CC BY
19
Очевидно, что для произвольного звена неоднородного виртуального соединения время между началом передачи одного фрагмента и началом передачи следующего (рис. 4) может быть записано так:
Путь передачи
Xd = т, + G(Xd--тd),d = 1,D,X0 = 0 .
где
G( X) =
X X > 0; 0 X < 0.
Поскольку передача сообщения по звену с номером d >1 совмещена с передачей А-1 пакетов по предыдущему звену, то полная задержка сообщения при передаче по всему виртуальному соединению составит:
Т (Д А) = | {т , + (А -1)X , - (А -1)Хй-1} = й =1
= £ т й + (А - 1)ХВ. (1)
й=1
Выразим время передачи пакета по межузловому соединению через параметры звена передачи данных:
т А =
a^L+^d сd d
T (D, N) = X
d =1, d Ф IM
B+H
N
Cd
+ Td
+N
*m
B+H
N
C
+ T,
M
M
Здесь Тй имеет смысл времени обработки пакета в узле-приемнике й-го звена передачи данных. Подставляя данное соотношение в (1) и учитывая, что
в
Ь = — + Н , где В - размер передаваемого сообщения,
А
получаем:
Рис. 4. Схема прохождения мультипакетного сообщения
Выводы
1. Использование технологии разделения типов нагрузки ТЫК позволяет усилить эффект, достигаемый за счет статистического мультиплексирования.
2. При передаче по однородному виртуальному соединению однородного потока пакетов задержка сообщения не зависит от состава отдельных очередей к выходным каналам связи.
3. Задержка фрагмента сообщения по многозвенным виртуальным каналам с учетом влияния конвейерного эффекта в значительной мере определяется звеном соединительного пути с наибольшим временем передачи и имеет унимодальный характер.
Литература
1. Лагутин В.С., Костров В.О. Оценка характеристик пропускной способности пакетных сетей // Электросвязь. 2003. № 3.
2. Шварц М. Сети ЭВМ. Анализ и проектирование. М., 1981.
3. Сущенко С.П. Параметрическая оптимизация сети пакетной коммутации // Автоматика и вычислительная техника. 1985. № 2.
Северо-Кавказский государственный технический университет
13 июля 2004 г.
УДК 681.5
ПЛАНИРОВАНИЕ ТРАЕКТОРИИ ДВИЖЕНИЯ ШТУКАТУРНОГО РОБОТА НА ОСНОВЕ ЗАДАНИЯ СКОРОСТЕЙ В ОПОРНЫХ ТОЧКАХ
© 2005 г. Д.Я. Паршин, И.Г. Булгакова, Н. Техрани
Характерной особенностью планирования движения штукатурных роботов является необходимость задания скорости движения рабочего инструмента, определяемой условиями выполнения технологических операций. Кроме того, планирующие алгоритмы
должны иметь объем вычислений, обеспечивающий получение управляющей информации для степеней подвижности за интервал управления. Это делает проблематичным использование методов планирования, основанных на применении аппроксимирующих
степенных функций 3-го и более высоких порядков, для сложных кинематических структур роботов. За период связи системы с локальными приводами при таком планировании необходимо нахождение составляющих скоростей в декартовых координатах и решения обратной задачи кинематики о положении для каждой точки расчетного сплайна. Для кинематических структур штукатурных роботов, у которых решение обратной задачи о положении и нахождение обратного якобиана не формализовано, представляется целесообразным использовать двухуровневую интерполяцию. Суть предлагаемого метода планирования движений робота заключается в том, что на 1-м уровне интерполяции определяется функция Б. (), описывающая временной закон изменения пути, пройденного схватом манипулятора, а на 2-м уровне производится аппроксимация обобщенных или декартовых координат сплайнами 1-3-го порядка как функций текущего перемещения.
Рассмотрим математическое описание предлагаемого метода планирования. Пусть зависимость скорости от пройденного пути на ]-м интервале V. (я) изменяется по линейному закону:
f
Vj (S)= Vn
Pj - Pj-1
S,
-s + pj -i
s =
(Sj ) j = 1m,
(1)
где К
максимальная скорость движения, опреде-
= ^ / Vmax - относи-
1
f
Vj (s)= -1Vj (°)d° = Vm
'Pj -1
Л
2 • S,
-s + p
j-1
. (2)
Sj
Tj = j
2s,
Vj (Sj ) Vmax (Pj + Pj-1 )
(3)
т - переменная интегрирования. В этом случае изменение пути во времени описывается уравнением вида
SJ (t) = 0 V(( (SJ ))dт ( - Pj-i ) t2
4S,
+ P j-1 Vmax t.
(4)
ленная для манипулятора; р. , тельная скорость в ]-й опорной точке; Б. - величина
пути между опорными точками на ]-м интервале; т -количество интервалов аппроксимации.
