CC BY
88
Международный электронный научный журнал ISSN 2307-2334 (Онлайн)
Адрес статьи: pnojournal.wordpress.com/archive15/15-03/ Дата публикации: 1.07.2015
№Д308Й504Г. В. Е. Фирстов, Ю. В. Амелина
Пифагорейская концепция гармонии в преподавании математики на гуманитарных направлениях высшего профессионального образования
В школе Пифагора теория музыки входила частью более общей дисциплины под названием «математа», которая еще в XVII в. в Европе представляла раздел математики. Сейчас данный междисциплинарный аспект привлекает широкую аудиторию во всем мире и организационно выразился в создании Международной ассоциации эмпирической эстетики (IAEA, 1967) и Международной ассоциации математической эстетики (1996) с отделениями в России и Конгрессом, созываемым раз в 2 года. На этом пути имеется консенсус мнений, обусловленный тем, что различие естественных и гуманитарных наук связано не с различием самих предметов, а с различием в принципах образования понятий и суждений о предмете. В системе образования Российской Федерации преподавание математики на гуманитарных направлениях предусмотрено в версиях Федерального Государственного Образовательного Стандарта Высшего Профессионального Образования, хотя дидактически, этот вопрос до конца не урегулирован. Если встать на информационную точку зрения, то всякой гуманитарной дисциплине соответствует некий язык, который в процессе преподавания обеспечивает разрешимость постановленной дидактической задачи.
Ключевые слова: гармония, пифагорова теория пропорций, закон Пифагора-Архита, пифагорова гамма, гуманитарная математика, процесс обучения, психологическое восприятие музыки, информационные аспекты музыки
Perspectives of Science & Education. 2015. 3 (15)
International Scientific Electronic Journal ISSN 2307-2334 (Online)
Available: psejournal.wordpress.com/archive15/15-03/ Accepted: 10 June 2015 Published: 1 July 2015 No. 3 (15). pp. 104-110.
Pithagorean conception of harmony in the teaching of mathematics on hymanitary direction
In the times of Pythagorean's school, music was a part of more general discipline which was called «mathemata». In Europe till XVII th century the theory of music was considered as a section of mathematics. This interdisciplinare aspects interest a wide audience of explores all over the world, within the International Association of empirical Aesthetics (IAEA) and the International Association of mathematical Aesthetics. Nowadays there is a consensus of opinions, the idea of which is, that the difference between natural and humanity sciences is connected with the difference in the principles of formation about subject understanding. In the system of education the training of mathematics in the field of humanity, is not regulated didactically. Our point of view is that a definite formal language snits any humanity discipline which realizes algorithmic interpretation.
Keywords: harmony, Pythagoras theory of proportions, Pythagoras - Arhifs laws, Pythagoras gamma, humanity mathematics, training process, psychological perception of music, informational aspects of music
V. E. FiRsToV, Y. V. AmeUna
Введение
реди методов реализации междисциплинарного подхода в учебном процессе более востребованным является математическое моделирование, представляющее теоретическую основу кибернетики, формирование умений и навыков которого является одной из главных задач образования. Отечественное образование традиционно успешно справлялось с такой задачей при реализации математических моделей в сфере технических и естественных раук; в 60-е гг. ХХ в. начали осваиваться экономико-математические модели, а чуть позже такие модели появились в области социологии и психологии [4].
Иначе обстоит дело с реализацией междисциплинарного подхода в области искусствознания, эстетики и культурологии, хотя предприняты серьезные усилия в этом направлении [2;3]. Постепенно здесь налаживается взаимодействие исследователей, которое организационно выразилось в создании Международной ассоциации эмпирической эстетики (1967) и Международной ассоциации математической эстетики (1996) с отделениями в России и Конгрессом, созываемым раз в 2 года.
В данной работе рассматриваются некоторые дидактические аспекты математического моделирования, касающиеся вопросов гармонии в рамках преподавания теории музыки на гуманитарных факультетах вузов.
