CC BY
124
УДК 620.16
Силовая и деформационная модели иоврежденности и разрушения
при иолзучести
В.Н. Шлянников, А.В. Туманов
Институт энергетики и перспективых технологий, ФИЦ Казанский научный центр РАН, Казань, 420111, Россия
Разработаны и реализованы в конечно-элементном комплексе ANSYS силовая и деформационная модели скорости накопления деформаций и повреждений при ползучести. Объектами численных расчетов выступали плоская пластина со сквозной прямолинейной трещиной при двухосном нагружении, а также трехмерный компактный образец при внецентренном растяжении. На основе полученных полей напряженно-деформированного состояния рассчитаны значения контурного /„-интеграла в области вершины трещины, а также распределения коэффициента интенсивности напряжений по стадиям ползучести. Установлены различия в поведении этих параметров в зависимости от формулировки функции повреждений. Показана возможность применения коэффициента интенсивности напряжений при ползучести в качестве характеристики сопротивления разрушению, чувствительной к используемой модели и уровню накопленных повреждений, виду двухосного нагружения и свойствам материала.
Ключевые слова: теория предельного состояния, нелинейный коэффициент интенсивности напряжений, накопление повреждений, ползучесть
DOI 10.24411/1683-805X-2018-13008
Force and deformation models of damage and fracture during creep
V.N. Shlyannikov and A.V. Tumanov
Kazan Scientific Center RAS, Kazan, 420111, Russia
In the work, we develop and implement force and deformation models of the strain and damage accumulation rates during creep with the use of the ANSYS finite-element analysis software. Numerical calculations are performed on a flat plate with a through rectilinear crack under biaxial loading and on a three-dimensional compact specimen under eccentric tension. The obtained stress-strain state fields are used to calculate the contour /„-integral in the vicinity of the crack tip as well as the distribution of the stress intensity factor for the creep stages. It is found that these parameters behave differently depending on the damage function formulation. It is shown that in creep the stress intensity factor can be used as a fracture resistance characteristic, sensitive to the used model and the accumulated damage level, due to biaxial loading and material properties.
Keywords: limit state theory, nonlinear stress intensity factor, damage accumulation, creep
1. Введение
При высоких температурах образование и рост пор приводят к их объединению, что в свою очередь обуславливает накопление и рост повреждений при ползучести. В литературе известны модели описания процессов накопления повреждений в твердых телах, а также напряженно-деформированного состояния в вершине трещины дефектного материала. Основные принципы механики повреждений были заложены в работах Л.М. Качанова [1] и Ю.Н. Работнова [2]. Авторы работ [3-8] предоставили возможность объединить в общую
модель процессы механики разрушения на различных структурных уровнях — от инициации разрушения, вызванного ростом и объединением пор на микроуровне, до разрушения тела при достижении макротрещины критических размеров.
По мере развития представлений появилась возможность учета вида напряженно-деформированного состояния материала и анизотропии свойств в моделях развития и накопления повреждений. В работе [9] представлен подробный обзор существующих моделей для изотропных и анизотропных материалов для трех раз-
© Шлянников В.Н., Туманов А.В., 2018
личных стадий ползучести, а также их сочетаний. В современных работах [10, 11] экспериментально показано, что разрушение на третьей стадии ползучести происходит в условиях структурного распада материала, когда в условиях сильной кривизны решетки в междоузлиях возникают бифуркационные структурные состояния и скорость ползучести резко возрастает. Наиболее популярной в силовой трактовке считается модель [12], а в деформационной трактовке — модели [6] и [13]. Основным преимуществом данных моделей является то, что они позволяют учитывать многоосность нагружения. Однако они применимы только ко второй стадии ползучести и не учитывают эффекты, описанные в [10, 11, 14]. Классические и современные модели, учитывающие эффекты многоосного нагружения для различных стадий ползучести, представлены в работах [7, 8, 12, 13, 15-17].
В работе [4] автор представил определяющее уравнение скоростей деформаций при ползучести, основанное на рассмотрении микромеханики накопления повреждений. Позднее предложенная модель была представлена в работе [18] в обобщенной форме, включающей в себя ряд ранее разработанных моделей. Используя деформационный критерий разрушения, авторы [8] предложили определяющее уравнение ползучести, позволяющее учитывать взаимодействие микротрещин, основанное на коэффициенте многоосности при ползучести. Данные уравнения были использованы для анализа влияния поврежденности на напряженно-деформированное состояние в области вершины макротрещины для маломасштабной и развитой ползучести.
В работе [4] было рассмотрено влияние образования и объединения пустот в области вершины стационарной трещины на поля сингулярных напряжений и скоростей деформации. На основе уравнения Качанова авторы работы [18] разработали модель пористого материала, позволяющую учитывать процессы кавитации и взаимодействие микротрещин. Данная модель была введена в программный комплекс расчетов по методу конечных элементов в виде зависимости между напряжениями (или скоростями деформаций) и поврежденностью, что позволило провести анализ стационарных и развивающихся трещин. В работах [19, 20] авторы провели асимптотический анализ роста трещины ползучести при нормальном отрыве, основанный на механике накопления повреждений. Было изучено влияние управляющих параметров определяющих уравнений и критериев разрушения на напряженно-деформированное состояние в области вершины трещины для нелинейных материалов.
Развитие механики повреждений стимулировано приложениями в инженерных расчетах по оценке несущей способности элементов конструкций. В связи с этим ряд работ посвящен разработке моделей, позво-
ляющих предсказывать поведение развивающихся трещин при ползучести на основе микромеханики накопления повреждений. Авторы работ [7, 21] предложили деформационные модели скорости роста трещины при одноосном и многоосном нагружении, основанные на развитии и накоплении повреждений в области ее вершины. Данные модели широко использовались для прогнозирования скорости роста трещины в условиях установившейся ползучести при различных свойствах материалов [22-24]. Авторы [25] разработали модель, позволяющую учесть взаимодействие усталости и ползучести. В основе данной модели лежит принцип суперпозиции повреждений от усталостных нагрузок и повреждений, вызванных ползучестью материала. Теория исчерпания запаса пластичности была использована для определения вклада ползучести в общее состояние поврежденного материала. В работе [8] предложена модель накопления повреждений при ползучести в условиях многоосного нагружения, которая была использована для расчета полей поврежденности вдоль фронта трещины, расположенной в компактном образце. Авторы [26] рассмотрели влияние эффектов стеснения на скорость роста трещины при ползучести в образцах различной геометрии.
