Плоскость Галилея с коммутативной и нелинейной геометрией Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2010, Том 12, Выпуск 2, С. 3-14

УДК 514.7

ПЛОСКОСТЬ ГАЛИЛЕЯ С КОММУТАТИВНОЙ И НЕЛИНЕЙНОЙ ГЕОМЕТРИЕЙ

А. И. Долгарев, И. А. Долгарев

Введено галилеево расстояние между точками на плоскости с нелинейной геометрией. Указана физическая интерпретация такой плоскости. Определена кривизна регулярных кривых и установлено, что функция кривизны однозначно определяет кривую, т. е. рассмотрено задание кривой натуральным уравнением.

Ключевые слова: нелинейная плоскость Галилея.

Арифметическое действительное линейное пространство Ж" определено на кортежах действительных чисел длины п, п ^ 2, операциями над кортежами, являющимися распространением операций поля Ж действительных чисел на кортежи из Ж". Кортежи из Ж" называются векторами. Если (ж1, ж2,..., ж") = ж и (у1, у2,..., у") = у два вектора, то операции над ними задаются равенствами

Результаты операций в каждой компоненте кортежей являются линейными функциями соответствующих компонент исходных кортежей ж, у. Вектор иж + «у, и, V £ Ж, имеет компоненты, линейно выражающиеся через компоненты векторов ж, у:

Потому операции (1), (2) над векторами называются линейными. Однако операции над векторами-кортежами из Ж" могут быть заданы и нелинейными функциями компонент исходных векторов ж, у. В этом случае обозначаем кортежи чисел другими символами — строчными греческими буквами, чтобы указать на другое задание операций над кортежами, отличное от (1), (2). В [1] рассмотрен случай п = 2 и заданы следующие операции

ж + у = (ж1,ж2,...,ж") + (у1, у2,..., у") = (ж1 + у1, ж2 + у2,..., ж" + у"); (1)

¿ж = ¿(ж1, ж2,..., ж") = (ж4,ж2^ ...,ж"£), £ £ Ж.

(2)

—*—*/! 12 2 " " \ иж + «у = (ж и + у V, ж и + у V, ..., ж и + у V).

на Ж2.

т + а = (ж, у) + (и, V) = (ж + и, у + V + жи).

(3)

здесь т = (ж, у), а = (и, V).

© 2010 Долгарев А. И., Долгарев И. А.

Результаты операций во второй компоненте суммы т + а и произведения ¿т нелинейны. Проверка показывает, что векторы с операциями (3) и (4) удовлетворяют всем аксиомам линейного пространства над полем Ж. (Проверка выполнена в [1].) Мы имеем 2-мерное альтернативное линейное пространство аЬ2 над Ж с нелинейно заданными операциями (3) и (4) над векторами. Далее рассматриваем альтернативное линейное пространство аЬ2 над Ж и альтернативную аффинную плоскость аЛ2 с линейным пространством аЬ2, построенную в аксиоматике Г. Вейля. Подробное построение плоскости аЛ2 проведено в [2].

Ниже на альтернативной аффинной плоскости аЛ2 строится плоскость Галилея с галилеевым векторным пространством aV2, которое определено на альтернативном линейном пространстве аЬ2 с операциями (3) и (4). Изучаются кривые альтернативной плоскости Галилея. С этой целью определено галилеево скалярное произведение векторов в альтернативном линейном пространстве аЬ2, тем самым получено альтернативное галилеево векторное пространство и альтернативная аффинная плоскость превращена в плоскость Галилея аГ2, имеющую нелинейную геометрию. Евклидовы прямые этой плоскости описываются линейными уравнениями, а галилеевы прямые описываются уравнениями второго порядка и являются параболами (галилеевыми циклами). Геометрии полученной плоскости дается гравитационная интерпретация. Под прямыми этой плоскости можно понимать траектории движения материальных точек в гравитационном поле — например, в поле притяжения Земли. Материальная точка в свободном падении движется по вертикальной траектории, что соответствует евклидовой прямой нелинейной плоскости Галилея аГ2. Материальная точка, начавшая двигаться под углом к горизонтальной плоскости в результате мгновенно действующей силы, движется по параболической траектории. Эти траектории соответствуют галилеевым прямым плоскости.

