CC BY
6
Л.В. Степанова, Т.Л. Мелехина
УДК 513.82
Л.В. Степанова, Т.Л. Мелехина
(Военный университет ВПВО ВС РФ, г. Смоленск; Финансовая академия при правительстве РФ, г. Москва)
ПОЧТИ КОНТАКТНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ НА ГИПЕРПОВЕРХНОСТЯХ ПОЧТИ ЭРМИТОВЫХ МНОГООБРАЗИЙ
Получены структурные уравнения Картана произвольной почти контактной метрической структуры на ориентируемой гиперповерхности почти эрмитова (AH-) многообразия.
1. Пусть (М2п, J, g =(у)) — почти эрмитово многообразие
[1], а N с М2 — его ориентируемая гиперповерхность. Обозначим через Х^ (М) сужение модуля векторных полей Х(М) на N : ^(М) = у Тр(М). Очевидно, что Х(К) (М).
pеN
Пусть Х1 (N) — ортогональное дополнение Х( Щ) в Хд, (М) . Очевидно, что Х1 (Щ — одномерный подмодуль модуля Хд, (М) . При этом если р е N — произвольная точка, то
Т1 (N) = X е Тр (М)| (X,¥) = 0, ¥ е Тр (И) }, Ст (т^(N))= 1. Следовательно, вектор единичной нормали к N в точке р п0 е Тр (М) может служить базисом подпространства Т 1 (N), а значит, векторное поле
Ш,)р| ре(М)
может служить базисом подмодуля Х1 (N) .
119
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
Введем обозначение £ = J(n0 ) . Тогда £ е К(N) , так как (£, щ) = (J (n0),= -Q(no, no) = 0, а значит, £1 n0 и согласно определению [1] £eK(N) . Введем обозначения г; еК*n (M) , ;(X) = £, X) и £еК*N (M) , £(X) = (щ ,X). Имеем
гг( X) = X) = ( J (no), X) = - no, JX) = —£ о J (X),
т. е. г = — £ о J . Таким образом, возникают несколько проекторов в модуле векторных полей KN (M), а именно
• щ = £ ® n0 — проектор на вектор одномерной нормали;
• П1 = id — nj — дополнительный проектор на подмодуль К(N);
• щ = г ® £, П2 = id — щ .
Обозначим Im (n2) = Y . Рассмотрим новые проекторы:
щ = щ + n2 , П3 = id — щ .
Заметим, что образы проекторов щ и П3 взаимно ортогональны, следовательно,
KN (M) = Im (n3) + Im (П3).
Обозначим 1т(П) = л . Получим, что ¥ = Л(£) сК(N) , причем K(N) = Л©¥ — прямая ортогональная сумма. Так как
KN (M) = Im(n3) + 1т(П3) =
=лел(£, щ)=лел(£) ©л(щ)=ле^ел(щ),
то л © Y = л1 (n0) = К(N) . Заметим также, что поскольку л(£, щ) инвариантно относительно J , то и ортогональное дополнение л также инвариантно относительно J .
120
Л.В. Степанова, Т.Л. Мелехина
Определим эндоморфизм Ф модуля Х^- (М) следующей формулой: ф = J о щ. Заметим, что Л и ¥ , являясь инвариантными относительно J и Щ, будут инвариантны и относительно Ф . Непосредственно вычисляя Ф2(X), X е ХN (М), получим
Ф2 =-Ы П0 + 7] ® % .
В частности, если X е Х(N), то £(X) = (п0, X) = 0 и, значит, Ф2(X) = -X + ](X)% , X е Х(N)
Таким образом, сужение Ф на Х(N) удовлетворяет условию Ф2 =-1й + .
Итак, в модуле Х(^ внутренним образом определены тензоры % , 7], Ф , g, где
% = J(no) ; 7(X) = (%,^; Ф = Jощ\х(N); g = Х(N). При этом выполняются следующие условия: 1) ](%) = (%,%) = 1; 2) 7] о Ф = ]о J о Щ х( N) = 0; 3) Ф (%) = 0;
4) Ф2 =-1й 5) ^, Ф¥) = (X, ¥)-](X](¥), X,¥ еХ(N).
Таким образом, доказано
Предложение. На любой ориентируемой гиперповерхности почти эрмитова многообразия внутренним образом индуцируется почти контактная метрическая структура.
Этот факт, по-видимому, впервые был установлен Сасаки [2], исходившим из других соображений.
2. Получим структурные уравнения Картана почти контактной метрической структуры, индуцированной на гиперповерхности N почти эрмитова многообразия. Зафиксируем
с
точку р е N и построим два базиса пространства Тр (М) —
комплексификации пространства, касательного к многообразию М в точке р :
Ь1 = (£а ,£ъ ,Вп ,£П X Ь2 = (£а ,£ъ ' вп, еП ) .
