ПЛОСКОЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЕ ПЯТИЗВЕННОГО ДВУНОГОГО РОБОТА ПО ПОВЕРХНОСТИ С ПРЕПЯТСТВИЯМИ В ВИДЕ СТУПЕНЕЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика и математическое моделирование. 2021. №3. С. 1-28.

DOI: 10.24108/mathm.0321.0000270

© Ванькина И. Н., Фетисов Д. А., 2021. ХДК 517.977

Математика к Математическое

моделирование

Сетевое научное издание http://mathmelpub.ru ISSN 2412-5911

Плоское перемещение пятизвенного двуногого робота по поверхности с препятствиями в виде ступеней

Л Л *

Ванькина И. Н.А, Фетисов Д. А.А'

1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия * dfetisov@yandex.ru

Рассматривается проблема управления плоским перемещением пятизвенного двуногого шагающего робота по поверхности, представляющей собой периодическое чередование горизонтальных участков и ступеней одинаковой высоты. Длины горизонтальных участков и ступеней, а также высота каждой ступени предполагаются известными. Перемещение двуногого шагающего механизма по такой поверхности описывается гибридной системой, состоящей из системы обыкновенных дифференциальных уравнений на фазе одноопорного движения и системы алгебраических уравнений на фазе перехода робота с одной ноги на другую. Для фазы одноопорного движения предложены выходы, равенство которых нулю соответствует перемещению робота с характеристиками, присущими ходьбе человека. Строятся управления, стабилизирующие предложенные выходы за конечное время. Разрабатывается алгоритм, позволяющий найти состояние робота в момент перед первым ударом, соответствующее периодическому решению гибридной системы.

Ключевые слова: пятизвенный двуногий шагающий робот; гибридная система; периодическое решение

Представлена в редакцию: 03.09.2021.

Введение

Шагающие механизмы нашли широкое применение в современном мире. Их основное преимущество перед колесными и гусеничными роботами состоит в меньшей требовательности к поверхности, по которой перемещается робот: колесным и гусеничным машинам для перемещения необходима непрерывная колея, тогда как шагающему механизму для организации движения нужны лишь дискретные участки поверхности. Вместе с тем задача управления шагающим роботом — это всегда сложная задача управления системой большой размерности. По своей природе динамика шагающего механизма гибридна, т.е. представляет собой чередование фазы одноопорного движения и фазы удара. На фазе од-ноопорного движения поведение шагающего робота описывается системой обыкновенных

дифференциальных уравнений, на фазе удара — алгебраическим соотношением, описывающим скачкообразную смену роли ног. Первые работы, посвященные исследованию шагающих роботов, появились в конце 1970-х годов [1]. В монографии [2] был предложен подход к управлению антропоморфными механизмами, основанный на приложении импульсных воздействий в момент удара. При этом в промежутках между моментами удара механизм совершал свободное, баллистическое движение. Проблемы кинематики, динамики, стабилизации и управления двуногой ходьбой рассматривались в работе [3]. Различные методики управления автоматическими шагающими аппаратами обсуждались в монографии [4]. Хорошо известны подходы к управлению шагающими механизмами, основанные на свойстве пассивности [5] и понятии плоскостности [6]. Задача управления двуногим роботом с почти линейной динамикой рассматривалась в работе [7]. Проблема отслеживания и стабилизации заданной траектории для шагающих механизмов изучалась в работе [8]. Наиболее важные результаты в области управления двуногой ходьбой по состоянию на начало 2000-ых годов можно найти в обзоре [9].

Новый подход к проблеме управления шагающими роботами был предложен в работе [10]. Этот подход включает в себя два этапа. На первом этапе для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающей поведение робота на фазе одноопорного движения, предлагаются выходы, равенство которых нулю отвечает движению робота с некоторыми заданными характеристиками. Далее решается задача стабилизации предложенных выходов за конечное время [11]. На втором этапе для гибридной системы, замкнутой найденным управлением, ищется такое состояние робота в момент перед первым ударом, которое соответствует периодическому решению системы. Впоследствии указанный подход был применен для управления плоским перемещением пятизвенного [12] и семизвенного [13] шагающих механизмов по горизонтальной поверхности.

В работе [14] указанный подход получил дальнейшее развитие. Для управления шагающим роботом было предложено использовать так называемую гибридную нулевую динамику, которая позволяет уменьшить размерность исследуемой гибридной системы. Позже этот подход был применен для управления перемещением пятизвенного шагающего робота по лестнице [15].

Из работ последних лет стоит отметить монографию [16], где рассмотрены проблемы статической устойчивости, организации походок, построения программного движения и экстренного торможения двуногих механизмов. В обзоре [17] обсуждаются открытые проблемы в области управления шагающими роботами, ставятся задачи, решению которых должно быть уделено первостепенное внимание в ближайшее время.

Настоящая работа посвящена разработке алгоритмов управления плоским перемещением пятизвенного двуногого шагающего робота по поверхности, представляющей собой периодически повторяющееся чередование горизонтальных участков заданной длины и ступеней заданной длины и высоты.

1. Постановка задачи

Рассматриваемый в дайной работе шагающий робот состоит из туловища и двух ног, каждая из который включает в себя бедро и голень (рис. 1). Соседние звенья робота соединены между собой шарнирами. Полагаем, что длина каждого звена равна Ь.

Рис. 1. Схема пятизвенного двуногого робота

Будем использовать следующие обозначения: mt, ть, тд — массы туловища, бедра и голени соответственно; рь — расстояние от тазобедренного сустава до центра масс бедра; р — расстояние от центра масс туловища до тазобедренного сустава; рд — расстояние от коленного сустава до цетра масс голени; ]ь, ^ — моменты инерции туловища, бедра и голени соответственно относительно их центров масс. В качестве управлений п, и2, и3, и4 рассматриваются крутящие моменты в шарнирах, соединяющих соседние звенья робота (см. рис. 1).

Робот движется слева направо по поверхности, состоящей из периодически повторяющихся горизонтальный участков и препятствий в виде ступеней (рис. 2). Будем полагать, что ¡Х — длина ступени, 1Х — высота ступени, ¡^г = ^ ¡Х — длина горизонтального участка.

Рис. 2. Поверхность с препятствиями в виде ступеней

Цель настоящей работы - построить управление, которое реализует периодическое движение робота по указанной поверхности с характеристиками, присущими ходьбе человека.

2. Фаза одноопорного движения

Перемещение шагающего двуногого робота по любой поверхности представляет собой последовательную смену двух фаз — фазы одноопорного движения и фазы перехода робота

с одной ноги на другую. В настоящем разделе мы рассматриваем фазу одноопорного движения. На этой фазе конец одной из ног, которую мы далее называем опорной, находится в неподвижном контакте с поверхностью. Другую ногу робота будем называть переносимой.

Положение пятизвенного робота на фазе одноопорного движения однозначно определяется пятью обобщенными угловыми координатами д31, д32, д41, 542 (см. рис. 1). Каждая из координат определяет наклон одного из звеньев робота. Положительным направлением отсчета каждой координаты будем считать направление против часовой стрелки.

