CC BY
90
УДК 091+930
ПЕРВАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КНИГА В ЗОЛОТООРДЫНСКОМ ГОСУДАРСТВЕ -ШЕДЕВР В ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКЕ («АТ-ТУХФЕ ФИ 'ИЛМ АЛ-ХИСАБ») (3)*
Ихсан Фазлыоглу
(Университет «Меденият», Стамбул)
Вниманию читателей представлена третья часть статьи. Автор данного исследования представляет первый установленный пример научной деятельности в Золотой Орде, во время правления Узбек-хана.
Вычислительная книга «Ат-Тухфе фи 'илм ал-хисаб», автор которой неизвестен, во время правления Узбек-хана (1313-1342) была передана правителю Крымского улуса Золотой Орды Абул-Музаффер Гияседдин Тулуктемир бею. После упоминания отличительных черт произведения, автор уделяет особое внимание определению чисел, которое приписывается Мухаммеду б. Муса ал-Хорезми и которое, на настоящий момент, не зафиксировано в других источниках. Автор анализирует формулы приблизительных значений квадратных и кубических корней иррациональных чисел, предложенные Мухаммедом ал-Хорезми, Абдулкахиром ал-Багдади и учителем автора, Садуруддином ал-Фарази.
В этой части будут рассмотрены такие вопросы, как числа и их особенности, приблизительные величины квадратного и кубического корней иррациональных чисел, квадратный и кубический корень иррациональных чисел. Анализ сочинения показывают, что «Тухфе» представляет исламскую математику в Золотой Орде на высоком уровне.
Ключевые слова: Золотая Орда, Узбек-хан, математика, алгебра, Дашт-и Кыпчак, ислам.
I. Числа и их особенности
Неизвестный писатель классифицирует числа по различным формам согласно древней математике. Эти определения основываются по числам на «Введение в арифметику» Никомаха, по геометрии на «Элементы» Евклида и на работы по теории чисел развитых в исламском мире Сабитом б. Курре; особенно, главным источником, к которому обращался автор, было «Ат-Текмиле» ал-Багдади [11,
* Окончание. Начало см: Золотоордынское обозрение. 2014. № 4 (6). С. 57-68; 2015. № 1. С. 106-127. Перевод с турецкого языка Ю.Н. Нагимовой, И.М. Мир-галеева.
с. 225-235]. Согласно этому, числа, прежде всего, делятся на два больших раздела простые (муфрад) и составные (мураккаб). Простые числа делятся на четные, то есть 2п, п £ N и нечетные, то есть [2п — 1], п € N.Четные числа делятся на три:
1. Четный-четный (заудж ал-заудж): 2П, п £ N.
2. Четный-нечетный (заудж ал-фард): 2[2т — 1], т е N.
3.Четный-четный-нечетный (заудж ал-заудж вал-фард): 2п+1[2т + 1], п, т е N.
Автор определяет четные числа как делящиеся на два естественных числа. В общем, на определение четного-четного указывает вышеприведенная формула «возможность делится на два до одного» (у>1Автор передающий возражение своего учителя «это определение верно и для числа два; однако число два объединением четный-нечетный»; затем он говорит, что правильнее будет определение «возможность делится на два до двух» (^ ч"'. : Говоря о четном-нечетном и четном-
четном-нечетном, как уже было сказано выше, будет достаточно упомянутых определений.
Нечетное число, которое не делится на два полных целых числа, делится на два:
1. Простое нечетное число; как 7.
2. Составное нечетное число:
Например, —— = г, п, т £ N => [т, г] или [2п — 1], 9 => 3.
Простые числа делятся на три: неполные (отрицательные) (на-кыс), полные (мукаммал) и остаточные (положительные) (заид). Эти числа можно определить следующим образом: если п £ N полные делители кроме «п», показываются о0 (п), сумма делителей может записаться следующим образом о(п)=о0 (п)+п. В случае п £ N. если о0 (п)> п остаточный (положительный), если о0 (п)< п неполный (отрицательный) и если о0 (п) = п называем полным числом [35, р. 278].
Автор говорит, что первое полное число «шесть» и, повторяя античную ошибку, показывает, что первой ступенью полных чисел (ступень единиц) являются «шесть» или «восемь». Первое остаточное (положительное) число «двенадцать». Предложение автора «все нечетные числа кроме 745 неполные (отрицательные)» необходимо изучить. Исследование полных чисел и установление общего правила в истории математики со времен греческой математики являлась темой для исследований. По этой теме, особенно, работали такие математики как Сабит б. Курре, Ибн Хейсем, Кемаледдин ал-Фариси и Ибн Хайдур. Неизвестный автор, как если бы он знал об этих исследованиях, сообщает об одной особенности полных чисел: «Полное число получается от четного-четного сумма делителей которых простое
Другими словами автор указывает, что в общей формуле 2П 1(2П-1). п Е N. 2п-1 должно быть простое нечетное число.
В конце концов, говоря о составном числе (мураккаб), это число имеющее больше чем одна ступенька1.
