Планирование выпуска новой продукции на основе прецедентов ее жизненного цикла Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЭКОНОМИКА, ОРГАНИЗАЦИЯ И УПРАВЛЕНИЕ В ИЗДАТЕЛЬСКО-ПОЛИГРАФИЧЕСКОМ КОМПЛЕКСЕ

УДК 330.4

Кулак М. И., профессор; Семеняко Н. М., ассистент

ПЛАНИРОВАНИЕ ВЫПУСКА НОВОЙ ПРОДУКЦИИ НА ОСНОВЕ ПРЕЦЕДЕНТОВ ЕЕ ЖИЗНЕННОГО ЦИКЛА

At the heart of long-term forecasting activity of producing of competitive output the conception of its life cycle is situated. When function of the life cycle is built with help of Perl's modified formula the accuracy of statistic data about the issuing of the products has a great importance. In the article the analysis of allowable deviation of the statistic data is carried out for the reason to reconstruct a reliable function of the life cycle of the product. Possibility of construction of the initial stages of the life cycle is carried out when the exact date of the beginning of production and the initial amount of production is not known.

Введение. В основе долгосрочного прогнозирования выпуска продукции в современном производстве лежит концепция ее жизненного цикла.

В соответствии с методом, предложенным в [1], жизненный цикл полиграфической продукции описывается ^-образной кривой, которая определяется по модифицированной формуле Перла.

Функции жизненного цикла позволяют полиграфическому предприятию определять стратегию маркетинга, планировать процессы производства продукции, взаимосвязь издержек и доходов.

При построении функции жизненного цикла с помощью модифицированной формулы Перла важна полнота данных о выпуске продукции. В работе [2] был проведен анализ минимального набора статистических данных для восстановления функции жизненного цикла. Может возникнуть ситуация, когда статистические данные за некоторый промежуток времени отсутствуют, что может исказить функцию жизненного цикла.

Основная часть. Целью данной работы является исследование возможности построения функции жизненного цикла при неполном наборе исходных данных. Эта проблема имеет два аспекта:

1. Определение допустимых отклонений статистических данных для восстановления функции жизненного цикла.

2. Возможность построения начальных стадий жизненного цикла продукции в случае, когда точная дата начала выпуска и объемы выпуска продукции неизвестны.

При моделировании использованы данные о годовых тиражах журнала за 1999-2006 гг.

Решение первой задачи разделено на следующие этапы:

1) определение точных коэффициентов модифицированной формулы Перла и построение функции жизненного цикла по имеющимся статистическим данным;

2) рандомизация данных, рассчитанных по функции жизненного цикла (1), при различных значениях среднеквадратического отклонения;

3) определение коэффициентов модифицированной формулы Перла и построение жизненного цикла по рандомизированным данным;

4) определение отклонений значений коэффициентов модифицированной формулы Перла и анализ их изменения в зависимости от значений среднеквадратического отклонения, заложенного в процедуру рандомизации;

5) оценка сходимости результатов исследования.

В работах [2, 3] было предложено два подхода

к определению неизвестных коэффициентов модифицированной формулы Перла, согласно которым асимптота а и коэффициент пропорциональности к могут быть найдены с помощью метода регрессионного анализа из уравнения параболы или с помощью данных о совокупном выпуске продукции. В приведенных подходах переменная у0 принималась равной начальной партии (тиражу) продукции. Такой вариант допустим, если имеются точные статистические данные о выпуске продукции за каждый год, начиная с исходной партии.

Однако может возникнуть необходимость построения функции жизненного цикла для продукции, имеющей длительный жизненный цикл, когда данные о выпуске продукции в начальный период отсутствуют, а также неизвестна дата начала выпуска этой продукции. В таком случае величина у0 также является неизвестной и необходимо определять все коэффициенты модифицированной формулы Перла (у0, а, к) в рамках единой процедуры.