121
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
Здесь и далее еп есть вектор нормали к N , еп = J(еп) = £р ; а,Ь,с,й = 1,...,п —1; а =а + п; п = 2п .
Если (е1,...,еп ,Ле1,...,Леп ) — ортонормированный базис пространства Т с (М), вещественно адаптированный структуре У , то
е„ - ие.
ел +1 Je„
а „ _ а_а г- _ п
, ьа = |— , ^ =
е — 1 Ле
л/2 , 42 ' °п л/2 ', 72-
Матрица перехода от базиса Ь2 к базису Ь1 имеет следующий вид:
еп +1 ^п
Т „ 0
2п-2
1 1
0 72 72
71 72
с=
где /2и_2 — единичная матрица порядка 2п — 2 . Тогда обратная к ней матрица имеет вид
Т2п-2 0
С ' = 0 1 72 72
V 1 72 — 1 72
Пусть (с1) и (9) — базисы, дуальные к базисам Ь2 и Ь1 соответственно; 1,] = 1,...,2п . Тогда С =С1 9, где (С1) = С 1. Следовательно,
® =9Г, соп= -1(9п +19п), сп = -1(9п — I 9й),
л/2 п л/2
где ап=ап, 1,., п — 1, п + 1,...,2п — 1. Выразим 9 : 9г=сг, 9п= ^С®" + сп), 9й = -^(ап—ап).
Как реперы типа (р, Ь1) , так и реперы типа (р, Ь2), где р е N, образуют пространства С-структуры Ут (т = 1,2) со структурной группой О = г/(п — 1)х {е} .
122
Л.В. Степанова, Т.Л. Мелехина
Первые группы структурных уравнений римановой связности V на пространствах Yt и Y2 G-структуры имеют соответственно вид
dé = а>) л С, йв' = в) л в,
где со' и ej — компоненты формы римановой связности на соответствующем пространстве G -структуры.
Поскольку в'' = Cj С , то dC = (СI вкгС]) лС . Отсюда
делаем вывод, что (сС — С' вк С^) л С = 0 . Применив лемму Картана, получим
С = Ск вкС + С'С, где Cjk = Cj . Так как мы рассматриваем риманову связность, то Vg = 0 (g = {gij} — метрический тензор). Запишем условие Vg = 0 в базисах Ъ и Ъ2:
1) dgij + gj ск + ~i'k С = 0; 2) dgij + gkj. в + gik в^ = 0 .
Здесь gj. — компоненты тензора g в базисе Ъх, а gj — компоненты тензора g в базисе Ъ2 . Поскольку gf. = grs С С^ ,
имеем
'irs Ск С j С + grs Ci Ск
grs Ск С ск + grsC¡Ck С = 0,
или
g» с; в; ср + gля с; в; ср + с^ + с^, )С = 0.
Согласно [3] gm; в; = - gpm в; , поэтому последнее равенство можно переписать следующим образом:
(~,ск + ~1кс, )С = 0.
В силу линейной независимости базисных форм С получаем, что 8,си + ~кс)1 = 0.
123
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
Дважды произведя замену индексов 1 ^ ' ^ I ^ 1, а затем сложив два первых равенства и вычтя третье, получим С^ = 0 . В силу невырожденности тензора ^ делаем вывод: Ск1 = 0 . В итоге приходим к тому, что
® = С 9^с; , 9 = С ;.
На пространстве С-структуры У2 подмногообразие
1 с М2п задается уравнением Пфаффа 9п = 0 . Продифференцируем это соотношение внешним образом:
9П л9а = 0, а,р = \,..,2п — 1. Отсюда в силу леммы Картана имеем 9П = с^р 9р , где = <УрШ . Здесь о~-р являются компонентами второй квадратичной формы, характеризующей погружение N в М . Из последних равенств вытекает
® С = стар 9~Р =с ар 9р + п 9п,
или
С" ® \=Сар9Р+та (с" +®п ).
9п
Поскольку 9п = 0 равносильно тому, что с =сп = —, то,
л/2
приняв обозначение 9 = 9п, получим
Сп с С =тшр9р+аа п 9.
Заменим обозначение 9 на с . Последнее равенство равносильно совокупности двух таких равенств:
1) С" с [) Са = тар ®Р + тап с , 2) С" ® '] Сп =тпр С + тпп ® •
124
Л.В. Степанова, Т.Л. Мелехина
Таким образом,
1 -М . 1
Л 0 +72
1 \ i n i n lL
1) —7=°(X +—°a =аарЮр + aUn 0)
или
О -О — aiyR0 + i42 (7„n о;
^ п ^ п ^ п ^ п В
2) -2ап + 2^ -2®п +2ап =°пВ С + °пп с.
