CC BY
73
УДК 666.97
ОПТИМИЗАЦИЯ КОНСТРУКТИВНЫХ ПАРАМЕТРОВ НА ОСНОВАНИИ МНОГООТКЛИКОВОЙ МОДЕЛИ
С.А.Попов, Н.Б.Галактионов
Политехнический институт НовГУ, [email protected]
Описывается процедура построения многооткликовой регрессионной модели и ее использования для векторной оптимизации. Предложен практический алгоритм определения множества оптимальных по Парето выходных параметров и решения задачи обратной оптимизации. Изложенный подход использовался для оптимизации конструктивных параметров шлифовальной головки для плоского шлифования.
Ключевые слова: многооткликовая регрессионная модель, оптимальность по Парето, задача векторной оптимизации
A procedure of building multiresponse regression model and its application for vector optimization is described. A practical algorithm of determination of the set of Pareto optimal output parameters and a solution of the reverse optimization problem has been proposed. The presented approach was used for optimization of design parameters of grinding head for plane grinding.
Keywords: multiresponse regression model, Pareto optimality, vector optimization problem
Введение
Обоснованное определение областей допустимых значений вектора входных (независимых) конструктивных или технологических параметров X = (хьх2,■■■хк}Т позволяет исключать неоптимальные решения на ранних стадиях проектирования или в технологическом процессе [1]. Для решения этой задачи необходимо построить модель зависимости вектора выходных параметров У = {у1,у2,...ут}т от входных параметров и на ее основании решать задачу определения оптимальных значений выходных параметров с учетом имеющихся технологических (конструктивных) ограничений. Затем для полученных оптимальных значений выходных параметров необходимо определить соответствующие значения входных параметров (задача обратной оптимизации).
Определение области допустимых значений выходных параметров
Область N изменения входных параметров определяется физическими факторами и обычно задает-
ся системой неравенств в виде хй < хi < хй. Область М допустимых значений выходных параметров (критериев годности) У = {уъу2,...ут}т задается нормативными значениями этих параметров в виде системы неравенствуЛ <уi< у2 Вектор X = {хьх2,...хк}т в пространстве входных технологических параметров определяет точку в пространстве параметров — критериев годности, соответствующую данному изделию. Если известно преобразование X ^ У в виде многооткликовой функции У = Ж(ХБ), где Е(Х,Б) — мно-гооткликовая функция, вид которой определяется экспериментально, а Б — вектор коэффициентов, то для заданной точки X в пространстве входных параметров можно определить соответствующую точку У в пространстве выходных параметров. Таким образом, заданная к-мерная область N (к > т) отображается в пространстве выходных параметров в виде т-мерной области Т. Существуют также и функциональные ограничения, определяемые принципами функционирования проектируемого оборудования или технологического процесса. Эти ограничения
представляются в виде системы неравенств б(У) < 0 и они определяют область К, для которой эти ограничения выполняются [2].
Если точке X соответствует точка У внутри области годных изделий М (УеМ), то данное изделие соответствует требованиям технических условий по этим параметрам. С учетом функциональных ограничений искомая область £ выходных параметров определяется пересечением областей Т, М, К, т.е. £ = ТиМиК (рис.1).
Решение задачи обратной оптимизации при неуправляемых входных параметрах
Задачей определения допустимых входных параметров является определение такой области, задание входных параметров в которой обеспечивает принадлежность данного изделия к классу годных, что является содержанием задачи обратной оптимизации. Если в пространстве входных параметров определен образ Ь области £, то это позволяет задавать технологические параметры XеЬ, обеспечивающие получение заведомо годных изделий (рис.2). Для задания независимых интервалов допустимых значений технологических параметров в область Ь нужно вписать к-мерный параллелепипед Я в соответствии с критерием оптимальности.
Построение области Я в соответствии с критерием оптимальности (1) выполняется методом статистических испытаний.
Построение многооткликовой модели и ее использование для определения входных параметров
Преобразование X^У представляется в виде многооткликовой модели
У = Г^Б), (2)
где Г^Б) = {/^Б),ЩВ), ■■;/т(ХБ)}Т — т-мерный вектор функций; У = {у1у2,...ут}т — критерии годности (отклики); X = {х1гх2, -хк}т — независимые переменные, Б = {Ь1,Ь2^..Ь1}Т — /-мерный вектор коэффициентов, точные значения которых определяются по экспериментальным данным.
В общем случае расчет оценок коэффициентов модели (2) выполняется с помощью итерационной процедуры [3]
-1
Б *+1 = Б * +
£ Р (, , Б * Р (; , Б * )Т
1_ 3=1
П
<£Р(з,Б*)Г(з,Б*) (3)
3=1
Если входные параметры являются неуправляемыми и имеют разброс значений (рис.2), то в качестве критерия оптимальности интервалов допустимых значений используется процент выхода годных.