Эта задача решается с помощью метода наименьших квадратов, который для логистической функции выглядит следующим образом:

I

i = 1

(

Уг

Уоа

V

Уо "(а "Уо)е

- kati

min,

(i)

где п — количество лет, за которые собраны статистические данные; у^ — тираж в году.

Как известно, условием минимума функции, зависящей от нескольких параметров, является равенство нулю всех частных производных:

п п

V

1=1 1=1

пп

= о,

V

"XУо^г, £-Уо2, + £Уоа(е-Щ - (а -УоЩе~%

' = 1 ' = 1 ) у ' = 1 ' = 1

п п п

~^Уоагг £Уоа2(а-у^е^'= о,

= о,

(2)

¿=1 '= 1

1

-ка1,

где Z^ = г (уо,а, к, ^) =--_

Уо +(а " Уо)е

Система (2) решается в математическом пакете, например МаШСАО. Задаваемые для программы начальные приближения должны быть достаточно близки к корням уравнений. Для этого необходимо предварительно найти начальные приближения коэффициентов а и к с помощью метода [3].

Решением системы (2) для рассматриваемого примера являются следующие значения: Уо = 12 12о, а = 126 ооо, к = 3,365 ■ 1о-6.

Рандомизация расчетных исходных данных заключается в том, что для каждого значения годового тиража, рассчитанного по функции жизненного цикла, создается массив случайных чисел, распределенных по нормальному закону.

Затем из массива случайным образом выбирается одно число, которое станет новым рандомизированным значением годового тиража продукции. Таким образом формируется массив

рандомизированных данных о выпуске продукции. Эта процедура выполняется при значениях относительного среднеквадратического отклонения а от 0,05 до 0,4 с шагом 0,05.

Абсолютное среднеквадратическое отклонение (величина, которая закладывается в процедуру рандомизации) рассчитывается по формуле

= ЪУ'-

(3)

Расчетные исходные и полученные рандомизированные годовые тиражи журнала сведены в табл. 1. Далее для рандомизированных значений с помощью системы уравнений (2) по методу наименьших квадратов рассчитываются новые коэффициенты модифицированной формулы Перла (табл. 2). Очевидно, что с увеличением величины с отклонения значений всех коэффициентов от исходных значений возрастают.

График нормированных отклонений коэффициентов модифицированной формулы Перла А при а = 0,05-0,2 приведен на рис. 1.

Таблица 1

Расчетные исходные и рандомизированные годовые тиражи журнала

Год Расчетные исходные данные, экз. Рандомизированные данные, экз.

с = 0,05 с = 0,1 с = 0,15 с = 0,2 с = 0,25 с = 0,3 с = 0,35 с = 0,4

0 12 120 11 611 14 635 13 578 11 056 10 790 10 524 10 258 9 992

1 17 625 15 730 15 927 12 487 10 774 14 090 8 126 12 676 1 131

2 25 079 26 231 30 496 25 209 35 291 10 973 9 307 36 097 8 107

3 34 677 36 074 30 191 46 777 55 446 16 384 46 438 16 875 48 154

4 46 265 49 562 43 429 31 047 64 887 52 696 66 256 86 115 92 054

5 59 214 58 700 68 132 38 921 38 573 88 241 84 241 81 212 28 491

6 72 492 69 352 58 521 93 535 34 891 116 615 101 423 100 329 47 970

7 84 960 88 912 89 687 100 110 43 340 123 278 136 164 140 575 164 096

8 95 736 91 426 94 782 121 759 60 258 141 971 162 309 171 998 184 848

Таблица 2

Значения коэффициентов модифицированной формулы Перла и их отклонения от исходных значений

