е Лте(ж0). Таким образом, доказано включение (3),

Пусть теперь J = R+ и х0 е Cb,M(R+,X) - решение уравнения (2), Определим функцию у0 е Cb,u(R,X) как в лемме, тогда имеет место равенство

В i/0 (t) + АУ0 (t) + (/i * y0)(t)=Mt),t е R,

где ф\ е Cb,u(R,Y),ф\(t) = ф(Ь) при t ^ max{0, b}. Функция ф\ : R ^Y имеет на полуоси (—го, Ь] компактный носитель (учитывается компактность носителя меры Поэтому функция ф\ принадлежит пространству AP^(R,X) в силу леммы 1, Из замечания 1 следует равенство Л^(у0) = Л(Х)(х0). Следовательно, Лте(ж0) С s(Н).

Пусть х0— слабое решение уравнения (2) и пусть (хп)—последовательность классических решений, которая равномерно сходится к х0. По доказанному хп е АР^(1,Х),п е Z, и, следовательно, в силу замкнутости AP^(J,X) функция х0 е AP^(J,X). □

Далее используется следующая

Теорема 5. Пусть для функции х0 е Съ>и(J,X) спектр Берлинга на бесконечности, Л^(х0) не имеет предельных точек на, R. Тогда, функция х0 е AP^(J,X).

Более абстрактный вариант этой теоремы содержится в статье [11].

Доказательство теорем,ы, 2. Из теоремы 1 следует включение Лте(ж0) С s(Н). Поскольку множество s( Н) те имеет предельных то чек на R, то согласно теореме 5 функция х еАР^($,Х). ' □

Доказательство теоремы 4- Из теорем 1 и 2 следует, что функция х0 е AP^(J,X) и спектр Л(;г0) С s(Н) = {Хк : к ^ 1}. Далее из статей [17] и [18] следует, что ряд Фурье почти периодической па бесконечности функции имеет вид x(t) = Y1 (t)егХкь, где

фк,к ^ 1, - медленно меняющиеся на бесконечности функции. Из теоремы об аппроксимации для почти периодической на бесконечности функции (см. [18]) следует, что для любого е > 0

существуют функции ... ,^>п е Csi,^(J, X) такие, что справедливо неравенство (3). □

Рассмотрим уравнение

ß * X = ф, (4)

где функция ф E C0(J,X) и носитель supp^ скалярной меры ß компактен, В этом случае, характеристическая функция этого уравнения имеет вид

H(X) = ß(X), X e R.

Поэтому s(H) = supp/L Поскольку ju допускает расширение на всю комплексную плоскость до целой функции экспоненциального типа, то согласно теореме единственности для аналитических функций множество s(H) не может иметь конечных предельных точек на R. Таким образом, справедлива следующая

Теорема 6. Каждое классическое решение х0 E Cb>u(J,X) уравнение ß) является почти, периодической на бесконечности функцией.

3. Почти периодические на бесконечности решения нелинейных

уравнений

Определение 12. Непрерывное отображение р : J x X ^ Y назовем убывающей на бесконечности, если

lim sup \\p(t^W =0

\\x\\^R

R > О.

Теорема 7. Пусть x0 E Cb,u(J,Y) ограниченное решение нелинейного дифференциального уравнения

Bx(t) + Ax(t) + (ß *x)(t) = <p(t, x), (5)

где p - убывающее на бесконечности, отображение и множество s(H) не имеет конечных предельных точек на R. Тогда, х0 - почти периодическая на бесконечности, функция.

Доказательство. Поскольку х0 - решение уравнения (5), то х0 - решение линейного неоднородного интегро-дифференциального уравнения (2), где ip(t) = p(t,x0(t)),t E J. Из определения 12 следует, что функция ф принадлежит подпространству C0(J,Y). Таким, образом, для функции х0 выполнено условие теоремы 3, □

Непосредственно из теоремы 7 вытекает

Следствие 1. Пусть выполнено условие теорем,ы, 1, причем, отображение р : J x X ^ Y имеет вид p(t,х) = p0(t)g(x), где g : X ^Y- непрерывное отображение, ограниченное на ограниченных множествах, up E C0(J,X ). Тогда, х0 - почти периодическая на бесконечности функция.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бор Г. Почти периодические функции. ОГИЗ, 1934. 128 с.