Введено дифференцирование векторных функций со значениями в aVГ. Правила дифференцирования оказались обычными для векторных функций. Определены регулярные кривые нелинейной плоскости Галилея; изучаются кривые, отличные от евклидовых прямых, имеющие галилеевы касательные векторы. Определена кривизна кривой, получен аналог формул Френе. Установлено, что функция кривизны однозначно определяет кривую плоскости аГ2. Найдены кривые постоянной кривизны — ими оказались галилеевы циклы.

1. Галилеево векторное пространство

1.1. Галилеева норма векторов. Определим галилеево скалярное произведение векторов на альтернативном линейном пространстве аЬ2, превращая его в альтернативное галилеево векторное пространство aVГ. Галилеевым скалярным произведением векторов т = (ж, у) и а = (и, V) называется число та, определяемое условиями:

та = жи, если ж = 0 или и = 0; та = уу, если ж = и = 0.

Если рассматриваются одинаковые векторы т и т, то их скалярное произведение называется скалярным квадратом вектора т:

тт = т2.

В этом случае имеем:

т2 = ж2, если ж = 0; т2 = у2, если ж = 0.

Галилеевой нормой |т | вектора т называется корень квадратный из его скалярного квадрата, таким образом:

|т | = ( |Ж|' Х = (5)

О1, ж = о.

Согласно [3], галилеева норма векторов относится к квазинормам вместе с полуевклидовой, флаговой и другими нормами. Определение галилеевой нормы векторов дано в [4].

Компонента ж вектора т = (ж, у) называется временной (времениподобной), компонента у вектора т = (х, у) называется пространственной (пространственноподобной). Как указано выше, альтернативное линейное пространство аЬ2 с галилеевым скалярным произведением векторов называется альтернативным галилеевым векторным пространством или нелинейным галилеевым векторным пространством и обозначается aVГ. Векторы % = (0, у) называются евклидовыми, векторы т = (ж, у), ж = 0, называются галилеевыми. Существует два евклидовых вектора % = (0, у) и —% = (0, -у), имеющих норму |у|, и бесконечно много галилеевых векторов т = (ж, у) с нормой |ж|. Вторая компонента таких векторов может быть любым действительным числом.

Все евклидовы векторы задают в aVГ пространственное направление, оно единственное. Можно говорить о положительности или отрицательности пространственного направления. Положительное пространственное направление определяется векторами % = (0, у) с у > 0. Все галилеевы векторы задают в aVГ временное направление, оно тоже единственное. Положительное временное направление задают галилеевы векторы т = (ж, у) с ж > 0.

Пространственная составляющая векторного пространства aVГ и временная составляющая пространства аVГ одномерны.

Евклидовы векторы составляют в 1 -мерное евклидово векторное простран-

ство aVE. Действительно, согласно (3) и (4):

(0, у) + (0, V) = (0, у + V); ¿(0, у) = (0, у*).

Галилеевы векторы не составляют алгебраической структуры, множество галилеевых векторов не замкнуто относительно операций над векторами. По (3) и (4) имеем:

(ж, 0) + (и, 0) = (ж + и, жи); ¿(ж, 0) = ж2 ^^

Относительно внутренней операции (3) векторы из аЬ2 составляют абелеву группу. Элементы т, а группы порождают в группе подгруппу (т, а), состоящую из всевозможных комбинаций ¿т + 5а, ¿,5 £ Ж. Пусть а = (1, 0), в = (0,1)- В [1] установлено, что (а, в) =а Ь2, т. е. всякий вектор является некоторой комбинацией векторов а, в:

(ж - 1)ж

т = (ж, у) = жа + I у--2- в,

что означает, что Б = (а, в) является базисом линейного пространства аЬ2 и пространства ^Г тоже.