с У0 ЛУ0 а Да к М

0 12 120 0 126 000 0 3,365 ■ 10-6 0

0,05 12 708 588 104 072 -21 928 4,299 ■ 10-6 9,342 ■ 10-7

0,1 15 804 3 684 124 904 -1 096 2,785 ■ 10-6 -5,802 ■ 10-7

0,15 9 156 -2 964 229 170 103 170 1,825 ■ 10-6 -1,540 ■ 10-6

0,2 19 884 7 764 75 528 -50 473 5,319 ■ 10-6 1,954 ■ 10-6

0,25 1 319 -10 800 168 226 42 226 5,115 ■ 10-6 1,750 ■ 10-6

0,3 5 605 -6 515 269 218 143 218 1,894 ■ 10-6 -1,471 ■ 10-6

0,35 8 063 -4 057 395 514 269 514 1,051 ■ 10-6 -2,314 ■ 10-6

0,4 3 152 -8 968 310 287 184 287 1,974 ■ 10-6 -1,391 ■ 10-6

А 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

—А— В

/

0,05

0,10

0,15

0,20 С

Рис. 1. Зависимости нормированных отклонений значений коэффициентов модифицированной формулы Перла от с: А — Ду0; В — Да; С — М

у, экз. 350 000 300 000 250 000 200 000 150 000 100 000

50 000 0

10

12

14

г, лет

Рис. 2. Функции жизненного цикла, построенные: А — по исходным данным; по рандомизированным данным: В — с = 0,1; С — с = 0,2; Б — с = 0,3; Е — с = 0,4

2

4

6

8

Из рисунка видно, что к моделированию могут быть приняты рандомизированные данные при 6 <0,1, поскольку значение отклонений большее 30% приводит к значительным искажениям функции жизненного цикла.

В подтверждение на рис. 2 приведены функции жизненного цикла, построенные по исходным и рандомизированным данным. Как видно из рисунка, значительные отклонения функций жизненного цикла от исходной зависимости наблюдаются уже при значениях относительного среднеквадратического отклонения 6 > 0,1.

Для количественной оценки сходимости результатов исследования рассчитаны такие показатели, как дисперсия воспроизводимости ^оспр, дисперсия адекватности 5"ад, критерий Фишера Я, коэффициент корреляции Я, среднеквадра-тическое отклонение функции жизненного цикла, построенной по рандомизированным данным, от исходной функции жизненного цикла SL (табл. 3).

Анализ табл. 3 показывает, что с увеличением среднеквадратического отклонения, заложенного в процедуру рандомизации, увеличиваются дисперсии воспроизводимости и адекватности, коэффициент корреляции убывает, но незначительно, что свидетельствует о сильной

корреляционной зависимости, показатель SL также возрастает. Рассчитанные значения критерия Фишера меньше табличного (19,25 для уровня значимости 0,05 и числа степеней свободы 2) [4], однако в целом значения критерия Фишера неустойчивы.

На рис. 3 построена регрессионная зависимость среднеквадратических отклонений функций SL от среднеквадратического отклонения 6, заложенного в процедуру рандомизации. Линия тренда описывается уравнением

SL(6) = 1110006 + 510 60062. (4)

Сходимость параболы в начале координат свидетельствует о сходимости результатов исследования и работоспособности предлагаемого метода.

Вторая задача (восстановление начальных стадий жизненного цикла) возникает при переходе предприятия к производству новой продукции, когда полезно использовать опыт других производителей аналогичных товаров. Информация об объемах выпуска продукции не является абсолютно открытой, и, как правило, известны данные только за последние годы, в то время как для предприятия-новичка на рынке представляет интерес именно начальные партии продукции, т. е. стратегия продвижения

Таблица 3

Значения критериев адекватности функций жизненного цикла, построенных по рандомизированным данным

С с ^воспр Зад Я SL

0,05 29 764 31 080 1,090 0,993 12 494

0,1 30 016 29 404 0,960 0,967 5 553

0,15 40 731 46 847 1,323 0,924 52 881

0,2 19 424 21 609 1,238 0,651 31 657

0,25 54 174 66 645 1,513 0,957 39 510

0,3 56 684 61 514 1,178 0,977 83 335

0,35 58 567 59 170 1,021 0,953 122 304

0,4 68 158 72 929 1,145 0,836 115 533

60 000 40 000 20 000

0,1 0,2 0,3 0,4 О

Рис. 3. Средиеквадратические отклонения функций жизненного цикла, построенных по рандомизированным данным, от исходной функции: А — расчетные значения; В — линия тренда

продукции иа рынок. В данном случае с использованием имеющихся данных можно смоделировать жизненный цикл продукции, выпускаемой другими предприятиями.