1. Концепции формирования содержания обучения математике в гуманитарной области профессионального образования.
На уровне высшего профессионального образования при формировании содержания обучения особенно важно эффективно реализовать дидактический принцип научности, который в данном случае выступает в своем модифицированном варианте, известном как принцип научной селекции (И.Я. Конфедератов, 1969, [1]). Смысл этого принципа сводится к выработке эффективных стратегий отбора количественного и качественного компонентов содержания учебной дисциплины. На этот счет в преподавании математики в области гуманитарного образования, в основном, преобладают два подхода:
1). Сумма математических знаний, умений и навыков передается в рамках предметных курсов прикладного характера, типа: «Математические методы в искусствознании (психологии, социо-ло.гии и т.п.)», и прекрасным образцом реализации такого подхода является монография [2];
2). Математический контент представляется в рамках курсов, типа «Математические основы ¡гуманитарных знаний» [3].
В первом случае математика преподносится фрагментарно в рамках тех или иных моделей так, что создание более-менее целостного пред-
ставления о математике отводится обучаемому объекту. Во втором случае математика представляется как некоторый целостный (в меру детализированный) образ и его связи в гуманитарной области устанавливают базис для математического моделирования так, что вопрос о реализации моделей решается на уровне мотиваций заинтересованного субъекта.
Общие подходы к формированию стратегий преподавания математики в гуманитарной области реализуются на основе кибернетических принципов оптимизации управления информационным контентом, передаваемым в данном учебном процессе [4], что достигается посредством минимизации информационной энтропии в этом процессе [5].
2. Цели математического обучения в гуманитарной области, касающейся категории эстетики, достаточно ясно обозначил Платон, который еще в IV в. до н.э. отмечал, «как легко отыскать примеры прекрасного и как трудно объяснить, почему они прекрасны». В поисках истины, Сократ отождествлял красоту с целесообразностью, Пифагор связывал прекрасное с соблюдением пропорций, но, так или иначе, уже в античные времена возникла идея о существовании в категории прекрасного некого рационального ядра, выражающегося математическим языком. Именно это ядро представляет предмет обучения, цели которого сводятся к внедрению выделенного математического контента в сознание обучаемого контингента для формирования умений и навыков постижения закономерностей данной гуманитарной области через математику.
Концептуально, разрешение поставленного вопроса сводится к проведению следующих оперативных мероприятий:
1). Определение информационных связей между предметными областями математического и гуманитарного знаний, а, фактически, установление структуры причинно-следственных связей рассматриваемой гуманитарной области знаний, задающей контуры возможных расширений посредством креативных процессов.
2). Установление лингвистической связи между математикой и гуманитарной областью, что подразумевает определение информационных характеристик языков, анализ и сравнение которых позволяет выявить языковые универсалии, с которыми связаны законы эстетики.
Эффективная реализация этих положений, в значительной мере, опирается на анализ и последующую дидактическую репродукцию имеющихся исторических традиций, из которых следует, что у колыбели большинства гуманитарных направлений, все-таки, стояла математика. Этот тезис иллюстрируется примерами из психологии музыкального творчества.
105 ISSN 2307-2447
3. Особенности интерпретации 'гуманитарного знания в учебном процессе.
Представление теоретического знания обычно реализуется тремя следующими способами: Шсторическим, эвристическим (интуитивным) или аксиоматическим (дискурсивным). В учебном процессе, так или иначе, задействованы |В|е три способа, в зависимости от целей и задач обучения, однако первые два подхода плохо пригодны для изложения теории в целом, поскольку не обеспечивают полноту представления о ее логической структуре. В рамках аксиоматической теории, ее положения выделяются явно и упорядочены причинно-следственными связями, определяющими четкую логическую структуру данной теории, удобную для алгоритмизации при обучении с использованием ИКТ. При известной логической структуре теории легко реализовать оптимизацию траектории подачи знаний в учебном процессе.