Два вектора т и а называются независимыми, если ни один из них не является кратным другого, т. е. не существует Ь £ Ж такого, что т = ¿а или а = ¿т, или иначе т £ (а). Справедливо следующее утверждение.

Лемма 1. Существует два независимых галилеевых вектора, порождающих галиле-ево векторное пространство а У"Г.

< Рассмотрим векторы

2а = 2(1, 0) = (2,1), y = (-2, 0).

Их сумма 2а + y есть евклидов вектор

2а + y = (2,1) + (-2, 0) = (0, -3) = 3в,

см. (3). Всякий ненулевой евклидов вектор порождает 1-мерное евклидово подпространство в aVjT, оно единственно. Теперь, рассматривая всевозможные комбинации векторов а и y, получаем все векторы из aVjT. >

На основании доказанной леммы 1, справедлива

Теорема 1. Галилеево векторное пространство a Vjr порождается временными векторами.

Векторы т и а называются перпендикулярными, если их скалярное произведение равно нулю. Обозначение перпендикулярных векторов: т ± а. Если т — галилеев вектор, а — евклидов вектор, то по определению скалярного произведения векторов та = 0. Это означает, что всякий галилеев вектор перпендикулярен всякому евклидову вектору.

Вектор т называется изотропным,, если т = $ и т2 =0. Нулевым является вектор $ = (0, 0).

Лемма 2. Галилеево векторное пространство a Vjr не содержит изотропных векторов.

< Если вектор т = (x, y) галилеев, т. е. x = 0, то т2 = ж2 = 0. Если вектор т евклидов, то т = (0, у). Тогда т2 = у2. Имеем т2 = 0, только при y = 0. Поэтому т2 = 0, если и только если т = >

1.2. Дифференцирование векторных функций. В отображении числового интервала I, содержащегося в R, в векторное пространство aVjT, числу t соответствует вектор y(t) = (x(t),y(t)). Значение t называется параметром вектора y(t). Если t пробегает интервал I, то имеется векторная функция

y(t) = (x(t),y(t)), t e I. (6)

Изменяющемуся параметру t из I соответствует изменяющийся вектор Y(t). Считаем, что рассматриваемое отображение принадлежит классу Ck, k ^ 1, т. е. оно взаимно однозначно, взаимно непрерывно и дифференцируемо k раз: это равносильно тому, что и функции x(t), y(t) дифференцируемы k раз. Векторная функция, определенная на интервале I, может иметь несколько параметризаций, т. е. параметр t вектора y(t) может в интервале I изменяться по разным законам. В (6) считается, что параметр t изменяется произвольно.

Пусть параметр t изменился на величину At. Значению t + At соответствует значение функции: y(t + At) = (x(t + At),y(t + At)). Приращение функции Ay равно разности значений функции

Ay = Y(t + At) - Y(t).

Производной функцией векторной функции Y(t) называется предел

lim AY = y'(t), Ai^ü At ' w

если он существует при условии, что Ay ^ 0 при At ^ 0.

Теорема 2. Вектор производной 7'(*) векторной функции (6) класса С1 вычисляется по формуле

У(*) = (ж'(*),у'(*) + ж'(*) (2ж'(*) -ж(*)^ . (7)

< Вектор -т, противоположный вектору т = (ж, у), равен:

-т = -(ж, у) = (—ж, —у + ж2),

см. [1]. Вычислим вектор Д7, используя (3).

Д7 = + Д*) - 7(;£) = (ж(* + Д*), у(* + Д*)) + ( - ж(*), -у(*) + ж2(*)) = (ж(* + Д*) - ж(*),у(* + Д*) - у(*) + ж2(*) - ж(* + Д*)ж(*)).

