CC BY
9УДК: 517.98 MSC2010: 46B25
О ТЕОРЕМЕ ВИНЕРА В ИССЛЕДОВАНИИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ НА
БЕСКОНЕЧНОСТИ ФУНКЦИЙ ОТНОСИТЕЛЬНО ПОДПРОСТРАНСТВ ИСЧЕЗАЮЩИХ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ ФУНКЦИЙ1
© В. Е. Струков, И. И. Струкова
Воронежский государственный университет факультет прикладной математики, информатики и механики пл. Университетская, 1, Воронеж, 394005, Российская Федерация e-mail: sv.post.of.chaos@gmail.com, irina.k.post@yandex.ru
On Wiener Theorem in Studying Periodic at Infinity Functions with Respect to Subspaces of Vanishing at Infinity Functions.
Strukov V. E., Strukova I. I.
Abstract.
In the article under consideration we study periodic at infinity functions from Cb(J, X), i.e., bounded continuous functions defined on the real axis with their values in a complex Banach space X. On the basis of the well-known Wiener theorem we introduce a concept of a set satisfying Wiener condition. Together with an ordinary subspace C0 С Cb we consider various subspaces of continuous functions vanishing at infinity in different senses, not necessarily tending to zero at infinity. For example, integrally vanishing at infinity functions and functions whose convolution with any function from the set satisfying Wiener condition gives a function tending to zero at infinity. Those subspaces we also call vanishing at infinity and denote then as C0. So, by choosing one of the subspaces C0 we introduce different types of slowly varying and periodic at infinity functions (with respect to the chosen subspace).
A function x £ Cb,u is called slowly varying at infinity with respect to the subspace C0 if (S(t)x—x) £ C0 for all t £ J. Respectively, for some w > 0 a function x £ Cb,u is called w-periodic at infinity with respect to the subspace C0 if (S(w)x — x) £ C0. Nevertheless, these functions are constructed as extensions of the classes of slowly varying and periodic at infinity functions respectively, we proved them to be congruent with these classes.
Ordinary periodic at infinity functions appear naturally as bounded solutions of certain classes of differential and difference equations. So, in our research, we also study the solutions of differential and difference equations of some kind. It is proved that for those equations, where
1Работа первого автора выполнена при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 18-31-00097, работа второго автора выполнена при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 19-01-00732 А
the right hand side of the equation is a function from any of the subspaces C0 of vanishing at infinity functions, the solutions are periodic at infinity.
The results were received with essential use of isometric representations and Banach modules theories.
Keywords : Wiener theorem, vanishing at infinity function, slowly varying at infinity function, periodic at infinity function, Banach space, Banach module, differential equation, difference equation.
1. Медленно меняющиеся на бесконечности функции относительно подпространства C0(R,X; M).
Пусть L1(R) — банахова алгебра определенных на R измеримых по Лебегу и суммируемых комплекснозначных (классов эквивалентности) функций со сверткой функций в качестве умножения (f1 * f2)(t) = / f1(t — s)f2(s)ds, t G R, f1, f2 G L1(R).
R
Символом f : R ^ C обозначается преобразование Фурье /(A) = J f (t)e-iAtdt, A G R,
R
функции f G L1 (R).
В данной статье существенно используется следующая теорема Винера (см. [1]):
Теорема 1. Пусть I — идеал алгебры L1(R). Он совпадает со всей алгеброй L1(R), если функции р, p G I, разделяют точки из R, т.е. для любых чисел A1 = A2 G R найдется функция p G I такая, что <((A1) = p(A2).
Будем говорить, что подмножество M функций из алгебры L1(R) удовлетворяет, условию Винера, если их преобразования Фурье разделяют точки из R.
Лемма 1. Наименьший замкнутый идеал алгебры L1(R), содержащий множество M, удовлетворяющее условию Винера, совпадает со всей алгеброй L1(R).