Формирование аксиоматической теории представляет некоторую процедуру абстракции и систематизации имеющегося опыта, запечатленного в соответствующих теориях, выраженных в исторической и интуитивной транскрипции. Смысл абстракции как мыслительной операции установил Дж. Локк в трактате «Опыт о человеческом разумении» (1689, [6]) и сейчас абстракция представляет некий универсальный способ формирования теоретического знания, применимый к любой научной дисциплине: математической, естественной или гуманитарной. Тем не менее, способы абстрагирования зависят от природы изучаемых объектов и целей исследования. Поэтому математическая абстракция отличаются от способов абстракции в естествознании, а естественнонаучная абстракция отлична от абстракции в гуманитарных науках [7].
Аксиоматический метод обычно ассоциируется в контексте математики, в силу исторических традиций, восходящих к Евклиду (IV в. до н.э.). Однако, следуя исторической хронологии, еще задолго до Евклида идеи аксиоматики прослеживаются в области конституционного права в папирусах древнего Египта, клинописях Вавилона и ведах Индии [4]. В конце XVII в. пришел черед аксиоматизации классической механики в рамках законов И. Ньютона. Во второй половине XIX в. сформулированы законы эволюции и наследственности (Ч. Дарвин, Г.Мендель), на орнове которых в XX в. зародилось междисциплинарное направление в виде математической генетики, представляющей сейчас одну из наиболее успешных областей биологии. Известные »Математические тетради» К. Маркса также говорят о том, что при разработке экономической теории широко использовались формализованные варианты экономических процессов. Во ||торой половине XX в. аксиоматика и формализация приходят в область гуманитарных наук (психологию, социологию, культурологию и
^тЛ) [4];'в сфере^образовяния аксиоматичещми| метод реализован В.М. Монаховым при разработке теории педагогических технологий [8].
В современном образовательном прострааЯ стве отмечается усиление гуманитарных тенденций, и здесь наиболее взвешенной представляется точка зрения, восходящая к неокантианской баденской школе рубежа XIX-XX вв. в лице Г. Риккерта и М. Вебера [9]. Она исходит из того, что различие между гуманитарными и естественными науками связано не с различиеш самих предметов, а с различием логических ме -тодов этих наук, т.е. с различием в принципам образования понятий и формулировки соответствующих суждений. Ниже представлен пример аксиоматического построения дидактического контента для обучения математике студентов-гуманитариев на основе пифагорейской аксиоматики математической теории музыки.
4. Пифагорейская теория музыки. Основным понятием теории музыки является музыкальный тон, который физически представляет колебательный процесс в воздухе с фиксированной частотой и, например, частота камертона, применяемого для настройки музыкальных инструментов, равна 440 герц (ля 1-ой октавы). Частота колебаний тона определяет его количественную характеристику — высоту и, чем она больше, тем выше тон. Это позволяет ввести расстояние (интервал) между тонами с высотами / и /в виде отношения г(ф ^; f2) =
// А.
Всякая музыкальная композиция, по сути, представляет некоторую последовательность тонов, передающих ее смысл так, чтобы входящие в нее тоны были созвучны, образуя мелодию. Такие тоны в музыке принято называть консонансами и, чтобы это условие выполнялось, высоты тонов должны отвечать определенным отношениям.
В Европе основы теории музыки были заложены в VI-IV вв. до н.э. в Древней Греции усилиями Пифагора (ок. 570-500 гг. до н.э.), Филолая (V в. до н.э.) и Архита Тарентско-го (428-365 гг. до н.э.) [2]. Они опирались на античную теорию пропорций и ряд положений, которые были установлены экспериментально и известны как законы Пифагора-Архита:
1). Высота тона / звучащей струны обратно пропорциональна ее длине I, т.е.: А = а/1 , (1)
где а — коэффициент пропорциональности, зависящий от физических свойств
струны (толщины, материала и т.п.).
