CC BY
57
больших давлениях сжимаемость среды в большей степени зависит от сжимаемости воды и кварца, поэтому скорость фронта волны мало зависит от газовой фазы и
кривые
Г р\
соответствующие разному содержанию воздуха, сближаются
, , ,
мало меняется при изменении давления, зависимость д
ЧР0 у
близка к линейной.
Полученные в данной работе результаты исследования реакции среды на интенсивное локальное воздействие на ее поверхность применены и развиты при моделировании динамического состояния трехфазной среды инициируемого техногенногенным воздействием на ее поверхность, когда достоверно известна только локально-экстремальная характеристика этого воздействия, оказывающая основное воздействие на динамику возмущенного им движения среды. В силу того, что нагрузка интенсивна и движется со сверхзвуковой скоростью, весь профиль не играет .
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. М.: Наука, 1987. Ч. 1, 464с.
2. Министерство обороны РФ. Центральный физико-технтестй институт. Физика ядерного взрыва. М.: Наука, 1997. Т.1, 528с.
3. РахматулинХА. Газовая и волновая динамика. М.: МГУ, 1983. 195с.
4. .. . .: , 1964.
5. Кубанова АЖ., Сагомонян Е.А. Численное моделирование течения газа в пористой среде // Вестник Московского университета. 2004. Сер. 1, математика, механика. №6.С. 63-65.
6. . .
сред // ПММ.1956. Т. 20. №2. С. 184-195.
УДК 51-7;519.17;519.6
Т.Л. Каппушева1, Н.В. Кононова1, Р.А. Кочкаров2
1Карачаево-Черкесская государственная технологическая академия, г. Черкесск 2Финансовая академия при Правительстве РФ, г. Москва
ПЛОСКОСТНАЯ УКЛАДКА И АЛГОРИТМЫ ВИЗУАЛИЗАЦИИ ФРАКТАЛЬНЫХ ГРАФОВ
Введение
Неоднократно наглядно изображенное условие задачи в виде схемы или рисунка позволяло быстро и точно решить саму задачу. Возможно, именно по этой причине теория графов основательно и небезуспешно “устроилась” в современной
.
[1, 2, 3]. , ,
,
. -
ных схем и диаграмм (диаграммы потоков данных, организационные схемы, диаграммы состояний и переходов, схемы связей объектов, концептуальные решетки,
. .) [3]. , ,
зависит то, насколько хорошо будет воспринята информация, которую он несет. Принципы “правильного” изображения графа отражаются в критериях визуализации (представления) графов [3].
Системы автоматической визуализации данных сегодня востребованы и ак.
структур, возникающих в практических задачах. Актуальной задачей является автоматическое построение организационных IDEF-диаграмм [4]. IDEF (ICAM Definition) - это стандарт моделирования технологических операций, компьютерных систем и бизнес-процессов.
Другими важнейшими областями приложения теории представления графов являются проектирование интегральных схем (БИС) и разводка печатных плат [5].
Одной из главных составляющих визуализации (представления) графов является топологическая теория графов [6]. Она закладывает теоретические основы укладки графов на различные поверхности. Именно поэтому, топологическая теория графов занимает прочное место в современной computer science. Если граф с небольшим числом вершин еще можно нарисовать “от руки”, то визуализация графов большой размерности производиться автоматизировано [7], и здесь нельзя переоценить значимость методов топологической теории графов.
Настоящая работа посвящена изучению топологических свойств “больших” графов, называемых фрактальными (предфрактальными) [8]. Фрактальные (пред-фрактальные) графы являются моделями структур, обладающих свойством самоподобия. Отличительной чертой фрактальных графов является возможность анализа свойств всего фрактального графа, или его конечного аналога - предфракталь-, - . подход особенно актуален и полезен в наступившей эпохе больших и сложных за.
О критериях планарности фрактальных графов
Предфрактальный граф будем обозначать через GL = (VL, EL), где VL — множество вершин графа, a EL — множеств о его ребер. Определим его рекуррент-
, ,
l = 1,2,..., L — 1 графе Gt = (V, Et) каждую его вершину затравкой
H = (W, Q) , - произвольным связным графом. На этапе l = 1 предфрактально-
G1 = H . ,
предфрактальный граф Gl = (Vl , El ) порожден затравкой H = (W, Q).
GL , , -
строения последовательности предфрактальных графов G1,G2,...,Gt,...,GL, на. G = (V , E ) ,
H = (W , Q ) , .
