ПЛАНИРОВАНИЕ БИОТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ СИМПЛЕКСНЫМ МЕТОДОМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

58

УДК 519.28

Вестник защиты растений, 1, 2002

ПЛАНИРОВАНИЕ БИОТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ СИМПЛЕКСНЫМ МЕТОДОМ

Т.Ю.Мукамолова, С.В.Васильев

Всероссийский НИИ защиты растений, Санкт-Петербург

В работе показаны преимущества и недостатки симплексного планирования эксперимента.

Проиллюстрированы алгоритмы последовательного симплекс-планирования как при поиске целевой функции, так и с учетом веса функции в вершинах симплекса. Приведен пример стратегии поиска оптимума целевой функции на примере оптимизации режимов получения биопрепарата энтокса.

Планирование эксперимента - это постановка опытов по заранее составленной схеме, обладающей какими-то оптимальными свойствами. Разработка подобных схем представляет собой математическую задачу. Процесс исследования обычно разбивается на отдельные этапы. После каждого этапа исследователь получает информацию, позволяющую ему изменить стратегию проведения экспериментов. Становится возможным говорить о математических методах оптимального управления экспериментом (Грачев,1979).

Цель планирования экспериментов -получить большее количество информации при меньших затратах средств и времени, чем это можно сделать традиционными методами (Хикс,1967). Логика и элементарный опыт показывают, что неразумно стремиться к неоправданно большому числу наблюдений, если убедительный результат может быть получен и при минимально допустимом их числе.

Известно, что возможности экспериментирования на действующих биоустановках или в лабораторных условиях, как правило, ограничены. Поэтому для экспериментальных условий разработаны специальные приемы исследования, требующие небольшого числа опытов и связанные с незначительными отклонениями от номинальных режимов ведения процессов.

Решение экстремальных задач осложняется при нестационарных, неустойчивых условиях, когда изучаемый процесс на биоустановках может "дрейфовать".

Полученные на отдельном отрезке времени оптимальные режимы ведения процесса перестают быть таковыми через некоторое время, так как неуправляемые факторы постоянно меняют свои значения.

В реальных условиях исследователь обычно сталкивается с малыми возможностями изменения управляемых факторов на фоне высокого "шума" (Менчер, Земшман,1986). Возникает необходимость непрерывного оптимального управления процессом при постоянном "дрейфе" оп-тимумов, то есть его мониторинга.

Для надзора за оптимумами используются различные адаптационные методы (методы поиска экстремума), к которым предъявляются следующие требования, гарантирующие эффективность поиска оптимумов.

- Экономичность (минимизация количества экспериментов).

- Помехоустойчивость, то есть алгоритм поиска может работать в условиях "шума".

- Минимальное блуждание в факторном пространстве. Идеальным считается движение в пространстве по непрерывной линии, задаваемой градиентом функции. Отклонение от плавного движения означает "дерганье" процесса и, естественно, нежелательно.

- Непрерывность. Система непрерывно, плавно переходит из одного состояния в другое, ее поведение полностью формализовано.

- Работоспособность алгоритма при сложной конфигурации поверхности отклика.

Вестник защиты растений, 1, 2002

- Работоспособность системы вдали и вблизи экстремальной области.

- Глобальность. Работоспособность в условиях мультимодальной функции, умение преодолевать локальные экстремумы ("ловушки").

Естественно, нельзя говорить об одном методе поиска, который бы удовлетворял всем перечисленным выше требованиям (Менчер,Колесникова,1974).

Как показали наши экспериментальные работы по оптимизации биотехнологических процессов (подбор условий культивирования патогенов, оптимизация состава питательных сред и оптимизация процессов выделения токсических веществ из биомассы или культуральной жидкости), в качестве экспериментального плана удобно использовать симплексный метод, предложенный в 1962 г. (Spendley et al.,1962), как наиболее удовлетворяющий вышеизложенным требованиям, хотя и имеющий как положительные, так и отрицательные черты.

Преимущество симплексного метода состоит из следующих его свойств.

1. При использовании симплекс-планирования параметр оптимизации может измеряться приближенно (достаточно иметь возможность проранжиро-вать эти величины), что особенно ценно при исследовании процессов токсинооб-разования энтомофторовых грибов, так как практически все характеристики, описывающие токсинообразование и эффективность токсических веществ этих грибов, - косвенные (опосредованные). Это связано с тем, что до настоящего времени не определен химический состав действующих веществ получаемых препаратов - микоафидина Т и энтокса.

