CC BY
20
математические методы в экономике
Жуковский В.И., Смирнова Л.В.
любые альянсы возможны в конфликте трех участников при неопределенности
1. Коалиционная равновесность
Рассматривается математическая модель конфликта с тремя участниками в виде нормальной формы кооперативной игры трех лиц при неопределенности
г = ( N = {1,2,3), { X г ^, УХ, { /,(х, у)1п)
В множество участников (игроков) N = {1,2,3), игрок г ассоциируется с порядковым номером г е N; в Г каждый из трех участников выбирает и
использует свою стратегию хг е X [ ^ Я" (г е N) , в результате образуется
ситуация х = (х1, х2, х3) е X = Пл X ^ Я" (" = " ) ; независимо от их
действий в Г реализуется (интервальная) неопределенность у е У ^ Ят ; на
множестве пар (х, у) е X х У определены функция выигрыша каждого г-го
игрока £(х,у), значение которой называется выигрышем этого игрока. На содержательном уровне, цель каждого игрока в Г - выбор такой своей стратегии
х* (г е N) , при которой выигрыш каждого становится возможно большим, при этом они должны учитывать возможность реализации любой, в том числе и
стратегической, неопределенности у(х) : X ^ У , у(-) е УX .
В игре Г может сложиться пять коалиционных структур (разбиений всего множества игроков N на попарно непересекающиеся подмножества (коалиции)):
{{1}, {2},{3}}, {1,2,3), К, = {{}, {— г) | — г = N \ {}}, (г = 1,2,3), т. е. {-1}={ 2,3),
{- 2}= {1,3} {— 3}= {1,2}. Напомним два понятия из теории кооперативных игр
без побочных платежей [1]: для ситуации х* = (х*, х2, х^) е X в игре гарантий
Г8 =1м = {1,2,3},{X^,{/[х] = 1ШП/(х,у)} \ :
a) условие индивидуальной рациональности (УИР) при обозначениях
х = (х, х- ), х^ =П ^ х ]
£ [х*] > тах тт £ [х, х_ ] = тп £ [xг0, х_ ] = £ 0
х1 еXi х_г еX_ х_г еX_г
в силу чего, если игрок г применяет максиминную стратегию х0, то его
выигрыш / [х0, х_г ] > / 0 V х_г е Х_г (г е N) .
/ ?
b) условие коллективной рациональности (УКР): х* максимальна по Парето в трехкритериальной задаче Гу =(X, {/ [х]}геП^, т. е. при V х е X несовместна система неравенств / [х] > / [х* ] (г е N) , из которых, по крайней
мере, одно строгое. Заметим, что если ^ / [х] < ^ / [х* ] при V х е X, то
х* максимальна по Парето в Гу;
c) на основе концепций равновесия по Нэшу и по Бержу введем условие
К - рациональности (У Р):
/г [Х ] = тах £ IX, х_г Ь £ [ х* ] = таХ £ [хг , х_г ],
х_г еX_г хг
где, напомним, К i = {г, _ г = N \г}.
Определение 1. Ситуацию х* е X назовем коалиционно рациональной (КР) для игры Г , если она является одновременно УИР, УКР, У К г Р (г е N) для «игры гарантий» Г8 .
Замечание 1. УИР означает, что игроку имеет смысл объединяться с другим в коалицию, если при этом он получит выигрыш не меньший, чем он себе «обеспечит», применяя свою максиминную стратегию. УКР приводит
игрока к «самому большому» (в векторном смысле!) выигрышу. Наконец У К г
Т» " *
Р делает его выигрыш устойчивым к отклонению от х отдельных игроков или их коалиций.