Очевидно, что если Д* ^ 0, то и Д7 ^ 0. По (4) находим произведение вектора Д7 на число Ж. Используем обозначения Дж = ж(* + Д*) - ж(*), Ду = у(* + Д*) - у(*):

1 Дж Ду ^ Дж , 1Л 2 1 ^ 1

л -Д7 = —,—^ - ж(*) — + -Дж2— ---1

Д* Д* Д* 2 д* V Д*

Здесь Дж2^^ (Ж - 1) = Ж (ж - Дж) , при Д* ^ 0 и Дж ^ 0. Теперь находим

7'(*) = Д = (ж' (*), у'(*) - ж'(*)ж(*)+1 и*»2).

Отсюда получается формула (7). Предел галилеевой векторной функции вычисляется покомпонентно. >

Установим некоторые свойства дифференцирования векторных функций со значениями в галилеевом векторном пространстве aVГ. Свойство 1. (7(*) + 5(*))' = 7'(*) + 5'(*).

< Если 5(*) = (и(*), «(*)), то по (7), имеем 5'(*) = (и'(*), «'(*)) + и'(*) (2и'(*) - и(*)) , и, по (3), используя сокращенную запись вида ж'(*) = ж', находим:

у + У = (ж' + и', у' + V' + ж' ^ 2 ж' - ж^ + и'( 1 и' - и ) + ж'и' = (ж' + и', у' + V' + 1 ж'ж' - ж'ж + 1 и'и' - и' и + ж'и' ) .

(8)

Теперь находим сумму (7(*) + 5(*)) по (3), а затем производную этой суммы по формуле (7).

7 + 5 = (ж + и, у + V + жи); (7 + 5)' = (ж' + и', у' + V' + (ж' + и') (2ж' + 2и' - ж - и^ + ж'и + жи'^ (9)

ж' + и', у' + V + 1 ж'ж' - ж'ж + 2и'и' - и'и + ж'и'

Результаты (8) и (9) операций, выполненных над функциями 7 и 5, совпадают, что и доказывает свойство. >

Свойство 2. (С7(*))' = С7'(*), где С — постоянный множитель.

< Последовательное использование равенств (4) и (7) сначала в одном порядке, а затем в другом порядке, подтверждает равенство. >

Свойство 3. Если компоненты вектора 7 являются сложными функциями: ж(и(£)), у(п(£)), то

7^(иС0) = и^ •

UUt, yUUt + xuЩ\ 2xuut xjj ( XUUt, yUut + 2XUXUUtut xuutx ) •

< Находим производную функции y (u(t)) по формуле (7):

V(n(i)) = ^xUnt, yUut + xUut ^

Вычислим по формуле (4) произведение:

utY(u)=ut (xU'yU+xU (2xU - ж)) = (xUut'yU ut+xUut ( 2 +xUxU - ц = yU ut+2xUxUutut -xUut^ •

Результаты совпадают. >

Свойство 4. Если a = const, то (ta)' = a.

< Пусть a = (a,b). По формуле (4), ta = (at, bt + 1 a2(t — 1)t) • По формуле (7): (ta)' = (a, b + a2t — 2a + a (2a — atg)) = (a, b). >

Доказанные свойства повторяют известные свойства дифференцирования векторных функций со значениями в векторном пространстве с операциями (1) и (2) — операциями, заданными линейными функциями в компонентах векторов.

Как следствие теоремы 2, укажем частные случаи производных векторных функций.

Свойство 5. Если одна из компонент векторной функции Y(t) постоянна, то формула (7) принимает вид:

(C,y(t))' = (0, y'(t)); (10)

(x(t),C)' = (V(t),x'(t) x'(t) — x(t)^ . (11)

Если первая компонента векторной функции Y(t) есть время x(t) = t, то производная второго порядка галилеевой функции является евклидовой (пространственной) функцией:

(t, y(t))' = (1, y'(t) + 2 — t) , (t, y(t))" = (0, y''(t) — 1) • (12)

2. Нелинейный аналог плоскости Галилея

2.1. Плоскость с Галилеевой метрикой. Альтернативная аффинная плоскость аЛ2 с линейным пространством аЬ2 введена в [2]. Определяя в линейном пространстве аЬ2 галилееву норму векторов, превращаем аффинную плоскость аЛ2 в плоскость Галилея с соответствующим расстоянием между точками. Эта плоскость отлична от классической плоскости Галилея, так как ее векторное пространство aVГ отлично от векторного пространства классической плоскости.

