CC BY
41
УДК 519.833.7
ПОБОЧНЫЕ ПЛАТЕЖИ В ОДНОЙ КООПЕРАТИВНОЙ ИГРЕ С УЧЕТОМ РИСКОВ
К.Н. Кудрявцев
Предлагается один из возможных способов распределения побочных платежей для гарантированного по выигрышам и рискам решения в кооперативной игре двух лиц с побочными платежами и при неопределенности.
Ключевые слова: кооперативные игры, неопределенность, риск, побочные платежи, гарантированные решения.
1. Введение
Рассматривается кооперативная игра двух лиц с побочными платежами и при неопределенности, которая отождествляется с кортежем
где 1 и 2 - порядковые номера игроков, X, с !"' (/ = 1,2) множество стратегий xt у /-го игрока.
О неопределенностях уеГсК"1 игроки не имеют каких-либо статистических данных, известна только область их изменения.
Игра (1) происходит следующим образом. Игроки совместно и согласованно выбирают свои стратегии Xi (/ = 1,2), в результате чего складывается ситуация
х = (хих2) е X = Х| хХ2 с R" (п~пх+п2).
Независимо от действий игроков реализуется некоторая неопределенность у е Y . На образовавшихся парах (ij)eXx7 определена скалярная функция выигрыша /-го игрока
f(x,yy.XxY —» М (/ = 1,2), значение которой на выбранной игроками ситуации х и появив-
шейся независимо от ситуации неопределенности у называется предварительным выигрышем г-го игрока. Предварительным риском [1] /-го игрока будет вычисленное на этой же паре значение функции риска [2]
Ф, (■*, у) = f (*Р (у), у) - f (х, у) (/ = 1, 2), (2)
где хр (у) - максимальная по Парето альтернатива [3] в двухкритериальной задаче
Г(у)={х,{/(^4Ы2), (3)
полученной из игры (1) при каждой фиксированной неопределенности у е Y . Функция Ф, (х,у) численно оценивает риск /-го игрока, связанный с тем, что он выбрал свою стратегию из ситуации х , а не из хр (>■), хотя последняя и доставляет максимум по Парето в задаче (3).
Полученные таким образом суммарный предварительный выигрыш /, {x,y) + f2 (х,у) и суммарный предварительный риск Ф, (х,у) + Ф2 (л,у) игроки, в дальнейшем, путем переговоров
перераспределяют между собой. При этом выигрыши суммируются только с выигрышами, а риски - с рисками. Целью /-го игрока на «содержательном уровне» является такой выбор своей стратегии и такое последующее перераспределение предварительных выигрышей и предварительных рисков, что получившийся в результате его окончательный выигрыш был по возможности больше, а перераспределенный риск по возможности меньше. Одновременно с этим, игроки должны ориентироваться на возможность реализации любой неопределенности у е Y.
Ниже используются максимины и минимаксы: ft [у] ” max min / {х],х2,у), Ф® [у] = min тахФ, [хх,х2,у) (i,j = 1,2, i*j) VyeY,
хеХ: дг.еХ, ЛубХу х.-еХ.•
применяются вектора / = Ф = (Ф,,Ф2) и предполагается, что все максимумы и мини-
мумы в следующем определении достигаются, а функции / (*, >') и Ф, (л\.у) (г = 1,2) непрерывны на произведении непустых компактов X х 7; (а)] = Мет[а —> ¿>] означает выражение в
скобках [ ... ] в левой части равенства, где а заменено на Ь.
