Многокритериальная оптимизация в дискретизированном пространстве параметров Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 666.97

МНОГОКРИТЕРИАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ В ДИСКРЕТИЗИРОВАННОМ ПРОСТРАНСТВЕ ПАРАМЕТРОВ

С.А.Попов, Н.Н.Клыков

MULTICRITERIA OPTIMIZATION IN DIGITIZED PARAMETER SPACE

S.A.Popov, N.N.Klykov

Политехнический институт НовГУ, [email protected]

Описывается практическая процедура многокритериальной оптимизации и ее использование для построения допустимого и парето-оптимального множества. Предлагается практический алгоритм определения парето-оптимального множества выходных параметров.

Ключевые слова: многооткликовая модель, дискретизация допустимого и парето-оптимального множества, построение парето-оптимального множества с заданной точностью

A procedure of multicriteria optimization and its application for building acceptable set and Pareto-optimal set in digitized parameter space is described. An algorithm of determination of the set of Pareto optimal output parameters is presented. Keywords: multiresponse model, discretization of acceptable set and Pareto-optimal set, building of Pareto-optimal set with predetermined accuracy

Допустимое и парето-оптимальное множества

Реальные задачи конструирования и разработки технологических процессов всегда многокритериальны [1,2]. Изделие или технологический процесс описываются группой входных и выходных параметров. Среди выходных параметров выделяются параметры-критерии годности, т.е. параметры, которые подлежат контролю и на которые устанавливаются предельно-допустимые значения. В процессе оптимизации необходимо определить такие значения входных параметров, которые обеспечивают требуемые значения параметров-критериев годности при оптимальных значениях других выходных параметров (например, при минимальной себестоимости). Если известно допустимое множество выходных параметров и соответствующее ему множество входных параметров, то это позволяет обеспечить выполнение всех требований, предъявляемых к готовому изделию. Во множестве допустимых выходных параметров находится подмножество парето-оптимальмых (неулучшаемых) выходных параметров, которые определяются в процессе векторной оптимизации.

Дискретизация допустимого множества

Т

На входные параметры X = (хьX2,...,xr) накладываются параметрические ограничения в виде:

х* < xJ < х** з = 1, г. (1)

Т

На выходные параметры У = {у1,у2,...,ук} накладываются критериальные или нормативно-технические ограничения, которые при прочих равных условиях необходимо оптимизировать. Ограничения, налагаемые на параметры-критерии годности изделия У, описываются критериальными ограничениями виде:

у, < у**, V = 1Д (3)

где у* — это худшее значение критерия у,, на которое разработчик может согласиться.

Параметры-критерии годности, для которых заданы ограничения (3), функционально можно связать с

входными параметрами с помощью векторной функции

Y = F (X), (4)

где F (X) = Ш X), /2( X),..., fm( X )}T.

Ограничения (1) выделяют в r-мерном пространстве входных параметров область A в виде параллелепипеда (рис.1), которая представляет допустимое множество, т. е множество входных параметров

X', удовлетворяющих этим ограничениям. В пространстве выходных параметров множество B=F(A)

определяется критериями годности y* . Допустимое множество D является частью множества B, удовлетворяющей ограничениям (3). Множество C является образом множества D в пространстве входных параметров. Задача оптимизации (минимизации) по Парето состоит в том, чтобы в пространстве выходных параметров определить такое множество PcD для которого P = minF(X). (5)

XiD

В результате решения данной задачи должно быть определено множество векторов X е P*, являющееся наиболее предпочтительным в множестве

P, где P* = F_1(P), а F 1 является функцией, обратной функции F .

При отыскании точек из допустимого D и па-ретовского P множеств применение направленных методов оптимизации (например, градиентных) оказывается неэффективным [1]. Для решения задачи поиска допустимого множества более целесоотразно использование метода, позволяющего тестировать область B точками X' и для каждой точки определять ее принадлежность области D с учетом критериальных ограничений (3). Исследование пространства входных параметров состоит из трех этапов.