Базис Б = (а, в) линейного пространства аЬ2 и точка О аффинной плоскости аЛ2 определяют репер В = (О, а, в) аффинной плоскости аЛ2. Точка М плоскости имеет

координаты (ж, у) в репере В, если вектор ОМ имеет эти координаты в базисе Б [2]. Если Л = (а, Л) и В = (6, — точки аффинной плоскости аЛ2, то координаты вектора ЛВ таковы [2]:

ЛВ = (6 — а, д — Н — а(6 — а)). Расстояние |АВ| между точками Л и В равно норме вектора ЛВ. Согласно (5) из п. 1.1,

Г16 — а1, 6 = а; . .

|ЛВ| = ' / ' (13)

[|д — Н|, 6 = а.

Расстояние между точками определяется точно также, как в классической плоскости Галилея [4].

Плоскость, в линейном пространстве аЬ2, в которой введена галилеева норма (5) из п. 1.1, а значит, и расстояние (13) между точками, называется нелинейным аналогом плоскости Галилея и обозначается аГ2, ее векторным пространством является aVГ. Будем говорить, что аГ2 — нелинейная плоскость Галилея. Классическая плоскость Галилея изучается в работах Н. М. Макаровой, см. [5]. Популярное изложение планиметрии Галилея дано в [6]. Геометрия Галилея 3-мерного пространства изложена в [4] и в [7], где также строятся некоммутативные галилеевы геометрии. В [8] приведено определение классического п-мерного пространства Галилея. В работе [9] доказана основная теорема теории поверхностей 3-мерного пространства Галилея — аналог теоремы О. Бонне евклидовой геометрии, см. также [10].

Координата ж точки М(ж, у) называется временной, координата у точки М называется пространственной; плоскость аГ2 называется нелинейным 2-мерным пространством-временем Галилея. Точка М называется еще событием плоскости Галилея аГ2. События Л и В называются одновременными, если 6 = а. Множество всех событий, у которых время фиксировано, называется множеством, одновременных событий плоскости аГ2, это множество является прямой линией. Она задается точкой Л = (а, Н) и евклидовым вектором ^ = (0,р), согласно [2], уравнение указанной прямой имеет вид

ж = а. (14)

Это евклидова прямая плоскости Галилея аГ2. Через всякую точку плоскости аГ2 проходит единственная евклидова прямая.

Всякая прямая I плоскости аЛ2 порождается точкой и ненулевым вектором (обозначение I = (Л,^)). Пусть Л = (а, Н), ^ = (т,р). Тогда уравнение прямой [2] имеет вид

|ж = т4 + а, (15)

1 у = (ат + + т2 + Н.

Эти уравнения нелинейны при т = 0, т. е. когда ^ — галилеев вектор. Прямая с евклидовым вектором описывается линейным уравнением (14). Прямая (15) является галилеевым циклом; галилеевы циклы описаны в [6].

Пространственное направление на плоскости Галилея аГ2 единственно, как и на классической плоскости Галилея, оно задается любым евклидовым вектором ¿в = (0,4). Время в плоскости Галилея 1-мерно. Поэтому разные галилеевы векторы задают одно и то же временное направление. Временное направление есть полуплоскость с евклидовой границей. Положительное направление задается галилеевыми векторами (а, 6), где а > 0. О направлениях в галилеевом векторном пространстве см. п. 1.1.