Доказательство. Пусть I (M) — наименьший замкнутый идеал из алгебры L1(R), содержащий M, т.е. I(M) = {f * g,f G L1(R),g G M}. Покажем, что множество I (M) удовлетворяет условию Винера. Возьмем произвольные числа A1 = A2 G R. В силу того, что множество M удовлетворяет условию Винера, найдется функция g G M такая, что ((A1) = p(A2). Тогда для функции p G I(M) вида p = f * g, где g — указанная функция из M, а f — произвольная функция из L1(R), выполняется условие <p(A1) = p(A2). Тогда из теоремы 1 следует, что I(M) = L1(R). □
Пусть X — комплексное банахово пространство, EndX — банахова алгебра линейных ограниченных операторов (эндоморфизмов), действующих в X.
Рассматривается банахово пространство Cb = Cb(R, X) непрерывных и ограниченных на R функций со значениями в X и нормой ||x||0 = sup ||x(t)||,
te R
Cb,u = Cb,u(R, X) — замкнутое подпространство равномерно непрерывных функций из Cb(R,X), C0(R,X) = {x G Cb(R,X) : lim ||x(t)|| =0} — подпространство исчезающих на бесконечности функций из Cb(R, X).
В банаховом пространстве Cb(R,X) рассмотрим группу S : R ^ EndCb(R,X) операторов, действующих по правилу (S(í)x)(r) = x(t + т), x G Cb(R, X), t, т G R.
Определение 1. Функция x G Cb,u(R,X) называется медленно меняющейся на бесконечности, если S(a)x — x G C0(R,X) для любого a G R.
Множество медленно меняющихся на бесконечности функций обозначим символом Cs¡,0 (R, X). Такие функции изучались в работах [2-6].
Примерами медленно меняющихся на бесконечности функций являются: 1) xi(t) = sinln(1 + |t|), t G R; 2) x2(t) = arctg t,t G R;
3) любая непрерывно дифференцируемая функция x G Cb(R) со свойством
lim x(t) = 0.
Наряду с C0(R,X) рассмотрим подпространство функций из Cb(R,X) вида C0(R,X; M) = {x G Cb(R,X) : f * x G C0(R,X) для всех f G M}, где множество M С L1(R) удовлетворяет условию Винера. Такие функции также будем называть исчезающими на бесконечности.
Во всех рассматриваемых подпространствах из Cb(R, X) символ X опускается, если X = C (например, C0(R, C) = C0(R), C0(R, C; M) = C0(R; M)).
Пример 1. Рассмотрим множество функций {fa, a > 0} из алгебры L1(R) вида
f ( ) í e-at, t > 0, fa(t) =\ 0, t< 0.
Их преобразования Фурье имеют вид fa(A) = а+х, A G R, a > 0. Тогда для любого a > 0 множество Ma = {fa} удовлетворяет условию Винера.
Следующие функции принадлежат пространству C0(R; Ma) :
1) xi(t) = eit2;
2) x2(t) = sinat2; 3) x3(t) = cosat2, t G R, a > 0.
Выберем произвольное a > 0 и покажем, что x1 G C0(R; Ma), т.е. что fa * x1 G C0
OO 2 00
Действительно, (fa * x1)(t) = f e-a(t-T)eiT dT = e^e-at J eiT dT.
2
оо 0 оо
Вычислим последний интеграл отдельно: J eiT dr = J eiT dr + J eiT dr =
_ia _ia 0
2 2
^ f ( a(i+1)'
erf (^—T^) + \/П + ' гДе символом erf обозначена функция ошибок
z
задаваемая формулой erf (z) = —П / e-T dr, z G C. Отсюда получаем, что
' о
(fa * xi)(t) = e-ate¥ erf (O^) + Tf + i^f)' * G R т.е.
fa * Xi G Co(
Пример 2. Если в качестве множества M взять всю алгебру L1(R), то множество
Co(R,X; M) будет иметь вид Co(R,X; M) = {x G Cb(R,X): lim ||1 f x(s + t)ds|| =0
a^rx a o
равномерно относительно t G R}.
