Пластина с отверстием в состоянии упругости, пластичности и ползучести Текст научной статьи по специальности «Физика»

ЭНЕРГОМАШИНОСТРОЕНИЕ

I

УДК 539.4

ПЛАСТИНА С ОТВЕРСТИЕМ В СОСТОЯНИИ УПРУГОСТИ, ПЛАСТИЧНОСТИ И ПОЛЗУЧЕСТИ

В.Н. ШЛЯННИКОВ, Б.В. ИЛЬЧЕНКО, Н.В. БОЙЧЕНКО, А.М. ТАРТЫГАШЕВА Казанский государственный энергетический университет

Представлено численное решение классической задачи концентрации напряжений при нелинейном деформировании пластины с отверстием при мягком и жестком нагружениях. Получены закономерности изменения коэффициентов концентрации напряжений и деформаций в условиях упругости, маломасштабной и развитой пластичности и ползучести. Установлен характер изменения параметров напряженно-деформированного состояния по стадиям ползучести. Представленные численные результаты получены по методу аддитивной декомпозиции полной деформации на составляющие различной природы. Показаны различия в поведении пластины с отверстием при мягком и жестком нагружениях по диаграмме упруго-вязко-пластичного состояния.

Круговое отверстие является типовым концентратором напряжений для роторов дисков паровых турбин, подверженных в эксплуатации сложному термосиловому нагружению, обуславливающему возникновение деформаций пластичности и ползучести. Рассмотрение решения задач концентрации напряжений и деформаций в элементах конструкций традиционно начинается с задачи Кирша, которая имеет точное аналитическое решение в упругой постановке. В этой задаче объектом расчетов является пластина с центральным отверстием при одноосном растяжении. Напряженно-деформированное состояние пластины с типовым концентратором напряжений, каковым является круговое отверстие, достаточно подробно изучено в упругой постановке и менее детально -при нелинейном деформировании [1, 2, 3]. В этой связи основное внимание уделим концентрации напряжений и деформаций в состояниях пластичности и ползучести. Упругое решение будет приведено в качестве сравнения с точным аналитическим решением.

Рис.1. Расчетная схема МКЭ пластины с отверстием

© В.Н. Шлянников, Б.В. Ильченко, Н.Б. Бойченко, А.М. Тартыгашева Проблемы энергетики, 2004, № 1-2

Внешние обводы и расположение центрально-симметричного кругового отверстия в расчетной схеме МКЭ, сформированной с использованием изопараметрических элементов второго порядка, показаны на рис. 1. В случае нагружения пластины одноосными растягивающими номинальными напряжениями величиной ст = 100 МПа расчет по МКЭ показывает, что максимальные растягивающие упругие напряжения возникают на контуре отверстия в сечении, проходящем через начало координат и расположенном по нормали к направлению приложенных номинальных напряжений. Величина этих

напряжении составляет а„

= 309 МПа, следовательно, вычисленный

коэффициент концентрации упругих напряжений равен К = сттах/ст = 3.09.

Теоретический коэффициент концентрации упругих напряжений может быть найден из выражений, описывающих распределение компонент радиальных и окружных напряжений в области центрального кругового отверстия при произвольном двухосном нагружении [4],

сте =-

ст

ст *>= і

(1 + п)

(і+П (і-П

і -

V Р2/ 2

-(1 -П

г 2 4 4

і - 4 і:_+з р2 р4/

і2Є

1 + -

Р

+(і-П

1 + 3-

4

Р4

cos2e

24 1 + 2 — - 3 —

. Р2 Р4/

sin 2Є

(1)

ст

2

Расчет по формулам (1) для случая одноосного растяжения на контуре отверстия (т.е. при r = р) в центральном сечении при 0 = 0 представляет значение теоретического коэффициента концентрации упругих напряжений аа = а0/а = 3,0. Таким образом, можно отметить, что аналитические и численные результаты достаточно хорошо соответствуют друг другу. Напомним, что при упругом деформировании коэффициенты концентрации напряжений и деформаций совпадают друг с другом. При нелинейном деформировании в состояниях пластичности и ползучести эти характеристики напряженно-деформированного состояния имеют уже различный характер поведения в зависимости от уровня приложенных напряжений, истории нагружения и свойств материала.