2). Две звучащие струны дают консонанс лишь тогда, когда их длины относятся как целые числа, составляющие треугольное число 10=1+2+3+4, т.е. как: п/(п+1), где п=1;2;3. (2)
Интервалы (2) называют совершенными консонансами и, в частности, при п=1 интервал //к / =1/2 назван октавой; при п=2 интервал // /2 =2/3 образует квинту и при п=3 интервал
///2 =33/4 является квартШ^ЖрОмеТбго, если звучащие струны имеют одинаковую длину, то Интервал / //2 =1 представляет «самый совершенный консонанс» прима (унисон), который играет большую роль в оркестровых композициях.
Идея пифагорейцев при построении музыкальной шкалы реализует их канон красоты, связанный с обеспечением определенной пропорции между последовательностью тонов внутри октавы, которая для этого разбивается в геометрической прогрессии. Музыкальная шкала (гамма) пифагорейцев создавалась для настройки однострунного инструмента (монохорда), шкала которого содержала 12 ступеней, так, что цена деления составляла 1/12 часть этой шкалы. Разбиение данной шкалы происходила по закону консонанса (2): со струной длины 1=1 будут созвучны ее части длины 1=1/2 (на окта-ву'выше), I ==2/3 (на квинту выше), 1=3/4 (на кварту выше). При таком разбиении, с учетом (1), имеем следующие соотношения между интервалами:
/= /з /; /з/ Л = /У/; ///== =2 (/2//3Х/3//); //4=2/8. (3)
Из пропорций (3) следует, что интервал между квинтой /3 и квартой /4 равен одному тону, принимаемому за единицу ладообразования пифагоровой гаммы. Откладывая от основного тона /= =1 единичный тон /=9/8, затем еще один тон /3=(/2)2=(9/8)2=81/64, до кварты / =4/3
остается еще некоторый интервал, равный /3 = 4/3:81/64 = 256/243. Поскольку деление октавы происходит в геометрической пропорции со знаменателем 9/8, то остаточный интервал' принято называть полутоном, т.к. 256/243 - 1,0535 - <9/8 ~ 1,0607. Так был получен так называемый лидийский тетрахорд — 4-струнный звукоряд, составляющий основу пифагорейской гаммы. Сдвигая данный тетрахорд на квинту вверх, получаем остальные ступени пифагорой гаммы: /=(3/2)/=3/2; /=(3/2) /=27/16; /7=(3/2)/=243/128;/8=(3/2)/=2. В итоге имеем полную последовательность тонов, образующих гамму в до мажоре:
1(до) - 9/8 (ре) - 81/64 (ми) - 4/3 (фа) - 3/2 (соль) - 27/16 (ля) - 243/128 (си) - 2 (до). (4)
Это и есть знаменитый канон Пифагора. По преданию, канонический строй (4) использовался при настройке лиры легендарного Орфея.
5. Канон Пифагора и колебания струны по Д'Аламберу. В 1747 г. опубликован мемуар Д'Аламбера «Исследования по вопросам о кривой, которую образует натянутая струна, при-Щеденная в колебание», содержащий решение волнового уравнения вида:
d2u 2 д2u
dt2
a
dx2
(5)
где t — время, х — координата точки струны В п9йОЖ§НИи i#аЁййШаИЯМгй!Й''4Й — отклоне-
'н:ир^точки'струнж'*с" координатой х в момент' от положения равновесия, а2 — коэффициент! пропорциональности, характеризующий упругие свойства струны (а = <Е/р~; Г; р — соответственно, натяжение и плотность однородной струны). Будем решать уравнение (5) методом Фурье при граничных и начальных условиях:
и(х;0)=/(х), и'(х;0) = g(x); и(0^)=0, и(1;)=0, (6)
полагая: и(х^) = Х(х)T(t). (7) Тогда после подстановки (7) в (5) получается система обыкновенных дифференциальных уравнений вида:
d2T 2.т d2X -а ЛТ = О,
dt¿
dx'
-ЛХ = 0, (8)