GL , , l - ,
le {1,2,...,L}, этапе порождения, будем называть ребрами ранга l. Новыми
GL L ,
ребра назовем — старыми.
Если из предфрактального графа GL, порожденного П -вершинной затравкой H, последовательно удалить все старые ребра (ребра ранга і , і = 1,2,..., Ь — 1), то исходный граф распадется на множество связных компонент
Й11! , каждая из которых изоморфна [9] затравке Н. Множество компонент {В^} будем называть блоками первого ранга. Аналогично, при удалении из предфрактального графа GL всех старых ребер рангов I = 1,2,..., Ь — 2, получим множество блоков {ВЬ2>} второго ранга. Обобщая, скажем, что при удалении из предфрактального графа GL всех ребер рангов I = 1,2,...,Ь — г, получим множество {ВЬ7), г є {1,2,...,Ь — 1} , блоком Г-го ранга, где і = 1,2,...,пЬ г -
порядковый номер блока. Блоки В^1 £ GL первого ранга также будем называть подграф-затравками Н предфрактального графа GL . Очевидно, что всякий блок в[Г)=(иьг), мЬг)), Г є {1,2,..., Ь — 1), является предфрактальным графом Вг = (иг,Мг), порожденным затравкой Н .
Введем операцию подразбиения ребра е = (V, и) графа. Она заключается в следующем: из графа удаляется ребро Є и добавляются два новых ребра е1 = (V, w) и е2 = (^, и) , где - новая вершина. Два графа называются гомео-, -биением его ребер.
Теорема Понтрягина - Куратовского ^^^^терий планарности графа) [9] гласит, что граф планарен тогда и только тогда, когда он не содержит подграфов, го-меоморфных графам К5 или К3 3 . Ясно, что теорема Понтрягина - Куратовского, как и прочие критерии планарности графов [9], справедлив и для всех пред-фрактальных графов.
Согласно определению, для предфрактального графа GL, порожденного затравкой Н, его блоки первого ранга В^Ь1;* = Н , і = 1, пЬ 1, изоморфны затравке
Н . -
текают следующие утверждения.
1. , , -меоморфной К5 или К3 з , не является планарным.
2. , , имеющий подграф гомеоморфный К5 или К3 3 , не является планарным.
Гранью [9] плоского графа принято называть максимальное по включению множество точек плоскости, каждая пара которых может быть соединена жордано-, . принадлежит хотя бы одной грани плоского графа. Границей грани [9] будем считать множество вершин и ребер, принадлежащих этой грани.
Отметим, что всякий плоский граф имеет одну и притом единственную, неог-. , - -
. ,
во внешнюю [9]. Кроме того, для любого плоского графа каждая точка плоскости, не лежащая на ребре, входит только в одну грань. А каждая точка ребра, не яв, , , и точно в две грани, если оно не мост. Вершина, не являющаяся висячей, принадлежит не менее чем двум граням.
Внутренней вершиной плоского графа назовем такую вершину, которую нельзя соединить жордановой кривой с точками внешней грани графа, так чтобы она не пересекала ни одно из ребер графа, образующих границу внешней грани. В противном случае, вершина называется внешней.
Число внутренних вершин планарного графа С напрямую зависит от вида его плоской укладки. Поэтому в дальнейшем будем говорить, что фрактальный (предфрактальный) граф порожден произвольно-тоской затравкой, если вид плоской укладки затравки в процессе порождения не фиксирован, и что фрактальный (предфрактальный) граф порожден плоской затравкой в том случае, когда вид плоской укладки затравки в процессе порождения строго фиксирован. Вопрос эквивалентности плоских укладок планарного графа широко освещен в книге [9]. В на, -предполагает использование неэквивалентных плоских укладок затравки.
Теорема 1. Предфрактальный граф = (¥Ь, ЕЬ ), порожденный произ-
вольно-плоской затравкой Н = (Ж,0) , планарен, если смежность старых ребер не нарушается.
Рис.1
.
“склеивания” плоских графов. Рассмотрим два плоских графа О = (V , Е ) и О" = (V", Е") . Произвольным образом выберем две вершины V еV' и V* е V".
Тогда, согласно [9], граф О = (V,Е' и Е") полученный из О' и О" слиянием
/ // ~ ~
вершин V и V в некоторую вершину V е V , является планарным, т.е. имеет
. , , О
внешней грани графа О', то полученный при их склеивании граф О будет пло-
.