В некоторых исследованиях были предприняты попытки связать экспериментально измеренные или полученные в результате численного анализа скорости роста трещины с упругими или нелинейными управляющими параметрами механики трещин. Упругий коэффициент интенсивности напряжений часто используется для описания скорости роста трещины при ползучести в условиях кратковременных или малых нагрузок. Для условий начальной стадии ползучести было показано, что С(г)-интеграл может быть выражен непосредственно через коэффициент интенсивности напряжений и использован для описания полей напряжений и деформаций вязкоупругих тел [27]. Из-за сложности описания переходных процессов маломасштабная и развитая ползучесть рассматривались раздельно. Как и в пластичных материалах, для условий развитой ползучести был получен С*-интеграл на основе аналогии Хоффа путем замены деформаций на их скорости. В работе [28] получено решение для тела бесконечных размеров, содержащего сквозную прямолинейную трещину. В литературе можно найти решения С*-интеграла для различных геометрий испытательных образцов [5, 29-31], включая соответствующие стандарты на проведение испытаний для определения скорости роста трещины при ползучести и взаимодействии усталости и ползучести [32, 33]. Однако часто для интерпретации экспериментальных результатов для ползучести используются различные решения С-интеграла, который не учитывает эффекты накопления повреждений в области вершины трещины.
В настоящей работе механика накопления повреждений применена для анализа состояния материала в области вершины трещины при ползучести в условиях многоосного нагружения. Комплексная оценка влияния микроповреждений на состояние тела с трещиной включала в себя обоснование модели напряженно-деформированного состояния в области вершины трещины с учетом силовых и деформационных вариантов записи теории многоосного разрушения, формулировку уравнений эволюции повреждений и определяющих уравнений скорости деформаций с учетом поврежден-ности материала и, наконец, численные расчеты состояния пластины и компактного образца для различных стадий ползучести. Обоснована возможность использования коэффициента интенсивности напряжений при ползучести в качестве меры сопротивления разрушению, чувствительной к процессам накопления повреждений при их интерпретации в силовой и деформационной трактовке.
2. Модели накопления повреждений при ползучести
2.1. Разрушение при многоосном нагружении
Опыты по растяжению и сжатию чистых металлов, углеродистых и специальных сталей при высоких гидростатических давлениях показали, что сопротивление разрушению при больших пластических деформациях возрастает с увеличением гидростатического сжатия. Увеличение гидростатического давления приводит к возрастанию предела прочности и заметному расхождению обобщенных кривых деформирования. Наступление предельного состояния обусловлено способностью материала оказывать сопротивление как касательным, так и нормальным напряжениям [15]. Следует отметить, что роль касательных напряжений тем меньше, чем ближе состояние к идеально хрупкому. И наоборот, за критерий прочности материала, находящегося в идеально пластичном состоянии, могут быть приняты функции только касательных напряжений. Исходя из этого можно сделать вывод, что критерии прочности материалов следует искать в виде инвариантных по отношению к напряженному состоянию функций касательных напряжений, максимального нормального напряжения и некоторых констант материала, количество которых в расчетном уравнении должно быть минимальным.
Экспериментальные результаты испытаний различных материалов при одноосном растяжении показывают, что связь между напряжением и временем до разрушения может быть представлена в виде степенного соотношения
г = Аа-8, (1)
где А и 8 — константы материала, не зависящие от на-
пряжений. Испытания материалов в диапазоне температур показали, что константа 8 связана с показателем степени в уравнении Нортона и приблизительно равна 8 = 0.7п. В работе [12] показано, что в случае многоосного нагружения константа А является функцией инвариантов тензора напряжений
г = А{аа + + у^У8, (2)
где а1 — максимальные главные напряжения; J1 и J2 — первый и второй инварианты тензора напряжений соответственно; а, в, у — константы, а + в + у = = 1. В терминах главных напряжений J1 и Уг можно представить в следующем виде:
Jl =^1 + а 2 + ,
1 Г 2 2 2 ~1 (3)
J2 =7" (а + СТ2) + (СТ2 +аэ) + (аз +СТ1)
где а1, а2 и а3 — главные напряжения. Наиболее общим критерием разрушения при многоосном разрушении считается критерий Писаренко-Лебедева [15], который объединяет в себе первую и четвертую теории прочности (теорию максимальных главных напряжений и теорию максимальных эквивалентных напряжений):
СТе1Т = (1 -Х) а& +xаe, (4)
в которой х — экспериментальная константа материала, определяемая как отношение предельных напряжений при одноосном растяжении к предельным напряжениям при сжатии. При хрупком разрушении х = 0, в условиях идеальной пластичности х = 1. Автор [12] отметил, что в общем случае многоосного нагружения механизм разрушения на микроуровне при ползучести должен быть чувствителен к максимальным главным напряжениям и выражать чувствительность различных материалов к финальному разрушению или росту трещины. Анализ моделей разрушения при ползучести показывает, что в общем случае функция напряжений, удовлетворяющая вышеобозначенным условиям, может быть представлена в двух частях:
1) в первом квадранте растяжение-растяжение плоскости двухосных разрушающих напряжений поведение будет описываться комбинацией критериев максимальных гидростатических напряжений и эквивалентных напряжений:
а[+) =(1 -Х) акк +хае> (5)
2) во втором квадранте растяжение-сжатие поведение может быть описано комбинацией максимальных главных и эквивалентных напряжений в форме критерия Писаренко-Лебедева [15]:
f = (1 -X) Ol + X°e
где
Okk = O1 + O2 +O3 = 3om >
Sij = Oj 8j >
Oe =
—Sij Sij 2 j j
12
(6)
от — гидростатические напряжения; ое — эквивалентные напряжения по Мизесу; о- — тензор напряжений; Sij — девиатор напряжений; 5- — символ Кро-некера.
Подставив уравнения (3) в уравнения (5) и (6) и полагая Х = о2/о1, функцию предельных напряжений можно представить в следующем виде: для плоского напряженного состояния
(+)
(-)
=
(1 -х)(1 + Х) + xil-Х + Х
(1 -х)+%Vl-X+X
(8) (9)
для плоской деформации
(+)
=CTfr [(1 -х)(1+ Х)(1+V) +
+ X>/l-Х+Х2 +V(1+V)(1+Х2)
(10)
(-)
(1 -х)+
+ xV 1 -Х+Х2 +V(1+V)(1+Х2)
(11)
Если положить, что 21 = о^ о0, где о0 — напряжение разрушения при одноосном нагружении, то значение разрушающих напряжений при сложном напряженном состоянии может быть определено как функция значений управляющего параметра
На рис. 1 представлены результаты расчетов предельных состояний для случаев плоского напряженного состояния и плоской деформации по уравнениям (8)-(11). При постоянном времени выдержки под нагрузкой частные случаи (8)-(11) уравнений (5) и (6) показывают чувствительность к виду двухосного нагружения и свой-
ствам материала %. Таким образом, для получения константы материала, которая определяет поведение функции напряжений в случае многоосного нагружения в виде уравнений (5) и (6), необходимо провести два вида стандартных испытаний. Первое испытание позволит определить предельные напряжения одноосного растяжения. Второе направлено на определение предельных напряжений в случае одноосного сжатия. Как видно из рис. 1, чувствительность материала к изменению предельных напряжений при проведении этих двух видов испытаний может описывать поведение материала во всем диапазоне многоосного нагружения.