2.2. Регулярные кривые плоскости Галилея. Отображение 7 интервала I, принадлежащего числовой прямой Ж в плоскость Галилея аГ2, называется кривой плоскости аГ2. Пусть £ £ I, 7(£) = М £а Г2, в аГ2 выбран репер В = (О, а, в) и М = (ж, у) в репере В. Тогда М = М(£) = (ж(£),у(£)). С изменением значения £ в интервале I изменяется образ М значения £ — точки М(£) в плоскости аГ2. Множество точек

{М(ж(£), у(£)), £ £ I} (16)

также называется кривой 7(4) в аГ2. Кривая в аГ2 описывается вектроной функцией (6):

7(£) = (ж(4), у(4)), £ £ I. (17)

Считаем, что отображение 7 гомеоморфно и имеет класс С2, т. е. не менее двух раз дифференцируемо и 7'(£) = Кривая (17) с такими свойствами называется регулярной класса С2. Каждая точка кривой (17) называется обыкновенной. Выбор функции, описывающей множество точек (16), называется параметризацией кривой (17).

В каждой точке М кривой 7 (£) существует вектор производной 7'(£). Тем самым вдоль кривой 7(£) задано касательное отображение в галилеево векторное пространство aVГ, которое точку М(£) кривой 7(£) отображает на вектор 7'(£). Согласно (7) в п. 1.2, 7'(£) = (ж'(£),у'(£) + ж'(£) (2ж'(£) — ж(£))) . Пусть Р = Р(£о) — точка кривой 7(£). Прямая I = (Р, 7'(£о)) называется касательной к кривой 7(£) в точке £ = £о. Если ж'(£о) = 0, то вектор касательной является галилеевым. Уравнение галилеевой касательной к кривой (17), согласно (15), имеет вид

{ж — Жо£ ++ жо,

у = (жожо + уо + Жо (2 жо — жо))£ + жожо^^-^ + Уо;

здесь жо = ж(£о), жо = ж'(£о), уо = у(£о), у'0 = у'(£о). Через точку Р проходит единственная евклидова прямая, она является нормалью кривой 7(£) в точке Р и описывается уравнением ж = жо, см. (14) в п. 2.1.

Если жо = 0, то вектор касательной есть 7'(£о) = (0, у'0) — евклидов вектор. Уравнение касательной

ж = ж(£о).

Вектором нормали в этом случае является любой галилеев вектор, см. п. 1.1, считаем, что это вектор а = (1, 0). Уравнение нормали, по (15), есть

{ж = £ + жо, у = жо^ + ^¿-г^ + уо.

Параметризация кривой 7(£) — это способ изменения параметра £ на интервале I, на котором кривая задана.

Теорема 4. Положение касательной к кривой не зависит от параметризации кривой.

< Пусть параметры в пробегают интервал I и £ = £(в). Тогда кривая задается в параметризации 7(£(в)). По свойству 3 п. 1.2, 7^ = ^Т^ и касательная в точке Р задается вектором 7^ или вектором ^Т^, которые коллинеарны, а значит, определяют одну и ту же прямую. >

2.3. Естественная параметризация кривой. Если кривая 7(¿) нелинейной плоскости Галилея аГ2 имеет только евклидовы касательные векторы, то это евклидова прямая плоскости ж = а. Рассматриваем только кривые 7^), которые в окрестности точки Р имеют галилеевы касательные векторы. Считаем, что указанная окрестность есть интервал I. Так как 7(¿) — кривая класса С2, то функция ж(Ь) обратима на I и существует обратная функция Ь = ¿(ж); значит, кривая задается в параметризации

т(ж) = (ж, у(Ь(ж)) = (ж, у (ж)), ж £ I.