2. Имеется возможность учитывать несколько параметров оптимизации. Так, например, это особенно необходимо при оптимизации условий ферментации гриба ЕШоторМ^та ^ах1етапа (Petch.), когда учитывается выход биомассы и токсинов с единицы объема культуральной жидкости, определяется содержание токсинов в биомассе и их биологическая эффективность.

3. Параметр оптимизации может из-

меряться не только количественно, но и качественно.

4. Метод не предъявляет жестких требований к аппроксимации поверхности отклика плоскостью.

5. Симплекс-план может быть применен как алгоритм при оптимизации процесса с использованием управляющей машины.

6. Число опытов при определении направления движения мало. Каждый дополнительный эксперимент требует только одной пробы.

7. Метод прост с точки зрения объема вычислений.

8. Легко включать или исключать те или иные переменные в ходе экспериментов, тогда как при обычном факторном методе введение еще одного параметра приводит к необходимости увеличения числа экспериментов в 2 раза, а при симплекс-планировании этого не происходит.

9. Ограничения на область изменения факторов легко учитываются при движении симплекса.

10. Чем больше число изменяющихся факторов, тем выше эффективность метода.

11. Направление движения определяется только соотношением величин целевой функции в вершинах симплекса, а не их абсолютными значениями.

12. Направление движения может лишь в незначительной степени отличаться от направления крутого восхождения.

13. Метод может быть использован в условиях "дрейфа" характеристик объекта, что часто случается в биологических исследованиях.

Недостатки симплексного метода состоят в следующем.

1. Реализация метода не дает информации о влиянии каждого фактора на целевую функцию. Однако при обработке данных, полученных в результате серии экспериментов, проведенных по симплексному плану, методом множественной корреляции можно получить информацию о влиянии как каждого отдельного фактора, так и их комплекса, на целевую

60

функцию.

2. Движение по правилам симплекса дает ограниченное представление о характере поверхности отклика. Хотя более полное представление о поверхности отклика может быть получено в результате множественного корреляционно-регрессионного анализа результатов симплекса.

3. Симплексные планы - планы рота-табельные, и основным их недостатком

Метод последовательного

Последовательный симплексный метод относится к методам поиска экстремума целевой функции, применение которого требует проведения минимально возможного числа опытов при определении направления движения и связано с весьма незначительными по объему вычислениями. Метод может использоваться как при проведении научных исследований, так и в управлении технологическими процессами.

Симплексом в те-мерном пространстве называют выпуклый многогранник, имеющий п+1 вершину, каждая из которых определяется пересечением п-гиперплоскостей данного пространства (Ахназарова,Кафаров,1978).

Примером симплекса в двумерном пространстве, то есть на плоскости, служит треугольник. В трехмерном - любая четырехгранная пирамида, имеющая 4 вершины, каждая из которых образована пересечением трех плоскостей (граней пирамиды).

Симплекс называют регулярным, если расстояния между всеми его вершинами равны. При планировании экспериментов обычно используют именно такие симплексы.

Однако регулярность симплекса, как и направление градиента в методе крутого восхождения и свойство ротатабельности планов не будут инвариантными к масштабу координат факторного пространства. При изменении масштаба регулярный симплекс может стать нерегулярным. С другой стороны, всегда можно подобрать соответствующие преобразова-

Вестник защиты, растений, 1, 2002

считалось отсутствие Б-оптимальности (Ахназарова,Кафаров,1978). Однако в последнее время найдены методы построения Б-оптимальных симплексных планов (Касаткин, 1974; Зедгинидзе,1976).

Разные авторы предлагают свои варианты планирования экспериментов с помощью симплексного метода, в связи с этим разберем наиболее характерные из них.

симплекс-планирования

ния системы координат, делающие нерегулярный симплекс регулярным (Горский, Бродский,1965).

В экспериментальной практике симплексные планы наиболее широко используются для решения задач оптимизации на стадии движения к почти стационарной области поиска.

При этом, чтобы сделать симплекс регулярным, используется линейное преобразование:

= *,-*,„ (1)

где Х^ - данные матрицы симплекса; х)г -практические данные опыта по симплекс-плану; Х]0 - ./-координата центра плана; <1Х] - интервал варьирования по фактору (шаг эксперимента).

План эксперимента в безразмерном масштабе для п факторов состоит из п столбцов и п+1 строк матрицы, следовательно число исходных опытов N в симплексной матрице для п независимых факторов равно:

Ы = п + \. (2)

Построить насыщенные планы с элементами +1 удается только для числа факторов, равного 4а-1, где а - целое положительное число. Например, для 3, 7, 11, 15 и т.д. факторов.

Высота такого симплекса Нп (расстояние от вершины симплекса до противоположной грани) выражается формулой:

К= ,п + 1 , (3)

у/2п(п +1)

где п - разномерность симплекса.