2.2. Силовая модель функции накопления повреждений
В настоящей работе для описания поведения материала с учетом накопления повреждений в условиях ползучести за основу положены модели, предложенные в [1, 2]. Согласно этим моделям, скорость деформаций является функцией эквивалентных напряжений по Мизесу и параметра поврежденности и может быть записана в следующем виде:
d£,
eq _
dt
B
\n
eq 1 -ш
V У
(12)
где В, п — константы уравнения Нортона. Фактически уравнение (12) представляет собой уравнение Нортона с заменой напряжений Коши на эффективные напряжения о^, 0 < ш < 1 — параметр поврежденности, ш = 0 для неповрежденного материала и ш = 1 для полностью поврежденного материала; t — время ползучести.
В работе [34] представлено одно из обобщенных уравнений для моделей накопления повреждений:
£ = (13)
& (1 -шг)к (1-
(1-
ш)
В этом уравнении С, г, к, q, в — параметры материала. Подобная форма уравнения накопления повреждений удобна с точки зрения единообразной программной реализации различных моделей состояния поврежденных упруговязких материалов, используемых в конечно-элементных расчетах. Наиболее общей в литературе считается модель, предложенная автором [12]:
dro = C [aOi + 3ßOm + YOeq] dt ~
(14)
(1 + <р)(1 -ю)"
где а1 — главные напряжения; ат = 1/3 (ахх + а + + ст22) — гидростатические напряжения; sij — девиа-тор напряжений; аеч = 3/2 ( ЯуЯу) — эквивалентные напряжения; а, в, У, Х, Ф, С — параметры материала. В данной модели коэффициенты определяются равенством а + в + У = 1.
Чаще всего обобщенные уравнения имеют большое количество констант, определение которых предполагает проведение нестандартных видов испытаний. Литературный анализ показал, что общим для всех моделей эволюции поврежденности материала является наличие управляющего параметра полей повреждений. В упрощенном виде скорость накопления повреждений можно представить следующей формулой:
dю
■ = с ID-
dt I 1 -ю
(15)
Тогда в частном случае для первого квадранта диаграммы предельных напряжений управляющий параметр в функции накопления повреждений можно записать в следующей форме:
Df = f Om + (1 - f) °eq>
(16)
где / = 1 - х — коэффициент, который обеспечивает вариацию управляющего параметра функции накопления повреждений (15). В данном случае, когда / = 0, форма полей поврежденности задается эквивалентными напряжениями аеч, а при/ = 1 — гидростатическими напряжениями ат.
При отрицательных значениях коэффициента двух-осности номинальных напряжений в условиях растяжения-сжатия наиболее корректно описывает микроструктурные изменения критерий Писаренко-Лебедева. Согласно данному критерию, предельные поверхности во втором квадранте диаграммы предельных напряжений выстраиваются на основе взаимодействия первого и третьего инвариантов тензора напряжений. Тогда управляющий параметр в функции накопления повреждений в этом частном случае необходимо представлять в следующем виде:
D-= / СТ1 + (1 - /) аеЧ. (17)
Таким образом, итоговое уравнение управляющего па-
раметра функции накопления повреждений предлагается записать в следующем виде:
Д = / (к а + (1 - к)ат) + (1 - Г)а^, (18)
где к = (А +1)/2, А = а2/а1, тогда к = 0 при одноосном растяжении и к ^ 1 во втором квадранте диаграммы предельных напряжений.
Управляющий параметр х является константой материала, описывающей влияние многоосного состояния на поведение полей напряженно-деформированного состояния поврежденного материала. В случае х = 1 механизм разрушения управляется только эквивалентными напряжениями, в случае х = 0 — главными. Уравнения (12), (15) и (18) положены в основу численных расчетов полей напряженно-деформированного состояния с учетом поврежденности при ползучести.
2.3. Деформационная модель функции накопления повреждений
В деформационной трактовке модели накопления повреждений при ползучести, предложенной авторами [35], предполагается, что скорость накопления повреждений в рассматриваемой точке зависит от отношения скорости эквивалентных деформаций е'еч к значению предельных деформаций:
dro dt
(e' Л
= f
(19)
/
где = / (ат/ аеч) — предельные деформации ползучести, которые зависят от отношения гидростатических напряжений к эквивалентным. Предельные деформации при многоосном нагружении можно выразить через предельные деформации при одноосном нагружении
f0-
(
Ef = Ef о exp
3O
Л
2o
eq
(20)
Авторы [36] доказали, что предельные деформации являются также функцией показателя степени в уравнении Нортона:
Ef = Ef0 sinh| —
2 n - 0.5
sinh
3 n + 0.5
n - 0.5 a„ n + 0.5 ст„,
J
-1
(21)
Однако данное выражение имеет ограниченный диапазон решения и не применимо в полном диапазоне многоосного нагружения, т.к. приводит к некорректным результатам при отрицательном коэффициенте двух-осности п = Ру/Рх - -1. В работе [37] автор модифицировал уравнение (21), что позволило применять его в полном диапазоне двухосного нагружения, и привели его к следующему виду:
х
2 n -0.5
ef = ef0 expl--
f f0 1 3 n + 0.5
( (
exp
n - 0.5 an n + 0.5 ü„
J
(22)
Предельные деформации в уравнении (22) можно определить из отношения, полученного в работе [37]. В данной работе автор установил, что зависимость между отношением скорости деформаций к предельным деформациям и временем до разрушения в случае одноосного нагружения имеет линейный характер:
ntf
-f0
= а.
(23)
При этом автор, рассмотрев несколько различных материалов, пришел к выводу о том, что значение коэффициента а = 0.3 остается постоянным. Таким образом, зная уровень приложенных напряжений при одноосном нагружении и располагая константами уравнения Нортона, можно записать значения предельных деформаций при одноосном нагружении следующим образом:
en = Bü„
а
(24)
где оп — уровень действующих номинальных напряжений.
Используя обобщенный критерий критических напряжений в форме Писаренко-Лебедева, в работе [38] было предложено следующее уравнение предельных деформаций, учитывающее многоосность нагружения:
Г п \п
ef
-f0
1 -х+хп
для плоского напряженного состояния
b = -£(1+q)+S2-q+q2, ^=62 = Х-V e, 1 -Хv'
S = ^ =
v(l + Х)
" l ^v '
П = >/1-Х + Х, для плоской деформации
Ь =
Х(1 -v )-v(l + v)
2 ' l-v ^v(l + v)
4
П = V l-Х + Х2 +v(v-l)(l + Х)2'
(25)
(26)
(27)
(28)
(29)
(30)
(31)
(32)
где X = о2/ о1 — отношение главных напряжений.