В связи с этим рассмотрим закономерности изменения упруго-пластических коэффициентов концентрации напряжений и деформаций в пластине с отверстием при одноосном растяжении. Расчетная схема МКЭ оставлена без изменений, а набор основных свойств материала дополнен характеристиками пластичности и ползучести. Считалось, что пластина изготовлена из роторной стали Р2М, которая при температуре Т = 550 °С имеет предел текучести ст0.2 = 460 Мпа, показатель деформационного упрочнения n = 3,94, константы ползучести m = 2,476 и B = 1,408 х 10-12. Расчеты при упруго-пластическом состоянии выполнены при изменении номинальных напряжений, нормированных на предел текучести, в диапазоне ст = ст / а 0,2 е(0,22 - 0,87), т.е. от

маломасштабной до развитой пластичности. Для каждого из уровней номинальных напряжений, принадлежащих этому диапазону, проведены расчеты кинетики напряжений и деформаций по стадиям нагружения при ползучести в течении t = 10; 102; 103; 5х103; 104; 5х104 час. Для всего этого комплекса временных

и силовых параметров варьировались также способы воздействия на пластину, т.е. пластина нагружалась или внешними постоянными усилиями (так называемое мягкое нагружение), или задавались постоянные на внешнем контуре пластины граничные перемещения (так называемое жесткое нагружение). Понятно, что в условиях ползучести в частном случае при * = 0 (в начальный момент времени) имеет место обычное упруго-пластическое деформирование вне зависимости от способа нагружения пластины. Во всех остальных случаях, при * > 0, определяющим для мягкого нагружения будет состояние ползучести, а для жесткого нагружения - состояние релаксации напряжений. Коэффициенты концентрации напряжений и деформаций определялись как отношения максимальных напряжений и деформаций, достигнутых в определенный момент времени, соответственно к их номинальным значениям при заданном уровне начальных усилий или перемещений.

Для получения сопоставимых результатов по относительным уровням приложенных номинальных напряжений, при моделировании условий жесткого нагружения, постоянные перемещения внешнего контура пластины задавались так, чтобы на каждом из рассмотренных уровней относительных напряжений ст/ст0 выполнялось равенство условных упругих напряжений в зоне концентрации при мягком и жестком нагружениях.

На рис. 2 представлены поверхности коэффициентов концентрации напряжений для ситуаций мягкого (рис. 2, а) и жесткого (рис. 2, Ь) нагружений. В горизонтальной плоскости вдоль одной оси отложены относительные (нормированные на предел текучести ст0) номинальные напряжения, а вдоль другой - логарифм времени выдержки под нагрузкой. При мягком нагружении (рис. 2, а) для каждого уровня долговечности имеет место общая тенденция снижения величин коэффициентов концентрации упруго-пластических

напряжений а=сттах/стя с увеличением относительных номинальных напряжений

а/ст0. При этом влияние наработки при ползучести различным образом сказывается на поведение а = сттах / стп при фиксированных значениях ст/ст0. Так для относительно малого уровня номинальных напряжений с увеличением наработки при ползучести происходит снижение коэффициентов концентрации напряжений при мягком и жестком нагружениях. В ситуации, близкой к полномасштабной текучести при ст/ст0 = 0,87, коэффициенты концентрации напряжений при мягком нагружении возрастают с течением времени ползучести. В противоположность этому при жестком нагружении (рис. 2, Ь) происходит постепенное снижение концентрации напряжений по времени.

/\\ 20- ^ 'Як

\л 1\ 15"

(\Ш Р \Vn\a 10'

АА

2.0

а) Ь)

Рис. 3. Поверхности коэффициентов концентрации деформаций

Для коэффициентов концентрации деформаций (рис. 3) наблюдается противоположный характер изменения по отношению к коэффициентам концентрации напряжений при одинаковых значениях варьируемых параметров нагружения. Для каждого уровня долговечности при обоих вариантах нагружения с увеличением относительных номинальных напряжений происходит рост концентрации упруго-пластических деформаций. При мягком нагружении (рис. 3, а) имеет место однонаправленная тенденция увеличения коэффициентов концентрации деформаций в = втах / вп с увеличением долговечности. При жестком нагружении (рис. 3, Ь) наблюдаются противоположные тенденции изменения в = втах / вп в зависимости от ст/ст0 по стадиям ползучести. Кроме того, при высоком уровне номинальных напряжений ст/ст0 = 0,87 снижение

концентрации деформаций происходит только до определенного предела на долговечности 1 = 103час, и при дальнейшем увеличении длительности

нагружения коэффициенты концентрации деформаций остаются без изменений.