В работе [12] показано, что поведение робота на фазе одноопорного движения описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений

£(?)? + С(5, + = Ви,

(1)

где 5 = (д11, д31, д32, д41, д42)т, £ (5) — симметричная положительно определенная матрица пятого порядка с элементами

Вц = т^2 + Л, ^12 = 0, Аз = -£тр*Сз2-11, ^14 = 0, ^15 = -£р4т4С42-11, ^22 = шьр + тй Ь2 + Л, А>з = -£(тьрь + тй Ь)сз2-з1, £24 = ¿р тй С32-41, £25 = -(£рьть + тй Ь2), Взз = £2(т4 + ть + тй) + ть(£ - р)2 + Л, £34 = -ш5¿рС32-41,

Д35 = (£2(т4 + 2ть + тй) - ть£рь)сз2-42, £44 = тйр + , £45 = -ш5¿рС42-41, £55 = Ь2(тй + 2ть + ш4) + тй(Ь - р)2 + ,

С(5, 5) — квадратная матрица пятого порядка с элементами

Си = 0, С12 = 0, С13 = 532т4р4£532-11, С14 = 0, С15 = 542-^^842-11, С21 = 0, С22 = 0, С23 = 532(тьрв + т4£)£в32-31, С24 = фцтя Ьр 831-41, С25 = <?42(тьрь + тй Ь)Ь842-31, С31 = -5пт4р4£832-11, С32 = -531(тьрь + тй £^832-31, С33 = 0, С34 = -541"^ Ьр 832-41, С35 = 542(£2(т4 + 2ть + тй) - шь1р)832-42, С41 = 0,

С42 = -<?31тй 831-41, С43 = <?32тЬ1р832-41, С44 = 0,

С45 = <?42тй ¿р 842-41, С51 = -5ш4Ьр4842-11, С52 = -<?31(тьрь + т4£)£842-31, С53 = -?32(£2(т4 + 2ть + тй) - шь1р)832-42, С54 = -<?41тй¿р842-41, С55 = 0,

матрицы С(5) и В имеют вид

/

С

т^Р й1П дп

-(тьрь + тй вт 531 (Ь(т4 + 2ть + тй) - тьрь)д вт 532

-т5 р д ЙШ 541 (Ь(т4 + 2ть + 2тй) - )д вт 542

В

55

/-1 -10 0 \ 10 0 -1 0 1 -1 0 0001

0 0 1

0

в выражениях для элементов матриц D(q) и C(q, q) использованы обозначения

ci-j = cos(qi — qj), si-j = sin(qi — qj), i, j = 11, 31, 32, 41, 42.

Выразим q из (1):

q = —D (q)(C(q, q)q + G(q) — Bu),

введем обозначение x = (q , qT)T и перепишем систему (1) в виде

х = f(x) + ^ 9j (x)uj, j=i

(2)

где

f (x)= I ^ I a-(x)= I 05x1

f 1 — D-1(q)(C(q,q)q + G(q)) , 9j() l D-1(q)B3

j = 1, 4,

05x1 — нулевая матрица размера 5 x 1, Bj — j-й столбец матрицы B, j = 1, 4.

3. Задание выходов

Важной характеристикой перемещения робота по поверхности, изображенной на рис. 2,

будет являться желаемая длина одного шага. Примем ее равной lst = -lx. Из соотноше-

3 2

ния lhor = -jlx вытекает, что поверхность, по которой перемещается робот, представляет

собой периодическое повторение одного и того же профиля Q, образованного горизонтальным участком длины 3lst и ступенью длины 2lst. На поверхности Q робот, таким образом, совершает пять шагов, преодолевая при этом одну ступень. Будем далее полагать, что первый шаг совершается полностью на горизонтальном участке, в начале первого шага конец опорной ноги находится на расстоянии - lst от ближайшей ступени, расположенной справа от робота. Соответственно, в конце шага 1 конец переносимой ноги ударяется о горизонтальный участок поверхности на расстоянии -lst от ближайшей ступени, расположенной справа от робота (см. рис. 3). На шагах 2 и 3 робот последовательно поднимает на ступень каждую из ног. На шагах 4 и 5 робот последовательно опускает каждую из ног на следующий горизонтальный участок (рис. 3).

Рис. 3. Пять шагов робота по поверхности с препятствием

Ходьба человека, как известно, обладает рядом особенностей [2]:

1) угол наклона туловища на каждом шаге приблизительно постоянный;

2) тазобедренный сустав находится посередине между концами ног;

3) тазобедренный сустав при движении описывает в пространстве траекторию, близкую к параболе;

4) конец переносимой ноги также движется по кривой, близкой к параболе. Основываясь на этих особенностях, зададим к системе (2) для каждого из пяти шагов

че ырехмерный выход, равенс во ко орого нулю о вечае движению робо а в соо ве с вии с характеристиками 1)-4). На каждом шаге мы работаем в декартовой системе координат OX2Z2, начало которой находится в конце опорной ноги (см. рис. 1). От шага к шагу система координат меняется.

Чтобы удовлетворить требование 1), зададим желаемые значения q<^1 для угла наклона туловища на г-м шаге. Тогда первая составляющая выхода уг на г-м шаге будет описываться формулой

v\ = qn - qfi, i = i, 5.

Здесь и далее верхний индекс выхода обозначает номер шага.

Чтобы удовлетворить требование 2), запишем в системе координат OX2Z2 координаты тазобедренного сустава:

Xh = L(sin q42 + sin q32), ZH = -L(cos q42 + cos 532)

и координаты конца переносимой ноги:

Xi = Xh - L(sin q3i + sin 541), Zi = Zh + L(cos 531 + cos 541).

Требование, чтобы тазобедренный сустав находился посередине между концами ног, приводит к равенству XH = (X1+X2)/2, которое можно переписать в виде (XH-X1) + (XH-X2) = 0. Отсюда получаем выражение для второй составляющей выхода уг:

у2 = di + d2, i = 1, 5, где di и d2 определяются выражениями

di = Xh - Xi = L(sin qAi + sin q3i), d2 = Xh - X2 = L(sin q42 + sin 532). Чтобы удовлетворить требование 3), зададим третью составляющую выкода уг в виде

у3 = zh - Zd¿(d2), i = 1,5,

где Zfd(d2) — желаемое изменение высоты таза на i-м шаге в зависимости от величины d2.

Чтобы удовлетворить требование 4), зададим четвертую составляющую выкода уг на i-м шаге в виде

7di

vi = Zi - Z?(d2), г = 1, 5,

где — желаемое изменение высоты конца переносимой ноги на г-м шаге в зависи-

мости от величины .