Проинтегрировав уравнение (1), определим среднюю скорость перемещения рабочего органа манипулятора в декартовых координатах:
Продифференцировав (4), получим закон изменения скорости во времени:
(р 22 - р 22-1 ))х <
VJ ({ ) = --2^-+ Р- Vmax . (5)
Для проверки возможности сделанных допущений подставим в уравнения (4) и (5) значение Т., определяемое выражением (3), убедимся, что Б. (0) = 0,
Б] (Т] ) = (0) = Р1-1 Vmax , ^ ) = Р] Vmax ,
а следовательно, принятое допущение не нарушает граничных условий по скорости и положению.
Используя полученные зависимости Б. (/) и
V* (), перейдем к рассмотрению 2-го уровня интерполяции. Пусть траектория движения задана набором обобщенных координат в опорных точках Qi.,
I = 1, п , ] = 0, т, где п - количество обобщенных
координат, а т - число интервалов разбиения траектории. Если использовать линейную зависимость обобщенных координат от пути, то временной закон их изменения получим в виде
ди (Г) = ^ Бг (Г) + Qi;-1, i = М, ] = \т
Б i
или в векторной форме:
q, (t )=jj S; (t)+Q; -1.
(6)
Тогда время, необходимое для перемещения рабочего органа на ]-м интервале пути с учетом (2) составит:
Зависимость пути от времени Б. () определим,
проинтегрировав уравнение (1). При этом сделаем допущение, что средняя скорость на интервале не меняется и остается равной средней скорости в конце
интервала V. (Б.), тогда аргумент подынтегральной функции V; (я) представим в виде 5 = т V. (Б.), где
При близком расположении опорных точек кинематические соотношения между ними имеют линейный или близкий к линейному характер. Покажем, что в этом случае скорость в декартовых координатах совпадет с заданной. Пусть кинематика манипулятора на ]-м интервале определяется соотношением г = / (д) = С.д , где г - вектор размерностью 1хп
декартовых координат схвата робота; / (д) - вектор-функция размерностью 1х п решения прямой задачи о положении; С. - матрица размерностью п хп постоянных на ]-м интервале коэффициентов; д - вектор размерностью 1х п обобщенных координат. Продифференцировав векторное уравнение (6), запишем выражение для скорости на ]-м интервале
(t ) =
f- (q).
dq
q j (t )=C,
Qj - Qj -1
= (CjQj - CjQj-i)
(t)
))
S, '
(7)
Выполнив операцию нахождения квадратичной нормы векторов правой и левой частей уравнения (7), получим
= \Rj - Rj -1
iv; (t)
Sj
=v; (t).
Использование в строительных роботах микропроцессорных систем управления ставит конечной целью планирования траекторий движения нахождение дискретного задания для следящих приводов ма-нипуляционной системы робота. Формирование управляющих сигналов начинается с определения числа промежуточных точек дискретизации:
lj = round(тj / At), где round - функция округления,
At - шаг дискретизации. После этого производится уточнение шага дискретизации с учетом округления At * = Tj / lj и определяются составляющие вектора
обобщенных координат на к-м шаге Q, (At*к),
к=и,.
Недостаток использования линейного алгоритма для второго уровня планирования траекторий состоит в появлении точек разрыва 1-го рода при сопряжении сплайнов в функции скорости обобщенных координат. В этом случае обобщенные скорости в j-й точке слева
q j-1 (j ) и справа q, (0) соответственно равны
• (0) Qj - Qj-i
q j(0 )= V
p ■ 1 V
r j -1 max •
/ \ Q j -1 Q j-2
q j -1 (Tj-1 ) =-S-Р]-1 Vmax
Sj-1
(8)
а производная в момент перехода между сплайнами имеет скачок
lj -1
(Tj -1)
q j (0)-q j-1 (tj-1 ).
At ,
r Qj -Qj -1 - Qj-j - Qj - 2 ^ Sj Sj-1
Р j -1 Vm
(9)
Указанные недостатки вызваны использованием линейной зависимости обобщенных координат от пути (6), который обеспечивает непрерывность траектории в точках сопряжения сплайнов только по положению. При этом на 1-м уровне интерполяции функция положения не имеет точек разрыва в 1-й производной. Для устранения нежелательных скачков в производной воспользуемся кубическими полиномами вместо уравнения (6). С целью упрощения математических преобразований сплайн обобщенных координат запишем как функцию пути в виде
,(s) = a 3 s3 + a 2 s 2 + a1s + a 0.
(10)
В этом случае граничные условия для положений на }-м участке аппроксимации равны
qj (0) = a о = qj--1.