Автор «Тухве» снова дает часто встречаемые в классических математических текстах виды чисел: мутабайин, мутевафык, мутеда-хил, мутеадил, мутехази и мутесави. Из этих видов чисел мутабайин (отдельный): как восемь и пятнадцать не имеющие общих делителей кроме единицы; мухталиф (другой) - в некоторых источниках именуется как муштерек: как шесть и четырнадцать третьим числом - в примере число два - совместно делимые два числа; мутедахил (пробивной): как четыре и двенадцать одно делит другое, другими словами два числа одно из которых является разами второго; мутесави (равный): два числа, которые определяются как одно равно другому.
Автор детально дает определения и формулы чисел мутеадил и мутехази. Следовательно, эти два вида числа достойны более подробного исследования:
J а ^¡¿л ^,а 1^1
а "щд" ^з3 j ^J 1лзе. ¿¡1 .о,;« о,;
J , А л щд" ^а, J ,- - О,;" щд..
«Говоря о числах мутедахил, два разных числа, сумма частей одного равна сумме частей другого; как пятьдесят один и девяносто один... подходя к правилу составления этих чисел: Берешь одно число; убираешь от него один; потом делишь на два разных простых числа - то есть два нечетных простых числа; умножаешь друг с другом; таким же образом делишь и умножаешь; два достигнутых результата части каждого из чисел как допустимые числа».
Выражения автора можно выразить следующим образом; пусть «а» данное число; необходимо найти число мутеадил относящееся к желаемой «а»; то есть о0-1(а). Сначала в виде а = 1 + р1 + находятся простые числа р!, 1= 1, 2, 3, ...). Если о0-1(а) = (рдО = (Ь1), (1 = 1, 2, 3, ...), то Ь1 число мутеадил. Известно, что о0(Ь1) = о0(р1д1) = а (1 = 1, 2, 3, ...). Автор дает два примера 51 и 91. Согласно этому; а = 51, р1 = 3, = 47; р2 = 13, = 37; таким образом Ь1 = 141, Ь2 = 481. То же действие проделывается с 91.
1 См. для споров листы 4а-5а.
2 5-.
3 61.
4
'Vjí IJJ £jjil ^ |j| .Vjí IjJ l^a.1 j Je Jjjj , jij^l
J«^ д\| ¿ÜÜ jjj ^Jjj ,<Í IjJj ^«hij Jit JS5 ílj^Vl £J«^ «j
«Говоря о числах мутехазиян, два числа, сумма частей каждого из них равна второму числу; например как 220 и 280... их происхождение от четного-четного; когда добавляем один; результат делим на два и добавляем один к полученному получается простое нечетное число; когда убираем это четное число, остается простое нечетное число; части каждого числа «производство» другого, суммы называются «производителями»».
Автор «Тухфе» упоминает о дружественных числах, которые в истории математики долгое время исследовались Пифагором и Евклидом. Несмотря на то, что в арабском языке эти числа называются мутехаббан, интересно то, что автор использует термин мутехазиян, если конечно это не ошибка переписчика6. Однако автор не объясняет использование данного наименования. Держа перед глазами вышеупомянутые формулы автора по неполным (отрицательным) и превосходным числам, выражения, основанные на установках распространенных в исламской математике со времен Сабита б. Курре, можно привести в следующем виде: если целые делящие части или действительные делители n EN, кроме самого числа «n» если будут показаны в виде o0(n), сумма делителей можно записать в следующем виде o(n) = o0(n) + n. В этом случае n E N, n E N > п остаточный (положительный)/заид, если o0(n)< п неполный (отрицательный) и если o0(n)= п называется целое/превосходное число. В этих условия m должен быть дружественным числом n EN, и о0(ш) = n и o0(n) = ш. Формула пары дружественных чисел Сабита обеспечивающая это условие следующая: допустим, pn = 3.2n - 1 и qn = 9.22n _ 1 - 1; если qn, pn, и pn _ 1 простые числа m = 2npn _ 1pn и n = 2nqn будут дружественные числа; здесь «m» остаточное (заид), а «n» неполное (накыс) числа [для подробной информации см.: 38, 35, 6].
В завершении необходимо отметить следующий пункт: сведения данные автором по теории классических чисел, скорее всего начавшаяся в исламской математике с переводом на арабский язык Сабитом б. Курре 'Introductio Aritmética' и особенно развившаяся при помощи Ихванус-сафа «Theologoumenates Aritmetikes» не содержит Герметико-Пифагорейской основы. Автор рассматривает все эти сведения только для состояния числа или численности.
5
Вышеупомянутое наименование присутствует в обоих экземплярах произведения. Эта ситуация показывает, что автор сам использовал это название, либо александрийский экземпляр был скопирован с айасофийского.
II. Приблизительные величины квадратного и кубического корней иррациональных чисел.
Составленных в исламском мире математических, особенно, вычислительных и алгебраических произведений часть информации по нахождению квадратного и кубического корней основывается на индийской и греческой математике. Это унаследованное накопление в исламском мире начало совершенствоваться с десятого века; возможностями данными наукой алгеброй была достигнута общая формула, дающая п'ный корень положительных целых чисел, как было видно по примеру ал-Самавел (умер в 1172-3 г.); затем обогащенная деталями Насируддинном ат-Туси и Гияседдин Джемшид ал-Каши.