В настоящей работе предлагается использовать следующую степенную зависимость, определяющую скорость накопления повреждений:
— =-%е2--(33)
й £* (1 -Ш)т'
п
где £е(1 = Вое(Г Подставляя уравнения (24) и (25) в (33), с учетом (26)-(32) можно получить:
¿ш = аЬ[(1 -хУ Л; + Х]" Г Т 1 (34)
й Ь ^ (1 -ш)г
Данное уравнение позволяет учесть сложное напряженное состояние, и для определения констант, входящих в это уравнение, достаточно знать только константы уравнения Нортона и время до разрушения хотя бы при одном уровне действующих номинальных напряжений. Уравнение (34) было интегрировано в программный комплекс для расчетов по методу конечных элементов ANSYS.
3. /„-интеграл и коэффициент интенсивности напряжений при ползучести
Аналитические решения для полей напряжений неповрежденного материала при ползучести были получены авторами [4, 27, 39-41] с использованием аналогии Хоффа путем замены деформаций, перемещений и /-интеграла на скорости деформаций и перемещений и С/)-интеграл в решении Хатчинсона-Розенгрена-Райса для пластических материалов [42, 43]. Структура полей напряжений, скоростей деформаций и скоростей перемещений в данном случае представляется в следующем виде:
Г у/( п+1)
[г51 о- (9, п)],
j' 9) =
с
BInL
(
e ij (r' 9) = B
C
\n/ ( n+l)
BInL
e j(9' n)]'
(
i (r, 9) = BL
C
у/(n+l)
BInL
[r lüi (9' n)]'
(35)
(36)
(37)
где г и 9 — полярные координаты в системе координат, центрированной в вершине трещины; а — длина трещины; Г = г/а — относительное расстояние от вершины трещины до рассматриваемого контура; о-, % - и щ — безразмерные функции напряжений, деформаций и перемещений, зависящие от показателя степени п;
= 1/(п +1) — показатель сингулярности в вершине трещины; Ь — характерный размер тела с трещиной. В приведенных уравнениях для ползучести безразмерные угловые функции напряжений, деформаций и перемещений идентичны функциям для упрочняющихся материалов.
Основная цель настоящего исследования направлена на то, чтобы учесть влияние поврежденности на поля напряженно-деформированного состояния в вершине
X
трещины при ползучести. Для упруговязких материалов, подобно [19], предлагается использовать следующую структуру полей напряжений, деформаций и перемещений в области вершины трещины:
_FEM FEM .
Oj (r, e, ю) = Oj (r, e, ю)/O0 =
—FEM _p FEM
= Kcr (ю)г оij (e, n, ю),
_FEM FEM /
Oe (r, e, Ю) = Oe (r, e, ю)/O0 =
FEM p FEM
= Kcr (Ю) r Oe (e, n, Ю),
FEM FEM
Ej (r, e, ю) = eij (r, e, ю)/5 =
—FEM n_q- FEM
= [Kcr (ю)] r Ej- (e, n, ю),
FEM FEM
ü (r, e, ю) = щ (r, e, ю)/(Ж) =
—FEM n_q •
= [Kcr (ю)] r щ (e, n, ю),
FEM FEM
K„„ = K
(38)
(39)
(40)
(41)
(42)
где p и q — показатели сингулярности для полей напряжений и деформаций; Kcr — коэффициент интенсивности напряжений при ползучести. Следует отметить, что данная структура полей напряжений, деформаций и перемещений используется только в качестве инструмента постобработки полученных численных результатов в порядке определения безразмерных угловых
FEM
функций напряжений Oj (e, n, ю) и скоростей перемещений üt (e, n, ю), а также самого коэффициента интенсивности напряжений при ползучести. Можно использовать неизвестные значения показателей сингулярности p и q в конечно-элементных расчетах, потому что напряжения и скорости смещений нормализуются взаимосвязанно. Как это принято в нелинейном анализе, угловые распределения эквивалентных напряжений в численных результатах нормируются следующим образом:
O =1 —
e,max | ^ ij ij
3 FEM FEM 2
12
= 1,
(43)
где — девиатор напряжений.
Авторами [15] введен унифицированный параметр в форме пластического коэффициента интенсивности. Данный параметр основан на асимптотическом разложении полей упругопластических напряжений в области вершины трещины, дает более точную качественную и количественную оценку характеристик сопротивления разрушению, в отличие от широко распространенных двухпараметрических критериев, и позволяет учитывать эффекты стеснения во взаимно перпендикулярных направлениях. Подходы, описанные в [44, 45], позволяют определить первый амплитудный коэффициент нелинейного сингулярного решения в виде коэффициента интенсивности напряжений. В данном ре-
шении управляющий параметр полей напряжений и деформаций является функцией свойств материала, длины трещины и геометрии тела с трещиной.
В работе [45] авторы представили асимптотические поля в терминах коэффициента интенсивности напряжений при ползучести. Впервые был предложен алгоритм нахождения контурного /п-интеграла в области вершины трещины для условий ползучести. Предложенный метод может быть расширен в порядке приложения к анализу полей напряжений и деформаций с учетом структурной поврежденности. Согласно описанному алгоритму значение /п-интеграла может быть вычислено с помощью численно полученных полей напряжений и скоростей перемещений:
FEM FEM
in (e, t, n, ю) = j q (e, t, n, «Ode,
(44)
FEM
q (e, t, n, ю) =
n+1
FEM n+1
(CT e ) cos e-
FEM
FEM üe
• FEM Л
dür
de
V
- O
re
_._FEM Л ^FEM üe
ür +-2-
r de
sin e-
n+1
FEM FEM
+ (7
. FEM FEM
re üe
cos e
где t — время выдержки под нагрузкой; Oe
FEM FEM
лентные напряжений по Мизесу и Oe = oe /o,
(45)
эквива-В
O
частном случае контурный /п-интеграл является функцией только показателя степени ползучести. Ниже будет показано, что данный управляющий параметр полей напряжений и скоростей деформаций является чувствительным не только к свойствам ползучести, но и к параметрам определяющих уравнений, описывающих накопление повреждений при ползучести.
В настоящей работе для пластины бесконечных размеров, содержащей сквозную трещину, коэффициент интенсивности напряжений при ползучести может быть записан в следующем виде: / » \1/(я+1)
Kcr =
с
E 0O0 InL
(46)
где а0 и е0 — некие значения напряжений и скоростей деформаций. Как было отмечено ранее, стадия установившейся ползучести имеет полную аналогию с состоянием идеальной пластичности. Используя аналогию Хоффа, С*-интеграл может быть получен из решения для /-интеграла путем замены деформаций на их скорости:
Таблица 1
Механические свойства стали Р2М
E, МПа V B, 1/(МПап • ч) n C, 1/(МПат • ч) m
200000 0.3 10-14 5 10-10 5
C
0 g0 anjn
л/3 _а 2 ап
\П+1
(47)
Значение С*-интеграла для компактных образцов стандартной геометрии может быть вычислено по формуле [33]
с * = В (Ж - а)Ь1(а/Ж, и) х
г Р у+1
- , (48)
1.455Л1В3(Ж - а) ,
\ /
где а — длина трещины; W — ширина образца; В8 -толщина образца. Таблицы для входящих в выражение (31) параметров Ь1, п1, Р могут быть найдены в [33].