Покажем это, т.е. для любой функции x G Cb(R,X) докажем эквивалентность следующих двух условий:
а
1) lim || а f x(s + t)ds|| = 0 равномерно относительно t G R;
а 0
2) f * x G C0(R,X) для любой функции f из алгебры L:(R). Рассмотрим множество M = {fa, а > 0} функций из алгебры L1 (R) вида
f (t) i a, t G [0,4
fa(t) 1 0, t G [0, а],
каждая из которых имеет преобразование Фурье вида fa(A) = (1 — e-iAa), А G R. Тогда условие 1) можно записать в виде fa * x G Co(R, X) для любого а > 0.
Поскольку преобразования Фурье fa функций fa, а > 0, разделяют точки из R, то множество M удовлетворяет условию Винера. Следовательно, из леммы 1 вытекает, что f * x G C0(R,X) для любой функции f из алгебры L1(R).
Если выполнено свойство 2), то ga * x G C0(R,X) для любой направленности (д«,а > 0) из алгебры L1(R), в частности, для (^,а > 0), т.е. выполнено свойство 1).
Определение 2. Далее символом C0 = C0(R,X) обозначим замкнутое (с нормой из Сь) подпространство функций из Cb(R,X), обладающих свойствами:
1) S(t)x G C0 для любого t G R и любой функции x G C0;
2) С0(R,X) С C0(R,X) С C0(R, X; M), где множество M С L1(R) удовлетворяет условию Винера;
3) eAx G C0 для любого А G R, где eA(t) = вш, t G R.
Каждое такое подпространство будем называть подпространством исчезающих на бесконечности функций.
Примерами таких подпространств являются определенные ниже подпространства С0 ,) и С0 ,р(К,Х), р е [1, то).
Функцию х из Съ,) назовем интегрально исчезающей на бесконечности,
если
а
lim — sup ||x(t + s) II ds = 0.
a tes. J 0
Множество интегрально исчезающих на бесконечности функций будем обозначать символом C0,int = C0,int(R,X). Отметим, что C0,int(R,X) является замкнутым подпространством из Cb,u(R,X).
Рассмотрим также семейство замкнутых в Cb,u(R,X) подпространств
а
C0p = C p(R, X) = {x G Cbu(R, X) : lim 1 sup / ||x(s + t)||p ds = 0},
a teR J 0
где p G [1, то). Таким образом, C0 ,i(R,X) = C0 ,int(R, X) — подпространство интегрально исчезающих на бесконечности функций.
Пусть C0(R,X) — одно из подпространств исчезающих на бесконечности функций, удовлетворяющее всем условиям определения 2.
Определение 3. Функцию x G Cb(R,X) будем называть медленно меняющейся на бесконечности относительно подпространства C0(R,X), если S(a)x — x G C0(R,X) для любого a G R.
Множество медленно меняющихся на бесконечности функций относительно подпространства C0(R,X) обозначим символом Csl ,œ(R,X; C0). Непосредственно из определения следует, что любое пространство Csi, œ(R,X; C0) является замкнутым подпространством в Cb(R,X).
Рассмотрим множество Csl ,те(М) = {x G Cb(R, X) : S(a)x — x G C0(R, X; M) для любого a G R}, где множество M С L1(R) удовлетворяет условию Винера. Из определений 2 и 3 следует, что Csl,œ(R,X; C0) С Csl,œ(M) для любого подпространства C0(R, X), удовлетворяющего условиям определения 2.
Далее нам потребуется определение ограниченной аппроксимативной единицы (см. [7]) алгебры L1(R).
Определение 4. Ограниченная последовательность (en, n > 1) функций из алгебры L1(R) называется ограниченной аппроксимативной единицей (о.а.е.) алгебры L1' если выполняются два свойства:
1) en(0) = 1 для всех n > 1;
2) lim en * f = f для всех f из L1
n
Справедлива следующая
Теорема 2. Пусть C0(R, X) — одно из подпространств исчезающих на бесконечности функции, удовлетворяющее всем условиям определения 2. Тогда
(Е, X; Co) — (R, X).