Автор «Тухфе» начинает с того, что в начале по отдельности рассматривает квадрат и куб и приводит определения терминов использованных счетоводами, межевальщиками и алгебраиками. Судя по счетоводам, каждая величина, умноженная на саму себя является корнем (джезр); результат полученный после умножения называется корневым (меджзур). Межевальщики называют джезр краем (диль), меджзур разом (мурабба), алгебраики джезр - вещью (х), меджзур -имуществом (х2) (страница 46Ь-47а). То есть, х2 = х.х =>х = джезр, диль, вещь х2 = меджзур, мурабба, имущество.
В определении кубического корня автор без подробностей говорит «если одну величину умножить меджзуром, результат будет му-кабом (возведенный в куб); умноженная величина является кубом (каб) результата (кубический корень)» (л. 60). То есть: х2х = х1 => х1 = мукаб (возведенный в куб) х = куб (каб).
Далее автор изучает свойства чисел с точки зрения, как квадратного корня (л. 47а-48Ь), так и кубического корня (л. 60а-61Ь). Затем приводит общий метод для квадратного и кубического корней положительных целых чисел и показывает примерами их применение на табличке. Судя по этим определениям, числа, с точки зрения кубического и квадратного корней, делятся на две группы: рациональные, то есть те, которые могут иметь квадратный и кубический корни (мунтакуль-джезр и мунтакуль-каб), и иррациональные, то есть те, которые не могут иметь квадратный и кубический корни (эсаммуль-джезр и эсаммуль-каб). Автор «Тухфе» на табличке показывает применение формулы дающий значение, как для квадратного, так и для кубического корня. Похожие процессы, как об этом было сказано выше, изучает для дробей, которые изучались в разном содержании в древней математике.
Автор приводит два метода для приблизительного квадратного и кубического значения иррациональных чисел. Первый из этих методов будет изучен подробно ниже, является методом, который выполняется по десятичной системе чисел; а второй метод выполняется путем нулей по дробной системе чисел с основанием шестьдесят.
Как мы узнали из информации о книгах Хорезми, которую дает испанец Юханна ал-Ишбили, Хорезми пользовался этим методом и путем нулей выполнял вычисления приблизительного кубического корня. В этом методе каждое натуральное число у которого нет полного квадратного корня может изменится следующим образом
VÑ = VN X 102к. Находящаяся здесь дробь изменяется на дробь с
основанием шестьдесят (ситинни) и с увеличением количества нулей
настолько приблизится к полному значению. Например: V2 =
/2000000 1414 , .... , 24 , 50 , 24
I-=-= 1.414 или в виде ситинни 1+---I--- +---.
л] 1000 1000 ^ 60 602 60!
Современник Хорезми Мусаогуллары (Бену Муса) легко обобщил эту формулу. По ней "VN = VNm"$, m,k E Z+; если m = 60 и n = 2 или 3, мы получим правило данное автором «Тухфе».
1. Квадратный корень иррациональных чисел
В «Тухфе» общее правило квадратного корня данное внутри десятичной системы приводится в спорном виде (л. 54а_55Ь):
ijhYíj , sjia. j« ^j^-j jí мМ' 'ía ^i J^VI :^jjljáJl ^-j« jj ^ JlS liA Jjíij ^jl^ll AjhjJl j« l« ^J ,^jlkll <»» ^ Л ^Sbll
.^Ijjíillj ji?. ^J«? «Ч7
'mIj'J ^jl J^VI liA :_ Л1 _ ^jIjíjII jAlii jjjAlüll Jjc jj'Ya jjí Jl^j
Je Jjj" jí ^lij íJ^Vl li$j ^J^j l«« m'J'll Mj^í j^^il ^J^j ^^í Jí-^V
jia. ílj^Vl liA Jj^j ,4jabll ílj^Vl £ >JhYj ,lja.l j
.^jjillj
j8 lYáx^ lili í.2a.lj ^jl^ll jV , jjYjl j' JjVl J^Vlj ÁJ^lll jia. ljiií lij ljl
.AjlJ Mjh'Y«ll Jl« Mjh'Y«ll jV,J^lj AjhYll ílj^í < '«».'^«4 Л juábll jjYjVI lYjhj SAJ^J j.'j Ujj lij t '«».^«jl ^ic lj'v íjllS j J».lj ^j^j ^jllll J^Vlj elYa. j¿.í lijj j A^ljll jji^lj ,>*WJjí jjjjyl jji^^j , jljlj ÁJhYll j« l^jlj j^bll Új^jy lYihj lijj .mIj"!I ^lj Mjj ^jllll J^VI jí UaÍc j . J^lj j jlYjl jllill
^S jV Jjji« jj^9 jj'Y« ^jí j« JjSJl Iía j^il : - Л1 _ ^^yn Jlij JjVl J^>Vb MíJiJb IaJV ji,^ A^i^K .mIJ'll ^lj mjáí JjVl J^Vl J«ll j^a Aj^ ^л 4 ni^i^ JjVl jj^^^j j jljjl ^j^J^l J^V^Jj Ü^J^l
^л Ü^J^a j Aniíi ^l^^'j Újj^aj ^^'j AAJJI ^jU^l Jj^^ ^j ^l^^'j
^li , ^Л ^^^^^ Itnn^ l^^ lij .J^lj
.^jlL^ll jA ^lj^aJl ^jái jis jjjj^il
«Мухаммед Муса ал-Хорезми говорил следующее: Принцип (правило) в этой теме следующее: Берешь полный корень от числа;
7 54-.
