Оценка энергоэффективности траекторий рабочего оборудования в виде манипулятора Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 62-932:62.532

ОЦЕНКА ЭНЕРГОЭФФЕКТИВНОСТИ ТРАЕКТОРИЙ РАБОЧЕГО ОБОРУДОВАНИЯ В ВИДЕ МАНИПУЛЯТОРА

А.Г. Гурко, доц., к.т.н., Харьковский национальный автомобильно-дорожный университет

Аннотация. Повышение эффективности машин с рабочим оборудованием в виде манипуляторов связано с автоматизацией выполняемых ими рабочих процессов. Приведены результаты анализа энергетической эффективности траекторий, полученных наиболее распространенными методами: аппроксимацией кубическими сплайнами и линейными сегментами с параболическими сопряжениями.

Ключевые слова: рабочее оборудование, манипулятор, планирование траектории, затраты энергии.

ОЦ1НКА ЕНЕРГОЕФЕКТИВНОСТ1 ТРАСКТОРШ РОБОЧОГО ОБЛАДНАННЯ

У ВИГЛЯД1 МАНШУЛЯТОРА

О.Г. Гурко, доц., к.т.н., Харк1вський нацюнальний автомобшьно-дорожнш ушверситет

Анотац1я. Шдвищення ефективност1 машин з робочим обладнанням у вигляд1 мантулятор^в пов'язане з автоматизащею виконуваних нимиробочих процеав. Наведенорезулътати анал1зу енергетичног ефективност1 траекторт, що одержанi найбтъш поширеними методами: апрок-симацгею кубгчними сплайнами та лттними сегментами з парабол\чними сполученнями.

Ключов1 слова: робоче обладнання, манипулятор, планування траекторИ, витрати енергп.

EVALUATION OF ENERGY EFFICIENCY OF WORKING EQUIPMENT TRAJECTORIES IN THE FORM OF A MANIPULATOR

O. Gurko, Assoc. Prof., Cand. Sc. (Eng.), Kharkiv National Automobile and Highway University

Abstract. Improving the efficiency of machines with working equipment in the form of manipulators is associated with the automation of working processes being carried out. The results of the analysis of trajectories energy efficiency obtained by the most common methods: cubic spline approximation and linear segments with parabolic conjugation.

Key words: working equipment, manipulator, trajectory planning, expenditure of energy.

Введение

В различных отраслях промышленности широко используются машины с рабочим оборудованием в виде манипулятора. К ним относятся экскаваторы, планировщики, лесные валочно-пакетирующие машины, автогидроподъёмники и т.п. Для повышения эффективности использования указанных машин необходимо снижать энергетические затраты

на реализацию выполняемых ими рабочих операций. Этого, кроме всего прочего, можно добиться планированием траекторий рабочего оборудования, реализация которых требует минимальных затрат энергии.

Анализ публикаций

Под планированием траектории манипулятора понимается определение таких законов

изменения углов поворота или линеиных перемещений звеньев при заданных ограничениях на их скорости и ускорения, которые бы обеспечили прохождение рабочего инструмента из начальной точки в конечную через некоторую последовательность контрольных точек [1-3]. При этом часто требуется поддерживать определенную ориентацию рабочего инструмента в контрольных точках. Например, при автоматическом копании экскаватором необходимо, чтобы угол резания сохранял постоянное значение, соответствующее наименьшей силе сопротивления резанию (30°...50°) [4].

Начальная, конечная и промежуточные контрольные точки траектории могут быть заданы как в присоединенных, так и в декартовых координатах (в операционном пространстве). Использование декартовых координат предпочтительнее, поскольку в них легче задавать требуемое положение рабочего инструмента. Планирование же самой траектории удобнее осуществлять в присоединенных координатах.

В литературе [1-10] описано достаточно много методов планирования траекторий манипуляторов, обобщение которых позволяет выделить три следующих подхода:

- аппроксимация траекторий сплайнами «-го порядка (обычно п = 3 или п = 5);

- интерполяция траектории одним полиномом п-го порядка;

- использование сплайнов различного порядка. Наиболее распространены так называемые 4-3-4 траектории и линейные сегменты с параболическими сопряжениями (LSPB);

- применение методов оптимизации, в частности, метода динамического программирования [5, 7, 8].