Доказательство. Достаточно доказать равенство Csl,^(M) — Csl,^(R,X). Включение Cs^(R,X) С CsiiCXl(M) очевидно. Покажем обратное включение. Пусть x G ), тогда ф — S(a)x — x G C0(R,X; M), т.е. f * ф G C0(R,X) для всех
f G M. Пусть (en, n > 1) — произвольная о.а.е. алгебры L:(R). Из леммы 1 следует, что
en * ф — en * (S(a)x — x) — S(a)(en * x) — (en * x) G C0(R, X), откуда получаем, что y — en * x G Csl,^(R,X), а, значит, и x G Csl,^(R,X). □
2. Периодические на бесконечности функции относительно
подпространства C0(R,X).
Сформулируем определения обычной периодической на бесконечности функции и периодической на бесконечности функции относительно подпространства Co(R,X) исчезающих на бесконечности функций, удовлетворяющего всем условиям определения 2.
Definition 1. Пусть ш > 0. Функция x G Cb,u(R,X) называется ш-периодической на бесконечности, если (S(o>)x — x) G C0(R,X).
Множество ш-периодических на бесконечности функций обозначается символом Cw,^>(R, X). Такие функции изучались в [2, 5, 6]. В работах [8-10] изучались медленно меняющиеся и периодические на бесконечности функции из однородных пространств (например, пространств Степанова, Гельдера, Лебега).
Примерами периодических на бесконечности функций являются:
1) предельно периодические функции, т.е. функции x : R ^ X, представимые в виде x — y + yo, где y G (R,X), yo G C0(R,X);
2) функция x G Cb,u(R,X) такая, что она совпадает с x G Сш(R, X) на R+ и lim ||x(t)||X — 0;
3) любая функция из Csl,^(R,X);
n 2nk
4) любая функция x G Cb,u(R, X), представимая в виде x — Yh xk(t)ei, t G R,
k=-n
n G N, где xk G Csl,^(R,X), k G Z.
Определение 5. Пусть ш > 0. Функция x Е Cb,u(R,X) называется ш-периодическои на бесконечности относительно подпространства C0(R,X), если (S(ш)х - x) Е C0(R,X).
Таким образом, каждая ш-периодическая на бесконечности (относительно подпространства C0(R,X)) функция х является решением разностного уравнения вида x(t + ш) — x(t) = y(t), t Е R, где y Е C0(R,X), а каждая медленно меняющаяся на бесконечности (относительно C0(R,X)) функция является периодической на бесконечности (относительно C0(R,X)) любого периода. Множество ш-периодических на бесконечности функций относительно подпространства C0(R,X) обозначим символом CL^(R,X; C0).
Пусть ш > 0. Символом Сш (R, X) обозначим подпространство банахова пространства Cb,u(R, X), состоящее из ш-периодических функций, т.е. функций x Е Cb,u(R, X), для которых выполнено условие S ^)x = x.
Отметим,что оба множества Cs1,^(R,X; C0) и CW,^(R,X; C0) образуют линейные замкнутые подпространства банахова пространства Cb,u(R,X). Банахово пространство Сш(R, X) образует замкнутое подпространство в X; C0). Таким образом, имеют место включения Cs1,^(R,X; C0) С CW,^(R,X; C0) С Cb,u(R,X), при этом все они инвариантны относительно операторов S(t), t Е R.
Рассмотрим множество ) = {x Е Cb(R,X) : S(a)x — x Е C0(R,X; M) для
любого а Е R}, где множество M С L:(R) удовлетворяет условию Винера. Из определений 2 и 3 следует, что CW,^(R,X; C0) С ) для любого подпространства C0(R, X), удовлетворяющего условиям определения 2.