4} ) = азЯ}3 + а2Я} 2 + а1 Я] + ао = в}. (п)
Для граничных условий по скоростям используем усредненную оценку скорости на текущем и соседнем интервале:
q j (0) = a1 =
Qj -Qj-1 + Qj-^gj-2
A
'j-1
q j (Sj ) = 3a3 Sj + 2a2 Sj + a 1 =
Qj -_Qj-1 + Qj +2-Qj
s,
S
j+1
(12)
В результате получаем систему уравнений, которая позволяет найти коэффициенты интерполяции:
а з = ( - 2 ( - в] - - а: *))/^ 2,
a 2 = (У - 3a 3 S,
/ S,
(13)
где
что может вызвать перегрузки в приводах манипулятора. Из анализа уравнений (8) и (9) видно, что скачок скорости увеличивает при неравномерном распределении изменения обобщенных координат на соседних интервалах и при уменьшении периода дискретизации
. *
At}.
У = ( +: - в])/Я }+: - а:. Для расчета сплайнов на первом и последнем участках интерполяции, когда значения векторов ви 2}+1 не известны, можно
использовать линейный (без сопряжения по скорости) или квадратичный законы изменения обобщенных координат.
На рис. 1 приведен пример планирования движения плоского двухзвенника по 1-й обобщенной координате при использовании линейнных и кубических сплайнов. Точками показаны равноотстоящие друг от друга по времени отрезки. Из графиков видно, что при увеличении плотности точек разбиения нежелательные скачки скорости при использовании линейной интерполяции уменьшаются. Использование кубических сплайнов позволяет получить плавные траектории. Недостатком применения этих сплайнов является не точное соответствие скорости движения схвата в опорных точках за счет сглаживания траектории во
избежание разрывов. Однако для отделочных, бетоно-укладочных и ряда других строительных роботов такое несоответствие скоростей в опорных точках не является существенным.
M - D (q)q + h (q, q) + с (q),
(14)
онных сил. При исследовании динамики штукатурных роботов действием кориолисовых и центробежных сил можно пренебречь. Тогда, при исследовании 1-го интервала, уравнение (14) линеаризуем в окрестности интервала и представим в виде
М (( ) = Р (д ; )д (( )+ с (д (0 ))+ с 9 (д ( ) —д (0)), (15)
дс (q)
где Cq = dq
q =(Qj -Q}-1 )•
q=qj
Рис. 1. Изменение обобщенной координаты при отработке прямолинейной траектории: 1 - линейный сплайн; 2 - кубический сплайн
При планировании траекторий движения рабочего органа, помимо выполнения технологических требований к скорости его движения, необходимо учитывать ограничения на управляющие моменты и скорости изменения обобщенных координат. Эти ограничения могут быть учтены путем снижения заданной относительной скорости в опорных точках до выхода контролируемых величин на граничные значения. Основываясь на предложенной методике расчета сплайнов, рассмотрим возможность коррекции относительной скорости в опорных точках при наложенных ограничениях на обобщенные силы. На первом этапе, используя уравнения (11)—(13), определяют коэффициенты второго уровня интерполяции а ^ .
Затем осуществляют последовательную проверку ограничений по каждой обобщенной координате на всех интервалах интерполирования. Динамику манипулятора, в соответствии с [1], представим уравнением вида
Из уравнения (15) видно, что превышение ограничений может наблюдаться на границах интервала и в точках экстремума функций ускорения и положения обобщенных координат. Поэтому целесообразно сначала производить коррекцию скоростей в опорных точках. Для коррекции относительной скорости в левой опорной точке интервала, подставим в уравнение (15) выражения (4) и (10) и приравняем t = 0. В результате получим зависимость обобщенной силы от относительной скорости в этой точке
М = 2Р ( 1 ) Кшах Р} —1 (а 2 ^шах Р ] —1 + а 1 ) + С ( д (О)) .
Приравняв правую часть этого уравнения предельным значениям обобщенных сил М(11ш), получаем систему квадратных уравнений, решение которой позволяет определить допустимые значения относительных скоростей
,(lim) -
-D (q j )a1 + sign (M (llm)))
4D (q j )a2 Vmax
где 21 = (Р(д 1 а) 2 — 8(Р(д)а2) г (с(д(0)) — М «),
I = 1, п .
Проанализировав полученные решения и установив минимум, производим корректировку относительной скорости движения. При коррекции в правой опорной точке приравняем t = Т, в результате получаем п квадратных уравнений вида
где
где М — вектор (п х 1) обобщенных сил, создаваемых силовыми приводами в сочленениях манипулятора; Р (д) — симметричная матрица динамики размерностью п х п; к (д, д) — вектор (п х 1) кориолисовых и центробежных сил; с (д) — вектор (п х 1) гравитаци-
М = С! Р2 + С 0,
С0 = Р (д 1 )(3а3 2 + 2а2 81 + а 1 )шах Р} —1 + +с(д (0))+ Сд (д(t) — д (0)), с 1 = Р (д 1 )(баз + 2а2 ).