Первая компонента вектора 7(ж) является временной, поэтому в 7(ж) смысл параметра ж есть время, обозначаем его символом Ь и перепишем задание кривой в виде

т(ь) = (¿, ж(ь)), ь £ I. (18)

Вектор производной в этом случае, согласно (12) и свойства 5 из п. 1.2, таков:

7 = (1, ж + 1 — ¿), t £ I. (19)

Производная обозначена точкой над функцией. По определению (5) из п. 1.1, норма вектора касательной равна

|Т | = 1

— это единичный вектор касательной.

Лемма 3. Длина дуги кривой (18) от точки 7(¿о) = (¿о,ж(Ьо)) до точки 7^), параметр t возрастает, равна t — ¿о.

< Действительно, вычисляя вектор 7(t) — 7(ьо) и находя его длину согласно (5), получаем |7(¿) — 7(¿0)| = Ь — ¿0. >

Таким образом, параметризация (18) кривой 7(¿) является естественной, естественным параметром является время. Обозначим

7 = т.

Как уже отмечалось, единичный вектор нормали кривой есть вектор в. При движении точки Р по кривой (18) имеем сопровождающий репер кривой

БР = (Р, т, в).

2.4. Кривизна кривой. Производная единичного вектора касательной т кривой 7(¿) в естественной параметризации (18) равна (см. свойство 5 и формулу (10) в п. 1.2)

т = 7 = (0, ж — 1).

Пространственный, т. е. евклидов вектор 7 производной второго порядка функции (18) коллинеарен единичному вектору в = (0, 1):

7- = 7= (ж — 1)(0,1), (20)

см. операцию (4) умножения векторов из aVГ на число. Обозначим

ж — 1 = &(ь).

(21)

Функция к(£) называется функцией кривизны кривой 7(¿) в естественной параметризации (18), величина

к = |7| (22)

называется кривизной кривой 7(¿), как модуль вектора производной второго порядка функции 7(¿), задающей кривую в естественной параметризации. Кривизна кривой 7(¿) в точке Р равна

к = |т(£с )|.

Вместе с тем, получен аналог формулы Френе для кривых плоскости Галилея «Г2:

т = кв. (23)

Вектор в сопровождающего репера Вр = (Р, т, в) кривой (18) является постоянным, поэтому

в =

2.5. Прямые и циклы. Прямая плоскости «Г2 может быть задана точкой и единичным вектором. Имеется единственный единичный евклидов вектор в = (0,1). Всякий единичный галилеев вектор есть ^ = (1,р). Галилеева прямая, проходящая через точку А(а, Л), согласно (15), описывается уравнениями

ж = £ + а

1

2

у = 2¿2 + (а + р - 2) £ + Л.

Коэффициент при ¿2 равен ^. Галилеева прямая задается следующей векторной функцией в естественной параметризации

7(*)= (¿, 1 ¿2 +(р - 2) £ + л), (24)

Согласно [6, с. 85], линия плоскости Галилея, определяемая вектором

7 (¿) = (¿, а£2 + Ы + с), а = 0, (25)

называется галилеевым циклом. Прямая (24) является циклом при а = 2. Никакой другой цикл галилеевой плоскости прямой линией не является.

Для прямой (24) имеем, что ж = 1. По (21), кривизна прямой (24) равна

к = ж - 1 = 0,

что естественно для прямой. Для цикла (25) имеем, что ж = 2а, поэтому кривизна цикла равна

к = 2а - 1.

При а = 2 кривизна цикла равна нулю, в этом случае, как уже отмечено, цикл является прямой линией плоскости Галилея «Г2. Цикл есть линия постоянной кривизны.

2.6. Отыскание кривой по заданной функции кривизны. Для кривых плоскости Галилея с нелинейной геометрией выполняется основная теорема теории кривых.

Теорема 5. Существует единственная, с точностью до положения на плоскости, кривая, имеющая заданную функцию кривизны.

Это означает, что кривая плоскости Галилея аГ2 определяется натуральным уравнением к = к(*).

< Пусть кривая 7(*) = (*,ж(*)) на интервале I имеет функцию кривизны к(*) = к. Неизвестную функцию ж = ж(*) и заданную функцию к(*) = к связывает дифференциальное уравнение второго порядка (21):

ж = к(*) + 1.