Определение 1. Гарантированным по выигрышам и рискам решением (ГВР) кооперативной игры двух лиц с побочными платежами и при неопределенности (1) называется [2] тройка (**,/*, Ф*), для которой существует неопределенность уР е У такая, что выполняются следующие три условия:
1° условие коллективной рациональности
2
тах £/;(* ,уР) = Ыет\х -» х (4)
2° условие «неухудшаемости» суммарного выигрыша и риска
2
= Мет\у —> уР\; (5)
3° условие индивидуальной рациональности'. справедлива система из четырех неравенств
1;>/?[ур],Ф:<Ф*[ур} (/=1,2), (6)
где
ы (=1 1=1 (=1
при этом пару /* = назовем гарантированным векторным дележом, пару Ф* = (Ф*,Ф2)
- гарантированным векторным риском игры (1), ах*- ситуацией, гарантирующей эти дележи и риски.
Замечание 1. Приведенное выше определение ГВР имеет место и при количестве игроков N>2.
2. Побочные платежи
Рассмотрим один из возможных способов распределения гарантированного суммарного 2 2
выигрыша F(x\yp) = ,уР) и гарантированного суммарного риска Ф(х\ур) = Хф
1=1 1=1
в игре (1). Такое распределение можно осуществить, если указать числа 0 < or < 1 и /ЗеШ такие,
что первый игрок получит часть f* - aF{x ,ур) гарантированного суммарного выигрыша и часть Ф* = (ЭФ{х*, у р) гарантированного суммарного риска, а второй игрок /2* = (1 -a)F(x',yp) и Ф^ = (1 -(3)Ф(х*,ур) соответственно.
Будем считать
fi(x,y)> 0 \/(х,у) eXxY (/ = 1,2). (7)
Если в (1) функции ft(x,y) (/ = 1,2) непрерывны, а множества Х1, X, и Y - суть компакты, то условие (7) всегда можно осуществить, используя замену
7=/; + м +1 (/ = 1,2),
где М - max max I ft (х, >')[. При таком преобразовании игры (1) к
/=1,2 (х.^бХхУ ‘ ‘
(*,y) = f(x,y) + M + 1}ы 2
ситуации х", реализующие гарантированный суммарный выигрыш и гарантированный суммарный риск, не изменятся, гарантированные дележи в преобразованной игре будут f* — f* + М +1 (/ = 1,2), гарантированные риски Ф* (/ = 1,2) останутся теми же, что и в игре
(Л______________________________________________________________________________________________
Утверждение 1. Предположим, что для игры (1) выполнено условие (7) и существует пара (х\ур) е X х У, для которой Ф(х*,ур) > 0 и
та хР(х,уР) = Р(х',ур);
тт[ЛУ, у) - Ф(х\у)} = F(x\уР) - Ф(х\ уР);
yeY
max min /(щ,и2,уР) = f°[yP], (i,j = 1,2; /' * j);
„,.eX,,veXy
min тщ.Ф^Щ,и2,уР) = Ф°[ур] =
»,eX,«,eX,
Тогда гарантированные дележ /‘ = (/%/,*) и риск Ф* = (Ф*,Ф*) игры (1) имеют вид
/* =аР(х\уР), /2* =(1 -а)Р(х\ур),
Ф;=(ЗФ{х,Ур), Ф'2={\-/3)Ф{х,уР), аГВРРбудет (л:*,/*,Ф''), где а и /3 - любые постоянные числа, удовлетворяющие включениям:
(14)
(8)
(9)
(10)
(П)
(12)
(13)
а е
7>р] ! /гШ F(x\ypy F(x*,yP)
t Ф°[ УР] Ф?Ы
Для доказательства достаточно проверить, что для векторов /’ = (f*,f2) из (12), (14) и Ф* = (Ф*,Ф5) из (13), (15) выполнены требования Г и 3 из определения 1. При рассмотрении же указанных требований следует иметь в виду, что постоянная а должна дополнительно удовлетворять условиям а е [0,1].