Решение этой системы запишем в виде р(11ш) = ^((М(11ш) — с 0) / с 0 . Из этого уравнения видно, что при уменьшении относительной скорости в левой опорной точке сплайна допустимая скорость перемещения в правой точке уменьшается. Следова-
тельно, коррекция точек должна осуществляться в направлении слева направо. Для нахождения значений аргумента / в точках экстремума необходимо продифференцировать и приравнять нулю функции д () и
д (). Так как порядок интерполяционных полиномов
невысок, то вероятность появления биений невелика. Поэтому, во избежание излишней загрузки управляющей системы, можно рекомендовать производить коррекцию только в опорных точках.
Из проведенного анализа можно сделать вывод, что при задании скорости отработки траектории целесообразно для аппроксимации использовать двухуровневую интерполяцию сплайнами низкого порядка. Задача выбора порядка сплайна решается с учетом плотности расположения опорных точек. Если эта плотность велика и система малочувствительна к скачкам ускорений или требуется точное соответствие заданной скорости, то возможно использование линейного закона.
4 ноября 2004 г.
Южно-Российский государственный технический университет (НПИ)
УДК 681.5
АЛГОРИТМЫ ДЕКОМПОЗИЦИИ РАЗВИВАЮЩЕЙСЯ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ НА КОМПОНЕНТЫ ОГРАНИЧЕННОЙ СЛОЖНОСТИ
© 2005 г. И.М. Савельев, Р.Ю. Исраилов
В этой работе, которая является продолжением разработок [1], описывается конкретный вариант алгоритма ф3, перечисляющего в графе О всевозможные д-совместимые подмножества заданного множества вершин Q с У0, являющиеся объединениями некоторых максимально плотных подмножеств в Q и содержащие заданную вершину VO е Q. Функционирование алгоритма в предлагаемом варианте выражается в построении графа О* - результата последовательного стягивания в графе О каждого максимально плотного подмножества А е Q к некоторой одной вершине уа так, что разные такие подмножества стягиваются к разным вершинам, в перечислении в графе О* всех д-совместимых подмножеств некоторого множества Q*, содержащих некоторую вершину у0* , и в замене каждого такого подмножества В объединением максимально плотных подмножеств Qv. с Q, стягиваемых
при построении О* к вершинам V*е В. Множество Q* здесь состоит из всех тех вершин в графе О* , к которым стягиваются различные максимально плотные подмножества из Q (в том числе и одноэлементные), а за v0* принимается вершина в О*, к которой стягивается подмножество, содержащее v0. Перечисление д-совместимых подмножеств в Q*, содержащих вершину v0*, осуществляется тривиально - путём последовательного (в порядке возрастания мощности) перебора всех подмножеств в Q*, содержащих v0*, и отбора среди них тех подмножеств, которые д-совместимы в О*. Построение графа О*, множества Q и вершины v0* выполняется одновременно с построением в О максимально плотных подмножеств из Q при помощи следующего простого алгоритма ф4, вытекающего из свойств не пересекаемости (следствие 3 [1]) и связности (утверждение 5 [1]) таких подмножеств и из условий плотности объединения плотных множеств (утверждение 4 [1]).
Алгоритм ф4:
0. О*:=О, Q*:={v*: vе Q}, Vo*:= ^ Qv* := М для каждой вершины vе Q.
1. I := 1.
2. Если />| Q*|, то п. 5; иначе 1:=1+1.
3. Выбирается в Q* очередное связное в О* подмножество А мощности I и выполняется п. 4; по исчерпании всех таких А С Q* осуществляется возврат в п. 2.
4. Если в графе О ЗА}- е А (д(А})< д(А)), то п. 3;
иначе множество А стягивается в О к некоторой вершине VA, принимаемой в случае v0*е А за v0* в новом
Щ,,.
графе О*, Q*:=(Q*- А) и {,а}, Q vA := , и осу-
v * е А
ществляется переход в п.1.
5. Конец; полученные в итоге граф О*, множество Q*, вершина v0* и подмножества Qv*с Q, стянутые к вершинам v*е Q* и представляющие собой всевозможные максимально плотные подмножества в Q, образуют результат работы алгоритма.
Стягивание подмножества А с ,0 к одной вершине, фигурирующее в описании алгоритма, заключается в отождествлении между собой всех вершин в А . Формально результат этой операции достигается следующей последовательностью действий:
1) из множества вершин рассматриваемого графа удаляются все вершины множества А;
2) к оставшимся вершинам графа добавляется некоторая новая вершина vA с весом, равным сумме весов удалённых вершин (в этом случае говорят, что А стягивается к ,А);
3) из множества рёбер графа удаляются все рёбра, инцидентные вершинам в А и не инцидентные вершинам вне А ;
4) в оставшихся рёбрах графа каждая вершина из А заменяется вершиной без изменения весов рёбер;