8 55i.
9 55-
остаток делишь на удвоенный полный корень; затем складываешь результат деления и полный корень. Сумма является приблизительным квадратным корнем числа.
Имам Абу Мансур Абдулкахир б. Тахир ал-Багдади - упокой Господь его душу - говорил так: Это правило неверно; потому что нам известно правило, которое дает ответ более близкий к правде, чем результат, полученный первым правилом. Это следующее: к удвоенному полному корню добавляешь один, потом делишь на сумму оставшихся частей; сумма этих частей и полного корня является квадратным корнем числа.
Например: По первому правилу квадратный корень трех будет два; потому что полный корень это один; когда мы делим удвоенный полный корень на удвоенную оставшуюся две части деления будет один; так как поделенный делением одно и то же. При установлении вторым правилом получается один и две третьих. Потому что когда мы добавляем один к тому числу, у которого было вычтено два раза, будет три; когда мы делим это на оставшееся два при делении получится две третьих; квадрат двух будет четыре; а квадратом единицы и две третьих является два и семь девятых. Видно, что второе правило ближе к правде.
Мой учитель - упокой Господь его душу - говорил так: нельзя принять это слово Абу Мансура; потому что в некоторых случаях первое правило ближе к правде. Например, возьмем пять; по первому правилу приблизительный квадратный корень два и одна четвертая; а судя по второму два и одна пятая. Квадрат первого пять и одна шестнадцатая; квадрат второго четыре и двадцать одна двадцать пятая. После того как ты узнал эту ситуацию при выполнении действий всегда обращайся к обоим правилам; какой корень ближе к правде, выбери его».
Чтобы лучше понять высказывания в «Тухфе» по теме квадратных корней необходимо дать короткую историческую справку. Как известно, впервые в истории математики месопотамские матема-тики10, выделившие приблизительное и полное значение, для полу-
10 В истории математики, при исследовании беспорядочных дробей, заметив, что некоторые числа имеют свойство не измеряться, месопотамские математики, впервые выделившие целое значение и приблизительное значение, при работах по установлению приблизительного значения -2, открыли ирра-
циональные числа; впоследствии начали выполнять действия с этими числами [17, р. 103, 105-106; 2, 8. 178-179]. Математики которые пытались вычислить, беря во внимание продолжительность значения —2, который по наблюдениям относился и к геометрии, в месопотамской математике использовали как понятие целого и приблизительного значения, так пользовались с приближением продолжительной дроби повторным методом напоминающий современный [32, р. 35; 46, 8. 64-65; 47, р. 24-25]. Во время вычисления —2 проблема бесконечности беспорядочных дробей математики, которые пытались избежать этого путем
чения приблизительного квадратного корня чисел, у которых нет полного квадратного корня, они находили число, имеющее полный квадратный корень ближайшее к числу у которого хотели найти квадратный корень, и остаток добавляли к нему.
Например: для 26, думали:
26 = 25 + 1
26 = 52+ 1
И для квадратного корня давали следующую формулу: пусть N будет числом, у которого надо найти квадратный корень; по вышеуказанному примеру запишется в виде N = а2 + Ь; отсюда для квадратного корня устанавливается следующая формула:
= -а2 + & 2а + - . (1)
2а
Эта формула присутствует в работе Хорезми по хисаби-хинди, которая не сохранилась до наших дней. Информацию по данной теме предоставляет Багдади, который в «Текмиле» наряду с другими источниками приводит его, критикует и предлагает новое правило [11, с. 76-77]. Вот автор «Тухфе» эти данные берет из «Текмиле». Правило, которое предлагает Багдади следующее:
= -а2 + & ^ а + — . (2)
2а+1 у '
Багдади, как заимствует и автор «Тухфе», в качестве примера приводит -3 и показывает, что по первому правилу получается «2», а по второму 2 + 7/9. Учитель автора Садруддин ал-Фарази в противовес утверждению Багдади в качестве примера берет -5, и по очереди применят первое и второе правила, по первому правилу получает 5 + 1/16, а по второму 4 + 21/25. Ни Садруддин ал-Фарази, ни его ученик не предлагают нового правила, которое могло бы решить данную ситуацию; только рекомендуют совместное использование первого и второго правила.