В этом случае построение оптимальной области Я выполняется на основании совместной плотности распределения входных параметров фХ). Критерием оптимальности Б для определения интервалов допустимых значений является выход годных изделий по технологическим параметрам в виде х12 х22 хк 2
Б =1 I |ф(х1,Х2,к,Хк)хгёх2 ...ёхк, (1)
х11 х21 хк 1
где ф(Х\,Х2,к,Хк) — совместная плотность распределения технологических параметров.
где
Р ( 3 )=■
д/(X,,б) д/(X,,б) д/т(X,,б)
1' [ дБ дБ ’ ’ дБ J
матрица УЕ — ковариационная матрица ошибок наблюдений.
Ковариационная матрица оценок коэффициентов (3) равна
К
£ р (з ^ р Т (з)
1_ 3=1
где Бе — оценка ковариационной матрицы УЕ .
Построенную модель можно использовать для решения обратной задачи, т. е. для оценивания величин входных параметров при заданных значениях выходных параметров. Когда выбран вид модели (2) и произведен расчет оценок ее коэффициентов Б (3),
расчет оценок входных значений параметров X выполняется по формуле
X = Ж- (Б,У), (4)
где Ж — (•) — функция, обратная функции Ж (•); У — вектор выходных параметров.
Разлагая в ряд Тейлора выражение (2) по независимым переменным, получим
ДУ И ^(в, X )АХ, (5)
где ^ = {д/(,Х>,д/(Х),....д/т(,Х)). Тогда
1 дХ дХ дХ ]
в случае равенства числа независимых и зависимых переменных решение нелинейной задачи (5) может быть получено с помощью следующей итерационной процедуры
Х *+1 = Х * +Ф )-1 Д*, (6)
где * — номер итерации, Д = У - Ж (, Х)
Ковариационная матрица УХ оценок Х выводится из выражения (5):
УХ и Уаг{-1РТ (Б,Х)в} и }-1 РТ (Б,Х)УБР(В,Х))ОГ1). Если количество входных параметров к больше количества выходных параметров т, то для решения уравнения (4) необходимо задавать (к - т) входных параметров, а оставшиеся т входных параметров определять согласно уравнению (6).
При построении модели (2) необходимо выполнять: 1) анализ ковариационной матрицы ошибок наблюдений; 2) выбор и обоснование модели; 3) проверку значимости оценок коэффициентов; 4) проверку адекватности модели.
Практический метод решения задачи векторной оптимизации
Если входные параметры являются управляемыми, то возможно провести процедуру оптимизации вектора выходных параметров. Затем выполняется процедура обратной оптимизации, т.е. для оптимальных значений выходных параметров определяются соответствующие значения входных параметров. Решение задачи обратной оптимизации возможно на основании выражения (6), которое позволяет для заданной оптимальной области в пространстве выходных параметров методом статистических испытаний определить соответствующую область в пространстве входных параметров.
На практике наиболее типичным является случай, когда частные критерии оптимизации являются противоречивыми и их оптимальные (например, минимальные) значения достигаются в различных точках в пространстве входных технологических параметров. В этом случае уменьшение одного частного критерия нередко приводит к увеличению других частных критериев. Точки, в которых векторный критерий оптимальности У является не уменьшаемым по всем частным критериям одновременно, называются неулуч-шаемыми решениями или оптимальными по Парето [4]. Оптимальность по Парето означает, что нельзя уменьшать значение одного из частных критериев, не увеличивая при этом хотя бы одного из остальных.
(7)
Точка Х* е Ь является неулучшаемым реше нием, если нет такого Х, что ХеЬ и
[/ (X)</ (X*), I =1,...,т,
1 /у (х)</ (х*) для некоторого У,
где /(Х) — значение частного критерия оптимальности; Х — вектор входных параметров.
Таким образом, векторная оптимизация не позволяет однозначно определить оптимальное решение. Окончательное решение этой задачи зависит от дополнительной качественной информации относительно важности частных критериев.
Множество значений векторных критериев, соответствующих множеству всех оптимальных по Парето точек, называется областью компромиссов, а само множество таких точек — областью решений, оптимальных по Парето. Эта область обычно имеет сложную структуру, а простых практических методов ее определения не существует.
Предлагается следующий практический алгоритм векторной оптимизации по Парето.
1. Область поиска в пространстве входных переменных Ь аппроксимируется сеткой, для каждого узла которой рассчитывается вектор выходных переменных {/1,(ХВ),МХБ), ...,/тг(Х,В)]Т, где I = 1, 2,..„и, п — количество узлов сетки.
2. Для множества векторов выходных переменных по сетке, полученных в п. 1, методом перебора всех точек отыскиваются субоптимальные по Парето точки в соответствии с выражением (7).
3. Для каждой субоптимальной точки область поиска ограничивается ячейкой сетки, в которой находится субоптимальная по Парето точка.