Вестник защиты, растений, 1, 2002

В симплексных матрицах соблюдаются следующие условия:

= 0; j = 1; НО j,l = 1, 2,... п;

у х = о, но не соблюдается условие /=1

_ дг, которое соблюдается только для

столбца Xq, все элементы которого равны 1.

Для любого j-столбца соблюдается условие: = j/2j(j+l) + j2/2j(j+l) = 0.5.

i=i

Поэтому для симплексного плана матрица имеет вид (4):

Т-1

(АА)=

-U

' N

0

(4)

Симплексные планы относятся к так называемым "насыщенным" планам, число опытов которых равно числу коэффициентов в уравнении регрессии. Коэффициенты регрессии определяются по формулам (5) и (6):

Ъг, =

'Jo ~ f >, /N >

i=i N

bj=ÏZw> j = 1, 2, ..., П.

(5)

(6)

Дисперсия в ортогональных планах определяется по формуле:

— SlocnpJ —

(7)

Таким образом, коэффициенты уравнения регрессии, полученные по симплексному плану, определяются с меньшей точностью.

После реализации исходного симплекса проводится анализ результатов эксперимента для выявления наихудшей точки. Затем производится ее отражение относительно центра противоположной грани симплекса, и таким образом находят условия для проведения нового опыта

взамен исключенного (8):

Ха- = 2хю " V '3 = 1' 2' ■■■> п>

где Хц - ^-координата новой точки, получаемой в результате отражения; хгу -} -координата наихудшей точки I; х)с -^-координата центра противоположной грани: X ~с = Х.^П] г = 1.

Исходный те-мерный симплекс можно достроить до (те+1)-мерного, вводя только одну новую точку.

Из геометрических соотношений следует, что для построения симплекса размерностью (те+1) из те-мерного симплекса необходимо найти центр тяжести точек те-мерного симплекса в (те+1)-мерном пространстве и провести через эту точку перпендикуляр к гиперплоскости, в которой лежат точки те-мерного симплекса. Если на этом перпендикуляре отложить отрезок длиной ¡1П+1 (высота (те+1)-мерного симплекса), то полученная точка вместе с исходным симплексом образует (те+1)-мерный с координатами новой точки:

где х^ - ./-координата центра исходного симплекса.

Для оптимизации используется следующее важное свойство симплекса: против любой из его вершин расположена только одна грань, на которой можно построить новый симплекс, отличающийся от прежнего расположением новой вершины Хр тогда как остальные вершины обоих симплексов совпадают.

Последовательным отбрасыванием вершин и осуществляется перемещение исходного симплекса в факторном пространстве (Бадина,Масленников,1986).

Метод последовательного симплекс-планирования состоит в следующем.

1. Планируют исходную серию опытов, так чтобы точки, соответствующие условиям проведения опытов, образовывали регулярный симплекс в факторном пространстве.

2. После проведения опытов выявляется вершина, отвечающая условиям, при которых получаются наихудшие результаты.

3. Далее строится новый симплекс, для чего наихудшая точка исходного симплекса заменяется новой, расположенной симметрично относительно центра грани симплекса, находящейся против наихудшей точки.

4. Новая точка вместе с оставшимися снова образует регулярный симплекс, центр тяжести которого смещен по сравнению с исходным в направлении худшая точка —>■ центр тяжести остальных точек. Это направление в общем случае не является наиболее крутым, однако оно обращено в сторону повышения качества процесса.

5. После реализации опыта в дополнительной точке опять производится сопоставление результатов, снова выявляется наихудшая точка, которая так же заменяется ее зеркальным отражением, и т.д (Ахназарова,Кафаров,1978).

Таким образом, пошаговое восхождение с последовательным отбрасыванием наихудших точек повторяется до области, близкой к экстремуму.

Однако при достижении оптимума при применении симплексного метода может возникнуть зацикливание, так как, достигнув области оптимальных значений, симплекс начинает вращение вокруг вершины с максимальным значением отклика.

Если симплекс располагается относительно поверхности отклика таким образом, что значение отклика в новой точке опять получается самым плохим, необходимо вернуться к предыдущему симплексу и попробовать следующее благоприятное направление. Наличие ошибок в определении отклика снижает скорость движения к экстремуму.

Исходный симплекс может быть по-разному ориентирован в факторном пространстве. Опишем два способа расчета координат вершин начального симплекса.