Напомним, что наделение материала одновременно свойствами упругости, пластичности и ползучести предопределяет необходимость использования модели среды со сложной реологией. Для реологически сложных сред расчет деформаций может быть выполнен путем мультипликативной декомпозиции градиентов

деформации или путем аддитивной декомпозиции деформаций на составляющие. Мультипликативная декомпозиция, как правило, используется в том случае, когда имеют место большие упругие деформации. Аддитивное разложение более удобно для ситуации с малыми упругими деформациями. Поскольку металлические материалы в состояниях пластичности и ползучести имеют малые упругие деформации, то в конечно-элементном комплексе ANSYS для реологически сложных сред (при сочетании ползучести и изотропного упрочнения) использована аддитивная декомпозиция деформаций в качестве модели описания неупругого поведения материалов [5, 6]

8 total =е elastic +s plastic +s creep. (2)

Здесь упругие и пластические деформации, а также деформации ползучести определяются независимо друг от друга. Все они зависят только от текущего напряженно-деформированного состояния в данный момент времени. Деформации ползучести и пластические деформации являются нелинейными. Кроме того, деформации ползучести, сами по себе, не связаны с традиционным пределом текучести, для их дальнейшего развития не требуется более высокого уровня напряжений и они не обуславливают пластического упрочнения материала. В то же самое время пластические деформации связаны с пределом текучести, для их дальнейшего роста требуется более высокий уровень напряжений и они обуславливают пластическое упрочнение материала. Составляющие полной деформации, входящие в уравнение (2) в наиболее общем случае сложного напряженного состояния, могут быть представлены следующим образом.

Имея в виду совместное представление нелинейных деформаций разной природы в одном уравнении, введем новые обозначения в конституционных соотношениях одноосного растяжения. Модель упруго-пластического деформирования Рамберга-Осгуда представим в виде

где а и т - константы упрочнения; ау - предел текучести материала. Обобщение соотношения (3) на ситуацию произвольного сложного напряженного состояния записывается как

В инкрементальной форме согласно теории течения уравнение (4) примет

вид

f \т

8 СТ СТ

(3)

=---+ а

8 у СТ у у у

(4)

г \т-2

или

та

а*

т—2

Л

іі а е

Е а

(6)

V

Конституционное соотношение одноосного растяжения для нелинейно-упруго-вязкого материала, согласно теории течения, перепишем в виде

с

В =-+ 8 0

Е 0

с

а 0

О п п

или 8 =---+ Вс ,

Е

(7)

где В и п - соответственно коэффициент и показатель изохронной кривой ползучести при заданной температуре; ст ц, в ц- взаимосвязанные характеристики для одной конкретной кривой ползучести при данной температуре. Обобщение на ситуацию произвольного сложного напряженного состояния, по теории течения, может быть представлено как

1 + V & 1 — 2у. с

8 іі = ~^ЛУ +~^~ а рр °у + ТВ 0

З Е

3 .

— I 2

Ґ

а 0 у

п—1

і а 0

(8)

1 + V & 1 — 2^ . „ 3 _ п—1 о

или Вц =----------Лц +-----------а „„Оц +— Вое Л;

Е

З Е

'РР”У

(9)

В приведенных выше соотношениях Бу - девиатор напряжений, а

ст е = (з/ 2 Бу )/2 - интенсивность или эквивалентные напряжения.

Следуя уравнению (2) и с учетом формул (4-6) и (8-9), окончательно получим суммарные (полные) деформации для термовязкоупругопластичной среды в виде

1 + V & 1 — 2v .

В =--------------------Л +--------------------------<7

Е

З Е

РР”У

3 . а п—1 3 а е

ТВ 0 + та

2 Vа 0 а 0 2 .а V .

т—2

Л 7е

13 іі Є

Е а у

(10)

или

1 + V & 1 — 2^ . 3 _ п—1 о 3

Вї =-^*&» +“^СТ РР0 іі + 2 ВС е Ліі + 2 та

а е

а,

т—2

Лі <С е

Е—• |П|

Е а у

В данном разделе расчетов на основе комплекса А^У8 использован именно аддитивный принцип разложения полной деформации на составляющие упругости, пластичности и ползучести согласно уравнению (11).

п

2

0.100

гс

ш

0.001

0.000

: ст/о0 = 0.87 У

_

: £ е1ав^с

' е

сгее|)

^ © . . . . . . ■ ««< •

10

100 время (час)

1000

10000

Рис. 4. Изменение компонент полной деформации по времени ползучести

На рис. 4 представлена иллюстрация этого принципа в приложении к двум вариантам расчета пластины с отверстием при мягком нагружении относительными номинальными напряжениями ст/ст0 = 0,66 и ст/ст0 = 0,87. Можно

заметить на рис. 4, а, что интенсивное накопление суммарных деформаций происходит после достижения долговечности более 2000 час., когда нелинейные деформации пластичности и ползучести становятся сопоставимы между собой. Далее деформации ползучести развиваются опережающими темпами по отношению к пластическим деформациям. Из рис. 4, Ь для ст/ст0 = 0,87 следует, что при достаточно высоком исходном уровне пластических деформаций наложение деформаций ползучести меняет ситуацию для суммарных деформаций при более высоких уровнях долговечности.