2. Достаточное условие
КР ситуация х* (по определению 1) должна удовлетворять 17
13
экстремальным ограничениям, «диктуемым» УИР (три условия), УКР, (условие
Парето-максимальности) и У К г Р (г е N) (двенадцать условий устойчивости по Нэшу и по Бержу). Однако эти условия являются следствием семи из них:
тах /2[ Ъ , Х2 , Х3 ] = /2[ ], тах /3[ , Х2 , Х3 ] = /з[] ,
х2, х3 Х2, Х3
тах/[ xl, х2, х3 ] = /[х* ], тах Л^^ Х2 , х3 ] = /[х* ], (1)
1'
1' л3
max/[х1 , Х2 ' x3 ] = f1[ x L max f2[ X1 > X2 ' X* ] = f2[ X ]
Ь л2
Ьл2
^X Z f[ X] = Z f[ X]
X ¿eN ¿EN
При формулировке достаточных условий существования КР ситуации воспользуемся подходом, предложенным в [2]. Для этого введем п -вектор
2 = (г {, ) е X и гермейеровскую свертку [3]
((х г) = тах|./2 [, х2, х3] - ,/2[г] Л3[, х2, х3] " У3[(2)
Л1 [х1 , Z2, х3 ] -/И Л3 [xl, г2, х3 ] -ЛИ /1[xl, х2 , 23 ] -/И
/2 [ х1 , х2, 23 ] - Я*\ Е / [х] "£ / [г]\
. геП геП
Седловая точка (х0, г *) е X х X скалярной функции ((х, г) из (2) определяется цепочкой неравенств
((х, г *) <(( х0, г *) <(( х0, г) V х, г е X. (3)
Теорема 1. Если удалось найти седловую точку (х0, г*) е X х X функции ((х, г) , то минимаксная стратегия г * является КР игры .
Доказательство.
Действительно, при г = х0 из (2) следует ((х0, х0) = 0. Тогда по
транзитивности из (3) получаем ((х0, г *) < о]^[((х, г *) < 0 V х е X ], что и означает, в силу (2), справедливость (1).
Замечание 2. Согласно теореме 1 построение КР сводиться к нахождению
седловой точки (x0, z*) гермейеровской свертки ((x, z) из (2). Именно, получили следующий конструктивный способ построения КР решения игры Г:
во-первых, построить по формуле (2) скалярную функцию (( x, z),
во-вторых, найти седловую точку (x, z*) функции ((x, z), удовлетворяющую цепочке неравенств из (3),
в-третьих, найти значения трех функций f [z* ] (i = 1,2,3).
Тогда пара (z*, f [z*) = (fi[z*] f2|V] ./3[z*) e X x R3 образует коалиционное равновесие игры : игрокам следует использовать свои стратегии
из ситуации z *, обеспечивая тем самым себе гарантии f [z* ]. 3. Существование КР в смешанных стратегиях
Здесь обозначаем через comp Rni - множество всех компактов (замкнутых и ограниченных подмножеств евклидова n -мерного пространства Rn ), а непрерывность на X x Y скалярной функции f (x, y) обозначаем f (•) e С (X x Y).
Рассматриваем снова кооперативную игру без побочных платежей Г . Не оговаривая особо, предполагаем для элементов упорядоченного множества выполнение требований:
Условие А. Пусть для игры Г
Xt e comp Rn , (i e N) , Y e comp Rm . fi (•) e С(X x Y) (5)
Здесь будет приведено понятие смешанного расширения игры, включающее смешанные стратегии, ситуации, математическое ожидание функций выигрыша. Будем предполагать, что для игры Г выполнены ограничения (5), тогда
f (x, y) непрерывна на произведении компактов X x Y, где X = Xi . На каждом компакте Xi е Rni (i = 1,2,3) построим борелевскую сг -алгебру B(Xi)
- множество подмножеств Xi таких, что Xi eB(Xi), причем B(Xi) замкнута относительно операций дополнения и объединения счетного числа множеств
из B(Xi), кроме того, B(Xi) является минимальной с-алгеброй, которая
содержит все замкнутые подмножества компакта Xi . Согласно математической
теории игр смешанную стратегию i -го игрока vi (•) будем отождествлять с
вероятностной мерой на компакте Xi. Вероятностная мера есть неотрицательная скалярная vi (•), определенная на борелевской с -алгебре В(Xi) подмножеств компакта Xi с Я"' и удовлетворяющая двум условиям:
1) V [и еН=№ №) бй ( (г)
1) ^ к ^ к для любой последовательности (к }к=1 попарно не пересекающихся элементов из В(Xi) (свойство счетной аддитивности функции уД-));
2) vi (Xi) = 1 (свойство нормированности) и поэтому V (()) < 1 для всех
((г) еВ(Xг).
Обозначим через V} множество смешанных стратегий г -го игрока (г = 1,2,3).