1. Если центр симплекса совпадает с началом координат, одна из вершин лежит на координатной оси, а остальные располагаются симметрично относительно координатных осей (рис.1), плоскостей и гиперплоскостей (в многомерном случае), то координаты симплекса задаются матрицами А (вершина симплекса направле-

Вестник защиты, растений, 1, 2002

на вверх) (табл.1) или А1 (вершина обращена вниз) (табл.2) (Хартман и др.,1977).

с, / 0 к Хг

Ч 1 к кг Г XI ^

/ 1 / ** / 1 к г

В

Рис.1. Начальный симплекс с центром в начале координат

Таблица 1. Матрица симплекса А

Х®ер-шины х2 Х2 ... Хп-1 Хп

1 2 3 XI -Щ 0 х2 ... х2 -2К2 ... х] ^ хп-1 хп хп хп хп хп

0 0 0 хп-1 хп

п п+1 0 0 о о 0 0 .. -(п-1)Яп. 0 1 хп -пЯп

Таблица 2. Матрица симплекса А1

Х®ер-шины х2 Х2 Хп-1

1 -XI -х2 -х3 ~хп-1 ~хп

2 3 0 -х2 2Яг -х3 -х3 ~хп ~хп ~хп ~хп

п п+1 0 0 0 0 0 0 о ~хп Кп

Для практического использования симплексной матрицы с длиной стороны симплекса, равной 1, величины Х,г и К)г выражаются формулами (9) и (10), а числовые значения представлены в таблицах 3 и 4.

= л/1/(2»(' +1)) ; г = У = 1, 2, .., те; (9) ^ = 1^1/ (2/'(/ +1)) = /X,.; (Ю)

X, = +1)) = 1/(2 X 1(1 +1)) = 0,5; г = 1;

К] = фЦЩ +1)) = /X,. = 1X 0,5 = 0,5; г = 1. Х] = ^1/(2/0' +1)) = ^1/(2 х 2(2 +1)) = 0,289; 1=2; RJ = гл/1/(2г(г+1)) = ¡X, = 2 х 0,289 = 0,578; 1=2.

Таблица 3. Матрица координат вершин

Вестник защиты, растений, 1, 2002

начального симплекса, построенного для п = 6 (¿=1) по схеме матрицы А

N х, X? Х3 х4 Х5 Х§ Хп+1

1 0.5 0.289 0.204 0.158 0.129 0.109

2 -0.5 0.289 0.204 0.158 0.129 0.109

3 0 -0.578 0.204 0.158 0.129 0.109

4 0 0 -0.612 0.158 0.129 0.109

5 0 0 0 -0.632 0.129 0.109

6 0 0 0 0 -0.645 0.109

п 0 0 0 0 0 -0.655

Таблица 4. Матрица координат вершин на-

чального симплекса построенного для п = 5

(1= 1) по схеме матрицы А1

N Х| X, х, Х4

1 -0.5 -0.289 -0.204 -0.158 -0.129

2 0.5 -0.289 -0.204 -0.158 -0.129

3 0 0.578 -0.204 -0.158 -0.129

4 0 0 0.612 -0.158 -0.129

5 0 0 0 0.632 -0.129

6 0 0 0 0 0.645

2. Одна из вершин симплекса помещается в начало координат, а остальные располагаются так, чтобы ребра, исходящие из первой вершины, образовывали одинаковые углы с соответствующими координатными осями (рис.2). Координаты вершин симплекса в этом случае могут быть представлены матрицей (табл.5) (Хартман и др.,1977).

Таблица 5. Матрица симплекса

Номер вершины X} х2 х3

1 0 0 0 0

2 V я я я

3 я р я я

4 я я р я

к+1 я я я р

Рис.2. Начальный симплекс с вершиной в начале координат, где [АВ'] = д, [АС'] = р.

Для прикладного использования матрицы (табл.5) величины р и д рассчитываются по формулам (11) и (12), а числовые значения представлены в таблице 6.

Р = + 1); (11)

ил/2 1

ил/2

(л/и + 1-1).

(12)

Длина симплекса 1 (то есть расстояние между вершинами симплекса) принята равной 1 (I = 1).

Таблица 6. Матрица координат вершин начального симплекса, построенного для к = 3 (I = 1)

N Х-] хз

1 0 0 0

2 0.944 0.236 0.236

3 0.236 0.944 0.236

4 0.236 0.236 0.944

Р = —''-¡=(п-1 + л П'Д /и+1) =—'^(3-1 ^ Зл/2 + Л/3+Т) = 0,943;

4 = «л/2 -1) =—и(л/3 + 1- Зл/2 -1)= 0,236.

Алгоритм последовательного при поиске оптимул

Экспериментальное определение оптимума целевой функции осуществляется с помощью следующей процедуры.