Первый этап — составление матрицы испытаний W. Выбираются n пробных точек Xb...,Xn, расположенных в области A, которые описывают эту область. В каждой из точек X' вычисляются все локальные критерии fv (X'), v = 1, m + k . Первые r

Рис.1. Множество Парето, полученное с критериальными ограничениями для двух входных параметров х1,х2 и двух параметров-критериев годности у1, у2

столбцов этой матрицы представляют пробные точки Хь...,Xп. Следующие т столбцов этой матрицы представляют величины параметров-критериев годности Yi = F(X,), г = 1,п (4). Матрица Ж имеет размерность [п х (г + т)] и представляется в виде:

Х11 х12 "• Х1Г _[ц(Х1) ,/12(Х1) Лт(Х1) Х21 х22 х2г Л21(Х2) Л22(Х2) Л ( X2)1

№ =

(6)

-Хп1 хп2 хпг /п1(Хп) Лп2(Хп) /пт(Хп).

где п — количество пробных точек, т — количество параметров-критериев годности.

Пробные точки представляют дискретную аппроксимацию множества входных параметров A.

Второй этап — проверка критериальных ограничений. При этом для каждой строки матрицы Ж (6) (т.е. для каждой пробной точки) проверяется выполнение неравенств в виде

^ (X, )< У~, V = 1т , г =1п . (7)

Если хотя бы одно неравенство (7) для данной строки не выполняется, то эта строка исключается из матрицы Ж, оставшиеся строки сдвигаются вверх, номера пробных точек пересчитываются (количество пробных точек уменьшается на единицу). В результате оставшиеся пробные точки будут представлять дискретную аппроксимацию допустимого множества Б в пространстве параметров-критериев годности, а соответствующие им величины входных параметров будут представлять дискретную аппроксимацию множества С = F 1 (Б) в пространстве входных параметров (рис.1).

Дискретизация допустимого множества с заданной точностью

Использование сеток для исследования допустимых точек в многокритериальной задаче оптимизации позволяет достаточно просто отбирать эти точки из пространства входных параметров, которые принадлежат допустимому множеству [2]. Однако допустимое множество Б в задачах с непрерывными параметрами и критериями является непрерывным. Поэтому под его аппроксимацией Б{5^ обычно понимается

выделение такого конечного дискретного подмножества, которое бы с наперед заданной точностью приближало любое значение каждого критерия F (Б), вычисленное в произвольной точке из области Б.

Для выбора пробных точек X, можно использовать последовательности (сетки), распределенные в пространстве единичного объема с началом в начале координат Q1, Q2 .... Точки X, выбираются следующим образом. По декартовым координатам очередной точки сетки Qi = (чг1,...,qir), г =1,п , в пространстве П определяются декартовы координаты точки X, = (хп,,...,Хгг):

* / ** *\ . " . ~

X] = X1 + Чу X -Х}-), ] =1,г , г =1,,

*

, п,

(8)

где х их — максимальное и минимальное значение параметра х соответственно.

Для входных параметров определяется набор допустимых величин шагов дискретизации

{5^, V = 1, г . Тогда область дискретизации для параметра xv (8) равна {Ху +5,,}, а количество градаций

сетки для параметра V равно

(** *\

п = х - х">+1 (9)

п 25v К)

Величина 5V должна быть двоично-

рациональной, поскольку в противном случае при

округлении точки сетки могут оказаться за пределами

допустимой области. Координаты точек сетки (ее

узлов) определяются следующим образом:

Ql =(х;„ х2 г2,..., Х'^,..., х'Пг ) , (10)

где ^ =1, п, — номер градации по параметру V. Общее количество узлов сетки равно

г

П п

(11)

Номер узла сетки зависит от порядка формирования узлов сетки и может выражаться, например, следующим образом:

] = , + п1 (г'2 -1)+п^2(г'з -1)+щп2пз(ц -1)+., (12)

где ] = 1 п — номер узла сетки.

Множество F(Б) после дискретизации представляется конечным дискретным множеством F(Б{5 }) с точностью до набора допустимых величин

шагов дискретизации {е^, V = 1, т, если для всякого вектора Х е Б найдется вектор Z е Б{5^, такой, что fv (Х)- fv (Z)< 2еv. Здесь 2еv — допустимая величина шага дискретизации по критерию ^ (Х), на которую согласен разработчик.

Поскольку функция F(X) обычно является нелинейной, то результирующая погрешность еv зависит от Х. Поэтому для оценивания этой погрешности используется следующее выражение

Е,

'дF (Х,) ■

дХ,

Д.

(13)

где Е, = {ег1,ег2,...,е,т} — вектор шагов дискретизации критериев для X, -й точки сетки,

Д = {5г1,5,2,...,5гг}т — вектор шагов дискретизации

входных параметров, г = 1,п .