Доказательство проведем конструктивно. На этапе I = 1, дан плоский предфрактальный граф О1 = (уъ Е1) = Н = (Ж, Q), он изображен на рис. 2. На этапе
I = 2 на графе О1 = Н = (Ж, Q) произвольно выделим вершину V е VI и множество 0)(у) инцидентных ей ребер, для графа О^ на рис. 1 СО^) = {е1, е2, е3}.
В соответствии с правилами порождения предфрактального графа, заместим вершину V е ^1 затравкой Н = (Ж^) . При этом, удовлетворяя требованиям теоремы, множество ребер 0)^) сохраним инцидентными одной из вершин затравки, что, вообще говоря, будет соответствовать операции “склеивания” плоских графов
01 и Н. А поэтому, в результате, получим планарный граф, см. рис. 1. Который, используя любой из известных способов [9], преобразуем в плоский граф (граф на рис. 1 уже преобразован в плоский граф). Далее, описанную последовательность
( , ) со всеми оставшимися вершинами графа О1 = (V!, Е1). В итоге, по окончании второго этапа порождения, получим плоский предфрактальный граф
02 = (У2,Е2 ), см. рис. 2. На всех последующих этапах I = 3,...,Ь порождения с предфрактальный графом О[ = (V, Е1) последовательно проделаем те же операции, что на этапе I = 2 . В результате на этапе I = Ь получим планарный предфрактальный граф ОЬ = V, ЕЬ ). -4
Рис.2
Вообще говоря, процесс “склеивания” затравки Н = (Ж, Q) и предфрактального графа О[ = (V, Е1) во всех его вершинах можно продолжить до бесконечности I = 1,2,3,...,Ь,Ь +1,... . Для полученного таким путем фрактального графа О = (V, Е) справедливо
Следствие 1.1. Всякий фрактальный граф О = (V, Е), порожденный произвольно-плоской затравкой Н = (Ж^) , планарен [9], если смежность старых ребер не нарушается.
, “ ” -шенно различных графов, то имеют место и такие следствия.
Следствие 1.2. Всякий предфрактальный граф ОЬ = (УЬ, ЕЬ), порожденный множеством произвольно-плоских затравок Н ={, Н 2,..., Н,,..., Нт },
Т > 2 , планарен, если смежность старых ребер не нарушается.
Следствие 1.3. Всякий фрактальный граф О = (V,Е), порожденный мно-
- Н = {,Н2,...,Н,,...,Нт}, Т > 2,
планарен, если смежность старых ребер не нарушается.
Теорема 2. У сякого плоского предфрактального графа Оь = (^ , Еь )
старые ребра инцидентны внешним вершинам блоков первого ранга.
Доказательство. Рассмотрим произвольный плоский предфрактальный граф ОЬ = (УЬ, ЕЬ ), порожденный затравкой Н = (Ж^). Предфрактальный граф
Оь , , -
Н соединенных старыми ребрами. При чем каждая подграф-затравка Н являет, ОЬ -
ским.
Доказательство теоремы проведем от противного. Предположим, что у предфрактального графа ОЬ существует старое ребро е = V2) е ЕЬ ранга I,
Iе {1,2,...,Ь — 1}, такое что вершина еVL является внутренней вершиной
одного из подграфов-затравок Н' = (Ж' ,Q') С ОЬ , см. рис. 3. Но тогда, из определения внутренней вершины следует, что отрезок жордановой кривой, на рис. 3 он изображен пунктиром, отражающий на плоскости ребро е , пересечет хотя бы одно ребро е е Q/ под граф-затравки Н' в точке принадлеж ащей границе внешней грани. А это противоречит тому, что предфрактальный граф ОЬ является плоским графом. Поэтому, заключаем, что наше предположение не верно, а значит
ОЬ -
нам подграф-затравок Н = (Ж, Q) , или блоков первого ранга. -4
Рис.3
Граф называется максимально плоским (танарным) [9], если он перестает быть плоским при добавлении к нему хотя бы одного ребра. На рис. 3 граф Н является 5-вершинным — максимально плоские графами. Известно [9], что граф является максимально плоским тогда и только тогда, когда он представляет собой
плоскую триангуляцию, т.е. каждая его грань, в том числе и внешняя, является треугольником (3-циклом). Поэтому любой максимально плоский граф имеет ровно три внешние вершины, образующие 3-цикл. Поскольку, как отмечалось ранее, любая внутренняя грань может быть преобразована во внешнюю, то из теоремы 2 очевидным образом вытекает следующее
Следствие 2.1. У всякого планарного предфрактального графа ОЬ = V, ЕЬ ), порожденного максимально планарной затравкой Н = (Ж, Q) , вершины отдельно взятого блока первого ранга, инцидентные старым ребрам, об-3- .