1. Преобразование исходных факторов с таким расчетом, чтобы изменение каждого фактора на единицу приводило примерно к одинаковому изменению целевой величины.

2. Расчет координат начального сим-

симплексного планирования а целевой функции

плекса по первому или второму способу и реализация соответствующих опытов.

3. Отбрасывание точки плана с минимальным значением целевой величины и построение нового симплекса. Новый симплекс образуется оставшимися вершинами исходного симплекса и новой, получаемой путем зеркального отражения отброшенной величины относительно

противоположной ей (п-1)-мерной грани исходного симплекса. Координаты новой точки Х,у рассчитываются по формуле:

X,

2,

- -(.^ + X, + ■ ■ ■ + Хп+1)-Х] - -^Л,

п п ¡=1

V,-

2

- + 1

,(13)

где J - номер вершины исходного симплекса с минимальным значением целевой функции.

Уп (прогнозируемое значение целевой функции в новой точке) рассчитывается

2 N 2

по формуле: ) Уг ( • I и- • (14)

Рис.3. Стратегия поиска оптимума целевой функции симплексным методом

4. Проведение эксперимента в новой точке Х,у и получение соответствующего значения У,у целевой величины.

5. Последовательное перемещение симплекса, в процессе которого на каждом шаге происходит отбрасывание вершины симплекса с наихудшим значением целевой величины и реализация опыта в новой вершине. Такое восхождение повторяется до области, близкой к экстремуму.

Пример: Имеем план эксперимента 1 -2-3, где точка 2 оказалась с минимальным значением, рассчитываем новый симплекс 1-3-4, где 4 точка отражение 2, в новом варианте точка 1 имеет минимальные значения; получив отражение точки 1, получаем новый симплекс 3 - 4 -5. В результате перемещений был получен оптимальный симплекс 7-8-9 (рис.3).

6. Если при перемещении симплекса на протяжении п+1 шагов та или иная вершина сохраняет свое положение, то симплекс совершает оборот вокруг своей

Вестник защиты, растений, 1, 2002 вершины. Это значит, что в данной точке находится оптимум целевой функции или ее значение определено неверно. Чтобы уточнить, какая ситуация имеет место, в этой точке вновь проводят эксперимент и в дальнейшем работают с новым значением целевой величины.

7. Если оказывается, что целевая величина в новой вершине симплекса меньше, чем в остальных вершинах, в соответствии с логикой следует вернуться к предыдущему симплексу, чтобы предотвратить "зацикливание", для этого в качестве отбрасываемой выбирают вершину, следующую по порядку за наименьшей вершиной симплекса. Далее эксперименты продолжают, используя новые данные.

8. Если новая вершина выходит за пределы допустимой области планирования, следует поступить так же, как написано в пункте 7.

9. При достижении области оптимума размер симплекса уменьшают, как правило, на 1/4 начальной величины.

10. Оптимум считается достигнутым, если одна и та же точка входит в последовательные симплексы N раз, где N = 1.65п + 0.05те 2<те<30 (получено эмпири-чески).

Другое условие достижения оптимума может быть определено по формуле:

|>,.-ух?1п<Е,

(15)

где Е - малая величина; ух - среднее значение целевых величин в вершинах симплекса.

11. Если ошибка эксперимента относительно велика, имеет смысл в каждой вершине симплекса ставить несколько опытов и использовать усредненные значения наблюдений целевой функции.

Пример. Задача эксперимента: оптимизировать режимы и составы химических обработок биомассы гриба E.thaxte-тапа, позволяющие максимально выделять токсические вещества из биомассы.

Ранее проведенные разведочные эксперименты позволили нам предложить в качестве исходной точки для расчета симплекса соотношения условий обработки биомассы, представленные в таблице 7.

Вестник защиты, растений, 1, 2002

Таблица 7. Исходные значения для построения симплексного плана эксперимента

Концен- Время Соотношение

Исходный трация обработки объема экст-

вариант щелочи, биомассы, рагента к ве-

% мин. су биомассы

х0 XI х2 х3

х] 10 60 1:10

ТТТяг экспе-

л™ 5.0 15 2.0

Матрица исходного симплекса рассчитывается по формуле:

где Хт - коэффициенты из основной матрицы (табл.3). В результате расчетов получаем:

хи = 10+5x0.5=12.5 х23 = 60+15 х(-0.578)=51

х12 = = 10+5х(-0.5)=7.5 х24 = 60 + 15x0 = 60

х13~~ = 10 + 5x0 = 10 хзг =10+2х 0.204 =10.4

х14~- = 10 + 5x0 = 10 х32~~ =10+2х 0.204 =10.4

х21 = 60+15x0.289=64 х33 =10+2; <0.204=10.4

х22 = 60+15x0.289=64 Х34 = = 10+2х (-0.612)=8.8

Данные симплексной матрицы, полученной в результате расчетов, удобнее представить в виде таблицы 8.