Матрица первых производных от функции F(Х) по параметрам Х равна:

Шх) дЛ2(Х)

дГ(Х)_

дХ :

дЛт( X )

дх1 дх1 дх1

Л(Х) ШХ) Ш( X)

дх2 дх2 дХ2

Ш(х) ШХ) дЛт( X)

дхг

дхг

дхг

(14)

По результатам расчетов величин дискретизации критериев Е, ={ег1,е,2,...,е,т}Т в каждой точке

т

сетки Xг, г = 1,п строится таблица величин дискретизации в виде

Х11 х12 ' ' х1г е11 е12 * е1т

Т = Х21 х22 ' ' х2г е21 е22 ' ' е2т '. (15)

хп1 хп2 ' . х пг еп1 2 ■ . е °пт

Для каждого критерия по этой таблице отыскиваются максимальные величины дискретизации е* ,

где / — номер критерия, г — номер узла сетки (свой для каждого критерия). Если выполняется неравенство

б™ах < ед0П, / = 1, т , то это означает, что обеспечивает-

ся заданная точность по всем критериям.

Если матричное выражение представить в виде сумм, то получим величину дискретизации для г-го узла сетки и для /-го критерия в виде:

д1, ( X).

<=Г

5

(16)

Если неравенство етах <едоп, / =1, т , не выполняется, то для б™ах отыскивается параметр XV, обеспечивающий наибольший член суммы

5У, шаг дискретизации по этому параметру

5 Г / (X)

дХу

5у уменьшается (например, вдвое) и в сетку добавляются новые узлы.

Процедура дискретизации допустимой области может быть представлена следующим образом.

1. Задается величина шага дискретизации

входных параметров {5У}, V = 1, г.

2. Строится сетка, и допустимая область входных параметров представляется дискретной областью

Аад.

3. Строится дискретная область в пространстве критериев F (0{5}) в виде матрицы W (6).

4. Для множества Б{5у} рассчитывается набор величин дискретизации критериев {е/}, / = 1, т,

г = 1, п в виде матрицы Т (15).

5. Если один или несколько величин дискретизации {ег/} для некоторых критериев оказывается

больше допустимого, т.е. если выполняется неравенство

тах ^ доп ■ л

е/ >е/ , / =1, т , то шаг сетки 5V по параметрам, вносящим наибольший вклад в величины {ег/}, уменьшают (например, в 2 раза): 5V =5V /2 и в сетку для v-го параметра добавляются соответствующие узлы.

6. Пункты 3-5 повторяются до достижения заданного шага дискретизации области Р^}.

Повышение точности построения множества Парето

На первом этапе оптимизации выполняется проверка условий принадлежности точки к множест-

ву Парето путем анализа строк таблицы W, что позволяет отобрать паретовские точки с точностью

Д = {5Ь52,...,5г}т. Если Р{5 } — множество Парето в

пространстве входных параметров, то F(Р^}) —

образ множества в пространстве критериев.

Однако при дискретизации допустимой области Б конечным множеством с точностью до

(5^ в общем случае нельзя добиться дискретизации F(Р) с заданной точностью {е,} При поиске паре-товских точек на основе допустимого множества F(Б{5 }) некоторые паретовские точки могут быть

потеряны. Для повышения точности определения па-ретовских точек предлагается использовать процедуру объединения областей поиска для каждой паретов-ской точки.

1. В множестве F(Б{5 }) отыскиваются паретовские точки и формируется дискретное паретовское множество Р{5у}.

2. Путем анализа таблицы W отыскиваются максимальные {х**} и минимальные {х*} значения параметров паретовских точек по каждому параметру и рассчитываются пределы изменения входных параметров для паретовских точек в виде

** *

х х

«V = Pv

2п

V = 1, г,

(17)

где теперь п — количество паретовских точек, р,, —

коэффициент запаса, обеспечивающий перекрытие описанных далее параллелепипедов и определяемый экспериментально в зависимости от вида области

(pv « 2 -10).

3. Строится непрерывная область поиска путем формирования параллелепипедов в окрестности каждой паретовской точки в виде ^ и их дальнейшего объединения. Совокупность этих параллелепипедов образует новую область поиска Б^}, состоящую из п параллелепипедов с некоторым перекрытием. На рис.2 показаны найденные паретовские точки и показан процесс формирования уточненной области .