Решение системы (8) с учетом (6),(7) дает решение волнового уравнения (5) в виде ряда Фурье:
j ™ , ,, ™ . пях. nnat , . nnat, .„, u(x;t) = Z"Jx;t)= Z sin ——[an eos —---hbusin —-—], (9)
n=l n=l l l I
где коэффициенты Фурье определяются соотношениями:
ап — — \ f(x) sin dx, b„ = -У— \ g(x)sin?^-dx, (10) lo l nna о l
Выясним физический смысл решения (9),(10) и, прежде всего, функций un(x;t), которые для этого представим в виде:
un(x;t) = Ап(х) sin (рп), (11)
. . I I ; ГТ • а /1^.4
где А п(х) Jcr +Ъ~п sin—х; срп = arctg =. (12) / о
п
Как видно из (11);(12), каждое решение un(x;t) представляет собой гармоническое колебание с частотой m =nna/l и фазой ф , причем, амплитуда колебаний А (x) для разных точек струны зависит от х так, что концы струны неподвижны, т.к. при x=0;l: A (0)=A (l)=0. Каждое такое колебание имеет узловые (неподвижные) точки, определяемые условиями при n=1: sin(n/l)x= 0 =>x=0, x=l;
n =2; sin—x= 0=>x=0, x=l/2, x=l\ (13) 3n
n=3: sin — x= 0 —>.v 0, x=l/3, x=21/3, x=l\ l
. kn ti= k : sin—x= 01
>x=0, x=l/k, x=2l/k,..., x=l.
Условия (13) показывают, что решение Д'Аламбера (9-12) физически представляет колебания струны в виде суперпозицию стоячих волн. Это означает, что струна колеблется не только по всей длине, но одновременно и отдельными ее частями (половинами, третями, четвертями и т.д.). Поэтому струна издает звук не только основной частоты т= =па/1, но тШжИ
обершшы ю2=2па/ш№3=3паУ1 ОбН
ратим внйШнйе^^чтО^астаТы колебаний сТруиш обраТно пропорциональны ее длине и, таким образом, приходим к закону Пифагора-Архита (1). Располагая гармоники струны в порядке возрастания их частот юг; а>2; а>3;..., а>к ;... обнаруживаем, что они относятся как числа натураль-
ного ряда: : т2 : ш3 :...
= 1:2:3:...
Но тогда юп+1/юп = n+1/n и получается закон Пифагора-Архита (2). Интересно отметить, что: lim (т ,/т ) = lim (n+1/n) = 1, т.е. с ро-
nn+r П' П^ЯУ' ' ' ' 1
йстом номера n интервал между соседними гармониками натурального звукоряда уменьшается и в пределе дает чистую приму (унисон).
Таким образом, в основе слуховых ощущений человека лежат принципы классической ме-¡¡Ханики. В середине XIX в. этот вывод блестяще подтвердился опытами Г.Гельмгольца при исследовании психофизиологии слухового аппарата человека [12].
6.Пифагорова комма и хорошо темпери -рованный клавир И.С.Баха.
Как всякое великое, пифагорова гамма имеет свою «ахиллесову пяту», о которой говорилось в п.4 в связи с «пифагоровым» полутоном f4/ f3 = 256/243 ~ 1,0535, который, хотя и мало, но отличается от реального полутона V9/8 ~ 1,0607. Поэтому в октаве последовательность тонов нельзя точно реализовать в виде геометрической прогрессии. Действительно, если оба «пифагоровых» полутона (ми-фа и си-до) в (4) заменить интервалами V9/8, то в этом случае интервал в 12 таких полутонов составит (9/8)6 = 531441/262144 ~ 2,0273, что несколько превышает значение 2 для октавы. Отношение этих двух интервалов составляет:
(9/8)6 /2 =531441/524288 ~ 1,0136 (14) и называется пифагоровой коммой, наличие которой указывает на то, что в гармонии пифагоровой гаммы присутствуют едва уловимые диссонансы. Поэтому идеальное (консонансное) построение октавы с помощью квинты, как это предполагали пифагорейцы, или, что равносильно, равномерное (темперированное) деление октавы в виде рациональной геометрической прогрессии, принципиально невозможно.