Таблица 8. Симплексный план проведения эксперимента

тт Концен- Время Соотношение

Номер г г _

г трация обработки объема экст-

вершины -

щелочи, биомассы, рагента к ве-

симплекса „ г

%_мин._су биомассы

х0 XI х2 х3

Исходная точка 10.0 60 10

1 12.5 64 10.4

2 7.50 64 10.4

3 10.0 51 10.4

4 10.0 60 8.8

После проведения экспериментов по полученному симплекс-плану проводится анализ результатов, выбирается точка с наихудшими показателями и рассчитывается ее отражение.

Координаты новой точки определяют по формуле:

(16)

п м

где X;" - наихудший показатель.

Для сравнения предлагаем расчет экспериментального плана по методу, обычно применяемому при планировании подобных экспериментов (табл.9).

Таблица 9. План проведения эксперимента по стандартной схеме_

Номер эксперимента

Концентрация

щелочи,

%

Время „

К. Соотношение

обра- _

_ объема экстра-

ботки г

- гента к весу

биомас- _ •'

биомассы

сы, мин.

х0 XI х2 х3

1 1.00 60 10

1 5.00 60 10

2 10.0 60 10

3 15.0 60 10

4

5 XI 60 10

6

1 10 15 10

9 10 30 10

10 10 45 10

11 10 60 10

12

13 10 х2 10

14

15 10 60 2.00

16 10 60 4.00

17 10 60 6.00

18 10 60 8.00

20 10 60 10

21

22 10 60 х3

23

Как видно, изменению подвергается только один из изучаемых показателей при стабилизации двух других. Вследствие этого число экспериментов неоправданно увеличивается, а в результате исследователь не приближается к оптимуму, так как изменение одного показателя приводит к его оптимизации именно в предложенной системе, а нахождение оп-тимумов во всех предложенных системах опытов при их объединении в одну систему может не дать искомый результат.

66 Вестник защиты растений, 1, 2002

Последовательный симплексный метод с учетом веса функции в вершинах симплекса

Основная идея метода заключается

том, что после проведения первой серии опытов по последовательному симплексному плану и выявления точки, дающей наихудший результат, эта точка заменяется новой, представляющей собой ее "зеркальное" отражение относительно противоположной грани симплекса, и так далее. Однако, при "зеркальном" отражении худшей точки обычно не учитываются значения функции в вершинах симплекса, что несколько снижает эффективность метода (Орехов,Корнилова,1969).

Ниже описан алгоритм симплекс-планирования с учетом веса функции в вершинах симплекса.

При отражении худшей точки теперь нарушается правильность симплекса, но сохраняется его объем.

1. Поиск в те-мерном пространстве начинается с правильного те-мерного симплекса с радиусом сферы в,, описанной вокруг него. Центр симплекса выбирается исследователем по предварительным экспериментам; те-мерные правильные симплексы задаются матрицей А (18) и рассчитываются по формуле:

А = с1^2(п + 1)1п. (17)

А =

к 12 • • Ь

-VI 12 • • к

0 -Р2 •

• • • • • •

• • • • • •

• • • • • •

0 0 •

0 0 • • -Рк-1

0 0 • • о -Рк

(18)

Л = 1) (19);/,= Л,(1+1),

где I = 1,2,3, ... ,п. Допустим,

¿=1.

(20)

следовательно

А =

|(1+1) = 0.5;/1=^1х(1+1) = 0.5; г=2, тогда

р2 = ^|(2 + 1) = 0.577^ = ^2х(2 + 1) = 0.289 ;

Р2

12 =

Допустим, <¿=1, п=3, следовательно, А = Ц/2(3 + 1)/3 = 1-63.

Для практического использования матрицы А (18) расчет значений проводится по формулам (19) и (20), а полученные значения приведены в таблице 10.

Ахр.= 1.732 х 0.5 = 0.866; А = 1.732 х 0.577 = 0.999 « 1; А х I. = 1.732 х 0.5 = 0.866; А >

г '

= 1.732 х 0.289 = 0.5.

В таблице 10 приведены матрицы правильных симплексов для N = 2-6, где 7г+1 - строки матрицы, А - план исходной серии опытов, составляющий те-мерный симплекс (Косенков,Митрофанов,1998).