Справедлива следующая
Теорема 3. Пусть C0(R,X) — одно из подпространств исчезающих на бесконечности функции, удовлетворяю-
щее всем условиям определения 2. Тогда CW,^(R,X; C0) =
X).
Доказательство. Достаточно доказать равенство ) = CW,^(R,X). Вклю-
чение CW,^(R,X) С (M') очевидно. Покажем обратное включение. Пусть
x Е (M), тогда ф = S(ш^ — x Е C0(R,X; M), т.е. f * ф Е C0(R,X) для всех f Е M. Пусть (en, n > 1) — произвольная о.а.е. алгебры L:(R). Из леммы 1 следует, что
en * ф = en * (S(o>)x — x) = S(ш)(еп * x) — (en * x) Е C0(R,X), откуда получаем, что y = en * x Е CW,^(R,X), а, значит, и x Е CW,^(R,X). □
3. Банаховы Ь1(Е)-модули и спектр Берлинга. Периодические
векторы.
В данном разделе будут приведены некоторые определения и факты из теории банаховых модулей, существенно используемые в дальнейшем.
Пусть X — комплексное банахово пространство и End X — банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в X.
Будем считать, что X является невырожденным банаховым L1(R)-модулем (см. [7, 11], структура которого ассоциирована с некоторым ограниченным изометрическим представлением T : R ^ End X. Это означает, что выполняются два свойства следующего утверждения:
Утверждение 1. Для банахова L1(R)-модуля X выполняются следующие условия:
1) из равенства /ж = 0, справедливого для любой функции / Е L1 (R), следует, что вектор x Е X — нулевой (свойство невырожденности банахова модуля X);
2) для всех ж Е X имеют место равенства (свойство ассоциированности модульной структуры на X с представлением T : R ^ End X):
T(t)(/x) = (T(t)/)ж = /(T(t)x), t Е R, / Е L1(R).
Если T : R ^ End X — сильно непрерывное ограниченное представление, то формула
T(/)ж = /ж = J /(t)T(-t)xdt, / Е L1(R), ж Е X, (1)
R
определяет на X структуру банахова ^^^модуля, удовлетворяющего условиям утверждения 2, причем эта модульная структура будет ассоциирована с представлением T.
Замечание 1. С каждым невырожденным банаховым ^^^модулем X ассоциировано единственное представление T : R ^ End X (см. [7]). Чтобы это подчеркнуть, иногда будет использоваться обозначение (X, T).
Теория банаховых ^^^модулей изложена в [7, 11-13].
Определение 6. Вектор из банахова ^^)-модуля X назовем непрерывным (относительно представления T) или T-непрерывным, если функция : R ^ X, px(t) = T(t)x, t Е R, непрерывна в нуле (и, значит, непрерывна на R).
Совокупность всех T-непрерывных векторов из банахова ^^^модуля X обозначим через Xc или (X, T)c. Оно образует замкнутый подмодуль из X, т.е. Xc —
замкнутое линейное подпространство из X, инвариантное относительно всех операторов T(f), T(t), f Е L*(R), t Е R.
Пространство Cb(R, X) является банаховым ¿*^)-модулем с модульной структурой, определяемой равенствами (1), и эта структура ассоциирована с представлением (группой сдвигов функций) S : R ^ EndCb(R,X).
Далее символом Y обозначим фактор-пространство Cb,u(R,X)/C0(R,X), являющееся банаховым пространством с нормой ||ж|| = inf ||y||, где ж = x + C0 —
класс эквивалентности, содержащий функцию x Е Cb,u(R,X). В пространстве Y действует сильно непрерывная группа изометрий S : R ^ End Y вида
S(t)x = S(tfx, t Е R, ж Е Y.
Тогда структура банахова ¿*^)-модуля на Y (см. [3, 7] определяется с помощью представления S и задается формулой fx = f f (т)x(—т)ж dr, f Е L*(R), ж Е Y.
R
Определение 7. Спектром Берлинга вектора x Е X называется множество чисел Л^) из R вида Л^) = {А0 Е R : fx = 0 для любой функции f Е L*(R) c /(А0) = 0}.