Построение темперированной шкалы музыкальных тонов предполагает выполнение следующих условий [13]:
У1. Вместе с каждым тоном высоты f шкала содержит тоны 2f и f/2.
У2. Вместе с каждым тоном высоты f шкала также содержит тон 3f.
У3. Шкала допускает возможность транспонирования мелодии без искажения на любой тон йшкалы.
Обоснование условий У1-У3 дается в п.5. Пусть теперь в пределах одной октавы шкала
разбита на тоны следующим образом: f = f0 < f < f3 < f- < f = 2f (15)
последовател!ьйос?РФ®нов (прообразует меи
лодию, которую транспонируем вверх ''-без искажения так, чтобы нижний тон /0 поднялся до /. Тогда мелодия будет начинаться с тона /1 и заканчиваться тономв октаву выше/ и, т.к. транспонирование происходит без искажений, то выполняются равенства ///0 = f2^/f1, /2//1 = ,/з//2>"> fm/fш-1 = fм+1/fм, °™уда ///0 =
///.1 = f3/f2 = fт//т-1 /т+1//т ,
(16)
т.е. высота тонов в последовательности (15) образует геометрическую геометрическую прогрессию с некоторым знаменателем д. Отсюда следует /т = qmf0 = 2f0 <=> qm= 2. Следовательно, шкала полностью определяется, если установлено число ступеней т, на которые разбивается октава (15).
В силу условий У1;У2, видим, что вместе с высотой тона / шкала (15) должна содержать ступень с высотой 3f/2, причем, эта ступень лежит в промежутке /;2/). Поэтому число ступеней т в октаве (15) должно выбираться так, чтобы одна из промежуточных степеней совпала со ступенью 3f/2. Для определения соответствующего условия для т члены последовательности (15) прологарифмируем, что приводит к арифметической прогрессии вида: log2 f ; log2
/ fm (17)
с разностью ^2 т\2 = 1/т. Пусть теперь к-я ступень в последовательности (15) имеет высоту 3f/2. Тогда для определения т получае-йИ уравнение:
^23/2 = k/m. (18)
Но уравнение (18) решений не имеет, поскольку справа стоит рациональная дробь, а слева — иррациональное число. Это означает, что условие У3, равносильное равномерности логарифмической шкалы тонов (17), вступает в противоречие с условием У2, которое эквивалентно наличию чистых квинт в последовательности (15) и, следовательно, от одного из них необходимо отказаться. Проще отказаться от чистых квинт, поскольку стоящий слева в (18) логарифм ^23/2 ~ 0,585 с достаточной точностью аппроксимируется подходящей цепной дробью [0,1,1,2,2,...] = 7/12 ~ 0,583, что дает т=12. Таким образом, искомая музыкальная шкала строится на логарифмической оси делением единичного отрезка на 12 равных частей точками:
1/12=0,083;1/6=0,167;1/4=0,25;1/3=0 ,333; 5/12=0,418; 1/2=0,5; 7/12=0/583; 2/3=0,667; 3/4=0,75; 5/6=0,833; 11/12 = 0,917; 12/12= 1,0 (19)
Последовательность (19) представляет темперированный строй музыкальной шкалы, в котором пифагорова комма равномерно «размазывается» по всем 12 полутонам хроматической гаммы и становится практически незаметной. В результате получается так называемый равномерно-темперированный музыкальный строй!
вида
2^2m , где m = 1;12.