Без сомнения, как и указывалось выше, эта тема давно существует в исламской математике. Начиная с Хорезми такие математики как Мусаогуллары, Кушяр б. Леббан ал-Джилли, Абул-Хасан ал-Несеви, Багдади, Ибрахим ал-Иклидиси, Абу Бекир ал-Кереджи, Са-
придумывания наибольшего (maxima) и наименьшего (minima) значений, считали необходимым установить верхний и нижний предел, чтобы достичь приблизительного значения (другими словами неопределенного значения) любого числа. Месопотамский метод, связанный с V2, который изучался Архитом и Героном и использовался в хордовой линейке Клавдия, сегодня называется алгоритмом Ньютона (Для технического объяснения см. [36, р. 7; 5, р. 28]. Интересен тот факт, что похожий метод, который использовали месопотамцы для установления значения V2, есть и в сохранившемся до наших дней первых индийских математических текстах Сулва-Сутрас (IX-VI вв до н.э. или между III-IV вв) [32, р. 35; 17, р. 106, 260-261]. С другой стороны, в месопотамских-сусанских табличках дается приблизительное значение и для V3.
мавел ал-Магриби, Ибн ал-Хейсем, Насируддин ат-Туси, Ибн Хас-сар, Ибн ал-Бенна и Джемшид ал-Каши занимались этой темой. Здесь, не вдаваясь в подробности, будет полезным указать на некоторые попытки.
Ахмед б. Ибрахим ал-Иклидиси в дошедшей до наших дней работе, которая известна как первая в сфере хисаби-хинди, «Ал-Фусул фил-хисаб ил-хинди», проанализировав формулы, как Харизми, так и Багдади, пришел к следующим выводам: в первом всегда будет а +
а во втором а +-< . Иклидиси предлагает новую
2а 2а+1
формулу, которая дает среднее значение между ними:
1,-а+ А)+ -а + -Ц1=>-Л = а ++ -Ц (3)
2 2а 2а+1 2 2а 2а+1
На самом деле, в то время как первая формула дает значение большее значение приблизительного квадратного корня любого числа, а вторая меньшее значение, третья формула дает среднее между ними значение.
Заново исследовавший данную тему известный алгебраик Абу Бекир Мухаммед б. ал-Хусейн ал-Кереджи (умер в 1016 г.) наблюдал, что, несмотря на то, что вместо первого используется второе правило, когда а = Ь или а > & первое дает более точное значение. Кереджи для установления более точного значения дает другую формулу. Судя по ней если N = а2 + Ь, то
V* =а+ ^ . (4)
1+2а
На самом деле в четвертом правиле, данным Кереджи, N - а = Ь, формула принимает форму = а + 1+^, а это имеет такое же значение как и второе правило.
Известный под именем ал-Каласади, принадлежащий к школе Ибн ал-Бенны, Абул-Хасен Али б. Мухаммед б. Али ал-Курейши ал-Басти (умер в 891/1486 г) исследует упомянутые формулы и приходит к следующим правилам:
1. Если Ь < а, то первое правило дает более точное значение.
2. Если Ь > а, то он предлагает новую формулу, дающую более
точный результат: = а + 2('а+11) (5)
Флориан Каджори говорит, что Каласади в своем произведении «Кешф ал-хиджаб 'ан 'илм ал-губар» предлагает новую формулу
дающий более точный результат:
и говорит о том, что вероятно он достиг этой формулы, отталкиваясь от понятия продолжительности дробей [3, р. 110-111].
2. Кубический корень иррациональных чисел
Автор «Тухфе», не вступая в полемику, ограничивается цитированием формулы Багдади о кубическом корне иррациональных
чисел, данной в его книге «Текмиле», которая является одной из первых известных попыток по этой теме в исламской математике.
¿ЛАН ,А^е ЛаЗ |ЛД ' А-Т^ Д1*]| ' О'
¿"У ,¿.'"11 Л 1. '"'у ^а J (_(^ -——-11 лаЗ"^ Аа^а ^а
->л*Л р"11 ¿>а£а3 ^ ¿л А 'пГ'Л ¿л12
,и^^Ла А т пп и^) :А.И1л
А_и1ла _ ^—а ^3 Алп]| ^а 3 ,Аа^1а , ЛаЗ
А т п'' ^л^ А'п''1| ^л £^¿3 ^3Ь1| ! ,|А^с
АтппЛ ', 'т<14 ^J^л.1l13 ¿л и]1а3 .^Ле
«Абу Мансур Абдулкахир б. Тахир ал-Багдади - упокой Господь его душу - сказал следующее: Правило по данной теме следующее: От числа отнимаешь целый куб; к результату добавляешь один и умножаешь; результат умножаешь на два, прибавляешь к нему один; затем оставшееся от кубического корня делишь на этот результат; затем складываешь результат после деления и остаток от куба; сумма является приблизительным кубическим корнем этого числа.
Например: Мы хотим получить приблизительный кубический корень девяти. Мы действовали согласно вышеуказанному правилу, получилось два, один остался. К двум добавили один и умножили, это три, получившееся шесть. Затем шесть умножили на три, получилось восемнадцать; к нему добавили один и разделили на оставшуюся единицу; после деления получилось девятнадцать первых. Мы говорим, вместе с кубом этой единицы является приблизительным кубическим корнем девяти».