Из определения следует, что Л^) = R\{^0 Е R : существует функция f Е L*(R) такая, что /(^0) = 0 и fx = 0}.
Определение 8. Пусть ш > 0. Вектор x0 Е (X, T) называется ш-периодическим (относительно представления T), если выполнено x0 Е X и T(ш^0 = x0.
Множество ш-периодических векторов, обозначаемое через X> = X^(T), образует замкнутое подпространство в X, инвариантное относительно операторов T(t), t Е R.
В [2] была получена следующая
Теорема 4. Пусть ш > 0. Для того, чтобы вектор x0 Е X был ш-периодическим (т.е. x0 Е X), необходимо и достаточно, чтобы имело место включение ЛЫ С 2ПZ.
Непосредственно из определения представления S : R ^ End Y следует, что х(ш)ж = ж для любого вектора x Е . Следовательно, имеет место
Теорема 5. Функция x Е Cb,u(R,X) является ш-периодическои на бесконечности тогда и только тогда, когда класс эквивалентности ж = x + C0(R,X) является ш-периодическим вектором относительно представления S Е End Y.
Получен следующий спектральный критерий периодичности функции на бесконечности:
Теорема 6. Для того, чтобы функция х Е Сь,и(Е,Х) была и-периодической на бесконечности, необходимо и достаточно, чтобы имело место включение Ле^(х) С 2П2.
Доказательство. Поскольку фактор-пространство & является банаховым модулем, то из определений 10 и 11 статьи [2] следует, что Л(Х) = Ле^(х), где х = х + Со (К, Х). Поэтому утверждение теоремы следует из теоремы 5. □
4. Периодические на бесконечности решения разностных
уравнений
Пусть С0(К,Х) — одно из подпространств исчезающих на бесконечности функций, удовлетворяющее всем условиям определения 2. Пусть и > 0. Рассмотрим разностное уравнение вида
х(ь + и) = Вх(ь) + уоСО, ь е К, (2)
где В Е Еп^Х, уо Е С0(К,Х).
Теорема 7. Пусть спектр а(В) оператора В удовлетворяет условию
а(В) П Т С {1}. (3)
Тогда каждое ограниченное решение х0 : К м X разностного уравнения (2) принадлежит пространству ).
Доказательство. Пусть функция х0 Е Сь,и(К,Х) удовлетворяет разностному уравнению (2), т.е. 5(и)х0 — Вх0 = у0, где (Вх0)(Ь) = Вх0(Ь), Ь Е К. Поскольку уо Е С0(К,Х), то
£(и)ж0 — Вх0 = 0, (4)
где Вх0 = Вх0.
Докажем включение Л(хо) С ^г2. Пусть Л0 Е К\(2П2). Выберем функцию / Е Ь1(К) такую, что /(Л0) = 0 и вирр/ - компакт, причем (вирр/) П 2 = 0. Покажем, что /х0 = 0. Из (4) получаем
/ (х(и)х0 — Вхо) = (5 (и)/)х0 — В/хХо = / х — В/ххо = 0, (5)
где / = 5(и)/ Е Ь1(К).
Из (5) получаем включение (/ — В/) * х0 Е Со (К, Х). Поскольку а(В) П Т С {1}, то существует окрестность V С Т числа 70 = егЛ° такая, что определена резольвента Л м Я(е'Л, В) : V м Еп^Х оператора В.
Рассмотрим бесконечно дифференцируемую функцию (р : К м С такую, что р(Л0) = 0 и виррр С [Л0 — 5, Л0 + 5] для любого малого 5 > 0 такого, что егЛ Е р(В)
для |А — А0| < Тогда она является преобразованием Фурье некоторой функции р G L1(R), а функция
- f р(А)(вгЛ/ — В)-1 , А G [Ао — ¿,Ао + ¿L ( ) \ 0 , А G [Ао — ¿,Ао + ¿],
является (в силу голоморфности функции А м (егЛ/ — B)-1 : R м EndX) преобразованием Фурье некоторой суммируемой функции F : R м End X. Из равенств
(F * (/ — В/ ))П(А) = Е(А)(еи/ — В)/(А) = р(А)/(А)/, А G R,
и формулы (5) следует, что
F * (/ — В/) * хо = (р * /) * x G C0(R, X).