Рассмотрим отдельно для каждого из пяти шагов, как можно построить функции ZH (^2) и ^г(^2). Будем выбирать эти функции в виде полиномов второй степени, каждый из которых должен удовлетворять некоторому набору из трех условий. Будем использовать при этом следующие обозначения:

7® _

H max

7%

ZH min

максимальное значение высоты таза на г-м шаге; минимальное значение высоты таза на г-м шаге;

ZHнач — начальное значение высоты таза на г-м шаге; кон — конечное значение высоты таза на г-м шаге;

Z ®

H пром

промежуточное значение высоты таза на г-м шаге; ^ тах — максимальное значение высоты конца переносимой ноги на г-м шаге;

— промежуточное значение высоты конца переносимой ноги на г-м шаге. Шаг 1. Потребуем, чтобы желаемая высота конца переносимой ноги Zd1(d2) удовлетворяла условиям

Zd1 (-у) =0, Zd1(0) = Zlm

rydl ( Ist

Zl т.

0.

Тогда функция Zd1(d2) будет описываться формулой

4d2

Z1d1(d2)=(l Z1

1 max

st

Схематично траектория конца переносимой ноги на первом шаге изображена на рис. 4.

1м]

,d1

Z j (d2)

-1max

—А ^Гч Х2\

-

-Ist/2

Ist/2

d7 [м]

Рис. 4. Траектория конца переносимой ноги на шаге 1 Потребуем, чтобы желаемая высота таза ZH1(d2) удовлетворяла следующим условиям:

zd1(o)

7d1 I Ist

zh -т.

Z1

ZH min ,

Z1,

ZH max,

7d1 I Ist

zh t

Z1 . ZH min.

Тогда функция ZH1(d2) примет вид

— ^тт + р2^ (ZHmax — ZHmin).

Шаг 2. На втором шаге конец опорной ноги остается внизу, в то время как конец переносимой ноги поднимается на ступеньку. Потребуем, чтобы максимальное значение

высоты конца переносимой ноги достигалось при = 13г/4. Тогда условия на функцию Zf2(d2) примут вид

7d2 I lst

Z1 1— т.

о, Zd2(

Z 2 Z'

Z1 max, Z1

12

2 =

а сама функция Zd (d2) будет задаваться выражением

zd2

r7d2fi\_ I 16 Z1 max 12lz\ , 2 , lz i , 8Zlmax 3lz

Z1 (dl) 1--Ш dl + ltdl + 6 •

st

Желаемая траектория конца переносимой ноги робота на втором шаге представлена на рис. 5.

[м]

d2

¿-1тах

/ ! if

|r /(x?.

-Ist/2 0 Ist/4 Ist/2

Рис. 5. Траектория конца переносимой ноги на шаге 2

d2 im]

Условия для желаемой тректории таза на каждом шаге будем задавать в тех же точках, что и для конца переносимой ноги. Запишем условия на желаемую траекторию таза на втором шаге:

7d2 I lst Zh — i,

^2 yd2 ( lst

ZHнач, ZH l 4

72 yd2 ( ljt

ZH max, ZH l 2

Z2 . ZHкон.

Отметим, что параметры ZHнач, zH тах, Zнкон < ZHтах. Функция Zl¡2(d2) в итоге будет задаваться формулой

Z

2

ZH2 кон должны удовле воря ь неравенс вам ZH

2

H нач

<

ZdH2(d2) =

8ZH max 3ZHкон + ZHнач + d2 (ZHкон ZHнач) +

6

st

+

4d2 (3ZHкон — 4ZH max + ZHнач) 3lst

Шаг 3. На третьем шаге на ступень поднимается вторая нога робота. Условия на желаемую высо у конца переносимой ноги зададим следующими:

гуНЪ ( lst Z1 — i,

-l

гу1Ъ ( lst

Z1 — т

Z

1пром1

гуНЪ ( lst Z1 i,

о.

Для того чтобы переносимая нога не задевала ступеньку, необходимо потребовать выполнения условия Zfпром > 0. Непосредственные вычисления показывают, что функция Zf¿(d2) имее следующий вид:

Zd3(d2)

16^пром + 12lA d 2 + d + 8^пром + 3lz

2 lst 2 6

3l2

st

Желаемая траектория конца переносимой ноги робота на третьем шаге представлена на рис. 6.

-Ist/2 -Ist/4 0 Ist/2 d2i«I

Рис. 6. Траектория конца переносимой ноги на шаге 3

Условия на желаемую траекторию таза на третьем шаге зададим следующими:

^dS I Ist

Zh - У

= 7 S

= 7 Ннач:

zHS I -t) = z

st

S

Нпром:

ydS ( yS

7Н I 2 1= 7 H кон'

Параметры Z

Z

S

Ннач' 7Н пром

7Нкон в этих условиях должны удовлетворять неравенствам

7 s < 73 < 7S

7Ннач < 7Нкон < 7Нпром-

. Функция 7Н3№) в результате будет задаваться формулой

7Н3№)

87Нпром + 7Нкон 37Ннач . d2 (7Нкон — 7Янач)

+

+

st

+

4d22

73 кон 473 пром + 37Ннач

312

st

Шаг 4. На четвертом шаге опорная нога робота остается на ступени, переносимая нога спускается вниз. Условия на желаемую траекторию конца переносимой ноги задаются аналогично условиям на шаге 3:

7d4 (

st

0,

7 4

1пром

is*

-1

откуда следует, что функция имеет вид

1674пром + 121z

7d4№) = ( ^^хпро^^ | d22 - lL d2 + 874пром + 3lz

3i2

st

st

6

Здесь так же, как и на шаге 3, надо потребовать, чтобы выполнялось условие Z4ПроM > 0, отвечающее за то, что нога при движении не задевает ступень. Желаемая траектория конца переносимой ноги на четвертом шаге представлена на рис. 7.

Условия на траекторию таза на четвертом шаге зададим соотношениями

vd4 / ,у4

7Н I 2 I = 7Ннач:

r/d4 (l£i \ _ гу4 7Н \ л = 7Нпром:

r/d4 (lfi \ _ гу4 7Н I 2 1= 7Нкон'

6

.d4

[м]

¿7 (d2)

■1пром

- / zK

- / / \ \

V X?

-Ist/2 0 Ist/4 Ist/2 d2M

Рис. 7. Траектория конца переносимой ноги на шаге 4

Параметры ZHнач, ZHпром, ZHкон в заданных условиях должны удовлетворять неравенствам Z'Hкон < Z'Hнач < ZHпром. Непосредственные вычисления показывают, что функция Z<JJ(d2) задае ся формулой

8^пром — 3^кон + ZHнач , d2 (^кон — ^нач)

Z%(da) =

6

+

+

st

+

4d22 (3ZHкон — 4ZHпром + ZHнач)

3l2

st

Шаг 5. На пятом шаге опорная нога робота находится внизу, переносимая нога спуска-е ся со с упеньки. Задаваемые на раек орию конца переносимой ноги условия буду име ь вид

" Ь ¡г, Z?D I -— I = Z*zr I — I =0.

zh5 - f

Zd5 - f

75 yd5 l_st_

Z1 max, Z1 I 2

откуда следует, что функция Zf5(d2) описывается формулой

zf(d2) =

16Zlmax — d 2 _ d + 8Z5max —

3ls2t

¡81 ' 6

Желаемая траектория конца переносимой ноги на пятом шаге представлена на рис. 8.