ш
Впервые ®га идея ЯрозвуЗала в ЯУнивер-¡раЛьНой гармонии» М. Мерсенна (1588-1648) и рримерно к 1700 г. осуществилась немецким ор-Ванистом А. Веркмейсгером (1645-1706). Равно-рерно-темперированный музыкальный строй нашел понимание у И.С. Баха (1685-1750), который создал гениальное творение — «Хорошо ¡темперированный клавир» в 2-х частях (1722; 1744 гг.), в котором продемонстрировал возможности 12-ступенного равномерно-темперированного хроматического строя на всех 24 его »ональностях (12 мажорных и 12 минорных). И, хотя отклонения темперированных тонов от чистых консонансов незначительны, тем не менее, современник Баха выдающийся немецкий композитор Г.Ф. Гендель (1685-1759) не принял темперацию, т.к. испытывал раздражение от «смазанных» консонансов темперированной музыки. Едва уловимые диссонансы темперированного строя в дальнейшем болезненно ощущались П.И. Чайковским (1840-1893) и А.Н. Скрябиным (1871/72-1915).
Заключение Все указывает на то, что музыка в своем развитии дает толчок в развитии математики и, наоборот. Поэтому, неслучайно, у пифагорейцев музыка входила частью в более общую дисциплину под названием «математа» и в XVII в. в
Европе теория музыки рассматривалась как раздел математики. Формирование музыкальных канонов долгое время было связано с построением и обоснованием музыкального строя. Этот процесс завершился созданием темперированного строя (ок. 1700 г.) и построением общей теории колебаний струны в середине XVIII в. Одна из проблем при этом обусловлена необходимостью разбиения единичного отрезка в геометрической прогрессии, которое, как выяснилось, не выражается рационально и, как следствие, приводит к рациональным приближениям действительных чисел.
Разумеется, развитие теории музыки на этом не остановилось и такие современные композиторы, как О. Мессиан (1908-1992 гг.), в своем знаменитом «Трактате о ритме, цвете и орнитологии» [15] при формировании ритмики музыкальной композиции обращаются к тонким построениям, связанным с использованием пер-мутаций симметрической группы 32-го и 64-го порядка. Впрочем, об этом будет отдельное сообщение. Представленный материал следует рассматривать как определенный дидактический контент для проведения интегрированных занятий в области «математической теории музыки» со студентами, специализирующимися в области искусствознания.
ЛИТЕРАТУРА
1. Архангельский С.И. Лекции по теории обучения в высшей школе. М.: Высшая школа, 1974. 384 с.
2. Волошинов А.В. Математика и искусство. М.: Просвещение, 2000. 399 с.
3. Салий В.Н. Математические основы гуманитарных знаний. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006. 308 с.
4. Фирстов В.Е. Кибернетическая концепция и математические модели управления дидактическими процессами при обучении математике в школе и вузе. Саратов: Издательский Центр «Наука», 2010. 511 с.
5. Яглом А.М., Яглом И.М. Вероятность и информация. М.: Наука, 1973. 511 с.
6. Локк Дж. Опыт о человеческом разумении. Сочинения, т.1. М.: Мысль, 1985. 622 с.
7. Рузавин Г.И. О природе математического знания. М.: Мысль, 1968. 303 с.
8. Монахов В.М. Теория педагогических технологий как необходимое условие их интеграции с информационными технологиями // Труды вторых Колмогоровских чтений. Ярославль: Изд-во ЯГПУ 2004. С. 145-151.
9. Гайденко П.П., Давыдов Ю.Н. История и рациональность. М.: Политиздат, 1991. 367 с.
10. Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. Теория доказательств. М.: Наука, 1982. 652 с.
11. Бунге М. Философия физики. М.:Прогресс,1975. 347 с.
12. Лазарев П.П. Гельмгольц. М.: Изд-во АН СССР, 1959. 104 с.
13. Шилов Г.Е. Простая гамма (устройство музыкальной шкалы). М.: Физматгиз, 1963. 20 с.
14. Пенроуз Р. Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики. М.: Едиториал УРСС, 2005. 400 с.
15. Цареградская Т.В. Время и ритм в творчестве Оливье Мессиана. М.: Классика-XXI, 2002. 376 с.
REFERENCES
1. Arkhangel'skii S.I. Lektsiipo teorii obucheniia v vysshei shkole [lectures on the theory of learning in higher education]. Moscow, Vysshaia shkola Publ., 1974. 384 p.