4. Задается уменьшенный шаг дискретизации входных параметров, например, 5V =5V /10 и операции 1-4 повторяются до достижения заданного шага дискретизации области .

На втором этапе оптимизации поиск выполняется в объединенной области. Описанная процедура выполняется неоднократно до достижения требуемого шага дискретизации как по заданным параметрам, так и по критериям.

Метод векторной оптимизации на основании многооткликовых моделей использовался для моделирования и оптимизации конструктивных параметров шлифовального инструмента и режимов шлифования. Измерялись 11 входных параметров и два вы-

Рис.2. Уточнение паретовского множества в пространстве параметров по отдельным паретовским точкам: a) отдельные паре-товские точки; Ь) объединенная область поиска, определенная по отдельным точкам Парето

ходных, в качестве которых использовались шероховатость поверхности и объем снятого материала. Полученная таким образом двухоткликовая модель процесса шлифования позволяет рассчитать оптимальные значения входных параметров (в частности, математические ожидания длин главных осей кристаллов и величин заглубления кристаллов в корпус инструмента).

На рис.3 показана область поиск после объединения областей отдельных точек.

Полученное парето-оптимальное множество выходных параметров после второго этапа оптимизации показано на рис.4.

В результате получается дискретная аппроксимация оптимальной по Парето области решений множеством точек, среди которых можно выбрать предпочтительное решение. Поиск окончательных оптимальных значений входных переменных выполнялся среди оптимальных по Парето точек путем ввода дополнительных ограничений.

Рис.4. Рассчитанное с помощью двухоткпиковой модели множество парето-оптимальных точек

Заключение

Предложенный метод построения парето-оптимального множества позволяет построить его в дискретном виде с заданной точностью. Процедура оптимизации базируется на многооткликовой модели, построение которой является первым этапом многокритериальной оптимизации. Построенная двухот-кликовая модель процесса плоского шлифования используется для выполнения векторной оптимизации этого процесса. С помощью этой модели выполнена векторная оптимизация процесса плоского шлифования. Предложенная поэтапная процедура поиска оптимального множества выходных параметров позволяет находить это множество с заданной точностью. В результате разработчик инструмента (технолог, конструктор или другой пользователь программы) может задавать значения входных параметров и проводить процедуру оптимизации, что невозможно сделать, проводя натурные эксперименты.

1. Соболь И.М., Статников Р.Б. Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями. М.: Дрофа, 2006. 175 с.

2. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М.: Физматлит, 2007. 256 с.

3. Fletcher R. Practical Methods of Optimization. Vol.1: Unconstrained Optimization. Vol.2: Constrained Optimization. John Wiley and Sons, 1980.

4. Попов С.А., Галактионов Н.Б., Иванов А.Л. Инженерный подход к векторной оптимизации конструктивных параметров // Московское научное обозрение. 2011. №11. С.9-11.

5. Попов С.А., Галактионов Н.Б. Оптимизация конструктивных параметров на основании многооткликовой модели // Вестн. Новг. гос. ун-та. Сер.: Технические науки. 2010. № 60. С.92-95.

References

1. Sobol' I.M., Statnikov R.B. Vybor optimal'nykh parametrov v zadachakh so mnogimi kriteriiami [Choice of optimal parameters in problems with many criteria]. Moscow, "Drofa" Publ., 2006. 175 p.

2. Podinovskii V.V., Nogin V.D. Pareto-optimal'nye resheniia mnogokriterial'nykh zadach [Pareto-optimal solutions of multicriterion problems]. Moscow, "Fizmatlit" Publ., 2007. 256 p.

3. Fletcher R. Practical Methods of Optimization. Vol. 1: Unconstrained Optimization. Vol. 2: Constrained Optimization. Chichester, John Wiley and Sons, 1980.

4. Popov S.A., Galaktionov N.B., Ivanov A.L. Inzhenernyi podkhod k vektornoi optimizatsii konstruktivnykh pa-rametrov. [Engineering approach to vector optimization of design parameters] Moskovskoe nauchnoe obozrenie, 2011, no. 11, pp. 9-11.

5. Popov S.A., Galaktionov N.B. Optimizatsiia konstruktivnykh parametrov na osnovanii mnogootklikovoi modeli [Optimization of design parameters on the base of the multiresponse model]. Vestnik NovGU. Ser. Tekhnicheskie nauki - Vestnik NovSU. Issue: Engineering Sciences, 2010, no. 60, p. 92-95.