Построим ситуацию в смешанных стратегиях в виде меры-произведения у(ё ) = у1(й 2)у3(Ы 3), множество которых обозначим через {V}, а также
математическое ожидание /[V] = |/[x]v(^ ). Получим смешанное расширение игры гарантий Г8 , обозначим котброе через
Г8 =({1,2, 3}, {Vг }г =1,2,3 , { / [V]} =,„) (6)
Аналогично определению 1 введем
Определение 2. Ситуацию в смешанных стратегиях V*(•) е {V} назовем коалиционно равновесной (КР) в смешанном расширении (6) (или коалицонно равновесной (КР) ситуацией в смешанных стратегиях для игры ), если
во-первых, ситуация V* (•) коалиционно рациональна для игры (6), то есть тах / ^ , V V*] = / \у'] (у = 1,2Х
v1(•) V2 (•)
тах £к [V1 , V* ,Vз ] = Л К ] (к = 1 3) ,
Vl(•) Vз (•)
тах Л К ,{2{ ] = £ [{ ] (1 = ^ 3)
(множества коалиционно рациональных ситуаций игры (6) обозначим
{v});
во-вторых, V2 (■) максимальна по Парето в трехкритеральной задаче
{{у"}, {f МЦ2.3)
то есть при всех v(-) е {v*} несовместна система неравенств
f V] > f [V ] (г = 1,2,3),
из которых, по крайней мере, одно строгое.
Аналогично [2, с. 167-170] доказывается справедливость следующего утверждения.
Теорема 2. Если f (x, y) е C(X х Y), Хг е comp Rn', (г е N), Y е comp Rm то в игре Г существует КР в смешанных стратегиях.
Заключение
В первую очередь здесь отметим новые в теории кооперативных игр результаты, полученные в настоящей статье.
Во-первых, формализовано понятие коалиционного равновесия (КР), учитывающее интересы любой коалиции в игре трех лиц.
Во-вторых, установлен конструктивный способ нахождения КР, сводящийся к отысканию минимаксной стратегии для специальной гермейеровской свертки, эффективно строящейся по гарантиям функций выигрыша игроков.
В-третьих, доказано существование КР в смешанных стратегиях при «привычных» для математического программирования условиях (непрерывность функций выигрыша и компактность множества стратегий игроков и неопределенностей).
На наш взгляд, немаловажным являются и новые качественные результаты, следующие из настоящей статьи:
1. результаты распространяются на кооперативные игры без побочных платежей с любым конечным числом участников (больше трех);
2. КР «обеспечивает» устойчивость коалиционной структуры к отклонению от КР любых коалиций;
3. КР применим, если даже в течение игры меняются коалицонные структуры или даже если все коалиции остаются в наличии;
4. КР можно использовать при создании устойчивых союзов игроков;
и это далеко не все достоинства КР.
Но есть еще одно достоинство, которое считаем нужным отметить.
До сих пор в теории кооперативных игр акцентировались условия индивидуальной и коллективной рациональности. Но индивидуальным интересам игроков отвечает концепция равновесности по Нэшу с ее «эгоистическим» характером («каждому свое»); коллективной более соответствует концепция равновесности по Бержу с ее «альтруизмом» («помогать всем, забывая о своих интересах»). Однако, такая «забывчивость» не свойственна человеческой сущности игроков. Этот негатив обеих концепций «снимает» коалиционная рациональность.
В самом деле, в условиях коалиционной рациональности, первый
игрок, не забывая о себе и являясь участником коалиции {1,2} коалиционной структуры, помогает второму (элемент концепции равновесности по Бержу),
а являясь участником коалиции {1,3} структуры К2, поддерживает третьего, но, напоминаем, «не забывая о себе». Аналогично остальные игроки. Таким образом, введенная в статье коалиционная рациональность заполняет пробел между равновесиями по Нэшу и по Бержу, прибавляя к равновесию по Нэшу «заботу о других», а к равновесию по Бержу «заботу о себе».
ЛИТЕРАТУРА
1. Жуковский, В. И. Кооперативные игры при неопределенности и их приложения. - М.: Эдиториал USSR, 2010. - 336 c.
2. Гусейнов, А. А., Жуковский, В. И., Кудрявцев, К. Н. Математические основы Золотого правила. Теория нового, альтруистического уравновешивания конфликтов в противоположность «эгоистическому» равновесию по Нэшу. - М.: ЛЕНАНД, 2016. - 280с.
3. Гермейер Ю. Б. Введение в теорию исследования операций. - М.: Наука, 1976. - 328 с.
4. Морозов В. В., Сухарев А. Г., Федоров В. В. Исследование операций в примерах и задачах. - М.: Высшая школа, 1968. - 286 с.
