CC BY
36
УДК 519.85
ПОБУДОВА ОПУКЛОЇ ОБОЛОНКИ ЗАГАЛЬНОЇ МНОЖИНИ СПОЛУЧЕНЬ
Зазначимо, що симплексні вершини не лежать в
одній площині. Позначимо Q^jn(G) — загальний многогранник сполучень.
Якщо всі вершини Q ^n (G) симплексні, то многогранник задається системою нерівностей:
ЄМЕЦЬ О.О., РОСКЛАДКА А.А.
Пропонується метод виокремлення, що дозволяє значно зменшити кількість досліджуваних точок, необхідних для побудови опуклої оболонки загальної множини сполучень.
Проблема побудови опуклої оболонки деякої множини точок була і залишається актуальною при розв’язанні задач дискретної взагалі і комбінаторної зокрема оптимізації [1], оскільки вона визначає множину допустимих розв’язків задачі. Велика кількість робіт, наприклад [2,3], присвячена пошукууніверсального підходу до побудови опуклої оболонки скінченної множини точок. В [2] розглядається алгоритм побудови такої оболонки у вигляді множини розв’язків системи лінійних нерівностей, робиться його аналіз при наближених обчисленнях, а також дається спосіб обчислення оцінки похибки результату. В [3] в наведений вище алгоритм вводиться додаткова умова, яка значно підвищує його складність, проте у випадку точних обчислень при застосуванні цього алгоритму виключається можливість виникнення зайвих нерівностей.
Велика кількість оптимізаційних задач розв’язується на множинах сполучень [1] (задача про ранець, задача інтерполяції дискретної функції, що отримана експериментальним шляхом, та багато інших). В [4] дається аналітичний опис многогранника сполучень з повтореннями. Знайдено також розв’язок [5] для двох спеціальних класів множин сполучень.
В даній статті пропонується алгоритмічний підхід до побудови опуклої оболонки для загальної множини сполучень.
Введемо необхідні означення.
Нехай Jn — множина n перших натуральних чисел, тобто Jn ={l,...,n}. Jn = Jn u{0}, J0 = 0.
Розглянемо мультимножину G = {g 1,..., gn} ,
gi є R* 1, Vi є J n . Елементами евклідової множини k-
сполучень [4] S^jn(G) є всі упорядковані k-вибірки з мультимножини G вигляду
e = (g il,g І2,...,g ik ) (1)
при виконанні умови gц < gi2 <■. < gik , де
gij є^ ij ф it V ij, it є Jn , V j, t є Jk .
Означення 1 [5]. Симплексними точками множини s|^n(G) в Rn називаються точки
yj = (Уj1, . ,yjn) єRn Vj є j0,
yji = gi Vi є J°_j, yj(n-i+1) = gn-i+1 Vi є J°.
gi g n—n +i
x1 - g1, xn - gn xi xi +1 -
g n — n +i +1 g i+1
g n—n+i +1'g i g n—n+i'g i+1
(2)
g n—n+i+1 _ g i+1 Означення 2 [5]. Індексом n(e) довільного елемента e єЗ^ф^) вигляду (1) називається n-вимірний
-
вектор n(e) = (i 1,i2 — i1,...,in — in—1).
Означення 3 [5]. Точка e називається регулярною, якщо в індексі n(e) всі неодиничні компоненти оточені одиничними, а також у випадку, якщо
in — in — 1 + 1,то in =n.
Позначимо R Пп (G)
множину регулярних то-
чок slnn(G).
Твердження [5]. Множина вершин многогранни-k •
ка Q nn(G) є шдмножиною множини регулярних точок R nn (G).
Алгоритм, що запропонований у [2], будує опуклу
оболонку множини s точок в R n , властивості яких невідомі. Для цього складають систему
—Xі - 0, i є Js,
— ZX jv;1 + yi = 0, 1 є Jn, EX j = 1
j =1 l j =1
відносно змінних y = (y1,...,yn) єRn і
X = (X1,...,Xs) єRs . Виключивши з неї змінні
X 1,..., X n + 1, отримують систему нерівностей
Z с jX j +Z с j + syj < с 0, i є Jn + 1, j=n+2 J j=1 J
(3)
—Xі < 0, i = n + 2,...,s,
яка описує опуклу оболонку n+1 точки. Поступово
виключаючи з системи (3) змінні Xn+2,...,Xs, отримують опуклу оболонку заданої множини точок.
Введення в умову вектора змінних X пов’язано з тим, що процес створення опуклої оболонки ведеться безпосередньо (тобто не використовується приєднання точок до відомої опуклої оболонки). В тому випадку, коли відома опукла оболонка принаймні n+1 точки, приєднання решти точок до існуючої оболонки відбувається без застосування вектора змінних X . Таким чином, обертаються на нуль всі доданки, що утворюють першу суму в нерівностях системи (3), значно спрощуючи її вигляд. Такий алгоритм із спрощеною структурою назвемо модифікованим алгоритмом Черних. Застосування до знаходження аналітичного опису загального многогран-
РИ, 1998, № 4
95
ника сполучень саме модифікованого алгоритму обумовлено ТИМ, що для точок множини S^nCG) відомий аналітичний опис симплексу, який має n+1 вершину і є підмножиною загального многогранника сполучень. Модифікований алгоритм Черних застосовується до точок S^nCG), координати яких не задовільня-ють хоча б одну з нерівностей (2), тобто тих, які не лежать у симплексі, по черзі приєднуючи їх до множини симлексних вершин. Точки, які лежать всередині симплексу, а також ті, які не є регулярними, виключаються з розгляду, оскільки явно не можуть
бути вершинами многогранника Q Пщ (G).