[М]

Zi(d2)

»d5,

7 r5

•1max

Z21 \

\ \ _

-Ist/2 -Ist/4 0 Ist/2 <t? im]

Рис. 8. Траектория конца переносимой ноги на шаге 5

Условия на желаемую траекторию таза на пятом шаге имеют вид

Zh - Т

/75 rydb / Lst

ZHнач, ZH I 4

= 75

= ZH max

Zh( j

= 75

= ZH кон

l

Параметры У

5 у 5 гу5

Ннач' УН шах'

Уякон в заданных условиях должны удовлетворять неравенствам

УНкон < Уянач < УНшах- Функция У#(4) в итоге задается формулой

8УЯшах + УЯкон 3УЯнач + ^2 (УЯкон УЯнач) +

6

+

4^22 (уякон - 4УЯшах + 3УЯнач)

4. Стабилизация выходов

Чтобы реализовать на каждом из пяти шагов движение робота в соответствии с заданными характеристиками, решим задачу стабилизации в нуле каждого из выходов уг = Лг(ж), г =

1, 5. С этой целью установим сначала, чему равен относительный порядок выхода

Уг =

' 911 - 911 ^

у2 у3 = Л2(ж) Л3(ж) = Лг(ж) = + ^2 Ун - у$№)

\у4/ \ Л4(ж) / ^ У1 - ;

г = 1, 5,

(3)

системы (2) на г-м шаге, г = 1, 5. Будем далее обозначать через /£ производную функции £ по векторному полю /.

Напомним [18], что относительный порядок выхода у = Л(ж) системы (2) в точке ж0 равен (г1, г2, г3, г4), если:

1) Л'/кЛ«(ж) = 0, 5, ] = 1, 4, к = 0, г«-2, в окрестности точки ж0;

2) матрица

1/01/Г1-1 Мж) ... Л4/Г1-%(ж)^

С(ж)

\Л1/Г4-1 ВД ... Л4/Г4-1^4(ж)У

невырождена в точке ж0.

Фактически эти условия означают, что:

1) при последовательном дифференцировании функции у« = Л,« (ж) в силу системы (2)

управления впервые появляются в производной порядка г«, в = 1, 4;

2) матрица С(ж), составленная из коэффициентов при и1, . .., щ4 в выражениях для у(г1), .. ., у4Г4), невырождена в точке ж0.

Поскольку каждая из функций Л«(ж), в = 1, 4, г = 1, 5, зависит только от обобщенных кординат д, то производная каждой из функций Л« (ж) в силу системы (2) описывается формулой Л«(ж) = /Л«(ж), при этом во всем пространстве состояний М10 выполнены равенства

Л.Л«(ж) = 0, в, ] = 1, 4, г = 1, 5. Отсюда следует, что

Л«(ж) = /2Л;(ж) + £щЛ/Л«(ж), в = 1, 4, г = 1, 5.

.7 = 1

Можно показать, что матрицы

аг(х)

дх!Ь}1(х) ... дг/Ь\(х)

1, ъ,

\д1/К(х) ... дг/К(х))

невырождены на физически разумных конфигурациях робота. Следовательно, относитель-

ный порядок выхода уг = кг(х) равен гг = (2, 2, 2, 2), г = 1, 5.

Запишем вторые производные функций у\, в = 1, 4, г = 1, 5, в силу системы (2) в виде

/уЛ

у2 у3 \у1/

= Гг(х) + Сг(х)и, г =1, ъ,

(4)

где Гг(х) = (/2к\(х), .. дем новые управления V

/2Н\(х)) . Сделаем в соотношении (4) замену управления: вве-

. . . . Т _

= (ь\, уг2, уг4) , г = 1, 5, по формуле

V = Г (х) + Сг(х)и, г = 1, ъ. В результате получим из соотношений (4) равенства

в = 1, 4,

1, ъ.

(5)

(6)

Задача с абилизации выходов у , аким образом, свелась к задаче с абилизации нулевого положения равновесия в каждом из уравнений (6). Отметим, что для лучшего воспроизведения желаемых траекторий, заданных в предыдущем разделе, выходы должны становиться равными нулю к концу каждого шага. В связи с этим, будем решать для уравнений (6) задачу с абилизации за конечное время. Воспользуемся следующей еоремой.

Теорема 1 ([11]). Рассмотрим систему

<1 = <2,

6 = u,

где и Е К. Тогда для всех 0 < к < 1 обратная связь

и = ф((1,(2) = - ^И^Ы" - 81§П(¥>«1,<2))И<1,<2)|

(7)

(8)

где

¥>«1,<2) = <1 +

1

2к

81вп((2)|с2|2-к,

удовле воряе следующим условиям:

1) функция ф((1,(2) непрерывна в К2;

2) положение равновесия = 0, (2 = 0 системы (7), замкнутой обратной связью (8), глобально асимп о ически ус ойчиво за конечное время;

У 8 = 8

3) время стабилизации

Т = Ш[г > 0 : (Сх(г),^)) = (0, 0), (Сх(0), <2(0)) = (Схо,С2с)}

непрерывно зависит от начальных условий £хо, С20-

Как показано в работе [11], стабилизирующее управление и можно также выбирать в виде и = ^((1,(2), где

е2

е > 0 — параметр, позволяющий регулировать время стабилизации Т.

Таким образом, согласно теореме 1, в качестве управлений, стабилизирующих за конечное время нулевые положения равновесия уравнений (6), могут быть выбраны управления

4^(у«,е*£), 5 = 1, 4, г = 1, 5,

(9)

где

1

<^(у: ^) = у: +

2 - к

м 1

г |2—к

1, 4,

1, 5.

Подставим управления (9) в соотношения (5):

^(Ух ,ехуХ )Х

£х

1 ^2 , е2у2 ) ~Т2 ^(У3 ,е3 у3)

~Т2 ^(у4 ,е4 у4)

V е4

,Г(ж) + Сг(ж)и, г = 1, 5.

/

Поскольку матрицы Сг(ж) являются невырожденными, то эти равенства могут быть единственным образом разрешены относительно исходного управления и. В результате получим выражения для управлений иг, стабилизирующих за конечное время выход уг:

/-12 ^(Ух ,ехуХ)Х £х

и

(Сг)-х(х)

~Т2 ^(У2 ,е2у2 ) ^(уЗ ,езу3) ~Т2 ^(У4 ,е4у4)

V е4

- ^ (ж)

1, 5.

(10)

/

Отметим, что стабилизация за конечное время выходов системы (2) на каждом из пяти шагов не решает задачу построения периодического движения робота по поверхности, изображенной на рис. 2. Чтобы выделить из множества решений системы (2), замкнутой управлением (10), какое-то конкретное решение, необходимо задать некоторое начальное условие. Если это начальное условие будет выбрано произвольным, то робот, сделав несколько

V

8

шагов, удовлетворяющих характеристикам 1)-4), все равно может упасть. Чтобы построить периодическое движение, требуется дополнительно рассмотреть фазу перехода робота с одной ноги на другую, описа ь поведение робо а на обеих фазах движения гибридной системой с управлением и выбрать для этой гибридной системы, замкнутой управлением (10), начальное условие, соответствующее периодическому решению.