Багдади, когда дает это правило, исходит из логики формулы квадратного корня. Судя по этому, пусть N будет числом, у которого мы хотим найти кубический корень; пишется N = а3 + Ь; здесь а и Ь целые числа и а является самым близким целым кубическим корнем числа N а Ь является остатком. Судя по этому, формулу можно записать в следующем виде:
ш = а + 3а2+ 3а+1 ■ Правило Багдади, зафиксированное ранее Кушяром б. Леббан ал-Джилли (умер в 350/961 г.) в его произведении «Китаб фи усул хисаб ил-хинди» [28, р. 32], так как
оно давало более точный результат, чем
Щ= л/а3 + & = а +—;— в
дальнейшем была более предпочтительна . И неизвестный автор «Тухфе», вероятно, на этом основании принял правило Багдади.
11 70 .
12 711.
13 . Л
14
71—.
15 По историческому развитию исследований по квадратному корню, кубическому корню и п-ному корню см. [35, р. 381-394].
Заключение. Высокая исламская культура в Золотой Орде, начавшая развиваться с принятием ислама Берке-ханом, во время Узбек-хана, смешавшись с прежним укладом, приобрела власть и постоянство. В условиях политической, экономической и общественной стабильности динамично стала развиваться научная жизнь; часть людей, решившие вопрос с урбанизацией и основными потребностями, начали задаваться метафизическими и теоретическими вопросами и стали исследовать их. «Ат-Тухфе фи 'илм ал-хисаб», переданная неизвестным автором, крымскому губернатору Тулукте-муру во время правления Узбек-хана может рассматриваться как признак стабильности и возможности задаваться теоретическими вопросами.
«Тухфе» по существу произведение, которое взяло на себя обязанность обучению технике вычисления или алгоритмическому счету, основанному на десятичной системе чисел, где действия выполнялись на табличке в той среде, где не было широкого использования бумаги и пера. В рамках этого автор «Тухфе» не ограничивался выполнением действий, интересовался и теоретическими темами, особенно останавливаясь на вопросе «что такое число?», приписывает к Хорезми определение, которое ранее не упоминалось ни в одних источниках и является крайне важной с точки зрения математической философии. Это определение, основанное на определениях аритмос и мегетос, унаследованных от греческой математики, наряду с числовым и геометрическим определениями чисел показывает возвышение понятия алгебраического числа.
Особенно в этом источнике установлено, что корни туркестанской математической традиции, представителями которой являются такие математики как Джемаледдин ат-Туркистани, Али ал-Гарби, Гияседдин Джемшид ал-Каши, Мехмед Шах ал-Фенари, Али Кушчу, Фенаризаде Али Челеби, Такийеддин Рашид, которая противостояла определению числа в греческом понятии числа, исходят от Хорезми. С другой стороны, крайне важны короткие и разъясняющие объяснения, данные по понятию доказательства, использующиеся в вычислении, межевании и алгебре. Определения, действия и информация по теории первичных чисел, полученные, опираясь на данные «Текмиле» Багдади, вычисления кубического и квадратного корней чисел в рамках группы положительных целых чисел, и особенно формулы приблизительных значений кубического и квадратного корней иррациональных чисел автора, который показывает положительные целые числа в рамках десятичной системы чисел в процессе правило-пример, показывают, что «Тухфе» представляет исламскую математику в Золотой Орде на среднем уровне, в серьезной и взыскательной форме. С другой стороны, этот математический уровень, достигнутый в Крыму, сначала, как показывает «ал-Икна фи 'илм ал-мисаха», долгие годы сохраняла свой уровень, затем это скопление
произведений постепенно начало распространяться и в Османской империи. В связи с этим, с научной точки зрения, можно сказать, что Османская империя является продолжателем научных традиций Золотой Орды.
И в завершение работы, необходимо сказать, что неизвестный автор «Тухфе», учитель автора Садруддин ал-Фарази и его утерянный труд «Нисаб ал-хуссаб» являются ценностями, которые должны быть включены в исламскую математическую литературу. Особенно, исходя из имеющихся экземпляров «Тухфе», необходимо подготовить и опубликовать критический анализ текста.
Сведения об авторе: Ихсан Фазлыоглу - Университет «Меденият», член научного совета Турецкого исторического общества, профессор, Ph.D. (философия) (34700, Уналан, 98, Ускудар, Стамбул, Турция); bilgi@ihsanfazlioglu.net
THE FIRST MATHEMATICAL BOOK IN THE GOLDEN HORDE STATE: A MASTERPIECE OF COMPUTATIONAL MATHEMATICS ("ET-TUHFE Fi ILMI'L-HISAB") (3)*
Ihsan Fazlioglu
(Istanbul Medeniyet University)
The Turkish author Ihsan Fazlioglu presents to attention of readers the third part of the article "A Masterpiece of Computational Mathematics" ("et-Tuhfe fi ilmi'l-hisab"). The author of this article presents the first example of an established scientific activity in the Golden Horde, which began before Janibek khan, during the reign of Uzbek khan. The work written in the Golden Horde on a mathematical topic occupies a special place because of the information contained therein. This treatise shows that the scientific activity in the Golden Horde, which began with the conversion to Islam, brought results in a short time and laid the foundations for "breakthroug" during the reign of Janibek khan.