Наглядное представление о характере изменения максимальных напряжений и суммарных (полных) деформаций в зоне концентрации по стадиям ползучести при мягком и жестком нагружениях можно получить по диаграмме, представленной (рис. 5), в координатах максимальные напряжения -

максимальные суммарные деформации на контуре отверстия. По ней можно совершенно четко отметить характерные отличия в поведении диаграмм деформирования в зоне концентрации при мягком и жестком нагружениях.

Рис. 5. Зависимости между интенсивностями напряжений и деформаций при мягком и жестком погружении

Общей для жесткого нагружения является тенденция резкого падения напряжений с увеличением времени наработки при ползучести. Это обусловлено интенсивным перераспределением напряжений и деформаций в зоне концентрации. При относительно малом уровне приложенных номинальных напряжений ст/сто = 0,22, т.е. для условий сочетания упругости и ползучести,

наблюдается умеренный прирост односторонне накопленных суммарных деформаций с течением времени. Подобный прирост становится все менее заметным с увеличением уровня приложенных номинальных напряжений ст/ст0. Такой механизм релаксации напряжений может быть объяснен следующим образом.

Для выполнения заданных граничных условий жесткого нагружения, которые сформулированы как условие постоянства заданных перемещений на внешнем контуре пластины, необходимо компенсировать возникающие в результате ползучести положительные деформации, что может быть достигнуто путем возврата границ пластины в исходное положение за счет реактивных усилий обратного знака. Алгебраическая сумма усилий, приложенных в начальный момент времени и обеспечивших заданный уровень начальных смещений, и компенсационных реактивных усилий, необходимых для выполнения заданных кинематических граничных условий, с течением времени ползучести будет постоянно уменьшаться, приводя, в итоге, к падению уровня действующих максимальных напряжений в зоне концентрации на контуре отверстия.

При мягком нагружении для малых и средних уровней приложенных номинальных напряжений а/ст0 = 0,22 - 0,44 на первоначальной стадии деформирования до долговечности t » 103 час. происходит незначительная релаксация напряжений при одновременном росте односторонне накопленных деформаций ползучести (рис. 4). При превышении этого уровня долговечности имеет место ситуация установившейся ползучести. Отметим, что для условий нагружения ст/ст0 = 0,44; 0,66; 0,87 в начальный момент времени t = 0 уже возникают нелинейные пластические деформации за счет превышения действующими максимальными напряжениями в зоне концентрации предела текучести для данного материала, равного ст0 = 460 Мпа. Для кривой деформирования при ст/ст0 = 0,66 характерной является ситуация установившейся ползучести с постоянным значением максимальных напряжений в зоне концентрации почти для всего диапазона долговечности. При высоком уровне приложенных номинальных напряжений ст/ст0 = 0,87 наблюдается постоянный значительный одновременный рост максимальных напряжений и суммарных деформаций с увеличением времени выдержки под нагрузкой.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 03-01-96233) и Академии наук и Фонда НИОКР Республики Татарстан (код проекта 05-5.3-218/2003 (Ф)).

Summary

Elastic and nonlinear detailed stress and strain field analysis is carried out for circle hole area subjected to fixed loads and to fixed displacement. An additive decomposition of total strains on elastic, plastic and creep components is used. Stress-strain state analysis is represented for different stage of lifetime under both considering loading conditions. The behavior of both stress and strain density ratios near the hole surface in an elastic-plastic-viscous material under two type loading conditions is established.

Литература

1. Нейбер Г. Концентрация напряжений. - Л.: Огиз, 1947. - 216 с.

2. Мавлютов Р.Р. Концентрация напряжений в элементах авмационных конструкций. - М.: Наука, 1981. - 141 с.

3. Махутов Н.А. Деформационные критерии разрушения и расчет элементов конструкций на прочность. - М.: Машиностроение, 1981. - 272 с.

4. Максимов В.А., Шлянников В.Н., Симагин А.Н. Анализ напряженно-деформированного состояния методом конечных элементов плоских образцов при двухосном нагружении // Известия вузов. Авиационная техника.- 1983. - № 2. - С. 56-61.

5. ANSYS Structural Analysis Guide. 001245. Fifth Edition. SAS IP, Inc, 1999.

6. ANSYS Theory Reference. 001242. Eleventh Edition. SAS IP, Inc., 1999.

Поступила 27.10.2003