5. Уравнения движения на фазе перехода

Фаза одноопорного движения завершается, когда переносимая нога ударяется о поверхность, по которой перемещается робот. Будем использовать допущение, что фаза перехода дли ся бесконечно малый промежу ок времени и при э ом выполняю ся следующие предположения [10]:

1) после удара нога, ставшая опорной, не проскальзывает и не отскакивает от поверх-нос и;

2) положение робота в результате удара не меняется;

3) внешние силы, которые действуют на переносимую ногу в момент удара, являются мгновенными импульсными воздейс виями;

4) э и воздейс вия вызываю скачкообразное изменение скорос ей всех звеньев робо а;

5) управляющие момен ы и не являю ся импульсными.

Условие наступления фазы перехода для моделируемых пяти шагов по поверхности Q будем записывать в виде х- Е Б, где верхний индекс "—" означает, что речь идет о моменте перед ударом, а поверхность Б в пространстве состояний системы (2) в зависимости от номера шага задается по следующему правилу:

Б = {(д,д)^(д) = 0,Х1(д) > 0} на шагах 1, 3, 5;

Б = {(д,д)^(д) = \г,Х^д) > 0} на шаге 2;

Б = {(д,д)^1(д) = ,Х1(д) > 0} на шаге 4.

На фазе перехода робот имеет семь степеней свободы, и, чтобы полностью задать его положение, к пя и угловым координа ам, введенным на фазе одноопорного движения, необходимо добавить еще две. Разместим начало прямоугольной декартовой системы координат в той точке, где находился конец опорной ноги на только что завершившейся фазе одноопор-ного движения (см. рис. 1). В качес ве двух дополни ельных координа будем использова ь декартовы координаты Х2, конца ноги, которая была опорной и на следующем шаге станет переносимой. В работе [12] показано, что значения , д+ скоростей звеньев робота в моменты до и после удара связаны соотношениями

й(д-)(д+ — Я-) = Ет(д-)Г, (11)

т т

где де = (дп, д31, д32, дг1, дг2, Х2, %2) ; Г = (Гх, Fz) — сила реакции, действующая в момент удара на ногу, которая была на предыдущем шаге переносимой; Гх и Fz —

горизонтальная и вертикальная составляющие силы ^; матрица Е(д) имеет вид

. 5ri . . I 0 — L cos q31 L cos q32 — L cos q41 L cos q42 1 0 E(q) = — (q) =

dqe \ 0 —L sin q31 L sin q32 —L sin q41 L sin q42 0 1

T ~

r1 = (X1, Z1) ; D(q) — симметричная положительно определенная матрица седьмого порядка, у которой при i, j ^ 5 элементы совпадают с элементами матрицы D(q), а остальные элементы задаются выражениями

D16 = —ттРт cos q1, D17 = —mrpr sin q1, D26 = — (mbpb + mflL) cos q31,

D27 = — (тьрь + m9L) sin q31, D36 = (mr + 2mb + mfl)L —

cos q32,

D 37 = D 56 =

(mr + 2mb + ms)L — sin q32, D46 = — cos q41, D47 = — sin q4b

(mT + 2mb + 2mg )L — mgcos q42, D57 = (mT + 2mb + 2mg )L — mg

D66 = mT + 2mb + 2mg, D67 = 0, D 77 = mT + 2mb + 2mg.

sin q42,

Система линейных алгебраических уравнений (11) содержит семь уравнений и девять неизвестных — это компоненты вектора а также составляющие и ^ силы ^. Отметим, что в момент перед ударом нога, бывшая на предыдущем шаге опорной, находится в неподвижном контакте с поверхностью, поэтому X- = У- = 0. Замкнем систему (11), добавив к ней еще два уравнения, отражающие предположение, что переносимая нога не проскальзывает и не отскакивает от поверхности в момент удара:

£=£ =0

e e

Перепишем это условие в виде Е= 0 и присоединим содержащиеся в этом равенстве два уравнения к системе (11). В результате получим систему линейных алгебраических уравнений

' Я(д-) -Ет(д-) \/ \ = / ¿(д-)^ \

е(д-) у \ ©2хх ;. ()

Решение системы (12) — девятимерный вектор, первыми пятью компонентами которого являются угловые скорости ш+(ж-), г = 11, 31, 32, 41, 42, звеньев робота в момент после удара. Заметим, что в момент, когда переносимая нога сталкивается с поверхностью, происходит изменение роли ног: переносимая нога на следующем шаге становится опорной, опорная - переносимой. При этом в выведенных ранее уравнениях (1) для фазы одноопор-ного движения предполагалось, что положение опорной ноги определяется обобщенными координатами д32, д42, положение переносимой ноги — координатами дзх, д4х. Чтобы опи-

сать движение робота на следующем шаге теми же уравнениями, необходимо произвести переобозначение по формуле

х+ = А(х-) = (q-, q-2, q-i, q-2, q-i> шll(x~), ш+2(х-), . (13)

Объединив равенства (2) и (13), получим гибридную систему, которая описывает движение робота на обеих фазах:

Í.X = f (х) + q(x)u, х- / S;

_ (14)

х+ = А(х~), х- Е S,

где S = {(q,q)\Zi(q) = 0,Xi(q) > 0} на шагах 1, 3, 5; S = {(q,q)\Zi(q) = lz,Xi(q) > 0} на шаге 2; S = {(q,q)\Zi(q) = -lz,Xi(q) > 0} на шаге 4.

6. Построение периодического решения

Предложим алгоритм построения периодического движения робота по поверхности, изображенной на рис. 2. Периодичность движения робота по этой поверхности означает, что серия из пяти шагов по участку поверхности Q должна периодически повторяться. Прежде всего, потребуем, чтобы выполнялись условия стыковки желаемых траекторий qf\ = qfi и ZHкон = Z¿min. Эти условия гарантируют, что если желаемые траектории угла наклона туловища и таза воспроизводятся точно, то в конце пятого шага и в начале первого шага угол наклона туловища одинаков и таз находится на одной и той же высоте. Будем полагать, что система (2) на каждом шаге замкнута стабилизирующими управлениями (10). Покажем, что в этом случае положение робота в конце пятого шага может быть однозначно определено. Действительно, в силу выбора управления выход y5 к концу пятого шага равен нулю. Следовательно, выполнены равенства y5 = 0, s = 1, 4. Добавим к этим равенствам условие Z5 = 0 окончания фазы одноопорного движения на пятом шаге. В результате получим сис ему уравнений

' qii - qf5 = 0,

L(sin q4i + sin q3i) + L(sin q42 + sin q32) = 0, < -L(cos q42 + cos q32) - Z^(d2) = 0, (15)

-L(cos q42 + cos q32) + L(cos q3i + cos q4i) - Zf5^) = 0, _ -L(cos q42 + cos q32) + L(cos q3i + cos q4i) = 0.