Таблица 10. Матрицы правильных симплексов с учетом веса функции в его вершинах

№

1 2 0.866 -0.866 0.5 0.5 Для п=2

3 0 -1.0

№ XI Х2 Хз

1 0.8165 0.4714 0.3333

2 -0.8165 0.4714 0.3333 Для п=3

3 0 -0.9428 0.3333

4 0 0 -1.0000

№ XI х2 Х4

1 0.7906 0.4564 0.3228 0.25

2 -0.7906 0.4564 0.3228 0.25 Для

3 0 -0.9129 0.3228 0.25 п=4

4 0 0 -0.9683 0.25

5 0 0 0 -1.0

№ X! Х4

1 0.7746 0.4472 0.3162 0.2449 0.2

2 -0.7746 0.4472 0.3162 0.2449 0.2 Для п=5

3 0 -0.8945 0.3162 0.2449 0.2

4 0 0 -0.9487 0.2449 0.2

5 0 0 0 -0.9798 0.2

6 0 0 0 0 -1.0

Я< X

х.

■2

X,

1 0.7638 0.4410 0.3118 0.2415 0.1972 0.1667

2 -0.7638 0.4410 0.3118 0.2415 0.1972 0.1667

3 0 -0.8819 0.3118 0.2415 0.1972 0.1667

4 0 0 -0.9354 0.2415 0.1972 0.1667

5 0 0 0 -0.9660 0.1972 0.1667

6 0 0 0 0

Для

п=6

0

-1.0000

Вестник защиты, растений, 1, 2002

2. После проведения первой серии опытов выявляется точка, давшая наихудший результат, она заменяется новой в результате ее отражения относительно противоположной грани симплекса с учетом веса функции в вершинах симплекса.

Отражение при движении в сторону максимума функции отклика (у—>тах) проводится по формуле:

N N I N

X.., =[2^хдУи +утт)хтт]-утт , (21)

¡=1 ¡=1 / ¡=1 а при движении в сторону минимума функции отклика (у—>тт) - по формуле (22):

2Х+ (X У' " ^п» Кш / X (у 1 - Уши ) '

Здесь Ху, у у - координаты вершин исходного те-мерного симплекса и соответствующие этим вершинам значения функции; хтгт1, ут{п - координаты вершины симплекса, которому соответствует минимальное значение функции; г = 1, 2,.., те; ] = 1, 2,.., те+1.

В случае, если новая точка не худшая в новом симплексе, произведенное отражение считается окончательным, и система переходит от одного симплекса ко второму. Далее процедура отражения повторяется.

Перевод значений факторов от кодированного вида к натуральному масштабу выполняют по формуле X у с/, + Х,„ (23).

где (¿жг - шаг эксперимента; Хг-0 - исходная точка.

3. Если при очередном отражении новая точка оказывается худшей в новом симплексе, то следует вернуться к старому и отразить точку, показавшую второе наихудшее значение функции.

При повторении неудач такой прием продолжают до отражения всех (п+1) точек. Если все отражения оказались неудачными, то можно допустить, что в центре последнего симплекса имеется локальный экстремум и следует продолжить поиск нового центра.

Стратегия поиска оптимума целевой функции симплексным методом на примере оптимизации режимов получения энтокса

Расчет экспериментальных точек по симплексному методу позволил нам провести эксперименты по заданному плану (табл.8.)

Результаты опытов представлены в таблице 11. Видно, что лучшим режимом обработки биомассы был 4, а худшим - 1. Расчетный режим 5 был хуже, чем 4 в 1.5 раза по условным единицам. Следовательно, режим 4 в нашем поиске был наиболее оптимален. Однако, необходимо отметить, что режим 5 так же имел позитивные показатели по выходу вещества и биологической эффективности полученного препарата. В связи с этим важно

было исследовать, возможно ли снижение концентрации щелочи и объема экстра-гента при гидролизе без снижения качества препаративной формы. С этой целью был рассчитан новый симплекс, в качестве исходной точки которого были взяты минимально возможные при проведении эксперимента показатели: концентрация щелочи - 3%, время экстракции - 30 минут, объем экстрагента - 1:3, при шаге эксперимента (¿2=5, (¿2=15, (¿з=2. Таким образом, были рассчитаны новые исходные режимы экспериментов, по которым и были проведены исследования. Результаты представлены в таблице 12.