2. Левитан Б.М., Жиков В.В. Почти периодические функции и дифференциальные уравнения. \!.. Изд-во Московского университета, 1978 г. 205 с.

3. W. Arendt, C.J.K. Batty Vector-valued Laplace Transforms and Cachy Problems Basel: Birkhuser, 2011. - 553p.

4. Левитан Б.M. Об интегрировании почти периодических функций со значениями из банахова пространства. // Изв. АН СССР. Сер. матем. Т. 30. 1966. С. 1101-1110.

5. L. Amerio, G. Prouse Almost-periodic functions and functional equations Springer Science & Business Media, 2013. 184p.

6. R. Doss On almost periodic solutions of integro-differential // Ann.Math.Soc., V. 81. 1965. P. 117 123.

7. С. Foias, S. Zaidman Almost-periodic solutions of parabolic sistem // Ann. Scuola Norm.Pisa V. 3. № 3. 1963. P. 247-262.

8. B.M. Lewitan On a integral equation with almost periodic solutions // Bull.Amer. Math. Soc. V. 43. 1937. P. 677-679.

9. L.H. Loomis Spectral characterization of almost periodic functions // Ann. Math. V. 72. № 2. 1960. P. 362-368.

10. O. Staffans On asymptotically almost periodic solutions of a convolution equation // Trans.Amer. Math. Soc. V. 226. № 2. 1981. P. 603-616.

11. А.Г. Баскаков Спектральные критерии почти периодичности линейных функциональных уравнений // Матем. Заметки. Т. 24. № 2. 1978. С. 206-195.

12. Баскаков А.Г. Гармонический анализ косинусной и экспоненциальной операторной функций // Матем. сб. Т. 124. № 5. 1984. С. 68-95.

13. Yu.I. Lvubich, Q.Ph. V« Asymptotic stability of linear differential equations in Banach spaces // Studia Math. V. 88. № 1. 1988. P. 37-42.

14. W. Arendt, C.J.K. Batty Tauberian theorems and stability of oneparameter semigroups // Trans.Amer.Math. V. 306. № 2. 1988. P. 837-852.

15. B. Basit Harmonic analysis and asymptotic behavior of solutions to the abstract Сauchy problem // Semigroup Forum. V. 54. 1997. P. 58-74.

16. S. Bochner, J von Neuman On compact solution of operational differential equations // Ann of Math. V. 36. № 1. 1935. p. 255-291

17. Баскаков А.Г. Гармонический и спектральный анализ операторов с ограниченными степенями и ограниченных полугрупп операторов на банаховом пространстве // Матем. заметки. Т. 97. № 2. 2015. С. 174-190.

18. Баскаков А.Г. Исследование линейных дифференциальных уравнений методами спектральной теории разностных операторов и линейных отношений // Успехи матем.наук. Т. 68. № 1. 2013. С. 77-128.

19. Баскаков А.Г. О спектральном синтезе в банаховых модулях над коммутативными банаховым,и алгебрами // Матем. заметки. Т. 34. № 4. 1983. С. 573-585.

20. Баскаков А.Г. Теория представлений банаховых алгебр, абелевых групп и, полугрупп в спектральном анализе линейных операторов // Функциональный анализ СМФН, МАИ, \!.. Т. 9. 2004. С. 3-151.

21. Баскаков А.Г., Чернышов К.И. Спектральный анализ линейных отношений и вырожденные полугруппы операторов // Матем. сб. Т. 193. № 11. 2002. С. 3-42.

22. Баскаков А.Г. Линейные отношения как генераторы полугрупп операторов // Матем. заметки. Т. 84. N 2. 2008. С. 175-192.

23. М.С. Бичегкуев К теории бесконечно дифференцируемых полугрупп операторов // Алгебра и анализ. Т. 22. № 2. 2010. С. 1-13.

24. М.С. Бичегкуев Преобразования Ляпунова дифференциальных операторов с неограниченными операторными коэффициентами // Матем. заметки. Т. 124. N 5. 2016. С. 68-95.

Маирбек Сулейманович Бичегкуев,

Северо-Осетииский государственный университет им. К.Л. Хетагурова,

ул.Ватутина, 44-46,

362025, г. Владикавказ, Россия

E-mail: bichegkuev@yandex.ru