Из первого уравнения системы получаем, что qii = qf5. Остальные уравнения образуют замкнутую систему относительно углов q3i, q32, q4i, q42. Из четвертого и пятого уравнений вытекает равенство Zf5(d2) = 0. Из вида функции Zf5(d2) следует (см. рис. 8) соотношение d2 = lst/2, или, что то же самое, L(sin q42 + sin q32) = lst/2. Из второго

уравнения системы (15) получаем равенство L(sin q41 + sin q31) = — /2. Поскольку d

12 =

1st/2, то ZH5(d2) = ZHкон. Следовательно, третье уравнение системы приводит к равен-

ству L(cos q42 + cos q32) = — Z^^. Из последнего уравнения системы (15) вытекает, что L(cos q3i + cos q4i) = — Z^.

Таким образом, получаем систему уравнений

st

sin q42 + sin q32 = —

st

sin q4i + sin q3i = — —

cos 542 + cos q32 = —

cos 53i + cos q4i = —

5ii = qfi5.

7 5

7H кон

L ; 7 5

7H кон

L ;

(16)

Непосредственные вычисления показывают, что решение этой системы, соответствующее физически реальным конфигурациям робота при движении слева направо, описывается формулами

( 5-1

qii,

(17)

а 1 а2 + Ь2 - 2 5з1 = - аг^ ь + п + 2 агссоэ-^-,

а 1 а2 + Ь2 - 2 = аг^ ь + п + 2 aгccos-2-,

а 1 а2 + Ь2 - 2 = - аг^ ь + п - 2 aгccos-^-,

а 1 а2 + Ь2 - 2 = аг^ ь + п - 2 aгccos-2-•

где

1 7 5

„ — ^ 1 _ 7Якон а = Ь =

Покажем, что обобщенные скорости звеньев робота в конце пятого шага являются функциями скалярного параметра, в качестве которого можно выбрать горизонтальную составляющую скорости таза в конце пятого шага. Заметим, что в силу выбора управления

5 "

производная в силу системы выхода у5 к концу пятого шага становится равной нулю,

т.е. имеют место равенства y5

0, s

q, i

1, 4. В левых частях этих равенств все углы 11, 31, 32, 41, 42, принимают уже известные значения (17), поэтому равенства

y5 = 0, s = 1, 4, образуют систему из четырех линейных алгебраических уравнений с пятью неизвестными ф, i = 11, 31, 32, 41, 42. Дополним полученную систему уравнением X— = L(q42 cos q—2 + q32 cos q—2). В этом уравнении горизонтальную составляющую X— скорости таза в конце пятого шага мы будем считать известной. В результате получим систему из пяти линейных алгебраических уравнений с пятью неизвестными, которую можно

записать в виде

М (д-)д =

\Хя/

(18)

где

/I £

М (д-) = Ь

0

0 сое д-

сое д-

сое д-х

сое 542

0 0 вт д-2 - сое д-2 0 вт д42 - сое д42 0 - вт д-х вт д-2 + сое д-2 - вт д-х вт д-2 + сое д-2

0

0

со8 д-

0

сое 542

/

а и задаются выражениями

кон - 16УНшах + 975

Я нач

3/

^2

1675 - 9/2

хтах "

3/

Можно показать, что матрица М(д ) невырождена и, следовательно, решение системы (18) описывается формулой

д- = М (д-)

0 0

\Хя/

(19)

Основываясь на полученных результатах, опишем алгоритм построения периодического решения гибридной системы (14), замкнутой управлениями (10). Как следует из приведенных выше рассуждений, указанная задача сводится к нахождению значения Х-, соответствующего периодическому решению системы.

1. Задаем значение Х-.

2. Находим по формуле (17) вектор д-, по формуле (19) — вектор д-. Формируем из векторов д- и д- состояние робота в конце пятого шага - вектор

ж

д-д-

3. Применяя модель удара, вычисляем состояние робота в начале первого шага — вектор

жх+ =

Д(ж ). Обозначим гхо = 0, положим г = 1.

0

0

0

0

0

0

0

0

4. Находим решение x(í) задачи Коши

4

x = f (x) + > . Oilxiu (x), xltio) =

x = f (x) + g¿(x)ul(x), x(tio)

í=1

где управления uj(x) задаются соотношениями (10);

5. Определяем момент времени для которого выполнено условие x-(íi*) G S, где поверхность S задается по правилу:

S = {(q,q)|Z1(q) = 0,X1(q) > 0} на шагах 1, 3, 5; S = {(q,q)|Zi(q) = lz,Xi(q) > 0} на шаге 2; S = {(q,q)|Z1(q) = -lz,X1(q) > 0} на шаге 4.

Если момент времени не существует, то возвращаемся к п. 1 (меняем значение X—);

6. Если i G {1, 2, 3, 4}, то, применяя модель удара, вычисляем xj+1'+ = A(x-(íi*)), полагаем íj+1)0 = tj*, увеличиваем i на единицу и возвращаемся к п. 4. В противном случае находим

X— (Í5*) = L(sin x-(Í5*) + sin x-(Í5*))

и сравниваем значения X— и X— (í5*). Если они совпадают (по крайней мере, с некоторой высокой точностью), то задача решена — значение X—, соответствующее периодическому решению, найдено. Иначе возвращаемся к п. 1 (меняем значение X—).

7. Численное моделирование

Для численного моделирования были выбраны следующие значения параметров: mt =

16 кг, mb = 3 кг, mg = 2 кг, L = 1 м, pt = = = 0.5 м, Jt = 6.5 кг ■ м2, Jb = 2.5 кг ■ м2,

3 1

Jg = 0.8 кг ■ м2, lz = 0.4 м, lx = 2.6 м. Отсюда следует, что lhor = -lx = 3.9 м, lst = -lx = 1 . 3 м.

Характеристики желаемых траекторий таза и конца переносимой ноги были выбраны следующими:

= 1.9 ^ Zlmax = 0.4 м;

= 1.9 м, Z—к0н = 1.8 м, Zl2max = 0.78 м; 1.75 м, Z—кон = 1.6 м, 713пром = °.15 м; 1.7 м, Z—кон = 1.4 ^ 74пром = 0.15 м; 1.9 M, Z—кон = L75 M, Zlmax = 0.7 м.

Желаемые значения угла отклонения туловища от вертикали были выбраны одинако-

а) на шаге 1 71 - min = 1.75 м, 7—1 max

б) на шаге 2 72 = 7—нач = L75 м, 7—max

в) на шаге 3 71 = 7— нач = 1.4 м. 71 = —пром

г) на шаге 4 74 = 7—нач = 1 . 6 м, 74 = —пром

д) на шаге 5 75 = 7—нач = 1.8 м. 75 = — max

П

выми для всех шагов и равными дц = рад.

При вычисления стабилизирующих управлений иг значения параметров е и к не менялись от шага к шагу и были выбраны равными

112 2 \ 7

£ = -, -, —, — , К = -.

\9' 9 21' 21 Г 8

Значения этих параметров выбирались экспериментально так, чтобы выходы к концу каждого шага стабилизировались.