06 алгоритмах визуализации и проверки на планарность
Для визуализации (изображения на плоскости) планарных и непланарных графов используются различные методы. Изображение на плоскости непланарных графов обычно требует оптимизации по ряду критериев [10]. Это связанно с наличием у непланарных графов множества искажения - ребер, которые обязательно пересекаются с другими ребрами в точках плоскости отличных от вершин графа. Чрезмерная насыщенность изображения графа такими пересечениями (их называют скрещиваниями [9]) отрицательно сказывается на восприятии изображения. Критериев, по которым оптимизируется изображение непланарного графа — много, среди них существуют и чисто эстетические [3]. В любом случае, произвести автоматизированное изображение непланарных графов на плоскости существенно , .
- .
Предложенный критерий планарности (теорема 1) предфрактального графа, вообще говоря, не отрицает возможность существования и других критериев. Основываясь на теореме 1, чтобы убедиться в планарности предфрактального графа, смежность старых ребер которого не нарушена, достаточно убедиться в планарно-( ).
проверки планарности [3]. Они позволяют проверять планарность графа за линейное время 0(п). Важно, что П - число вершин затравки, а не всего предфрактального графа. Число вершин предфрактального графа ОЬ равно N = пЬ [8]. , , -ного графа - его затравку, а не весь предфрактальный граф, можно говорить об существенном улучшении эффективности линейного алгоритма проверки планарности предфрактального графа.
,
предфрактального графа можно переходить непосредственно к его визуализации, в нашем случае - к изображению предфрактального графа на плоскости. Изображе-
, ,
,
.
,
на плоскости можно использовать доказательство теоремы 1 (критерия планарности ). , , -чить плоскую укладку затравки, для этого можно использовать любой из известных алгоритмов, к примеру алгоритм предложенный в книге [9]. А на втором шаге, используя операцию склеивания плоских графов, склеить последовательно требуемое .
операций ЗВЗ в процессе порождения предфрактального графа. Во избежание скре-
щиваний, при склеивании затравки с текущим графом, надо располагать все вершины и ребра затравки в одной из граней склеиваемой вершины.
Заключение
Ученые-синергетики часто говорят о “целом” и его “частях”, иногда только на интуитивном уровне определяя эти важные понятия. А это с точки зрения мате, ,
, “ ” “ ”, . К примеру, если моделью какой-либо структуры или системы является граф, скажем большая периодическая решетка, то нам всегда удастся выделить на нем “час”, , . -мер наглядно подтверждает необходимость приведения точных определений “це” “ ” .
В качестве “частей” фрактального (предфрактального) графа можно рассматривать его подграф-затравки или, в зависимости от постановки задачи, блоки различных рангов. Строгое определение “части” фрактального графа позволило установить связь между свойствами затравки и всего фрактального графа. Причем установлены правила соединения подграф-затравок старыми ребрами, при соблюдении которых можно говорить о наличии (или об отсутствии) у фрактальных (пред) . только по ее отдельным “частям” существенно снижает трудоемкость решения “больших” задач, и возможно, станет одним из принципов нелинейной динамики, которые лягут в основу концепции мягкого моделирования [11].
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Басакер Р., Саами Т., Конечные графы и сети. - М.: Наука, 1974.
2. Райншке К, Ушаков КА., Оценка надежности систем с использованием графов. - М.: Радио и связь, 1988.
3. Евстигнеев В.А., Касьянов В.Н. Графы в программировании: обработка, визуализация и применение. - СПб.: БХВ-Петербург, 2003.
4. IDEF - A structured approach to enterprise modtling and analysis, http://www. idef.com
5. Kamada T. Visualization of Abstract Objects and Relation, PhD dissertation, Dept. of Information Science, Univ. of Tokyo, 1988.
6. Archcheacon D., Topological graph theory: a survey. Congressus Numerantium, 115, 1996, pp. 5 - 54.
7. Munzler T. Interactive visualization of large graphs and networks. PhD dissertation, Stanford University, 2000.
8. Кочкаров A.M. Распознавание фрактальных графов. Алгоритмический подход. - Ниж-
: , 1998.
9. . ., . ., . ., . . -
фов. - М.: Наука, 1990.
10. . . -
ными портами: Автореф. дис. ... канд. физ.-матем. наук. М.: МФТИ, 2005.
11. . . . , , -. - .: , 2005.