Обозначив р * / через g, получаем, что П(Ао) = П(Ао)/(Ао) = 0. Таким образом, Ао не принадлежит существенному спектру функции хо. Отсюда, в силу теоремы 6, следует, что функция хо принадлежит пространству CW,^(R,X). □
5. Периодические на бесконечности решения дифференциальных
уравнений
Пусть А : Д(А) С X ^ X — линейный оператор с областью определения Д(А), являющийся генератором сильно непрерывной ограниченной полугруппы операторов и : R+ ^ EndX. Рассмотрим дифференциальное уравнение
Х(*) - Ах(*) = у(*), * С R, (6)
где у Е X) и пространство C0(R,X) удовлетворяет всем условиям определе-
ния 2.
Классическим решением дифференциального уравнения (6) называется дифференцируемая функция х : R ^ X такая, что х(*) Е Д(А) для любого * € R, и удовлетворяющая уравнению (6) для всех * Е R.
Функция х : R ^ X называется слабым решением уравнения (6), если для всех в,* Е R, в < имеют место равенства
г
х(*) = и(* - в)х(в) + ^ и(* - т)у(т)^т, в < в,* Е R. (7)
Справедлива следующая
Теорема 8. Пусть и > 0 и сильно непрерывная полугруппа операторов и : К+ м Еп^Х ограничена и имеет место включение
а(и(и)) П Т С {1}. (8)
Тогда каждое ограниченное на К слабое решение уравнения (6) с функцией у Е С0(К,Х) принадлежит пространству Сш,те(Е,Х).
Доказательство. Пусть выполнено условие (8). Пусть х : К м Х - ограниченное на К слабое решение уравнения (6).
Положив в (7) Ь = в + и и заменив впоследствии в на Ь, получим равенство
г+1
х(Ь + 1) = и(1)х(Ь) + ^ и(Ь + 1 — т)/(т)^г, Ь Е К.
г
г+ш
Введем обозначения и (и) = В, /и (Ь + и — т)/(т )^т = уо(Ь), Ь Е К,
г
и покажем, что у0 Е Со(К,Х). В силу ограниченности полугруппы и имеем г+ш г+ш
ЦуоС011 = II / и(Ь + и — т)у(т)^тII < М / ||у(т)|^т, Ь Е К, для некоторого М > 0.
гг Тогда из того, что у Е Со(К,Х), получаем, что у0 Е С0(К,Х), т.е. функция х удовлетворяет разностному уравнению (2). Из (8) следует, что выполнено условие (3) теоремы 7, и, значит, х Е Сш,те(К,Х). □
Описок литературы
1. Гельфанд, И. М., Райков, Д. А., Шилов, Г. Е. Коммутативные нормированные кольца // УМН. - 1946. - Т. 1 - № 2(12). - C. 48-146.
GELFAND, I. M., RAYKOV, D. A., SHILOV, G. E. (1997) Commutative rated rings. UMN. 1 (2). p. 48-146.
2. BASKAKOV, A., STRUKOVA, I. (2016) Harmonic analysis of functions periodic at infinity. Eurasian Math. J. 7 (4). p. 9-29.
3. Баскаков, А. Г. Исследование линейных дифференциальных уравнений методами спектральной теории разностных операторов и линейных отношений // УМН. — 2013. - Т. 68 - № 1 (409). - C. 77-128.
BASKAKOV, A. G. (2013) Analysis of Linear Differential Equations by Methods of the Spectral Theory of Difference Operators and Linear Relations. Russian Math. Surveys. 68 (1). p. 69-116.