4. Свойства материала и модели метода конечных элементов
4.1. Свойства материала
В настоящей работе анализ поведения полей напряжений и деформаций проводился для трех случаев:
1) численный расчет полей напряжений для упруго-вязкого материала. В этом случае параметр поврежден-ности принимался равным ш = 0 на всех итерациях численного расчета. Это приводит к тому, что конституционные уравнения среды принимают вид закона Нортона. В дальнейшем данный тип расчетов обозначается как «неповрежденный» или расчет без учета поврежденно сти;
2) численные расчеты полей напряжений для поврежденного упруговязкого материала в деформационной трактовке скорости накопления повреждений;
3) численные расчеты полей напряжений для поврежденного упруговязкого материала в силовой трактовке скорости накопления повреждений.
Решение нелинейных краевых задач выполнялось с использованием программного конечно-элементного комплекса ANSYS путем создания подключаемой пользовательской динамической библиотеки, в которую были введены законы изменения функции повреждений от времени. Интегрирование дифференциальных уравнений производилось по приближенному методу Рунге-Кутты. Данный подход позволил использовать стандартные библиотеки конечных элементов.
Расчеты проводились в упруговязкой постановке с учетом введенного управляющего параметра функции повреждений для роторной стали Р2М с вариацией времени выдержки под нагрузкой. Экспериментальные константы материала при температуре 550 °С представлены в табл. 1. В деформационной трактовке параметр tí был принят равным tí = 4.5 • 105, а = 0.3, т = 5. В табл. 1 Е — модуль упругости, V — коэффициент Пуассона, В и п — константы Нортона, С и т — константы степенного закона накопления повреждений.
4.2. Пластина со сквозной трещиной
В качестве тестовой задачи была использована модель пластины, содержащей сквозную прямолинейную трещину (рис. 2). Двухосность нагружения варьировалась соотношением усилий приложенных к перпендикулярным граням пластины (п = &х/ & у )• В работе рассмотрены три варианта нагружения пластины: одноосное растяжение (п = 0), равнодвухосное растяжение (п = = 1) и равнодвухосное растяжение-сжатие (п = -1). В первых двух случаях трещина располагалась перпендикулярно оси действия растягивающих усилий (а = 90°). В случае равнодвухосного растяжения-сжатия угол ориентации трещины относительно оси растягивающих усилий составлял а = 45°. При данном сочетании угла
? Ъ ft 0
У{
ос
> ,
ф ъ ф
Рис. 2. Модель пластины (а) и сетка конечных элементов в вершине трещины (б)
ориентации трещины и двухосности нагружения в вершине трещины реализуются условия чистого сдвига.
Номинальные напряжения, приложенные к граням пластины во всех трех случаях, составляли ап = = 50 МПа. Все расчеты проводились для условий плоской деформации. Ширина пластины составляла Ж = 1000 мм, полудлина трещины а = 10 мм. Для обеспечения большей сходимости результатов в работе моделировалась трещина с конечным радиусом кривизны в вершине г = 0.1 мм. Расчетные схемы метода конечных элементов сформированы из восьмиузловых элементов второго порядка (рис. 2). Время перехода от начальной к установившейся стадии ползучести для данных условий можно определить по формуле [46] г г (п+1)ЕС(г)
2 2 (1 -v ) K
(49)
где К1 — упругий коэффициент интенсивности напряжений; V — коэффициент Пуассона; Е — модуль упругости; С(^) — аналог /-интеграла для условий ползучести. В нашем случае время перехода в установившуюся стадию ползучести составляет гт = 21.88 ч.
4.3. Компактный образец
В качестве примера использования модельных представлений для реальных трехмерных элементов конструкции была создана расчетная схема метода конеч-
ных элементов для компактного образца стандартной геометрии. Модель образца состоит из двадцатиузловых элементов второго порядка. Как и в случае плоской задачи, моделировался конечный радиус кривизны в области вершины трещины при соотношении г/а = = 0.005. Длина трещины от линии приложения нагрузки составляла а = 20 мм. Рабочая область образца Ж = = 50 мм, ширина В = 12.5 мм. В силу симметрии задачи моделировалась только половина расчетной схемы с ограничением перемещений в плоскости симметрии по нормали к этой плоскости (рис. 3).
Результаты расчетов представлялись в полярной системе координат, центрированной в вершине трещины для различных сечений вдоль ее фронта. Точкой наибольшего проникновения считается середина толщины образца г/В = 0.5, в точке выхода фронта трещины на свободную поверхность г/В = 0. Нагрузка, приложенная к образцу, составляла Р = 4.687 кН.
5. Результаты расчетов
5.1. Поля напряженно-деформированного состояния с учетом накопления повреждений
Помимо полей напряжений, перемещений и скоростей деформаций, результатом численного моделирования нагружения пластины, содержащей сквозную прямолинейную трещину с учетом накопления повреж-
Рис. 4. Поля поврежденности при двухосном нагружении, п = 0 (а), 1 (б), -1 (в)
Рис. 5. Накопление повреждений для силовой х = 1 (а), 0.5 (б) и деформационной функции накопления повреждений (в)
дений при ползучести, являются распределения параметра поврежденности в узлах конечно-элементной модели (рис. 4). Как видно из представленного рисунка, имеет место существенная разница полей поврежденности в области вершины трещины. Стоит отметить, что положение максимума повреждений, определяющего направление роста трещины, существенно зависит от вида напряженно-деформированного состояния. В случае нормального отрыва (п = 0) и равнодвухосного растяжения (п = 1) направление роста трещины будет совпадать с продолжением линии ее берегов, однако при ситуации чистого сдвига (равнодвухосное растяжение-сжатие при угле ориентации трещины в 45°, п = = -1), максимум поврежденности наблюдается в направлении, не совпадающем с линией берегов трещины.
На рис. 5 представлено сравнение полученных результатов для силовой и деформационной трактовки закона накопления повреждений. В силовой трактовке характер распределения повреждений зависит от значения управляющего параметра х, который показывает
вклад в развитие повреждений гидростатических и эквивалентных напряжений. При х = 1 распределение полей поврежденности будет соответствовать распределению полей эквивалентных напряжений, а при X = 0 — гидростатических. Следует отметить, что учет поврежденности материала при некоторых значениях управляющего параметра х может приводить к полу-торакратному увеличению максимальных деформаций, наблюдаемых в вершине трещины, по сравнению с расчетами без учета поврежденности. Это позволяет сделать вывод о том, что учет поврежденности предоставляет возможность сделать более объективную оценку состояния тела с трещиной с точки зрения оценки его несущей способности.