The author examines this composition from a historical perspective. The Computational book "et-Tuhfe fi ilmi'l-hisab", whose author is unknown, was handed during the reign of Uzbek Khan (1313-1342) to the ruler of the Crimean ulus of the Golden Horde Ebul-Muzaffer Giyaseddin Tuluktemir bey. After mentioning the distinguishing features of the work, the author pays particular attention to the definition of numbers, which is attributed to Muhammad b. Musa al-Khwarizmi and which, at the moment, is not recorded elsewhere. The author analyzes the formula of approximate values of square and cube roots of irrational
* Ending. See the beginning in: Golden Horde Review, 2014, № 4(6), pp. 57-68; 2015, № 1, pp. 106-127. Russian translation from Turkish by Yu.N. Nagimova and I.M. Mirgaleev.
numbers proposed by Muhammad al-Khwarizmi, Abdulkadir al-Baghdadi, and the teacher of the author, Saduruddin al-Farazi.
This part examines issues such as numbers and their characteristics, approximate values of square and cube roots of irrational numbers, the square and cube root of irrational numbers. Analysis of the works show that Islamic mathematics in the Golden Horde developed to a serious level.
Keywords: Golden Horde, Uzbek khan, mathematics, algebra, Dasht-i Kipchak, Islam.
REFERENCES
1. Ahmed S. Saidan. Numeration and arithmetic. Encyclopedia of the History of Arabic Science, edit. Roshdi Rashed, c. II. New York, 1966, pp. 331-348.
2. Aydin Sayili. Misirlilarda ve Mezopotamyalilarda Matematik, Astronomi ve Tip. Ankara, 1982.
3. A History of Mathematics, II. edisyon 1919. New York, 1958.
4. Bagdadli Îsmail Paça. Hediyyetu 'l-arifîn, nçr. §erefettin Yaltkaya - Kilisli Rifat Bilge, c. II. Istanbul, 1951-1955.
5. Boyer Carl. A History of Mathematics. New York, 1991.
6. Brentjes Sonja. The First Perfect Numbers and Three Types of Amicable Numbers in a Manuscript on Elemantary Number Theory by Ibn Fellûs. Erdem, 1988, c. IV, pp. 11.
7. Devin De Weese. Islamization and Native Religion in the Golden Horde: Baba Tükles and Conversion to Islam in the Historical and Epic Tradition. Pennnsylvania, The Pennnsylvania State University Publ., 1994.
8. Devin De Weese. Problems of Islamization in the Volga-Ural Region: Traditions about Berke Khan. Proceedings of the International Symposium on Islamic Civilisation in the Volga-Ural Region. Kazan, 8-11 June 2001. Istanbul, 2004, pp. 3-13.
9. Ebu'l -Gazî Bahadir Han. Türk§eceresi [§ecere-i Türk]. Yayimlayan Riza Nur. Istanbul, 1925.
10. El-iklîdisî Îbrahim. Kitabu'l-fusul fi'l-hisabi'l-hindî. Nçr. Ahmed S. Saidan, II. baski. Amman, 1985.
11. El-Bagdadî Abdulkâhir b. Tahir. Et-Tekmile fi'l-hisâb. Tahkik Ahmed Selim Saidan. Kuveyt, 1985.
12. Fazlioglu ihsan. Aristoteles'in Sayi Tanimi. Dîvân Ilmî Ara^tirmalar Dergisi. istanbul, 2004/1, P. 15, pp. 127-138.
13. Fazlioglu ihsan. irçad el-Tullab ila ilm el-Hisab [Hesap Biliminde Ögrencilere Kilavuz]. Dîvân Ilmî Ara^tirmalar Dergisi. istanbul, 2002/2, p. 13, pp. 321-322.
14. Fazlioglu ihsan. Osmanlilar'da Hesab-i Hindî. Türkiye Diyanet Vakfi Islam Ansiklopedisi, c. XVII. istanbul, 1998.
15. Fazlioglu ihsan. Uygulamali Geometri'nin Tarihine Giri§: el-lkna fi ilmi 'l-misaha. Dergah Yayinlari. istanbul, 2004.
16. Fihrist mahtutat belediyyeti'l-lskenderiyye. Hazr. Yusuf Zeydan. iskenderiye 1996, c. I, nu: 39.
17. George Gheverghese Joseph. The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics. New York (bez goda izdaniya).
18. Halperin Charles J. Russia and the Golden Horde: The Mongol Impact and Russian History, London 1985 (=1987).
19. ibn Batuta. Rihlet ibn Batuta. Thk. Ali el-Muntasir el-Kettani, c. I. Beyrut, 1985.
20. izgi C. Cani Bek Han devrinde (1342-1357) Altinordu hanliginda bilim hayati. Divan, 1996/2, pp. 147-172.
21. Kafali Mustafa. Altin Orda Hanliginin Kurulu§ ve Yükseli§ Devirleri. i.Ü. istanbul, Edebiyat Fakültesi Matbaasi, 1976.
22. Karatay F.E. Topkapi Sarayi Müzesi Kütüphanesi, Arapqa Yazmalar Katalogu, c. III. istanbul, 1966.
23. Katip Celebi. Kefu'z-zunun an esami'l-kutub ve'l-funun. N§r. Kilisli Muallim Rifat - §erefeddin Yaltkaya, c. III. istanbul, 1941-1943.