Отметим, что сС = -ю? , С = апп = 0, С = спп = 0, следовательно,
п В
С = 1 °пр С + 1 &пп С
Пусть а = а . Тогда
С1 - Спа = 1 &аЬ сЬ + 1 °Ъа С Ь + 1&ап С .
Поскольку [3] для почти эрмитовой структуры выполняется равенство
Спа = ВпаЬ СЬ + Впа" Сп + ВпаЬ ^ + Впап Ю" ,
или
апа = ВпаЬ СЬ + Вп^ Сь + (Впап + вВпапС , п 1
принимая во внимание, что ап = —=ю, получаем
л/2
, = (ВпаЬ + 1^2^ )СЬ + (Впа^ + С +
ипа~\^паЪ 1 'У^па
+
B п B + л/27 )о.
^ ГГ па ГГ пап v ап /
Пусть а — а . Тогда
°"П -°1 = ^7аь °b + /л/27ь о 6+i4l7aп °. С другой стороны,
„па ~nab „ . г,па „6 . ¡т>па . ~папч, и
О — B Оь + B b О + (B п + B )о .
125
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
В итоге имеем
=(-Bnah + i4iaab )аъ + i-B"ab + i4io" )аъ +
+(--L Bnan вnan + i4ia" )®. л/i vi
С учетом вышесказанного первая группа структурных уравнений Картана индуцированной почти контактной метрической структуры на пространстве расслоения реперов примет следующий вид:
1 a a b , a n , nab c , nan c n ,
d со = cb aw + cn aw + B c со Awb + B c со aw +
ac n abc anc n acn n
+ B n CO A Wc + B wb awc + B со awc + B wc a со .
Подставив выражение для С и принимая во внимание, что n 1
с" = -¡= с, получим
42
d C0a =C a®b + Babc С ac+ Babc cac+ (л/2 Banb + ia" )®b a® +
1 + iaab )с a с .
+ (-л/2.8 "аЬ —БаЬ„ —^ БаЬп + гстаЬ )ал®. (1) 42 42
Аналогично получаем
Л ®а =- л ®ь + БаЬС ®с л ®ь + БаЬс ^ Л® + (42 Ба„Ь - /СТЬ ^ л ® +
+ (-^2 Б^ БаЬ„ БаЪ" - 7 ^аЬ V Л® . (2)
Найдем и третье уравнение первой группы структурных
уравнений. С учетом упомянутого выше равенства ап = —^ а
л/2
имеем
-1 dа= dan =ю" ла" + ф" А®" + Bnab аъ л® + Bnanan л® +
л/i
+ Bnab ®a лаъ + Bnnb ф" лаъ + Bnbn ®ъ а®" .
Подставив выражения для сопа , сопп и ¿yn и умножив обе части равенства на 42 , получим 126
Л.В. Степанова, Т.Л. Мелехина
й ю=42 ВпаЬ ®а л ®ь + (72 в"аь -42 ВпЬа - 2 1ааъ) ®Ь люа +
+ 42Впаь®а Л®ь + (ВпЬп + ВпЬП +1°пЬ )® л ® + (3)
+ (^пьп+впЬп-¡аЬ )®л®ь.
Теорема. Первая группа структурных уравнений Картана почти контактной метрической структуры, естественно индуцированной на гиперповерхности почти эрмитова многообразия, имеет вид (1—3).
Заметим, что полученные структурные уравнения Картана произвольной почти контактной метрической структуры на гиперповерхности почти эрмитова многообразия обобщают соответствующие результаты для почти контактных метрических гиперповерхностей специального вида [3; 4].
Список литературы
1. Кириченко В.Ф. Методы обобщенной эрмитовой геометрии в теории почти контактных многообразий // Проблемы геометрии / ВИНИТИ. М., 1986. Т. 18. С. 25—71.
2. Sasaki S. Almost contact manifolds // Lect. Notes Math. 1965. V. 1; 1967. V. 2; 1968. V. 3.
3. Stepanova L., Banaru M. On hypersurfaces of quasi-Kahlerian manifolds // An. Stin. Univ. «Al. I. Cuza». Iasi. 2001. T. 47. № 1. P. 165—170.
4. Banaru M. On minimality of a Sasakian hypersurfaces in a W3 -manifold // Saitama Math. J. 2002. V. 20. P. 1—7.
L. Stepanova, T. Melekhina
ALMOST CONTACT METRIC STRUCTURES ON HYPERSURFACES OF ALMOST HERMITIAN MANIFOLDS
The Cartan structural equations of an arbitrary almost contact metric structure induced on an oriented hypersurface of an almost Hermitian manifold are obtained.
127