Из представленных на рис. 6 данных следует, что поля поврежденности при ползучести существенно зависят от сочетания вида двухосного нагружения и выбора модели накопления повреждений. Следует отметить, что наблюдаются различные тенденции накопления повреждений в области вершины трещины для силовой и деформационной трактовок закона накопления повреждений при варьировании параметра х. При X ^ 1 поля поврежденности в силовой и деформационной трактовке качественно совпадают, однако при уменьшении данного параметра разница в тенденции накопления повреждений становится существенной.
В области вершины трещины для случая чистого сдвига (рис. 7) можно наблюдать, что одна сторона исходного надреза, в которой преобладают растягивающие усилия, затупляется, в то время как другая, в которой преобладают сдвиговые деформации, заостряется. Таким образом, имеют место два конкурирующих механизма разрушения в затупленной и заостренной частях вершины трещины одновременно. В результате этого в случае силовой трактовки закона накопления повреждений зона поврежденности приблизительно симметрична относительно плоскости расположения трещины (рис. 8, а). Однако в случае деформационной трактовки модели накопления повреждений видно, что повреждения сосредотачиваются в основном только в зоне затупления вершины трещины (рис. 8, б). Таким образом, в этом случае направление роста трещины и общая зона поврежденности отклоняются от плоскости исходного расположения трещины. Так как отклонение направления роста трещины в случае смешанных форм деформирования подтверждено многочисленными экспериментальными данными, то деформационную трактовку модели накопления повреждений можно считать более предпочтительной для материалов с явно выраженными свойствами нелинейного поведения.
Как уже отмечалось ранее, помимо плоской модели пластины, содержащей сквозную трещину, также численный эксперимент проводился для полноразмерной трехмерной модели компактного образца. Для данной
0.0015
О.ООЮН
-0.075
-0.05
0.00 0.05
со cos 0
0.10
-0.10
-0.05 0.00 0.05 0.10 0.15
со cos 0
Рис. 6. Зависимость полей поврежденности от времени выдержки под нагрузкой: деформационная (а, в, Э) и силовая (б, г, е) модели, t = 10 (1), 100 (2), 500 (3), 1000 (4)
Рис. 7. Положение максимума поврежденности для деформационной (а) и силовой (б) модели накопления повреждений
0.0 0.1 0.2 Рис. 8. Поля поврежденности вдоль линии фронта трещины
о!з ~0Л z/B
расчетной схемы рассматривалась только деформационная трактовка закона накопления повреждений. На рис. 8, а представлены поля поврежденности вдоль линии фронта трещины в компактном образце. Из представленного на рис. 8, б графика видно, что интенсивность накопления повреждений различна для разных точек фронта трещины. В точке, соответствующей серединному сечению образца (г/В = 0.5), уровень поврежденности значительно выше, и наблюдается его снижение по мере приближения фронта к точке его выхода на свободную поверхность образца (г/В = 0).
В области вершины трещины рассматривались три контура (рис. 9, а). Первый рассматриваемый контур в полярной системе координат, ориентированной на вершину трещины, совпадает с поверхностью фронта трещины, в этом контуре полярный радиус Л1 соответствует радиусу кривизны вершины трещины г: R1 = г. Второй и третий контуры находятся на расстоянии Л2 = = 2г и Л3 = 3г соответственно. Анализ результатов показал, что форма контура полей поврежденности существенно зависит от расстояния до вершины трещины (рис. 9, б). На контуре, который совпадает с криволинейной поверхностью вершины трещины, максимум повреждений находится в плоскости расположения трещины. Однако по мере удаления от вершины трещины максимум повреждений смещается относительно полярной координаты 9 = ^9тах- Данная тенденция не
зависит от положения сечения по толщине образца и одинакова для всех точек вдоль линии фронта трещины.
5.2.1п-интеграл и коэффициент интенсивности напряжений при ползучести
Основные эффекты влияния поврежденности и свойств материала на скорости деформаций можно проследить через распределения /п-интеграла. На рис. 10 показаны зависимости /п-интеграла от времени выдержки под нагрузкой для различных сочетаний коэффициента двухосности п, управляющего параметра свойств материала х в пластине с конечным радиусом кривизны в вершине трещины. Также на рисунках приведены распределения /п-интеграла для расчета напряженно-деформированного состояния без учета накопления повреждений, данные графики отмечены символом «п&>. Из представленных распределений следует, что /п-интеграл является более чувствительным к свойствам материала в случае силовой трактовки модели накопления повреждений. При этом общие тенденции чувствительности к виду двухосности идентичны. Данные распределения /п-интеграла были использованы для расчета коэффициента интенсивности напряжений при ползучести и получены на расстоянии контура от вершины трещины R = 0.3 мм.
Как и в случае пластины, были получены распределения /п-интеграла для компактного образца. На рис. 11
СО 1
0.4
о.з-0.20.1
l£
/
-0.5
0.0
0.5
Рис. 9. Контуры поврежденности на различных расстояниях от вершины трещины
= -1
0
Рис. 10. Распределения /^-интеграла для деформационной (а, в, Э) и силовой (б, г, е) функции накопления повреждений
представлены результаты расчетов распределения /п-интеграла вдоль фронта трещины для контуров, находящихся на различном удалении от вершины трещины, для деформационной трактовки модели накопления повреждений (рис. 11, а) и для численных расчетов по модели ползучести Нортона (рис. 11, б).
Из представленных распределений следует, что при учете накопления повреждений /п-интеграл становится менее чувствителен к выбранному контуру в области вершины трещины. Также видно, что на некотором удалении от вершины трещины / -интеграл практи-
чески не зависит от положения сечения вдоль фронта трещины и остается постоянным по всей толщине образца. На основе полученных распределений ^-интеграла были рассчитаны коэффициенты интенсивности напряжений при ползучести для компактного образца с учетом накопления повреждений.
Результаты расчета коэффициента интенсивности при ползучести в зависимости от времени выдержки под нагрузкой для модели пластины, содержащей сквозную трещину, приведены на рис. 12. Как видно из представленных рисунков, коэффициент интенсивности на-
0.0 0.2 0.4 z/B "о.О 0.2 0.4 z/B
Рис. 11. Распределения /^-интеграла вдоль фронта трещины в компактном образце
К™
2.02
-0- nd
* Wen, Tu
-*-х = о.б
ни- X = 0.8
Л = 1
10 100
Время, ч
-О nd
-*- Wen, Tu
х = 0.6 ■^1 = 0
Kri
2.09
10 100
Время, ч
1000
10 100 Время, ч 1000
-О- nd
Wen, Tu ^^Ч
x = 0.6
-о- X = 0.8 ^-1
1000
/Ci
2.6-
2.2-
/Ст
2.1
2.0
-А- nd ч>Х = 1-00
= 0.75 -*-Х = 0.50
10 100
Время, ч
1000
K>nd iL
-□ИХ = 1-00
= 0.75
-*-X = 0.50
i r| = 0 i
10
100
1000
Время, ч
10 100
Время, ч
Рис. 12. Коэффициенты интенсивности напряжений при ползучести в пластине для деформационной (а, в, Э) и силовой (б, г, е) модели накопления повреждений
пряжений зависит от сочетания вида двухосного нагру-жения, свойств материала, а также является чувствительным к наличию накопленных повреждений. В связи с тем, что коэффициент интенсивности напряжений при ползучести является функцией /п-интеграла, а остальные параметры конечно-элементной модели идентичны для всех расчетов, можно видеть, что значения коэффициента интенсивности напряжений обратно пропорциональны величинам /п-интеграла. Сам /п-интеграл в данном случае является единственным управляющим параметром при определении коэффициента интенсивности напряжений при ползучести. Очевидно, что коэффициент интенсивности напряжений при ползучести, так же как и /п-интеграл, проявляет большую чувствительность в виду двухосности в случае силовой трактовки модели накопления повреждений по отношению к ее деформационной формулировке.