2. Voloshinov A.V. Matematika i iskusstvo [Math and art]. Moscow, Prosveshchenie Publ., 2000. 399 p.
3. Salii V.N. Matematicheskie osnovy gumanitarnykh znanii [Mathematical foundations of human knowledge]. Saratov, Satar. Un-t Publ., 2006. 308 p.
4. Firstov V.E. Kiberneticheskaia kontseptsiia i matematicheskie modeli upravleniia didakticheskimi protsessami pri obuchenii matematike v shkole i vuze [Cybernetic concept and mathematical models of management of educational process in teaching mathematics at school and University]. Saratov, Nauka Publ., 2010. 511 p.
5. Iaglom A.M., Iaglom I.M. Veroiatnost'i informatsiia [Probability and information]. Moscow, Nauka Publ., 1973. 511 p.
6. Lokk Dzh. Opyto chelovecheskom razumenii. Sochineniia, t.1 [An essay concerning human understanding. Works]. Moscow, Mysl' Publ., 1985. 622 p.
7. Ruzavin G.I. Oprirode matematicheskogo znaniia [About the nature of mathematical knowledge]. Moscow, Mysl' Publ., 1968. 303 p.
8. Monakhov V.M. Teoriiapedagogicheskikh tekhnologii kak neobkhodimoe uslovie ikh integratsii s informatsionnymi tekhnologiiami // Trudy vtorykh Kolmogorovskikh chtenii [Theory of pedagogical technologies as a prerequisite for their integration with information technologies // Proceedings of the second Kolmogorov readings]. Iaroslavl, IaGPU Publ., 2004. pp. 145-151.
9. Gaidenko P.P., Davydov Iu.N. Istoriia i ratsional'nost' [History and rationality]. Moscow, Politizdat Publ., 1991. 367 p.
10. Gil'bert D., Bernais P. Osnovaniia matematiki. Teoriia dokazatel'stv [Foundation of mathematics. The theory of evidence]. Moscow, Nauka Publ., 1982. 6|2 p.
11. Bunge MWitosofiiafiZim [PhiloiophywFphysiiS]. Moscow, Progress Publ., 1975. 347 p.
12. |!^iriVPipl|ii'm,gol'iSi[Helmholtz]. Moscow, AN sSSr Publ., 19^5f?if4 p.
63. Shilov G.E. Prostaia gamma (ustroistvo muzykal noi shkaly) [Simple gamma (device musical scale)]. Moscow, Fizmatgiz Publ., 1963. 20 p.
gJ4. Penrouz R. Novyi um korolia: O komp'iuterakh, myshlenii i zakonakhfiziki [New king mind: Concerning computers, minds and
laws of physics]. Moscow, Editorial URSS Publ., 2005. 400 p. 15. Tsaregradskaia T.V. Vremia i ritm v tvorchestve Oliv'e Messiana [Time and rhythm in the works of Olivier Messiaen]. Moscow, Klassika-XXI Publ., 2002. 376 p.
Информация об авторах Фирстов Виктор Егорович
(Россия, Саратов) Доктор педагогических, кандидат физико-математических наук Профессор кафедры компьютерной алгебры и теории чисел механико-математического факультета Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского Б-шаИ: firstov1951@gmail.com
Амелина Юлия Викторовна
(Россия, Саратов) Аспирант механико-математического факультета Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского Б-шаП: ulekkv@gmail.com
Information about the authors
Firstov Viktor Egorovich
(Russia, Saratov) The Doctor of Pedagogical Sciences, PhD in Physico-Mathematical Sciences Professor of the Department of Computer Algebra and Number Theory Faculty of Mechanics and Mathematics Saratov State University named after N.G. Chernyshevsky E-mail: firstov1951@gmail.com
Amelina Iuliia Viktorovna
(Russia, Saratov) Postgraduate student Faculty of Mechanics and Mathematics Saratov State University named after N.G. Chernyshevsky E-mail: ulekkv@gmail.com
