Планирование испытаний для построения классифицирующей функции Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УДК 62-500.222.001.57

С.А.Попов, В.В.Жижин

ПЛАНИРОВАНИЕ ИСПЫТАНИИ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ КЛАССИФИЦИРУЮЩЕИ ФУНКЦИИ

Политехнический институт НовГУ, Stanislav.Poyov@novsu.ru

A new method of experimental design for building discriminant function that allows to improve the accuracy of function coefficients estimation was proposed.

Ключевые слова: классифицирующая функция, оптимальное планирование испытаний Введение

Классификация технических объектов выполняется с помощью разделяющей классы функции / (Х,В) = 0 , где X — технические параметры объекта; В — коэффициенты. Для расчета оценок коэффициентов проводятся испытания объектов на принадлежность тому или иному классу при различных X. Оценки коэффициентов обычно рассчитываются методом наименьших квадратов [1], что в данном случае приводит к большим ошибкам при использовании полученной разделяющей функции / (Х,В) для определения принадлежности объектов. В работе [2] предложен другой метод расчета оценок коэффициентов — форма разделяющей функции. Если обозначить вероятность принадлежности определяемому классу д1 и вероятность принадлежности другому классу д2, то факт принадлежности данному классу (у = 1) или не принадлежности этому классу (у = -1) определяется по результатам испытаний, которые дают оценку величины д = д - д2. Аппроксимацию зависимости величины д от технических параметров можно представить в виде

д(х, В) = ^и[/(х, в)]{1 - ехр[-|/(х, в)|]}. (1)

Функция (1) равна нулю на границе раздела между классами и стремится к 1 (или к -1) при удалении от разделяющей поверхности, что соответствует практической ситуации.

Ковариационная матрица оценок коэффициентов рассчитывается по формуле

Vb = о;

Y p (x і , В ))'p T (x і , В)

где УЕ — ковариационная матрица ошибок наблюдений, а

дq ( X, В ) =

(2)

P (X, В ) =

дВ

: sign[g(X,В)]exp[-|f (X,В)]

дf ( X, В ) дВ

Оптимальное планирование испытаний

От расположения точек плана испытаний зависит точность определения оценок коэффициентов классифицирующей функции и точность определения класса принадлежности объекта. План испытаний представляет собой совокупность точек испытаний П = = {{, X2, к, Xп }, где п — число испытаний. Оптимальное планирование испытаний позволяет уменьшить определитель det Ув , что повышает точность классификации. Такие планы называются Б-оптимальными. Б-оптимальный план определяется следующим образом:

ае1 УВ (п0 ) = тах ае1 ^ р(х,., В) рТ (х,., В) (3)

ПеЕ х 1=1

где П0 ={х10,X20,...,X0} — оптимальный план в смысле критерия ^-оптимальности, а вектор Р определяется выражением (2).

Экстремальная задача (3) имеет размерность то, где о — число точек плана испытаний, т — число технических параметров. Для построения плана испытаний в соответствии с (3) необходимо знать

оценки коэффициентов В, которые до проведения испытаний неизвестны. В этом случае можно использовать априорную информацию по модели в виде плотности распределения оценок коэффициентов ф(В) и в качестве критерия оптимальности плана использовать среднюю величину det УВ в виде

detVR

(п° )= max [detY p(xi, BkjP (xi, І?)ф<В)йгі. (4)

Пє! X J

Вычислительный эксперимент, проведенный для полной квадратичной модели, для которой д/ (X, В)

дВ

x2, x3, x1x2, x1x3,..., x3

показал сле-

дующие величины критериев оптимальности для различных видов планов (см. табл.).

Относительные значения величины detVB ІП

(п0 )

Число точек плана При известных коэффициентах При заданном распределении коэффициентов

Оптимальный план Равномерный план Оптимальный план Равномерный план

12 1 6,31 2,84 3,47

16 1 4,61 2,21 3,07

20 1 3,32 1,74 2,46

Заключение

Процедура оптимального планирования (4) позволяет строить априорные планы испытаний для построения разделяющей функции и приблизительно в два раза повышает точность оценивания коэффициентов разделяющей функции по сравнению с равномерным планом испытаний. Использование такого планирования испытаний особенно важно, если испытания являются дорогостоящими и требуют длительного времени, как, например, при испытании образцов бетона на морозостойкость.

1. Л.Хартман и др. Планирование экспериментов в исследовании технологических процессов. М.: Мир, 1977. 552 с.

2. Попов С.А., Жижин В.В. // Вестник НовГУ. 2007. №44. С.11-13.

i=1

-1

1=1