Как уже было отмечено ранее, время перехода от начальной стадии ползучести к установившейся составляет 1Т = 21.88 ч. Из представленных на рис. 12 графиков видно, что все эффекты перераспределений поведения параметров сопротивления разрушения при пол-
зучести, связанные с учетом накопленной поврежденнос-ти, возникают на установившейся стадии ползучести.
На рис. 13 представлены вычисленные значения коэффициентов интенсивности напряжений при ползу-
0.320.300.280.260.24-
\ уя3 \ 4 ^ с С учетом накопления повреждений
\r 2
\ Без учета
\ накопления
/ повреждений
-------------
0.0
0.1
0.2 0.3
0.4
z/h
Рис. 13. Распределение коэффициентов интенсивности напряжений при ползучести в компактном образце вдоль фронта трещины
чести вдоль фронта трещины в трехмерном компактном образце для контуров, находящихся на различных расстояниях от вершины трещины (см. рис. 10).
Как следует из представленных графиков, величины коэффициентов интенсивности при ползучести изменяются вдоль линии фронта трещины, а также зависят от положения выбранного контура. Как и в случае /п-интеграла, можно видеть, что существует определенный контур, на котором распределения коэффициента интенсивности напряжений при ползучести не зависят от положения сечения вдоль фронта трещины, что позволяет сделать вывод о том, что существует область сходимости контурного /п-интеграла при ползучести, которая может однозначно определять положение искомого контура. Подобный вывод соответствует результатам исследования области сходимости /п-интеграла в условиях пластичности [38].
В литературе известны модели описания процессов накопления повреждений при ползучести, основанные на силовых и деформационных критериях разрушения. В настоящей работе показана возможность применения концепции коэффициента интенсивности напряжений при ползучести [43] к анализу и интерпретации характеристик сопротивления разрушению с учетом накопления повреждений. Для этого было модифицировано определяющее уравнение ползучести (12) путем введения функции повреждений в силовой (18) и деформационной трактовках (34).
Известные стандарты ASTM [32, 33] по экспериментальному определению характеристик инициации и сопротивления росту трещины при ползучести основаны на формулировках С(г)- и С*-интегралов. Однако данные параметры являются нечувствительными к накопленной поврежденности материала. В противоположность этим параметрам, коэффициент интенсивности напряжений при ползучести позволяет помимо учета вида нагружения также учитывать и степень по-врежденности материала. Стоит отметить, что в данной работе рассматривается только стационарная трещина, находящаяся в изначально неповрежденном материале, а также в рамках расчетов не предусматривались акты разрушения образца или прироста длины трещины. Следует учитывать, что при росте трещины в поврежденном материале разница получаемых результатов будет тем выше, чем больше актов микроразрушения состоялось. Таким образом, коэффициент интенсивности при ползучести позволяет более корректно интерпретировать результаты испытаний при ползучести и может выступать в качестве параметра сопротивления росту трещины, чувствительного к поврежденности материала, виду нагружения и свойствам материала.
6. Выводы
Разработаны и реализованы в расчетном комплексе метода конечных элементов модели, описывающие ско-
рость деформаций при ползучести с учетом накопления повреждений, основанные на деформационном и силовом критериях разрушения. Показано влияние сочетания накопления повреждений, двухосности нагружения и свойств материала на напряженно-деформированное состояние в области вершины1 трещины1. Установлена возможность применения коэффициента интенсивности напряжений при ползучести в качестве характеристики сопротивления разрушению, чувствительной к используемой модели и уровню накопленных повреждений, виду двухосного нагружения и свойствам материала.
Работа выполнена при поддержке РНФ, проект № 17-19-01614.
Литература
1. Качанов Л.М. Основы механики разрушения. - Наука, 1974. -312 с.
2. Работное ЮН. Ползучесть элементов конструкций. - Наука, 1966. - 752 с.
3. Brathe L. Estimation of Kachanov parameters and extrapolation from isothermal creep rupture data // Int. J. Mech. Sci. - 1978. - V. 20. -P. 617-624.
4. Hutchinson J.W. Constitutive behavior and crack tip fields for materials undergoing creep-constrained grain boundary cavitation // Acta Metall. - 1983. - V. 31. - P. 1079-1088.
5. Riedel H. Fracture at High Temperatures. - Berlin: Springer-Verlag, 1987.
6. Bendick W. Analysis of material exhaustion and damage by creep // Int. J. Pres. Vess. Piping. - 1991. - V. 47. - P. 57-78.
7. Budden J.P., Ainsworth R.A. The effect of constraint on creep fracture assessments // Int. J. Fract. - 1997. - V. 87. - P. 139-149.
8. Wen J.F., Tu S.T. A multiaxial creep-damage model for creep crack growth considering cavity growth and microcrack interaction // Eng. Fract. Mech. - 2014. - V. 123. - P. 197-210.
9. Meng Q, Wang Z. Creep damage models and applications for crack growth analysis in pipes: A review // Eng. Fract. Mech. - 2017. - doi 10.1016/j.engfracmech.2015.09.055.
10. Панин В.Е., Елсукова Т.Ф., Сурикова Н.С., Попкова Ю.Ф., Бори-сюк Д.В. Роль поворотных мод деформации в процессах разрушения поликристаллов высокочистого алюминия при низкотемпературной ползучести // Деформация и разрушение материалов. -2016. - № 12. - С. 2-9.
11. Panin V.E., Egorushkin V.E., Elsukova T.F., Surikova N.S., Pochiva-lov Y.I., Panin A.V. Multiscale Translation-Rotation Plastic Flow in Polycrystals // Handbook of Mechanics of Materials / Ed. by S. Schmauder, C.S. Chen, K. Chawla et al. - Singapore: Springer, 2018.- doi 10.1007/978-981-10-6855-3_77-1.
12. Hayhurst D.R. Creep rupture under multi-axial states of stress // J. Mech. Phys. Solids. - 1972. - V. 20. - P. 381-390.
13. Cocks A.C.F., Ashby M.F. Intergranular fracture during power-law creep under multiaxial stresses // Metal. Sci. - 1980. - V. 14. - P. 95402.