Общее решение этого уравнения есть

1

I (У к(*) ^ ^ + 1*2 + С1* + С2,

где С1, С2 — постоянные интегрирования. Начальные условия:

* = *0, ж(*0) = ж0, ж(*0) = ж0

определяют единственную функцию ж = ж(*). Кривая 7(*) = (*,ж(*)) проходит через заданную точку (*о, жо) плоскости и имеет в этой точке касательную прямую, задаваемую вектором 7(^0) = (1, ж о). Кривая 7 (*) указанными условиями определяется однозначно. >

Кривая постоянной кривизны к такова:

7(*)= (Ч^ *2 + С1 * + С2).

При к = 0 полученная кривая является галилеевым циклом. Таким образом, всякая кривая постоянной кривизны плоскости аГ2 является галилеевым циклом. При к = 0 это прямая

7(*)= 1 *2 + С1* + С^ .

Прямую 7(*) = 1 *2) , определяют начальные условия: * = 0, ж(0) = 0, ж(0) = 0. Она проходит через начало координат (0, 0) в направлении галилеева вектора а = (1, 0).

ж

Литература

1. Долгарев А. И., Долгарев И. А. Альтернативное 2-мерное действительное линейное пространство. Группа Ли замен базисов пространства // Владикавк. мат. журн.—2008.—Т. 10, вып. 2.—С. 9-20.

2. Долгарев А. И., Долгарев И. А. Альтернативная аффинная плоскость // Владикавк. мат. журн.— 2007.—Т. 9, вып. 4.—С. 4-14.

3. Розефельд Б. А., Замаховский М. П. Геометрия групп Ли. Симметрические, параболические и периодические пространства.—М.: МЦНМО, 2003.—560 с.

4. Долгарев А. И. Классические методы в дифференциальной геометрии одулярных пространств.— Пенза: ИИЦ ПГУ, 2005.—306 с.

5. Макарова Н. М. Двумерная неевклидова геометрия с параболической метрикой длин и углов: Дис. .. .канд. физ.-мат. наук.—Л., 1962.—98 с.

6. Яглом И. М. Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия.—М.: Наука, 1969.— 309 с.

7. Долгарев А. И. Элементы дифференциальной галилеевой геометрии и одуль галилеевых преобразований.—Саранск: Средневолжское мат. общество, 2003.—116 с.

8. Арнольд В. И. Математические методы классической механики.—М.: Наука, 1989.—472 с.

9. Долгарев И. А. Системы дифференциальных уравнений в частных производных для поверхностей пространства Галилея: Дис. .. .канд. физ.-мат. наук.—Пенза: ПГУ, 2007.—119 с.

10. Долгарев И. А. Нахождение поверхности в 3-мерном пространстве Галилея по ее квадратичным формам // Изв. высших учебных заведений. Поволжский регион. Сер. Естеств. науки.—2006.— № 5.—С. 51-60.

Статья поступила 29 августа 2008 г.

Долгарев Артур Иванович Пензенский Государственный университет, доцент кафедры математики и суперкомпьютерного моделирования РОССИЯ, 440026, Пенза, ул. Красная, 40 E-mail: delivar@yandex.ru

Долгарев Иван Артурович Пензенский Государственный университет, доцент кафедры математики и суперкомпьютерного моделирования РОССИЯ, 440026, Пенза, ул. Красная, 40 E-mail: delivar@yandex.ru

GALILEAN PLANE WITH COMMUTATIVE AND NONLINEAR GEOMETRY

Dolgarew A. I., Dolgarew I. A.

Galilean distance between two points on the plane with nonlinear geometry is introduced. A specified physical interpretation of such a plane is indicated. The curvature of regular curves is defined and it is proved that the curvature function determines uniquely the curve under consideration.

Key words: nonlinear Galilean plane.