Для иллюстрации решения этой задачи использовались статистические данные о выпуске указанного ранее журнала за последние 5 лет (2002-2006 гг.). По методу наименьших квадратов были определены коэффициенты модифицированной формулы Перла (1) и построена функция «неполного» жизненного цикла. С помощью данной функции можно прогнозировать выпуск продукции в будущем периоде, но невозможно определить время начала выпуска продукции.

Согласно [5], жизненный цикл продукции также может описываться дифференциальным уравнением Ферхюльста - Перла, решением которого является логистическая кривая

У(г) =

1 +10 А

(5)

где А и В — параметры логистической кривой, которые находятся из сопоставления формул (1) и (5).

Формулу (5) можно преобразовать к виду

А - Вг = - у) - 1Б(у). (6)

С учетом того, что в правой части равенства (6) стоит небольшая величина, ею можно пренебречь, и тогда равенство примет вид

А - Вг = 0.

(7)

Если известны коэффициенты А и В, уравнение (7) можно использовать для определения времени начала выпуска продукции: корень уравнения равен принятому ранее условному нулю. Решением уравнения (7) для рассматриваемого примера является г = 3. Это свидетельствует о том, что до анализируемого периода журнал выпускался 3 года (1999-2001 гг.), и это соответствует действительности. Полная функция жизненного цикла журнала представлена на рис. 4.

У, экз.

120 000 100 000 80 000 60 000 40 000 -*20 000

-2

10

г, лет

Рис. 4. Функция полного жизненного цикла журнала: А — функция жизненного цикла; В — асимптота

С помощью формулы (1) или (5) определяются тиражи продукции за предыдущие годы, как прецедент выхода на рынок. Кроме этого, также необходимо учитывать изменение внешних условий — спроса, стоимости материалов и др.

Заключение. Таким образом, по работе можно сделать следующие выводы:

- функция жизненного цикла продукции может быть построена точно, если отклонения в статистических данных о выпуске продукции не превышают 10%;

- с помощью модифицированной формулы Перла возможно восстановление начальных стадий жизненного цикла продукции, если нет сведений о начальных объемах выпуска продукции.

Литература

1. Кулак, М. И. Метод моделирования жизненного цикла полиграфического оборудования в задачах инновационного менеджмента / М. И. Кулак, 3. В. Гончарова, Н. М. Семеняко // Труды БГТУ. Сер. IX, Издат. дело и полиграфия. - 2004. - Вып. XII. - С. 110-114.

2. Кулак, М. И. Анализ устойчивости статистической модели жизненного цикла печатной продукции к изменению набора данных / М. И. Кулак, Н. М. Семеняко // Труды БГТУ. Сер. IX, Издат. дело и полиграфия. - 2007. -Вып. XV. - С. 69-72.

3. Кулак, М. И. Обобщенная модель жизненного цикла печатной продукции / М. И. Кулак, Н. М. Семеняко, Н. Э. Трусевич // Труды БГТУ. Сер. IX, Издат. дело и полиграфия. - 2006. -Вып. XIV. - С. 129-132.

4. Герасимович, А. И. Математическая статистика / А. И. Герасимович. - Минск: Выш. шк., 1983. - 280 с.

5. Малюк, В. И. Проектирование структур производственных предприятий / В. И. Малюк. -СПб.: Бизнес-пресса, 2005. - 320 с.

Поступила 18.12.2008.

0

2

4

6

8

а