Для нахождения значения Хц, соответствующего периодическому движению, был задан массив значений Хя/4гз(; от 1.9 м/с до 2.3 м/с с шагом 0.01, после чего для каждого значения ХН}.га1 была найдена скорость Хягаз4 к концу следующих пяти шагов. Тот элемент массива, для которого значения ХН}.га1 и Хягаз4 совпали, является искомой неподвижной точкой. В ходе расчетов было установлено, что для выбранных численных значений параметров искомое значение Хц равно 2.133 м/с. График, иллюстрирующий нахождение этого значения, представлен на рис. 9: экспериментальная кривая пересекается с биссектрисой первого координатного угла, точка пересечения и является искомой скоростью Хц.

Рис. 9. Зависимость скорости Хягав4 от начального значения Хц,.

first

Интегрирование системы производилось в пакете МайаЬ с помощью встроенной функции ode45. В результате моделирования, проведенного для найденного значения Хц = 2.133 м/с, было построено численное решение для двадцати шагов, что соответствует прохождению роботом четырех ступеней. Последовательность наиболее характерных состояний робота на протяжении двадцати шагов представлена на рис. 10.

Рис. 10. Последовательность состояний робота при движении по поверхности с препятствием

На рис. 11 представлены графики изменения обобщенных координат звеньев робота на протяжении 20 шагов, на рис. 12 — графики обобщенных скоростей, на рис. 13 — графики управляющих воздействий.

в) дэ2

г) 941

д) 942

Рис. 11. Графики изменения обобщенных координат в пределах 20 шагов

а) шп

б) шзх

в) Ш32

г) Ш4х

д) ^42

Рис. 12. Графики изменения обобщенных скоростей в пределах 20 шагов

а) и1

б) и2

в) из

г) и4

Рис. 13. Графики изменения управлений в пределах 20 шагов

Заключение

Рассмотрена проблема управления плоским перемещением пятизвенного двуногого шагающего робота по поверхности, представляющей собой периодическое чередование горизонтальных участков и препятствий в виде ступеней. Движение двуногого шагающего робота по указанной поверхности описывается гибридной системой с управлением. Эта система включает в себя систему обыкновенных дифференциальных уравнений на фазе од-ноопорного движения и алгебраическое соотношение на фазе перехода. Для фазы одноопор-ного движения предложены выходы, равенство которых нулю отвечает движению робота с заданными характеристиками. Построены управления, стабилизирующие предложенные выходы за конечное время. Разработан алгоритм, позволяющий построить периодическое решение гибридной системы, описывающей поведение робота и замкнутой построенным управлением. Полученные результаты могут быть использованы для решения задач упра-

вления движением шагающих роботов по поверхности с препятствиями более сложной формы.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты №20-07-00279 и 19-07-00817).

Список литературы

1. Вукобратович М. Шагающие роботы и антропоморфные механизмы: пер. с англ. М.: Мир, 1976. 541 с. [Vukobratovic M. Legged locomation robots and anthropomorphic mechanisms. Beograd: Mihailo Pupin Inst. Publ., 1975. 308 p.].

2. Формальский A.M. Перемещение антропоморфных механизмов. М.: Наука, 1982. 368 с.

3. Белецкий В.В. Двуногая ходьба. Модельные задачи динамики и управления. М.: Наука, 1984. 288 c.

4. Охоцимский Д.Е., Голубев Ю.Ф. Механика и управление движением автоматического шагающего аппарата. М.: Наука, 1984. 312 с.

5. Spong M.W. Passivity based control of the compass gait biped // IFAC Proc. Volumes. 1999. Vol. 32, no. 2. Pp. 506-510. DOI: 10.1016/S1474-6670(17)56086-3

6. Rouchon P., Sira-Ramirez H. Control of the walking toy: a flatness approach // 2003 American control conf. (Denver, CO, USA, June 4-6, 2003): Proc. N.Y.: IEEE, 2003. Vol. 3. Pp. 20182023. DOI: 10.1109/ACC.2003.1243371

7. Spong M.W., Lozano R., Mahony R. An almost linear biped // 39th IEEE conf. on decision and control (Sydney, NSW, Australia, December 12-15, 2000): Proc. N.Y.: IEEE, 2001. Vol.5. Pp. 4803-4808. DOI: 10.1109/CDC.2001.914688

8. Cambrini L., Chevallerau C., Moog C.H., Stojic R. Stable trajectory tracking for biped robots // 39th IEEE conf. on decision and control (Sydney, NSW, Australia, December 12-15, 2000): Proc. N.Y.: IEEE, 2001. Vol. 5. Pp. 4815-4820. DOI: 10.1109/CDC.2001.914690

9. Hurmuzlu Y., Genot F., Brogliato B. Modeling, stability and control of biped robots - a general framework // Automatica. 2004. Vol. 40, no. 10. Pp. 1647-1664. DOI: 10.1016/j.automatica. 2004.01.031

10. Grizzle J.W., Abba G., Plestan F. Asymptotically stable walking for biped robots: analysis via systems with impulse effects // IEEE Transactions on Automatic Control. 2001. Vol. 46, no. 1. Pp.51-64. DOI: 10.1109/9.898695

11. Bhat S.P., Bernstein D.S. Continious finite-time stabilization of the translational and rotational double integrators // IEEE Transactions on Automatic Control. 1998. Vol. 43, no. 5. Pp. 678682. DOI: 10.1109/9.668834

12. Крищенко А.П., Ткачев С.Б., Фетисов Д.А. Управление плоским перемещением двуногого пятизвенного робота // Нелинейная динамика и управление: Сб. ст. / Под ред. С.В. Емельянова, С.К. Коровина. М.: Физматлит, 2003. Вып. 3. С. 201-216.

13. Plestan F., Grizzle J.W., Westervelt E.R., Abba G. Stable walking of a 7-DOF biped robot // IEEE Transactions on Robotics and Automation. 2003. Vol. 19, no. 4. Pp. 653-668. DOI: 10.1109/TRA.2003.814514

14. Westervelt E.R., Grizzle J.W., Koditschek D.E. Hybrid zero dynamics of planar biped walkers // IEEE Transactions on Automatic Control. 2003. Vol.48, no. 1. Pp. 42-56. DOI: 10.1109/TAC.2002.806653

15. Крищенко А.П., Ткачев С.Б., Фетисов Д.А. Управление плоским перемещением двуногого пятизвенного робота по лестнице // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. 2006. № 1. С. 38-64. Режим доступа: http://vestniken.ru/articles/349/349.pdf (дата обращения 23.08.2021).

16. Лапшин В.В. Механика и управление движением шагающих машин. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012. 199 с.

17. Grizzle J.W., Chevallereau C., Sinnet R.W., Ames A.D. Models, feedback control, and open problems of 3D bipedal robotic walking // Automatica. 2014. Vol. 50, no. 8. Pp. 1955-1988. DOI: 10.1016/j.automatica.2014.04.021

18. Isidori A. Nonlinear control systems. 3rd edition. B.; N.Y.: Springer, 1995, 550 p.

Mathematics and Mathematical Modeling, 2021, no. 3, pp. 1-28.