24. Köprülü Mehmet Fuat. Altin Ordu'ya Ait Yeni Ara§tirmalar. Belleten, c. V. Ankara, 1941, pp. 397-436.
25. Kurat A.N. Altin Ordu Devleti. Türk Dünyasi El Kitabi, c. I: Cografya-Tarih, II. Baski. Ankara, 1992, pp. 400-408.
26. Kurat A.N. Topkapi Sarayi Müzesi Ar§ivindeki Altin Ordu, Kirim ve Türkistan Hanlarina Ait Yarlik ve Bitikler. Burhaneddin Matbaasi, Dil ve Tarih-Cografya Fakültesi Yayinlari. Tarih Serisi: 1. istanbul, 1940.
27. Kehhale Ömer Rida. Mucemu 'l-muellifin, c. II, Beyrut (without the year of publication).
28. Kushyar Ibn Labban. Principles of Hindu Reckoning. A Translation with Introduction and Notes by Martin Levey and Marvin Petruck of the Kitab fi Usul Hisab al-Hind. Wisconsin, 1965.
29. Milli Egitim Bakanligi islam Ansiklopedisi, c. XII/1. istanbul, 1993.
30. Mach Rudolf. Catalogue of Arabic Manuscripts (Yehuda Section in the Garrett Collection). Princeton, 1977.
31. Muhammed Süveysi. Hesap, Türkiye Diyanet Vakfi islam Ansiklopedisi, c. XVII. istanbul, 1998.
32. Otto Neugebauer. The Exact Sciences in Antiquity. Providence, 1970.
33. Özkaya T. Sovyetler Birliginde Altin Ordu ile ilgili Yeni Ara§tirmalar. Belleten, c. LIV, Sayi 209. Ankara, 1990, (Nisan), pp. 497-532.
34. Özyetkin M. Altin Ordu, Kirim ve Kazan Sahasina Ait Yarlik ve Bitiklerin Dil ve Uslüp incelemesi. Atatürk Kültür, Dil ve Tarih Yüksek Kurumu, Türk Dil Kurumu Yayinlari: 658. Ankara, 1996.
35. Roshdi Rashed. The Development Arabic Mathematics: Between Arithmetic and Algebra. Dordrecht, 1994.
36. Richard L. Faber, Foundations of Euclidean and non-Euclidean Geometry. New York, 1983.
37. Roshdi Rashed. Numerical Analysis. Encyclopedia of the History of Arabic Science, edit. Roshdi Rashed, c. II. New York, 1966.
38. Sabit B. Kurra. Kitabu'l-adadi'l-mutahabbe. Tahkik Ahmed Selim Saidan. Amman, 1977.
39. §e§en R. Muhtarat mine'l-mahtutati'l-arabiyyetu'n-nadire fi mektebat Turkiya. istanbul, 1997.
40. §e§en R., izgi C. Osmanli Matematik Literatürü Tarihi. Edit. Ekmeled-din ihsanoglu, c. I. istanbul, 1999.
41. Taçagil Ahmet. Îdil-Ural Bôlgesinde Îslâmiyetin Yayilmaya Baçlamasi. Proceedings of the International Symposium on Islamic Civilisation in the Volga-Ural Region, Kazan, 8-11 June 2001, pp. 101-106.
42. Taçkôprulu-zade, e§-§ekaiku 'n-numaniyye fi ulemâi 'd-Devleti 'l-Osma-niyye. Nçr. Ahmed Subhi Furat. Istanbul, 1985.
43. Tiesenhausen W. Altinordu Devleti Tarihine Ait Metinler. Çev. Îsmail Hakki Îzmirli. Istanbul, Maarif Matbaasi, 1941.
44. Togan Î. Second Wave of Islam and Ozbek Khan: Strategies for Conflict Resolution. Proceedings of the International Symposium on Islamic Civilisation in the Volga-Ural Region. Kazan, 8-11 June 2001. Istanbul, 2004, pp. 15-33.
45. Toparli Recep. lr§adu 'l-muluk ve 's-selâtîn. Ankara, 1992.
46. Van der Waerden. Bilimin Uyanqi: Eski Misir, Babilonya ve Eski Yunan Matematigi. Çeviri: Orhan §. Îçen ve Yilmaz Oner. Istanbul, 1994.
47. Victor J. Katz. A History of Mathematics: An Introduction. New York, 1992.
48. Yakubovskiy A.Y. Altin Ordu ve ïnhitati [Zolotaya Orda]. Çev. Hasan Eren. Istanbul, Maarif Basimevi, 1955.
49. Yakubovskiy A.Y. Altin Ordu ve Çôkuçu. II. Baski, MEB, Kultur Bakanligi Yayinlari. Ankara, 1976.
50. Yakubovskiy A.Y. Altin Ordu ve Çôkuçu, III. Baski T.T.K. Ankara, 1992.
About the author: Ihsan Fazlioglu - Istanbul Medeniyet University, member of the Scientific Council of the Turkish Historical Society, Professor, Ph.D. (Philosophy) (34700, Unalan Mah., No. 98, Uskudar, Istanbul, Turkey); bilgi@ihsanfazlioglu.net