4. Баскаков, А. Г. Гармонический и спектральный анализ операторов с ограниченными степенями и ограниченных полугрупп операторов на банаховом пространстве // Матем. заметки. - 2015. - Т. 97 - № 2.. - C. 174-190.
BASKAKOV, A. G. (2015) Harmonic and Spectral Analysis of Power Bounded Operators and Bounded Semigroups of Operators on Banach Spaces. Math. Notes. 97 (2). p. 164-178.
5. Струкова, И. И. О теореме Винера для периодических на бесконечности функ-ци // Сиб. матем. журн. - 2016. - Т. 57 - № 1. - C. 186-198.
STRUKOVA, I. I. (2016) About Wiener theorem for periodic at infinity functions. Siberian Math. J. 57 (1). p. 145-154.
6. Струкова, И. И. Спектры алгебр медленно меняющихся и периодических на бесконечности функций и банаховы пределы // Вестн. ВГУ. Серия: Физика. Математика. - 2015. - № 3. - C. 161-165.
STRUKOVA, I. I. (2015) Spectra of algebras of slowly varying and periodic at infinity functions and Banach limits. Vestnik VSU. Ser. Physica. Matematika. 3. p. 186-198.
7. Баскаков, А. Г., Криштал, И. А. Гармонический анализ каузальных операторов и их спектральные свойства // Изв. РАН. Серия матем. — 2005. — Т. 69 — № 3.. — C. 3-54.
BASKAKOV, A. G. & KRISHTAL, I. A. (2005) Harmonic analysis of causal operators and their spectral properties. Izv. Math. 69 (3). p. 439-486.
8. Струкова, И. И. О медленно меняющихся и периодических на бесконечности функциях из однородных пространств и гармоничных распределениях // Вестн. ВГУ. Серия: Физика. Математика. - 2018. - № 4. - C. 195-205.
STRUKOVA, I. I. (2018) About slowly varying and periodic at infinity functions from homogeneous spaces and harmonic distributions. Vestnik VSU. Ser. Physica. Matematika. 4. p. 195-205.
9. Струкова, И. И., Струков, В. Е. О четырех определениях почти периодической на бесконечности функции из однородного пространства // Научные ведомости БелГУ. Сер. Математика. Физика. - 2018. - Т. 50 - № 3. - C. 254-264.
STRUKOVA, I. I., STRUKOV, V. E. (2018) About four definitions of almost periodic at infinity functions from homogeneous space. Nauchnye vedomosti BelGU. Ser. Matematika. Fizika. 50 (3). p. 254-264.
10. Струкова, И. И. Гармонический анализ периодических на бесконечности функций в однородных пространствах // Вестник ВолГУ. Сер. 1. Математика. Физика. - 2017. - № 2(39). - C. 29-38.
STRUKOVA, I. I. (2017) Harmonic analysis of periodic at infinity functions in homogeneous spaces. Vestnik VolGU. Ser. 1. Matematika. Fizika. 2(39). p. 29-38.
11. Росс, К. Абстрактный гармонический анализ. Том 2 / К. Росс, Э. Хьюитт. — M.: Мир, 1975. — 899 c.
ROSS, K. A., HEWITT, E. (1970) Abstract Harmonic Analysis. Volume II. SpringerVerlag, New York.
12. BASKAKOV, A. G., KRISHTAL, I. A. (2016) Spectral analysis of abstract parabolic operators in homogeneous function spaces. Mediterranean Journal of Mathematics. 13 (5). p. 2443-2462.
13. Баскаков, А. Г. Теория представлений банаховых алгебр, абелевых групп и полугрупп в спектральном анализе линейных операторов // СМФН. — 2004. — Т. 9. — C. 3-151.
BASKAKOV, A. G. (2006) Theory of representations of Banach algebras, and abelian groups and semigroups in the spectral analysis of linear operators. J. Math. Sci. (N. Y.). 137 (4). p. 4885-5036.