4. Операции п. 1-3 продолжаются до достижения заданной точности поиска, т. е. когда будут выполняться неравенства Дх, < Дх1, I = 1, 2,.,к. Здесь Дх, — размер ячейки сетки для 1-го входного параметра; Ах,- — допустимая точность определения оптимальной точки для этого параметра.
В результате получается аппроксимация оптимальной по Парето области решений множеством субоптимальных точек, среди которых можно выбрать предпочтительное решение.
Описание эксперимента по оптимизации процесса плоского шлифования
Метод векторной оптимизации на основании многооткликовых моделей использовался для моделирования и оптимизации процесса плоского шлифования. Этот метод позволяет исследовать и оптимизировать конструкцию шлифовального инструмента и режимы шлифования. Для получения значений выходных параметров вместо физического шлифовального инструмента использовалась трехмерная твердотельная компьютерная имитационная модель, адекватно и визуализированно представляющая процесс шлифования и позволяющая имитировать большое количество экспериментов за короткое время [5]. Зависимость двух выходных параметров У = {>’1,>’2}Т от одиннадцати входных параметров Х = {хьх2,...хк}Т, к = 11, описывалась с помощью неполной квадратичной модели, которая не учитывает квадратичные чле-
ны, но учитывает взаимодействия входных параметров, в виде
к к к
У1 = Ь10 + £Ь1гхг + ££Ь\г}хгх} , 1 * У,
1=1 1 = У=1 (8)
к к к (8)
У2 = Ь20 + £Ь2гхг +££Ь2г]хгх] , 1 * }.
I =1 1=1 У=1
В качестве выходных параметров использовались: у1 — шероховатость поверхности (Яа) и у2 — объем снятого материала (м3). Входные параметры представлены в следующей таблице.
параметров задаются 9, а два параметра рассчитываются по модели.
5. Поиск окончательных оптимальных значений конструктивных параметров выполнялся среди оптимальных по Парето точек путем ввода ограничений. В данном случае минимизировался объем снятого материала при заданной шероховатости поверхности.
Заключение
Полученная таким образом двухоткликовая модель процесса плоского шлифования позволяет рассчитать оптимальные значения входных парамет-
№ п/п Наименование входного параметра Единица измерения Нижняя граница диапазона изменения Верхняя граница диапазона изменения
1 Глубина резания мм 0,05 0,5
2 Высота шлифовальной головки мм 4 10
3 Диаметр шлифовальной головки мм 1 4
4 Длина главной оси кристалла мкм 40 100
5 Ширина кристалла мкм 26,7 66,7
6 Толщина кристалла мкм 13,3 33,3
7 Величина заглубления зерен мкм 20,4 60
8 Среднеквадратическое отклонение направления главной оси кристалла от перпендикуляра к образующей в плоскости ось шлифовального инструмента — образующая (в телесном угле) градус 5 10
9 Размерный удельный износ вершины кристалла абразива (в зависимости от пути резания) мкм/км 3 7
10 Удельная вероятность вырывания зерна из связки (в зависимости от пути резания) км-1 0,05 0,2
11 Удельная вероятность скола зерна (в зависимости от пути резания) км-1 0,05 0,2
Процедура оптимизации состояла в следующем.
1. Для расчета оценок коэффициентов модели (8) проводился эксперимент, позволяющий оценить линейные эффекты и парные взаимодействия в виде 1/16 реплики полного факторного эксперимента, включающий 128 точек плана эксперимента на имитационной модели. В каждой точке плана эксперимента выполнялось 30 дублирующих экспериментов для расчета средних значений выходных параметров.
2. По результатам этого эксперимента по формуле (3) рассчитывались оценки коэффициентов модели (2). После выполнения процедуры пошаговой регрессии была получена адекватная модель, включающая 93 значимых коэффициента.
3. По полученной модели в соответствии с выражением (7) определялось множество оптимальных по Парето точек.
4. Для оптимальных по Парето точек в соответствии с выражениями (4)-(6) рассчитывались значения входных параметров. При этом из 11 входных
ров (в частности, математические ожидания длин главных осей кристаллов и величин заглубления кристаллов в корпус инструмента). Остальные входные параметры задаются исходя из реальных значений конструктивных параметров. Разработчик инструмента (технолог, конструктор или другой пользователь программы) может задавать свои значения входных параметров и проводить процедуру оптимизации, что невозможно сделать, проводя натурные эксперименты.
1. Попов С.А., Ларина М.П. // Вестник НовГУ. Сер.: Ес-теств. и техн. науки. 2004. №24. С.38-40.
2. Соболь И.М., Статников Р.Б. Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями. М.: Дрофа, 2006. 175 с.
3. Федоров В.В. Теория оптимального эксперимента. М.: Наука, 1971. 312 с.
4. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М.: Физматлит, 2007. 256 с.
5. Галактионов Н.Б., Попов С.А. // Вестник НовГУ. Сер.: Техн. науки. 2010. №55. С.37-39.