С учетом обозначений из (10), (11) и [2]
F(x\yP) = тах[/ (и, уР) + /2 (и, уР )] >
иеХ
^ max min МЩ,Щ,УР) + max min /2(и1^2’Ур) ~ /\°1Ур] + /°1Ур]’
Ф(**» Ур) = тт[ф, (и, Ур) + Ф2 (И, УР )] £
1/еХ
^ min тахФ1(и,,и2,}^) + тт тах.Ф2(м!,м2,^) = Ф°[уР] + Ф2[уР]. Кроме того, согласно (12) и (13),
F(x",yP) = YfXx\yp) = aF(x*,yP) + (\-a)F(x*,yP) = f‘ + /2\
м
2
Ф{Х,ур) = ^Ф1{х,ур)-рФ{х,ур) + {\-Р)Ф{х\ур) = Ф^Ф'2
(16)
(17)
(18)
(19)
при любых а - const е [0,1], (3 - const е R., поэтому для всех таких а и (3 выполнено
требование 1° определения 1.
Наконец, с учетом (12)—(15)
/Г = aF{x,yP) > -MzA-F(x\yp) = fx\yp],
Пх,УР)
/2* = (1 ~cc)F(x\yP)>
1-
1-
ШуЛ
F{x\yp)
F(x,yP) = f°[yPl
ф;=рф{х ,Ур)<^М-ф(Х\Ур).=ф°[уР1 Ф(* ,Ур)
ф; = (1 -р)Ф(х,Ур)<
' Ф2 \-У Р 3Л
ф(х\ур)
Ф(ДС*,^) = Ф°[^],
т.е. имеет место требование 3° определения 1, если только
о < _А1 Ур ] <1-^2 \Уе 3_, < I (20)
F(x\yp) F(x\yP)
и
х Ф°Ь,3 ^ ФЧШ (2])
Ф( х\уР) Ф(х*,уРУ
Установим справедливость цепочки неравенств (20). В самом деле, вследствие (7), будет f°[yF}> 0 и F{x\yP) = fl{x\yp) + fi(x\yP)> 0 и поэтому
f?{yP]\_F{x\yP)\ ' >0-
Среднее неравенство в (20)
/\УР] ^F{x',yp)-fi\yp]
F{x\yP) F{x\yP) также имеет место, ибо F(x\yp) > 0 и, согласно (7) и (16) F(x*,yp)~ f°[yP ] ä f°\yP ].
Последнее неравенство в (20) выполняется, так как F(x*,yp) > 0 и /2°[^/,]> 0. Далее,
неравенство (21) справедливо в силу Ф{х\ур) > 0 и (17).
Замечание 2. Схема доказательства утверждения 1 позволяет ослабить требование (7), заменив его лишь на условие
F{x\yp)> 0, f?[yp]> 0 (/ = 1,2), так как выполнение именно этих неравенств и использовалось в доказательстве утверждения 1.
Литература
1. Жуковский, В.И. Риск в многокритериальных и конфликтных системах при неопределенности / В.И. Жуковский, Л.В. Жуковская. - М.: Едиториал УРСС, 2004. - 272 с.
2. Жуковский, В.И. Одна кооперативная игра с побочными платежами и учетом рисков / В.И. Жуковский, К.Н. Кудрявцев // Spectral and evolution problems: Proceedings of the Sixteenth Crimean Autumn Mathematical School-Symposium. - Simferopol, 2006. -V. 16. - P. 142-148.
3. Подиновский, B.B. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач / В.В. Подиновский, В.Д. Ногин. - М.: Наука, 1982. - 254 с.
Поступила в редакцию 24 марта 2011 г.
SIDE PAYMENTS IN THE COOPERATIVE GAME WITH RISK
We consider cooperative games with side payments under uncertainly. We offer one way distribution Side Payments and Risk.
Keywords: cooperative games, uncertainly, risk, side payments.
Kudryavtsev Konstantin Nicolaevich is Senior Teacher of the Mathematical Analysis Department, South Ural State University.
Кудрявцев Константин Николаевич - старший преподаватель, кафедра математического анализа, Южно-Уральский государственный университет.
e-mail: kudrk@mail333.com