Распространённый подход к построению траектории, переводящей манипулятор из положения е Ж" в положение е Ж" через последовательность промежуточных точек ц, . е Ж™ за время *е [*0, и удовлетворяющей условию гладкости, состоит в использовании кубических сплайнов (КС). Выше приняты следующие обозначения: ц -вектор присоединенных координат (углов поворота и/или линейных перемещений звеньев); п - число степеней свободы манипулятора; т - количество промежуточных точек. При использовании КС траектория разбива-

ется на т + 1 участков, для к-го из которых записываются полиномы

Яk ) = ак 3(3 + а 2*2 + +а

k 0 :

Чк (*) = 3ak3*2 + 2ак2* + ак^

Чк (*) = 6ак 3* + 2а,

к 2'

(1)

(2)

(3)

где * е[0, *к] - время, затрачиваемое на прохождение к-го участка траектории.

Для каждой к-й промежуточной точки предъявляются дополнительные условия непрерывности скорости и ускорения, т.е.

3ак 3*1 + 2ак 2*к + ак1 = ак+1,1 ,

6ак 3*к + 2ак 2 = 2ак+1,2.

(4)

(5)

В общем случае, при движении из начального положения в конечное с заданными скоростью и ускорением через т промежуточных точек образуются 4т + 4 уравнения с 4т + 4 неизвестными коэффициентами для т + 1 участков траектории.

Однако при использовании КС могут наблюдаться рывки при движении звеньев манипулятора [9, 10]. Это связано с тем, что полученные решения обеспечивают непрерывность по положению и скорости, но не гарантируют непрерывности ускорения между промежуточными точками. В связи с этим иногда для интерполяции участков траектории применяют полиномы более высоких порядков. Например, если в начале и в конце каждого к-го участка заданы не только ориентация и скорость, но и ускорение звена манипулятора, то используется полином пятого порядка (квинтик)[2]

д(0 = а5*5 + а4*4 + а3*3 + а2*2а1* + а0. (6)

Производные первого и второго порядка от (6) также являются гладкими полиномами.

В [9] в качестве альтернативы кубическим сплайнам для синтеза траекторий в операционном пространстве через последовательность промежуточных точек предложено использовать один полином 4-го или 6-го порядка. Однако, как отмечает сам автор, применение полинома 4-го порядка приводит

к большим ускорениям звеньев и, соответственно, к рывкам при движении манипулятора. Синтез же траекторий при помощи полиномов 6-го порядка для большого числа промежуточных точек сопряжен с вычислительными трудностями.

В работе [11] предложен основанный на модифицированном методе наименьших квадратов алгоритм автоматического поиска степени «-го полинома, обеспечивающего получение сглаженной траектории через т промежуточных точек.

Еще один способ полиномиальной аппроксимации траектории заключается в использовании сплайнов различного порядка. При 4-3-4 подходе траектории присоединенных переменных между контрольными точками делятся на три участка: первый и последний описываются полиномами четвертого порядка, а средний - полиномом третьей степени [1]. Таким образом, для каждого участка траектории каждого звена с учетом граничных условий образуются 14 уравнений с 14 неизвестными коэффициентами. Однако с увеличением числа степеней свободы манипулятора растёт и количество неизвестных, расчёт которых в режиме реального времени может вызвать определённые вычислительные трудности. В этом случае применяют LSPB-подход [2].

Использование LSPB позволяет обеспечить трапециевидный закон изменения скорости. Для этого части траектории каждой присоединенной переменной также делятся на три участка; однако первый и последний описываются полиномами второго порядка, а средний, который соответствует постоянной скорости, - линейной функцией. Однако этот метод также приводит к большим ускорениям звеньев в моменты переключения скоростей.

Цель и постановка задачи

Использование указанных и иных методов планирования траекторий приводит к разным законам изменения присоединенных координат, реализация которых требует различных затрат энергии. Представляется целесообразным определять траекторию, оптимальную с точки зрения минимума энергетических затрат.

Целью данной работы является сравнительная оценка энергоэффективности траекторий, синтезированных двумя наиболее распространёнными методами: аппроксимацией кубическими сплайнами и линейными сегментами с параболическими сопряжениями в пространстве присоединенных координат.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

- получить модель динамики гидравлического привода звеньев рабочего оборудования;

- построить модель динамики рабочего оборудования;

- определить критерий энергетической эффективности траектории;

- построить имитационные модели рабочего оборудования и провести вычислительные эксперименты по определению эффективности траекторий.

Модель динамики гидропривода

При получении модели динамики исполнительного гидропривода рабочего оборудования будем ориентироваться на привод, имеющий гидрораспределитель с электромагнитным управлением (рис. 1).