14. Wang Z, Zhao Y., Kohlstedt D.L. Dislocation creep accommodated by grain boundary sliding in dunite // J. Earth. Sci. - 2010. - No. 5. -P. 541-554.
15. Писаренко Г.С., Лебедев А.А. Деформирование и прочность материалов при сложном напряженном состоянии. - Киев: Нау-кова думка, 1976. - 415 с.
16. Naumenko K., Kostenko Y Structural analysis of a power plant component using a stress-range-dependent creep-damage constitutive model // Mater. Sci. Eng. A. - 2009. - V. 510-511. - P. 169-174.
17. Naumenko K., Kutschke A., Kostenko Y., Rudolf T. Multi-axial thermo-mechanical analysis of power plant components from 9-12% Cr steels
at high temperature // Eng. Fract. Mech. - 2011. - V. 78. - P. 16571668.
18. Bassani J.L., Hawk D.E. Influence of damage on crack-tip fields under small-scale-creep conditions // Int. J. Fract. - 1990. - V. 42. -P. 157-172.
19. Murakami S., Hirano T., Liu Y Asymptotic fields of stress and damage of a mode I creep crack in steady-state growth // Int. J. Solids Struct. - 2000. - V. 37. - P. 6203-6220.
20. Meng Q., Wang Z. Asymptotic solutions of mode I steady growth crack in materials under creep conditions // Acta Mech. Solid. Sinica. -2015. - V. 28. - P. 578-591.
21. Nikbin K.M., Smith D.J., Webster G.A. An engineering approach to the prediction of creep crack growth // Trans. ASME. - 1986. -V. 108.- P. 186-191.
22. Wasmer K., Nikbin K.M., Webster G.A. Creep crack initiation and growth in thick section steel pipes under internal pressure // Int. J. Pres. Vess. Piping. - 2003. - V. 80. - P. 489-498.
23. Yatomi M., Nikbin K.M., O'Dowd N.P. Creep crack growth prediction using a damage based approach // Int. J. Pres. Vess. Piping. -2003. - V. 80. - P. 573-583.
24. YatomiM., O'DowdN.P., NikbinK.M., Webster G.A. Theoretical and numerical modelling of creep crack growth in a carbon-manganese steel // Eng. Fract. Mech. - 2006. - V. 73. - P. 1158-1175.
25. Jing H., Su D., Xu L., Zhao L., Han Y., Sun R. Finite element simulation of creep-fatigue crack growth behavior for P91 steel at 625C considering creep-fatigue interaction // Int. J. Fatigue. - 2017. - V. 98. -P. 41-52.
26. Ma H.S., Wang G.Z., Liu S., Tu S.T., Xuan F.Z. In-plane and out-of-plane unified constraint-dependent creep crack growth rate of 316H steel // Eng. Fract. Mech. - 2016. - V. 155. - P. 88-101.
27. Riedel H., Rice J.R. Tensile crack in creeping solids. ASTM STP 700 // Fract. Mech. - 1980. - P. 112-130.
28. He M.Y., Hutchinson J.W. // Elastic-Plastic Fracture. - V 1. - ASTM STP 803. - Philadelphia: ASTM, 1983. - P. 227-290.
29. Saxena A. Nonlinear Fracture Mechanics for Engineers. - Boca Raton: CRC Press LCC, 1998.
30. Kim Y Contour integral calculations for generalized creep laws within ABAQUS // Int. J. Press. Vess. Piping. - 2001. - V. 78. - P. 661-666.
31. Biglari F., Nikbin K.M., Goodall I.W., Webster G.A. Determination of fracture mechanics parameters J and C* by finite element and reference stress methods for a semi-elliptical flaw in a plate // Int. J. Press. Vess. Piping. - 2003. - V. 80. - P. 565-571.
32. ASTM E1457-07. Standard Test Method for Measurement of Creep Crack Growth Times in Metals. Annual Book of ASTM Standards. - Philadelphia (PA): ASTM, 2007.
33. ASTM E2760-10. Standard Test Method for Creep-Fatigue Crack Growth Testing. Annual Book of ASTM Standards. - Philadelphia (PA): ASTM, 2010.
34. Катанаха H.A., Семенов A.C., Гецов Л.Б. Долговечность гибов высокотемпературных паропроводов в условиях длительной эксплуатации // Теплоэнергетика. - 2015. - № 4. - C. 32-42.
35. Budden P.J., Ainsworth R.A. The effect of constraint on creep assessments // Int. J. Fract. - 1997. - V. 87. - P. 139-149.
36. Cocks A.C.F., Ashby M.F. On Creep Fracture by Void Growth // Progr. Mats. Sci. - 1982. - V. 27. - P. 189-244.
37. Bendick W. Analysis of material exhaustion and damage by creep // Int. J. Press. Vess. Piping. - 1991. - V. 47. - No. 1. - P. 57-78.
38. Туманов A.B., Бойченко H.B. Особенности определения управляющих параметров состояния в области вершины трещины на основе метода конечных элементов // Труды Академэнерго. -2015. - Т. 4. - С. 90-100.
39. Nguyen B.N., Onck P.R., van der Giessen E. On higher-order crack-tip fields in creeping solids // J. Appl. Mech. - 2000. - V. 67. - P. 372382.
40. Nguyen B.N., Onck P.R., van der Giessen E. Crack-tip constraint effects on creep fracture // Eng. Fract. Mech. - 2000. - V. 65. - P. 467490.
41. Chao Y.J., Zhu X.K., Zhang L. Higher-order asymptotic crack-tip fields in power-law creeping material // Int. J. Solids Struct. - 2001. -V. 38. - P. 3853-3875.
42. Hutchinson J.W. Singular behaviour at the end of a tensile crack in a hardening material // J. Mech. Phys. Solid. - 1968. - V. 16. - P. 13-31.
43. Rice J.R., Rosengren G.F. Plane strain deformation near a crack tip in a power-law hardening material // J. Mech. Phys. Solid. - 1968. -V. 16. - P. 1-12.
44. Shlyannikov V.N., Tumanov A.V. Characterization of crack tip stress fields in test specimens using mode mixity parameters // Int. J. Fract. -2014. - V. 185. - P. 49-76.
45. Shlyannikov V.N., Tumanov A.V., Boychenko N.V. A creep stress intensity factor approach to creep-fatigue crack growth // Eng. Fract. Mech. - 2015. - V. 142. - P. 201-219.
46. Li F.Z., Needleman A., Shih C.F. Characterization of near tip stress and deformation fields in creeping solids // Int. J. Fract. - 1988. -V. 36. - P. 163-186.
Поступила в редакцию 01.02.2018 г., после переработки 25.05.2018 г.
Сведения об авторах
Шлянников Валерий Николаевич, д.т.н., проф., зам. дир. ФИЦ КазНЦ РАН, зав. лаб. ИЭПТ, shlyannikov@mail.ru Туманов Андрей Владиславович, к.т.н., внс ИЭПТ ФИЦ КазНЦ РАН, tumanoff@rambler.ru