Таблица 11. Обработка биомассы гриба ЕЛНах1епапа по рассчитанному симплексу

Хшершины симплекса Концентрация щелочи, % Время обработки биомассы, мин. Объем экстрагента на 1 г биомассы, мл Выход энтокса со 100 г биомассы, г Биологическая эффективность, % Условная единица

1 12.5 60 10.0 49.9+0.21 81.9+5.4 4086.8

2 7.50 64 10.4 68.6+0.14 65.0+1.6 4459.0

3 10.0 64 10.4 60.0+0.30 90.7+2.4 5820.0

4 10.0 51 10.4 89.8+0.30 89.7+4.6 8064.0

5 5.90 60 8.80 60.5+0.50 92.5+2.5 5596.3

68 Вестник защиты растений, 1, 2002

_Таблица 12. Обработка биомассы гриба Е.thaxteriana по рассчитанному симплексу - 2_

Время об- Объем экст- Выход эн- „

лп ту с 1 ,„„ Биологическая Л,

№®ершины Концентрация работки рагента на 1 токса со 100 , , Условная

_ эффективность,

г биомассы, „ единица

симплекса щелочи, %

биомассы, мин.

г биомассы, мл

%

5.5 0.5 3.0 3.0

34 34 21 30

3.41 3.41 3.41 1.78

15.5±5.00 4.6±1.00 8.5±2.00 14.8±1.00

77.9±1.7 92.4±0.6 98.2±0.3 89.8±5.3

1207.6 425.0 834.7 1329.0

г

Как видно из таблицы 12, режим 4 был лучшим, однако при этом режиме получены показатели в 4 раза ниже, чем при режиме 5 из первого симплекса (табл.11). Следовательно, снижение концентрации щелочи, объема экстрагента и времени обработки биомассы ухудшает показатели по выходу и эффективности технического вещества, в связи с чем невыполняется условие по наработке максимально возможного выхода токсинов из биомассы гриба E.thaxteriana.

Таким образом, на основании полученных данных, считаем лучшим режимом для обработки биомассы концентрацию щелочи - 10%, время экстракции 60 минут и объем экстрагента 1:8.8 (биомасса: экстрагент).

В заключение отметим, что симплексный метод планирования удобен и прост при работе с оптимизационными опытами, позволил предвидеть конечный результат и сократил затраты на проведение экспериментов.

Ахназарова С.Л., Кафаров В.В. Оптимизация эксперимента в химии и химические технологии. М., 1978, с.249-270.

Бадина Н.Г., Масленников А.И. Методич. указания по выполн. контр. работы по разделу дисциплины "Математ. программир." курса "Математ. программир." Л., 1986, 12 с.

Горский Б.Г., Бродский Б.3. Симплексный метод планирования экстремальных экспериментов. /Заводская лабор., 31, 7, 1965, с.831-836.

Грачев Ю.П. Математические методы планирования эксперимента. М., 1979, с.92-99.

Зедгинидзе И.Г. Планирование эксперимента для исследования многокомпонентных систем. М., 1976, с.232-252. 1980, 390 с.

Касаткин О.Г. К вопросу о построении D-оптимальных планов на симплексе. /Прим. математических методов для исследования многокомпонентных систем. М., 1974, с.43-51.

Косенков И.И., Митрофанов В.Б. Экспресс-метод планирования экстремального эксперимента в микробиологических исследованиях.

Литература

/Сб. методических рекомендаций. ВИЗР, 1998, с.288-298.

Менчер Э.М., Земшман А.Я. Основы планирования эксперимента с элементами математической статистики в исследованиях по виноградарству. Кишинев, 1986, 238 с.

Менчер Э.М., Колесникова Т.Ф. Сравнительная оценка некоторых методов поиска. /Применение методов моделир. с целью совершенствования технологии производства строительных материалов, Тольятти, 1974, 53 с.

Орехов А.А., Корнилова С.И. Оптимизация процесса с помощью случайного симплекса с учетом веса функции отклика в его вершинах. /Заводская лаборатория, 35, 3, 1969, с.326-329.

Хартман К., Лецкий Э.К., Шефер В. Планирование экспериментов в исследованиях технологических процессов. М., 1977, с.430-438.

Хикс Ч. Основные принципы планирования эксперимента. 1967, с.4-9.

Spendley B.R., Hext G.R., Himsworth F.R. /Technometrics, 4, 1962, p.441-461.

USE OF THE SIMPLEX PROCEDURE FOR PLANNING BIOTECHNOLOGICAL EXPERIMENTS

T.Yu.Mukamolova, G.V.Vasiliev In the paper, algorithms of sequential simplex planning intended to find a criterion function as well as to estimate weight of the function at vertexes of the Simplex have been shown. A strategy for finding an optimum of criterion function is exemplified by the optimization of production regime of entox. A sequence of calculations for a simplex design of experiments along with calculated matrices of regular Simplexes are given. Advantages and disadvantages of the simplex procedure for planning experiments are illustrated.