DOI: 10.24108/mathm.0321.0000270

© Vankina I. N., Fetisov D. A., 2021.

Mathematics & Mathematical Modelling

http://mathmelpub.ru ISSN 2412-5911

Planar motion of a five-link biped robot over a stepped surface Vankina I. N.1, Fetisov D. A.1*

Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russia * dfetisov@yandex.ru

Keywords: five-link biped robot, hybrid system, periodic solution

Received: 03.09.2021.

Modeling the anthropomorphic robot movement is of great interest to researchers all over the world. At the same time, the movement control of a walking mechanism is always a high dimension challenge. The difficulty with the anthropomorphic robot control is also caused by the fact that such a mechanism has always a hybrid dynamics and represents a sequential change of two phases: the single support phase and the double support phase (phase of changing robot's leg). At the single support phase and at another phase the behavior of the biped robot is described by a system of ordinary differential equations and by a system of linear algebraic equations, respectively.

The task of biped robot movement control has been studied in detail for the case when the robot moves over the horizontal surface. Obstacles make the task significantly complicated. The paper considers the movement control of the biped robot over the surface that is a periodic alternation of horizontal sections and obstacles. The obstacles represent steps of the same height known. It is assumed that the lengths of horizontal sections and steps are known as well. The objective is to create a control that provides robot's periodic movement over the specified surface according to inherent characteristics of a walking human.

For the single support phase, the outputs are proposed, the equality of which to zero corresponds to the robot's movement with a given set of characteristics. The paper presents the feedback controls that stabilize the proposed outputs for a finite amount of time. By choosing the feedback parameters, it is possible to adjust the stabilization time so that the outputs become equal to zero when reached the end of each step.

It is shown that for the chosen control law, the problem of constructing the control of robot's periodic movement is reduced to the solution of a nonlinear equation. In the paper, we discuss the approaches to solving this equation and present the results of numerical simulation.

The results obtained can be used to solve the problem of providing control of the biped robot movement over the surfaces with obstacles of a more complicated shape.

References

1. Vukobratovic M. Legged locomotion robots and anthropomorphic mechanisms. Beograd: Mihailo Pupin Inst. Publ., 1975. 308 p. (Russ. ed.: Vukobratovic M. Shagayushchie roboty i antropomorfnye mehanizmy. Moscow: Mir Publ., 1976. 541 p.).

2. Formal'skij A.M. Peremeshchenie antropomorfnyh mehanizmov [Movement of anthropomorphic mechanisms]. Moscow: Nauka Publ., 1982. 368 p. (in Russian).

3. Beletskij V.V. Dvunogaia hod'ba. Model'nye zadachi dinamiki i upravleniia [Bipedal walking. Model problems of dynamics and control]. Moscow: Nauka Publ., 1984. 288 p. (in Russian).

4. Okhotsimskij D.E., Golubev Yu.F. Mekhanika i upravlenie dvizheniem avtomaticheskogo sha-gayushchego apparata [Mechanics and motion control of an automatic walking apparatus]. Moscow: Nauka Publ., 1984. 312 p. (in Russian).

5. Spong M.W. Passivity based control of the compass gait biped. IFAC Proc. Volumes, 1999, vol. 32, no. 2, pp. 506-510. DOI: 10.1016/S1474-6670(17)56086-3

6. Rouchon P., Sira-Ramirez H. Control of the walking toy: a flatness approach. 2003 American control conf. (Denver, CO, USA, June 4-6, 2003): Proc. N.Y.: IEEE, 2003. Vol. 3. Pp. 20182023. DOI: 10.1109/ACC.2003.1243371

7. Spong M.W., Lozano R., Mahony R. An almost linear biped. 39th IEEE conf. on decision and control (Sydney, NSW, Australia, December 12-15, 2000): Proc. N.Y.: IEEE, 2001. Vol.5. Pp. 4803-4808. DOI: 10.1109/CDC.2001.914688

8. Cambrini L., Chevallerau C., Moog C.H., Stojic R. Stable trajectory tracking for biped robots. 39th IEEE conf. on decision and control (Sydney, NSW, Australia, December 12-15, 2000): Proc. N.Y.: IEEE, 2001. Vol. 5. Pp. 4815-4820. DOI: 10.1109/CDC.2001.914690

9. Hurmuzlu Y., Genot F., Brogliato B. Modeling, stability and control of biped robots - a general framework. Automatica, 2004, vol.40, no. 10, pp. 1647-1664. DOI: 10.1016/j.automatica. 2004.01.031

10. Grizzle J.W., Abba G., Plestan F. Asymptotically stable walking for biped robots: analysis via systems with impulse effects. IEEE Transactions on Automatic Control, 2001, vol. 46, no. 1, pp.51-64. DOI: 10.1109/9.898695

11. Bhat S.P., Bernstein D.S. Continious finite-time stabilization of the translational and rotational double integrators. IEEE Transactions on Automatic Control, 1998, vol. 43, no. 5, pp. 678-682. DOI: 10.1109/9.668834

12. Krishchenko A.P., Tkachev S.B., Fetisov D.A. Upravlenie ploskim peremeshcheniem dvuno-gogo piatizvennogo robota [Planar motion control of a biped five-link robot]. Nelinejnaia dinamika i upravlenie: Sbornik statej [Nonlinear dynamics and control: Digest of articles]. Moscow: Fizmatlit Publ., 2003. No. 3. Pp. 201-216 (in Russian).

13. Plestan F., Grizzle J.W., Westervelt E.R., Abba G. Stable walking of a 7-DOF biped robot. IEEE Transactions on Robotics and Automation, 2003, vol. 19, no. 4, pp. 653-668. DOI: 10.1109/TRA.2003.814514

14. Westervelt E.R., Grizzle J.W., Koditschek D.E. Hybrid zero dynamics of planar biped walkers. IEEE Transactions on Automatic Control, 2003, vol.48, no. 1, pp. 42-56. DOI: 10.1109/TAC.2002.806653

15. Krishchenko A.P., Tkachev S.B., Fetisov D.A. Planar motion control of a biped five-link robot along the stairs. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Estestvennye nauki [Herald of the BMSTU. Natural Sciences], 2006, no. 1, pp. 38-64. Available at: http://vestniken.ru/ articles/349/349.pdf, accessed 23.08.2021 (in Russian).

16. Lapshin V.V. Mekhanika i upravlenie dvizheniem shagayushchikh mashin [Mechanics and motion control of walking machines]. Moscow: BMSTU Publ., 2012. 199 p. (in Russian).

17. Grizzle J.W., Chevallereau C., Sinnet R.W., Ames A.D. Models, feedback control, and open problems of 3D bipedal robotic walking. Automatica, 2014, vol. 50, no. 8, pp. 1955-1988. DOI: 10.1016/j.automatica.2014.04.021

18. Isidori A. Nonlinear control systems. 3rd edition. B.; N.Y.: Springer, 1995, 550 p.