Рис. 1. Упрощенная схема объемного гидропривода /-го звена манипулятора

Электрическое напряжение и, подаваемое на электромагнит /-го гидрораспределителя SV

(/ = 1, п), приводит к перемещению его штока на значение xV/, что влечёт за собой изменение расходов QA¡ и QB/ рабочей жидкости в бесштоковой и штоковой полостях гидроцилиндра соответственно. Приняв, что каждое звено манипулятора приводится в движение одним гидроцилиндром, запишем [12]

ОА = М уМХ V)sign(P V - Р А^|р V - РА |

^(-Ху^^Ра -Рт^ |Ра - Рт|] QB = МуМХV)sign(Pв - Рт^|рв - Р

(7)

-бV)sign(pV - Р],

(8)

где

Оа = [(2аь QA2,QAn] , QB = [QB1, QB2,QB"] -

векторы расходов рабочей жидкости в соответствующих полостях гидроцилиндров;

Ра = [ра1, ра2,".> Рап ]t, Pв = [Рв1> Рв2,..., Рв" ]т -векторы давлений в соответствующих полостях гидроцилиндров; Pv = [Ру1, Ру2,-, Pv" ]т -вектор давлений на входе гидрораспределителей; рт = [рт1,рт2,...,рТп]т - вектор давлений на выходе гидрораспределителей; су = } - матрица коэффициентов, за-

висящих от площади проходного сечения 7-го золотника и плотности жидкости, 7 = 1, п ; а также принято следующее обозначение

Sg( бу) =

Гху, при ху > 0, I 0, при ху < 0.

Изменения давлений в полостях гидроцилиндров определяются выражениями

Ро(Ра) ( Уа (бр)

^Хр

дц

QA - А- Qmt

Л

(9)

Ре (Рв) ( Ув(Хр)

дбр

Ов + Ав + Qmt , (10) дц

где

УА( Хр) = VI,, А + (б р0 + Х р)АА

(11)

Vв( хр) = Ч,в + (Хр0 + Хр)Ав, (12)

уь,а = ^Р^а7 Ь Уь,в = ^^^37} - матрицы, элементами которых являются объемы трубопроводов со стороны бесштоковой А и штоковой в полостей гидроцилиндров соответственно; Ре = [Ре1, Ре2,.,Реп]т - ВеКТОр приведенных модулей упругости рабочей жидкости; X р0 = ^^ х р0.} и х р = diаg{хр.} - матрицы исходного и текущего положений

штоков 7-х гидроцилиндров; А а=НТкр{Аа7} , А в = НТкр{ Ав 7} - площади поршня 7-го гидроцилиндра со стороны бесштоковой А и штоковой в полостей, 7 = 1, п;

Ой = [Qintl,Qint2,•••,Qint"]т - внутренние утечки из одной полости 7-го гидроцилиндра в

другую; Ъ = [ч1, Ч2,..., ]т - присоединённые координаты манипулятора.

Результирующие силы Fр = [Fр2,•••,]т ,

действующие на шток гидроцилиндров, определяются как

Fр = АаРа - АвРв -Б&(Хр)-Fеí

(13)

где БПД6р) = [^Ffг2,•••,Ffг"] - вектор сил

трения; ^ = ^х^Fеxt2,•••,Fеxtn]т - век™Р внешних сил, действующих на штоки гидроцилиндров.

Модель динамики манипулятора

Динамика манипулятора с п степенями свободы может быть получена при помощи уравнения Лагранжа-Эйлера [1-3]

d дL дL

Л д</г ддг

' = X

7 = 1, п ,

(14)

где х7 - обобщенная сила (момент), соответствующая обобщенным координатам ц; L -лагранжиан, который представляет собой разность полной кинетической К и полной потенциальной и энергий системы. В качестве обобщенных координат ч 7 в (14) удобно принять присоединенные переменные манипулятора.

Кинетическая энергия манипулятора определяется выражением

1 т

к= - ъ тщч)ч,

(15)

где

D(q) = ¿{тг4+ 310RI (0Rг)т 3а}

7=1 ^ '

. (16)

где т7 - масса 7-го звена манипулятора; 17 -тензор инерции; 3 - матрица Якоби для

А

в

линеинои скорости V центра масс /-го звена; Jfflг■ - матрица Якоби для угловой скорости ю центра масс /-го звена; 0 R г - матрица поворота системы координат, связанной с г-м звеном, относительно исходной неподвижной системы координат.