Таким чином, алгоритм побудови опуклої оболонки точок загальної множини сполучень складається з трьох основних етапів:
1. Із точок S^n(G) виділяється множина регулярних точок R Пщ (G).
2. Із точок, що належать R^n(G), виокремлюється множина точок, які не лежать у симплексі.
3. До отриманої множини точок застосовується модифікований алгоритм Черних.
При реалізації даного алгоритму на ЕОМ було встановлено, що, наприклад, з мультимножини G, яка
з
містить 20 елементів у просторі R , загальна кількість
точок множини S^n(G) становить 1140. З них на першому етапі алгоритму виокремлюється 204 точки, а на другому — 116 точок, які тільки і використовуються при побудові Q^n(G). В результаті застосування запропонованого підходу кількість точок, які
використовуються при побудові опуклої оболонки множини S^n (G), зменшується практично у 10 разів.
Розглянутий алгоритм можна застосувати до знаходження опуклої оболонки тих евклідових комбінаторних множин, для яких відомий аналітичний опис частини многогранника.
Література: 1. Сергиенко И.В., Каспшицкая М.Ф. Модели и методы решения на ЭВМ комбинаторных задач оптимизации. К: Наук.думка, 1980. 208 с. 2. Черных О.Л. Построение выпуклой оболочки конечного множества точек при приближенных вычислениях // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1988. №9. С.1386-1396. 3. Черных О.Л. Построение выпуклой оболочки конечного множества точек на основе триангуляции // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1991. №8. С. 1231-1242. 4. Стоян Ю.Г., Ємець О. О. Теорія і методи евклідової комбінаторної оптимізації. К.: ІСДО. 1993. 188 с. 5. Пичугина О.С. Методы и алгоритмы решения некоторых задач оптимизации на множествах сочетаний и размещений: Дис. ...канд. физ.-мат. наук. Харьков: ХТУРЭ, 1996. 160 с.
Надійшла до редколегії 15.11.1998 Рецензент: д-р техн. наук Гіль М.І.
Ємець Олег Олексійович, д-р фіз.-мат. наук, доцент, завідувач кафедри прикладної математики та математичного моделювання Полтавського державного технічного університету ім. Юрія Кондратюка. Наукові інтереси: комбінаторна оптимізація та геометричне проектування. Захоплення: бадмінтон, філателія. Адреса: Україна, 314601, Полтава, Першотравневий проспект, 24, тел. 7-97-18.
Роскладка Андрій Анатолійович, аспірант кафедри прикладної математики та математичного моделювання Полтавського державного технічного університету ім. Юрія Кондратюка. Наукові інтереси: комбінаторна оптимізація.Захоплення: баскетбол і плавання. Адреса: Україна, 314601, Полтава, Першотравневий проспект, 24, тел. 3-79-84.
УДК 519.767.2
ОЦЕНКА ПОНИМАНИЯ СМЫСЛА ЕЯ КОМПАРАТОРНЫМ МЕТОДОМ
КАЛИНОВСКИЙА.С., РУБЛИНЕЦКИЙВ.И., РЯБОВА Н.В.
Рассматривается проблема оценки понимания смысла ЕЯ различными компьютерными системами, предназначенными для обработки ЕЯ текстов. Излагается методика компараторной идентификации на основе тесттекстов (ТТ) для оценивания меры смысловой схожести текстов. Предлагаются три алгоритма, позволяющие на множестве простых ТТ надежно распознавать тексты с одинаковым смыслом.
1. Постановка проблемы
Когда Бог решил пресечь строительство вавилонской башни, он сделал так, что строители начали разговаривать на разных языках. Сегодняшняя вавилонская башня — самая трудная задача, решаемая человеческой наукой и техникой, — это проблема понимания, точнее — проблема понимания компьютером человеческого естественного языка (ЕЯ). Со времени постановки задачи прошло полстолетия, быстродействие и память машин увеличились на много порядков, во многих областях интеллектуальной деятельности машина давно обогнала человека,
а в башне проблемы понимания едва выстроен первый этаж. Причина, в основном, состоит в трудности самой задачи, но также и в том, что строители упорно говорят на разных языках.
Специальная литература предлагает много программных систем с благозвучными названиями (АИСТ, ПОЭТ, FAUSTUS, Элиза и т.п.), которые в какой-то мере понимают текст. Было бы очень удобно знать, в какой действительно мере они это делают. Тогда было бы легче ориентироваться, какие системы сильнее и какие подходы обещают больше. Не зря отец современной науки Галилей советовал: “Измеряй все измеримое и делай неизмеримое измеримым”.
Многие из разработанных в интересующей нас области систем узко направлены на решение специальных задач. Так, система Винограда [1] понимает подъязык, описывающий манипуляции с несколькими фигурами на экране компьютера; она разумно уточняет неясные и отвергает невыполнимые команды, правильно манипулирует с фигурами. Программа Элиза, созданная Вейценбаумом [2], подражает речам психотерапевта. Программа Командина [3] извлекает смысл из объявлений о купле, продаже, съеме и сдаче квартир, представляя смысл объявления точкой в многомерном пространстве признаков. Полный список таких программ спецназначения имел бы длину средней статьи. Многие из этих систем узкого назначения вполне удачны. Так, девушки, которые сами писали отдельные процедуры системы Элиза, оставались после работы, чтобы,
96
РИ, 1998, № 4