Потенциальная энергия манипулятора может быть записана как

Определение эффективности траекторий

В качестве примера будем рассматривать машину с рабочим оборудованием в виде манипулятора с вращательным движением звеньев. В этом случае затраты энергии на реализацию движения манипулятора машины можно оценить в виде выполненной работы, которая при повороте звеньев вокруг оси на угол д/ определяется выражением

Л = "Е Ш/Р

(17)

где р - вектор ускорения силы тяжести в базовой системе координат; гс/ - радиус-вектор центра масс /-го звена относительно неподвижной системы координат.

Из матрицы D(q) в уравнении (16) можно получить символы Кристоффеля сг.к [13]

п 1

А = 11'

(22)

90

Оценка энергоэффективности траекторий выполнена путём проведения вычислительных экспериментов. Планирование траекторий производилось для стрелы и рукояти экскаватора 3-й размерной группы со следующими значениями параметров (табл. 1) [14].

1 \дd¡

с/]к =

Таблица 1 Параметры манипулятора экскаватора

>, (18)

2 [ д9 д9. д9, ^

где г = 1, п, ] = 1, п , к = 1, п , а ё - элементы матрицы D(q).

Из выражения для потенциальной энергии (17) найдем функцию

дЛ к л

-, к = 1, п .

д9к

(19)

Тогда уравнения Лагранжа-Эйлера могут быть записаны как

Е ёк] (9)9 ] + ЕЕ сг]к (9Ш] + §к (9) = *к .(20)

/=1

/=1 ]=1

Уравнение (20) удобно представить в матричном виде. С учётом уравнения (13) для гидропривода получим

Б(Ъ)Ъ + С(ъ, Ъ )Ъ + G(q) = дх дъ

= ^(ААРА " АВРВ " Г&(хр) " ^ехЭ )'

(21)

где D(q) = Щ ] е , С(ъ, ъ) = [с. ] е ,

Т _ тп>п

G(ъ ) = [р ]Т е Шп .

Звено Масса, Ш/ [кг] Момент инерции, 1г [кг-м2] Длина, к [м]

Стрела 1566 14250,6 5,16

Рукоять 735 727,7 2,59

Динамика манипулятора экскаватора моделировалась уравнением (21), при этом силами трения и внешними силами пренебрегали. Исходное положение манипулятора в операционном пространстве определялось координатами х(0) = 6,71 м, г(0) = 1,29 м (точка I на рис. 2), что соответствует обобщенным координатам ъ(0) = [30,-60]т градусов.

Требуемое конечное положение манипулятора б(^) = 4,70 м, = 2,98 м при ъ(/п) = = [60,-95]т градусов (точка F на рис. 2).

3.5 3.0 2,5 2 1,5 1

0,5 0

-0,5

Б I - исходное положение

" % Б - конечное положение "

Уи - промежуточные точки

\\

\ч

\\ LSPB - /

\\

I Кубические \ ,

" сплайны \ / :

__1_[_1_

4.5 5 5.5 6 6.5 7

б, м

Рис. 2. Траектории манипулятора экскаватора

т

г

г=1

Траектория должна пройти через промежуточные точки У1 и У2 с координатами хя1 = 6,15 м, гя1 = 0 м и хя2 = 5,60 м, гя2 = 0,50 м соответственно. Время прохода участков траектории: = 2 с, *2 = 1 с и *3 = 2 с для 1-го, 2-го и 3-го участков траектории соответственно. Максимально допустимое угловое ускорение - 0,5 рад/с2.

Траектории обобщенных координат д1(*) и д2(0 приведены на рис. 3. Из рис. 2 и рис. 3 видно, что метод LSPB не обеспечивает точного прохождения траекторий через заданные промежуточные точки.

1.1 г 1 -0.9 -

I - исходное положение F - конечное положение У12 - промежуточные точки

Кубические сплайны ^

0.8

&

£ 07 0.6 0.5

Как видно из рис. 4, значения работ для полученных разными методами траекторий отличаются незначительно (на 0,56 %): 28,47 кДж - для траектории, определенной при помощи КС, и 28,31 кДж - для траектории, построенной с использованием LSPB.

Однако экономия энергии за рабочую смену уже является существенной. Поэтому, с точки зрения энергетических затрат, при планировании траекторий рабочего оборудования машин более рационально использовать LSPB.

Выводы

Разработка и внедрение систем автоматического управления рабочим процессом машин с рабочим оборудованием в виде манипуляторов является наиболее перспективным путем их совершенствования. Одной из задач, решаемых указанными системами, является синтез наиболее эффективных траекторий рабочего оборудования.

-1 -1.1 -1.2

51

& -1.3 ® -1.4 -1.5 -1.6 -1.7

I - исходное положение F - конечное положение ~ У12 - промежуточные точки -

0

с

Рис. 3. Траектории обобщенных координат стрелы (а) и рукояти (б), полученные различными методами

Значения работы, выполняемой при перемещении рабочего оборудования по полученным траекториям, определялись при помощи выражения (22) и отображены на рис. 4.

КС LSPB

Рис. 4. Работа, выполняемая при перемещении: стрелы Ас, рукояти Ар, и полная работа А

В статье выполнен анализ энергоэффективности траекторий, полученных при помощи кубических сплайнов и LSPB. В качестве критерия принято количество работы, выполняемой при движении рабочего оборудования по полученным траекториям. Результаты анализа показывают, что траектории, определённые с использованием LSPB, являются более эффективными, с точки зрения энергетических затрат. Кроме того, этот метод планирования траектории позволяет обеспечить высокое быстродействие системы. Его недостатком является относительно высокая вычислительная сложность, а также рывки и вибрации в силу прямоугольного профиля ускорений. Это негативно сказывается как на качестве отработки траектории, так и на надёжности машины, а также приводит к дополнительному расходу энергии приводом. В связи с этим необходима разработка новых методов планирования траекторий рабочего оборудования машин, оптимальных с точки зрения энергетических затрат и в то же время обеспечивающих плавность его движения.

Литература

1. Фу К. Робототехника / К. Фу, Р. Гонсалес, К. Ли; пер. с англ. - М.: Мир, 1989. -624 с.

0.4

0

2

3

4

5

t, с

2

3

4

5

2. Spong M.W. Robot modeling and control /

M.W. Spong, S. Hutchinson, M. Vidya-sagar. - New York: Wiley, 2006. - 420 p.

3. Craig J.J. Introduction to Robotics:

Mechanics and Control / J.J. Craig. -Pearson Prentice Hall, 2005. - 406 p.

4. Акинфиев А.А. Создание системы управ-

ления операцией копания для одноковшового гидравлического экскаватора с целью повышения эффективности его работы: дисс. ... канд. техн. наук: 05.05.04 / А.А. Акинфиев. - М.: 1983. -236 с.

5. Гурко А.Г. Решение обратной задачи ки-

нематики плоского шарнирного избыточного манипулятора. / А.Г. Гурко, И.В. Янчевский // Мехашка та машино-будування. - 2014. - №1. - 136-147.

6. Ata A.A. Optimal trajectory planning of ma-

nipulators: a review / A.A. Ata // Journal of Engineering Science and Technology. -2007. - Vol. 2, No 1. - P. 32-54.

7. Field G. Iterative dynamic programming: an

approach to minimum energy trajectory planning for robotic manipulators / G. Field, Y. Stepanenko // Proceeding on IEEE International Conference on Robotics and Automation. - 1996. - Vol. 3. -P. 2755-2760.

8. Chou L.S. Geometric work of manipulators

and path planning based on minimum energy consumption / L.S. Chou, S.M. Song // Journal of Mechanical Design. - 1992. -Vol. 114, No 3. - P. 414-421.

9. Williams R.L. Simplified Robotics Joint-

Space Trajectory Generation with a via

Point Using a Single Polynomial / R.L. Williams [Electronic Source] // Journal of Robotics. - 2013. - 6 p.

10. Zhang K. Cubic spline trajectory generation

with axis jerk and tracking error constraints / K. Zhang, J.X. Guo, X.S. Gao // International Journal of Precision Engineering and Manufacturing. - 2013. - Vol. 14, No. 7. -P. 1141-1146.

11. Горитов A.H. Сглаживание траектории

перемещения рабочего органа робота-манипулятора / А.Н. Горитов, С.М. Алфёров / /Известия Томского политехнического университета. - 2006. - Т. 309, № 8. - С. 176-179. 12 Jelali M. Hydraulic servo-systems: modelling, identification and control / M. Jelali, A. Kroll. - London: Springer, 2003. -380 p.

13. Позняк Э.Г. Дифференциальная геомет-

рия: первое знакомство. / Э.Г. Позняк, Е.В. Шикин. - М.: Изд-во МГУ, 1990. -384 с.

14. Koivo A.J. Modeling and Control of Exca-

vator Dynamics During Digging Operation / A.J. Koivo, M. Thoma, E. Kocaoglan, J. Andrade-Cetto // Journal of Aerospace Engineering. - 1996. - Vol. 9, No 1. -P. 10-18.

Рецензент: A.B. Полярус, профессор, д.т.н., ХНАДУ.

Статья поступила в редакцию 29 апреля 2016 г.